Теорема Холла - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:17:31Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.86.148.90 в 05:40, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:40:57Z

188.242.29.236: см также

2018-11-22T19:29:18Z

см также

5.18.220.221: /* Теорема */ Опечатка, если я правильно понял

2016-12-23T15:02:06Z

‎Теорема: Опечатка, если я правильно понял

91.193.174.8: /* Определения */

2016-05-31T00:38:10Z

‎Определения

Maksnov в 22:58, 27 января 2016

2016-01-27T22:58:38Z

Maksnov в 22:46, 27 января 2016

2016-01-27T22:46:13Z

Maksnov в 22:11, 27 января 2016

2016-01-27T22:11:22Z

Maksnov в 20:38, 27 января 2016

2016-01-27T20:38:42Z

92.100.175.218: /* Определения */

2014-06-30T19:55:33Z

‎Определения

← Предыдущая		Версия 16:17, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
−

	==Определения==		==Определения==

← Предыдущая		Версия 05:40, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
		+

	==Определения==		==Определения==

← Предыдущая		Версия 19:29, 22 ноября 2018
Строка 52:		Строка 52:

	Увеличив текущее парасочетание вдоль этой цепи, мы насытим вершину с номером <tex>4</tex>.		Увеличив текущее парасочетание вдоль этой цепи, мы насытим вершину с номером <tex>4</tex>.
		+
		+	==См. также==
		+	* [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях]]
		+	* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]
		+	* [[Связь вершинного покрытия и независимого множества]]

	==Примечания==		==Примечания==

@@ Строка 32: / Строка 32: @@
 <u>'''''Индукционный переход'''''</u>
-Пусть после <tex>k<n</tex> шагов построено паросочетание <tex>P</tex>. Докажем, что в <tex>P</tex> можно добавить вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex>, не насыщенную паросочетанием <tex>P</tex>. Рассмотрим множество вершин <tex>H</tex> — все вершины, достижимые из <tex>x</tex>, если можно ходить  из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> только по ребрам из <tex>P</tex>, а из <tex>L</tex> в <tex>R</tex> по любым ребрам из <tex>G</tex>. Тогда в <tex>H</tex> найдется вершина <tex>y</tex> из <tex>R</tex>, не насыщенная паросочетанием <tex>P</tex>, иначе, если рассмотреть вершины <tex>H_L</tex> (вершины из <tex>H</tex> принадлежащие <tex>L</tex>), то для них не будет выполнено условие: <tex>|H_L| > |N(H_L)|</tex>. Тогда существует путь из <tex>x</tex> в <tex>y</tex>, который будет удлиняющим для паросочетания <tex>P</tex> (т.к из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> мы проходили по ребрам паросочетания <tex>P</tex>). Увеличив паросочетание <tex>P</tex> вдоль этого пути, получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.
+Пусть после <tex>k<n</tex> шагов построено паросочетание <tex>P</tex>. Докажем, что в <tex>P</tex> можно добавить вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex>, не насыщенную паросочетанием <tex>P</tex>. Рассмотрим множество вершин <tex>H</tex> — все вершины, достижимые из <tex>x</tex>, если можно ходить  из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> только по ребрам из <tex>P</tex>, а из <tex>L</tex> в <tex>R</tex> по любым ребрам из <tex>G</tex>. Тогда в <tex>H</tex> найдется вершина <tex>y</tex> из <tex>R</tex>, не насыщенная паросочетанием <tex>P</tex>, иначе, если рассмотреть вершины <tex>H_L</tex> (вершины из <tex>H</tex> принадлежащие <tex>L</tex>), то для них не будет выполнено условие: <tex>|H_L| \leqslant |N(H_L)|</tex>. Тогда существует путь из <tex>x</tex> в <tex>y</tex>, который будет удлиняющим для паросочетания <tex>P</tex> (т.к из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> мы проходили по ребрам паросочетания <tex>P</tex>). Увеличив паросочетание <tex>P</tex> вдоль этого пути, получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.
 }}

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 ==Определения==
-Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} [[Основные_определения_теории_графов#Двудольный_граф |двудольный граф]].<ref name="Generalizing"/> <tex>L</tex> {{---}} множество вершин первой доли. <tex>R</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
+Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} [[Основные_определения_теории_графов#Двудольный_граф |двудольный граф]].<ref name="Generalizing"/> <tex>L</tex> {{---}} множество вершин левой доли. <tex>R</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
 {{Определение
 |id=def1.

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 ==Определения==
-Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} [[Основные_определения_теории_графов#Двудольный_граф |двудольный граф]] . <tex>L</tex> {{---}} множество вершин первой доли. <tex>R</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
+Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} [[Основные_определения_теории_графов#Двудольный_граф |двудольный граф]].<ref name="Generalizing"/> <tex>L</tex> {{---}} множество вершин первой доли. <tex>R</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
 {{Определение
 |id=def1.
@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 {{Теорема
 |id=th1.
-|author=Холл
+|author=Холл <ref name="Marriage"/>
 |statement=Полное паросочетание существует тогда и только тогда, когда для любого <tex>A \subset  L </tex> выполнено <tex>|A| \leqslant |N(A)|</tex>.
 |proof=
@@ Строка 54: / Строка 54: @@
 ==Примечания==
-Иногда теорему называют теоремой о свадьбах.
+<references>
+<ref name="Generalizing">Также теорема обобщается на граф, имеющий произвольное множество долей.</ref>
-Также теорема обобщается на граф, имеющий произвольное множество долей.
+<ref name="Marriage">Иногда теорему называют теоремой о свадьбах.</ref>
 ==Источники информации==

@@ Строка 21: / Строка 21: @@
 |proof=
 <tex>\Rightarrow</tex> <br>
-Очевидно, что если существует полное паросочетание, то для любого <tex>A \subset  L </tex> выполнено <tex>|A| \leqslant |N(A)|</tex>. У любого подмножества вершин есть по крайней мере столько же ''соседей'' ("соседи по парасочетанию").
+Очевидно, что если существует полное паросочетание, то для любого <tex>A \subset  L </tex> выполнено <tex>|A| \leqslant |N(A)|</tex>. У любого подмножества вершин есть по крайней мере столько же ''соседей'' (''соседи по паросочетанию'').
 <tex>\Leftarrow</tex> <br>
@@ Строка 48: / Строка 48: @@
 # В <tex>H_R</tex> входят только насыщенные вершины.
 # <tex>N(H_L) = H_R</tex>
-# В <tex>H_L</tex> по крайней мере <tex>H_R+1</tex> вершин ("соседи" по паросочетанию для каждой вершины из <tex>H_R</tex> и ещё одна вершина, которую пытаемся добавить).
+# В <tex>H_L</tex> по крайней мере <tex>H_R+1</tex> вершин (''соседи'' по паросочетанию для каждой вершины из <tex>H_R</tex> и ещё одна вершина, которую пытаемся добавить).
 Цепь <tex>{4, 7, 3, 8}</tex> является удлиняющей для текущего паросочетания.
-Увеличив текущее парасочетание вдоль этой цепи, мы насытим вершину с номером 4.
+Увеличив текущее парасочетание вдоль этой цепи, мы насытим вершину с номером <tex>4</tex>.
 ==Примечания==

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 ==Определения==
-Пусть <tex>G(V,E)</tex> - двудольный граф. <tex>L</tex> - множество вершин первой доли. <tex>R</tex> - множество вершин правой доли.
+Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} двудольный граф. <tex>L</tex> {{---}} множество вершин первой доли. <tex>R</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
 {{Определение
 |id=def1.
 |nеat=1
-|definition='''Полным (совершенным)''' паросочетанием называется паросочетание, в которое входят все вершины.
+|definition='''Полным (совершенным)''' паросочетанием ''(англ. perfect matching)'' называется паросочетание, в которое входят все вершины.
 }}
 {{Определение
 |id=def2.
 |nеat=1
-|definition=Пусть <tex>X \subset V </tex>. '''Множeство соседей''' <tex>X</tex> определим формулой:  <tex>N(X)= \{  y \in V: (x,y) \in E , x \in X\}</tex>
+|definition=Пусть <tex>X \subset V </tex>. '''Множeство соседей''' <tex>X</tex> ''(англ. neighborhood)'' определим формулой:  <tex>N(X)= \{  y \in V: (x,y) \in E , x \in X\}</tex>
 }}
@@ Строка 18: / Строка 18: @@
 |id=th1.
 |author=Холл
-|statement=Полное паросочетание существует тогда и только тогда, когда для любого <tex>A \subset  L </tex> выполнено <tex>|A| \leq |N(A)|</tex>.
+|statement=Полное паросочетание существует тогда и только тогда, когда для любого <tex>A \subset  L </tex> выполнено <tex>|A| \leqslant |N(A)|</tex>.
 |proof=
-<tex>\Rightarrow</tex> Очевидно, что если существует полное паросочетание, то для любого <tex>A \subset  L </tex> выполнено <tex>|A| \leq |N(A)|</tex>. У любого подмножества вершин есть по крайней мере столько же "соседей" ("соседи по парасочетанию").
+<tex>\Rightarrow</tex> <br>
-<tex>\Leftarrow</tex> В обратную сторону докажем по индукции (будем добавлять в изначально пустое паросочетание <tex>P</tex> по одному ребру и доказывать, что мы можем это сделать, если <tex>P</tex> не полное). Таким образом, в конце получим что <tex>P</tex> — полное паросочетание.
+<tex>\Leftarrow</tex> <br>
-#База: Вершина из <tex>L</tex> соединена хотя бы с одной вершиной из <tex>R</tex>. Следовательно база верна.
+В обратную сторону докажем по индукции (будем добавлять в изначально пустое паросочетание <tex>P</tex> по одному ребру и доказывать, что мы можем это сделать, если <tex>P</tex> не полное). Таким образом, в конце получим что <tex>P</tex> — полное паросочетание.
-#Переход: Пусть после <tex>k<n</tex> шагов построено паросочетание <tex>P</tex>. Докажем, что в <tex>P</tex> можно добавить вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex>, не насыщенную паросочетанием <tex>P</tex>. Рассмотрим множество вершин <tex>H</tex> — все вершины, достижимые из <tex>x</tex>, если можно ходить  из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> только по ребрам из <tex>P</tex>, а из <tex>L</tex> в <tex>R</tex> по любым ребрам из <tex>G</tex>. Тогда в <tex>H</tex> найдется вершина <tex>y</tex> из <tex>R</tex>, не насыщенная паросочетанием <tex>P</tex>, иначе, если рассмотреть вершины <tex>H_L</tex> (вершины из <tex>H</tex> принадлежащие <tex>L</tex>), то для них не будет выполнено условие: <tex>|H_L| > |N(H_L)|</tex>. Тогда существует путь из <tex>x</tex> в <tex>y</tex>, который будет удлиняющим для паросочетания <tex>P</tex> (т.к из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> мы проходили по ребрам паросочетания <tex>P</tex>). Увеличив паросочетание <tex>P</tex> вдоль этого пути, получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.
 }}
@@ Строка 31: / Строка 39: @@
 [[Файл:aba.gif|600px|thumb|right|Пример]]
-Пусть было построено паросочетание размером 3 (синие ребра).
+Пусть было построено паросочетание размером <tex>3</tex> (синие ребра).
-Добавляем вершину с номером 4.
+Добавляем вершину с номером <tex>4</tex>.
-Во множество <tex>H</tex> вошли вершины с номерами 1, 3, 4, 5, 7, 8.
+Во множество <tex>H</tex> вошли вершины с номерами <tex>1</tex>, <tex>3</tex>, <tex>4</tex>, <tex>5</tex>, <tex>7</tex>, <tex>8</tex>.
-Ненасыщенная вершина из правой доли всегда найдется (в примере вершина с номером 8), т.к иначе получаем противоречие:
+Ненасыщенная вершина из правой доли всегда найдется (в примере вершина с номером <tex>8</tex>), т.к иначе получаем противоречие:
 # В <tex>H_R</tex> входят только насыщенные вершины.
 # <tex>N(H_L) = H_R</tex>
 # В <tex>H_L</tex> по крайней мере <tex>H_R+1</tex> вершин ("соседи" по паросочетанию для каждой вершины из <tex>H_R</tex> и ещё одна вершина, которую пытаемся добавить).
-Цепь {4, 7, 3, 8} является удлиняющей для текущего паросочетания.
+Цепь <tex>{4, 7, 3, 8}</tex> является удлиняющей для текущего паросочетания.
 Увеличив текущее парасочетание вдоль этой цепи, мы насытим вершину с номером 4.
@@ Строка 50: / Строка 58: @@
 Также теорема обобщается на граф, имеющий произвольное множество долей.
-==Ссылки==
+==Источники информации==
-*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D0%BB%D0%B0 Теорема Холла — Википедия]
+* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D0%BB%D0%B0 Википедия {{---}} Теорема Холла]
 [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 [[Категория: Задача о паросочетании ]]