Об интеграле Фурье - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:27:20Z

rollbackEdits.php mass rollback

91.212.153.123 в 04:52, 1 сентября 2022

2022-09-01T04:52:23Z

Dgerasimov: /* Интегральная формула Фурье */ да

2012-06-26T22:42:37Z

‎Интегральная формула Фурье: да

Komarov: /* Интегральная формула Фурье */

2012-06-26T18:43:22Z

‎Интегральная формула Фурье

Smolcoder: ссылка на теорему Фубини

2012-06-26T17:38:05Z

ссылка на теорему Фубини

Dgerasimov: /* Интегральная формула Фурье */ аналог признака Дини, как-то так вроде.

2012-06-26T14:17:20Z

‎Интегральная формула Фурье: аналог признака Дини, как-то так вроде.

Dgerasimov в 17:42, 24 июня 2012

2012-06-24T17:42:58Z

Sementry в 15:29, 24 июня 2012

2012-06-24T15:29:17Z

Sementry в 14:20, 24 июня 2012

2012-06-24T14:20:00Z

217.66.152.130 в 01:03, 23 июня 2012

2012-06-23T01:03:40Z

← Предыдущая		Версия 16:27, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	[[Теорема Джексона\|<<]][[Явление Гиббса\|>>]]		[[Теорема Джексона\|<<]][[Явление Гиббса\|>>]]

← Предыдущая		Версия 04:52, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	[[Теорема Джексона\|<<]][[Явление Гиббса\|>>]]		[[Теорема Джексона\|<<]][[Явление Гиббса\|>>]]

@@ Строка 68: / Строка 68: @@
 признак Дини сходимости интеграла Фурье
 |statement=
-Пусть <tex>f \in L_1, s \in \mathbb{R}</tex>. Если существует <tex>\Delta > 0: \int\limits_0^{\Delta} \frac{\varphi_x(t)}{t} dt < + \infty</tex>, то <tex> s = \lim\limits_{A \to \infty} I(A)</tex>.
+Пусть <tex>f \in L_1, s \in \mathbb{R}</tex>. Если существует <tex>\Delta > 0: \int\limits_0^{\Delta} \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < + \infty</tex>, то <tex> s = \lim\limits_{A \to \infty} I(A)</tex>.
 |proof=
 Предположим, что для некоторого <tex>\Delta</tex>: <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{|f(x+t)+f(x-t)-2s|}t dt = \int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt < +\infty</tex>. Возьмём <tex>\delta \in (0; \Delta)</tex>.

@@ Строка 48: / Строка 48: @@
 <tex>I = \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \frac{\sin A(x-t)}{x-t} = I</tex>
-Сделаем замену переменной: <tex>u=t-x</tex>
+Сделаем замену переменной: <tex>u=x-t</tex>
 <tex>I(A) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(x+u) \frac{\sin Au}u du</tex> {{---}} аналог интеграла Дирихле для рядов Фурье.

@@ Строка 39: / Строка 39: @@
 <tex>= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz = I</tex>
-Применим теорему Фубини: <tex>I(A) = \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz</tex> {{---}} частный случай интеграла Фурье.
+Применим [[Теорема Фубини | теорему Фубини]]: <tex>I(A) = \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz</tex> {{---}} частный случай интеграла Фурье.
 <tex>I = \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} \left(\int\limits_0^A f(t) \cos z(x-t) dz \right) dt</tex>

@@ Строка 64: / Строка 64: @@
 Это соотношение позволяет сформировать и доказать аналог теоремы Дини сходимости интеграла Фурье.
+{{Утверждение
 Предположим, что для некоторого <tex>\Delta</tex>: <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{|f(x+t)+f(x-t)-2s|}t dt = \int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt < +\infty</tex>. Возьмём <tex>\delta \in (0; \Delta)</tex>.
@@ Строка 70: / Строка 75: @@
 <tex>\le \frac1\pi\left(\int\limits_0^\delta\frac{|\varphi_x(t)|}{t}dt+ \left|\int\limits_\delta^{+\infty} \varphi_x(t) \frac{\sin At}{t} dt\right| \right)</tex>
-Так как, по условию, <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt < +\infty</tex>, то <tex>\forall\varepsilon>0 \exists\delta\in(0;\Delta) : \int\limits_0^\delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt < \varepsilon</tex>
+Рассмотрим первое слагаемое: так как, по условию, <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt < +\infty</tex>, то <tex>\forall\varepsilon>0 \exists\delta\in(0;\Delta) : \int\limits_0^\delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt < \varepsilon</tex>
 Далее считаем, что <tex>\delta</tex> уже такое и заметим, что оно выбрано вне зависимости от <tex>A</tex>. Значит,
-<tex>|I(A)-s| \le \frac1\pi\left( \varepsilon + \int\limits_\delta^{+\infty}\varphi_x(t)\frac{\sin At}t dt\right)</tex>
+<tex>|I(A)-s| \le \frac1\pi\left( \varepsilon + \left| \int\limits_\delta^{+\infty}\varphi_x(t)\frac{\sin At}t dt \right| \right)</tex>
-<tex>\int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}t dt = \int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}{At} d(At) = \int\limits_{\delta A}^{+\infty} \frac{\sin t}t dt</tex>, что, при <tex>A\to+\infty</tex>, стремится к <tex>0</tex>.
+Рассмотрим второе слагаемое: <tex>\int\limits_\delta^{+\infty} \varphi_x(t) \frac{\sin At}{t} dt = \int\limits_\delta^{+\infty} \frac{f(x+t) +f(x-t)}{t} \sin At dt - 2s \int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}{t} dt </tex>
-Значит, при <tex>A\to\infty</tex>, <tex>\int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}{t} dt \to 0</tex>
+Для второго интеграла: <tex>\int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}t dt = \int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}{At} d(At) = \int\limits_{\delta A}^{+\infty} \frac{\sin t}t dt</tex>, что, при <tex>A\to+\infty</tex>, стремится к <tex>0</tex>. Значит, при <tex>A\to\infty</tex>, <tex>\int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}{t} dt \to 0</tex>
-В рядах Фурье была лемма Римана-Лебега, там было не принципиально, что было подставлены <tex>2\pi</tex>-периодические функции. Лемма верна и в общем случае:
+Для первого интеграла: в рядах Фурье была лемма Римана-Лебега, там было не принципиально, что было подставлены <tex>2\pi</tex>-периодические функции. Лемма верна и в общем случае:
-<tex>f</tex> {{---}} суммируема на оси <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin pt dt \to_{p\to\infty}0</tex>.
+<tex>f</tex> {{---}} суммируема на оси <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin pt dt \xrightarrow[p\to\infty]{} 0</tex>.
-Тогда рассмотрим первый из интегралов: <tex>\int\limits_0^{+\infty} \frac{f(x+t)+f(x-t)}t \sin At dt</tex> и <tex>\left| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right| \le \frac{|f(x+t)| + |f(x-t)|}{\delta}</tex> и <tex>f</tex> {{---}} суммируема.
+<tex>\int\limits_{\delta}^{+\infty} \frac{f(x+t)+f(x-t)}t \sin At dt</tex> и <tex>\left| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right| \le \frac{|f(x+t)| + |f(x-t)|}{\delta}</tex> и <tex>f</tex> {{---}} суммируема.
 Тогда <tex>\frac{|f(x+t)| + |f(x-t)|}{\delta}</tex> {{---}} суммируемая, а значит, и <tex>\left| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right|</tex> {{---}} суммируемая. Возвращаясь к интегралу, по лемме Римана-Лебега, <tex>\int\to_{A\to\infty} 0</tex>.
@@ Строка 92: / Строка 97: @@
 Принимая это во внимание в оценке отклонения <tex>|I(A) - s| \le \frac2\pi \varepsilon</tex>, получаем, что <tex>s = \lim\limits_{A\to+\infty} I(A)</tex>, или, <tex>s = \frac1\pi\int\limits_0^{+\infty}\left(\int\limits_{\mathbb{R}}f(t)\cos z(x-t) dt\right)dz</tex> в условиях, когда <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt <+\infty</tex>.
 В частности, если, как и в рядах Фурье, в точке <tex>x</tex> существуют односторонние пределы, что если <tex>s=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>, то для этого <tex>s</tex> условия Дини выполняются, что и доказывает эту теорему.

@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 {{Определение
 |definition=
-<tex>a_n(f, z) \ \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos zt dt</tex> {{---}} косинусное преобразование <tex>f</tex>. <br />
+<tex>a(f, z) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos zt dt</tex> {{---}} косинусное преобразование <tex>f</tex>. <br />
-<tex>b_n(f, z) \ \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin zt dt</tex> {{---}} синусное преобразование <tex>f</tex>.
+<tex>b(f, z) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin zt dt</tex> {{---}} синусное преобразование <tex>f</tex>.
 }}
@@ Строка 29: / Строка 29: @@
 <tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz</tex> {{---}} интеграл Фурье.
-Сейчас мы установим, что выполняется знаменитая интегральная формула Фурье:
+== Интегральная формула Фурье ==
 {{Утверждение
-|statement=<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
+|about=
 |proof=
 <tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t)\cos z(x-t) dt \right) dz</tex>

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-[[Теорема Лузина-Данжуа|<<]][[Явление Гиббса|>>]]
+[[Теорема Джексона|<<]][[Явление Гиббса|>>]]
 {{В разработке}}
@@ Строка 93: / Строка 93: @@
 }}
-[[Теорема Лузина-Данжуа|<<]][[Явление Гиббса|>>]]
+[[Теорема Джексона|<<]][[Явление Гиббса|>>]]
 [[Категория:Математический анализ 2 курс]]

← Предыдущая		Версия 01:03, 23 июня 2012
Строка 1:		Строка 1:
	{{В разработке}}		{{В разработке}}
		+
		+	Голова человеческая устроена линейно, поэтому, если оператор {{---}} нелинейный, то это {{---}} мрак полный. Живите линейно!
		+
		+	Ряд Фурье имеет дело с <tex>2\pi</tex>-периодической суммируемой на <tex>Q</tex> функцией.
		+
		+	Пусть <tex>f</tex> задана на всём <tex>\mathbb{R}</tex> и <tex>\int\limits_{\mathbb{R}} \|f\| < +\infty</tex>. Можно ли писать аналог ряда Фурье?
		+
		+	С формальной точки зрения, аналог выписывается просто.
		+
		+	<tex>a_n(f) = \frac1\pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx dx</tex> {{---}} существует для любого <tex>n</tex>, не только <tex>n \in \mathbb{N}</tex>
		+
		+	{{Определение
		+	\|definition=
		+	<tex>a_n(f, z) \ \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos zt dt</tex> {{---}} косинусное преобразование <tex>f</tex>
		+	<tex>b_n(f, z) \ \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin zt dt</tex> {{---}} синусное преобразование <tex>f</tex>
		+	}}
		+
		+	Выпишем ряд <tex>\sum\limits_{n=0}^\infty A_n(f, z)</tex>, где <tex>A_n (f, x) = a_n \cos nx + b_n \sin nx</tex>
		+
		+	Предложение: <tex>\int\limits_0^{+\infty} (a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx) dz</tex>. Интеграл понимают не в смысле Лебега, а в смысле Римана {{---}} как предел частичных интегралов. Получившийся интеграл называют интегралом Фурье.
		+
		+	Этому можно придать более удобную форму:
		+
		+	<tex>a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) [\cos zt \cdot \cos zx + \sin zt \cdot \sin zx] dt = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt</tex>
		+
		+	<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz</tex> {{---}} интеграл Фурье
		+
		+	Далее мы установим, что выполняется знаменитая интегральная формула Фурье:
		+	{{Утверждение
		+	\|statement=<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz = \frac{f(x+0)+f(x-0}2</tex>
		+	\|proof=
		+	<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t)\cos z(x-t) dt \right) dz</tex>
		+	<tex>= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_0^A \frac1\pi \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz = I</tex>
		+
		+	Применим теорему Фубини: <tex>g(A) = \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz</tex> {{---}} частный случай интеграла Фурье.
		+
		+	<tex>I = \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} \left(\int\limits_0^A f(t) \cos z(x-t) dz \right) dt</tex>
		+	<tex>= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \left( \int\limits_0^A \cos z(x-t) dz\right) dt = I</tex>
		+
		+	Заменим: <tex>\int\limits_0^A \cos z(x-t) dz = \left. \frac{\sin z(x-t)}{x-t} \right\|_0^A = \frac{\sin A(x-t)}{x-t}</tex>
		+
		+	<tex>I = \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \frac{\sin A(x-t)}{x-t} = I</tex>
		+
		+	Сделаем замену переменной: <tex>u=t-x</tex>
		+
		+	<tex>I(A) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(x+u) \frac{\sin Au}u du</tex> {{---}} аналог интеграла Дирихле для рядов Фурье.
		+
		+	Проделаем то же самое, что и с рядами Фурье: сведём к полуоси:
		+
		+	<tex>I(A) = \frac1\pi \left(\int\limits_{-\infty}^0 + \int\limits_0^{+\infty}\right)</tex> <tex>=\frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}_+} (f(x+t) + f(x-t))\frac{\sin At}t dt</tex>
		+
		+	<tex>\int\limits_{\mathbb{R}_+} \frac{\sin t}t dt = \frac\pi2</tex> {{---}} интеграл Дирихле.
		+	<tex>\int\limits_{\mathbb{R}_+} \frac{\sin At}t dt = \int\limits_{\mathbb{R}_+} \frac{\sin At}{At} d(At) = \frac\pi2</tex>
		+
		+	<tex>\frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}_+} 2s \frac{\sin t}t dt = s</tex>
		+
		+	<tex>I(A) - s = \frac1\pi\int\limits_{\mathbb{R}_+} [f(x+t)+f(x-t)-2s]\frac{\sin At}t dt</tex> {{---}} основное соотношение для исследования сходимости интеграла Фурье в индивидуальной точке.
		+
		+	Это соотношение позволяет сформировать и доказать аналог теоремы Дини сходимости интеграла Фурье.
		+
		+	Предположим, что для некоторого <tex>\Delta</tex>: <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{\|f(x+t)+f(x-t)-2s\|}t dt = \int\limits_0^\Delta \frac{\|\varphi_x(t)\|}t dt < +\infty</tex>. Возьмём <tex>\delta \in (0; \Delta)</tex>.
		+
		+	Рассмотрим <tex>\|I(A)-s\|=\frac1\pi \left\|\int\limits_0^\delta + \int\limits_\delta^{+\infty}\right\|</tex>
		+	<tex>\le \frac1\pi\left(\int\limits_0^\delta\frac{\|\varphi_x(t)\|}{t}dt+ \left\|\int\limits_\delta^{+\infty} \varphi_x(t) \frac{\sin At}{t} dt\right\| \right)</tex>
		+
		+	Так как, по условию, <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{\|\varphi_x(t)\|}t dt < +\infty</tex>, то <tex>\forall\varepsilon>0 \exists\delta\in(0;\Delta) : \int\limits_0^\delta \frac{\|\varphi_x(t)\|}t dt < \varepsilon</tex>
		+
		+	Далее считаем, что <tex>\delta</tex> уже такое и заметим, что оно выбрано вне зависимости от <tex>A</tex>. Значит,
		+
		+	<tex>\|I(A)-s\| \le \frac1\pi\left( \varepsilon + \int\limits_\delta^{+\infty}\varphi_x(t)\frac{\sin At}t dt\right)</tex>
		+
		+	<tex>\int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}t dt = \int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}{At} d(At) = \int\limits_{\delta A}^{+\infty} \frac{\sin t}t dt</tex>, что, при <tex>A\to+\infty</tex>, стремится к <tex>0</tex>.
		+
		+	Значит, при <tex>A\to\infty</tex>, <tex>\int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}{t} dt \to 0</tex>
		+
		+	В рядах Фурье была лемма Римана-Лебега, там было не принципиально, что было подставлены <tex>2\pi</tex>-периодические функции. Лемма верна и в общем случае:
		+	<tex>f</tex> {{---}} суммируема на оси <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin pt dt \to_{p\to\infty}0</tex>
		+
		+	Тогда рассмотрим первый из интегралов: <tex>\int\limits_0^{+\infty} \frac{f(x+t)+f(x-t)}t \sin At dt</tex> и <tex>\left\| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right\| \le \frac{\|f(x+t)\| + \|f(x-t)\|}{\delta}</tex> и <tex>f</tex> {{---}} суммируема.
		+
		+	Тогда <tex>\frac{\|f(x+t)\| + \|f(x-t)\|}{\delta}</tex> {{---}} суммируемая, а значит, и <tex>\left\| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right\|</tex> {{---}} суммируемая. Возвращаясь к интегралу, по лемме Римана-Лебега, <tex>\int\to_{A\to\infty} 0</tex>
		+
		+	Итак, собирая всё вместе, <tex>\int\limits_\delta^{+\infty} \varphi_x(t) \frac{\sin At}t dt \to_{A\to+\infty} 0</tex>
		+
		+	Значит, для <tex>\varepsilon</tex>, <tex>\exists A_0 : \forall A > A_0 : \left\|\int\limits_\delta^{+\infty}\right\| < \varepsilon</tex>
		+
		+	Принимая это во внимание в оценке отклонения <tex>\|I(A) - s\| \le \frac2\pi \varepsilon</tex>, получается, что <tex>s = \lim\limits_{A\to+\infty} I(A)</tex>, или, <tex>s = \frac1\pi\int\limits_0^{+\infty}\left(\int\limits_{\mathbb{R}}f(t)\cos z(x-t) dt\right)dz</tex> в условиях, когда <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{\|\varphi_x(t)\|}{t} dt <+\infty</tex>
		+
		+	В частности, если, как и в рядах Фурье, в точке <tex>x</tex> существуют односторонние пределы, что если <tex>s=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>, то для этого <tex>s</tex> условия Дини выполняются, что и доказывает эту теорему.
		+	}}