Лемма Римана-Лебега - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:13:03Z

rollbackEdits.php mass rollback

94.16.121.91 в 06:00, 1 сентября 2022

2022-09-01T06:00:18Z

Андрей Шулаев в 21:32, 26 июня 2012

2012-06-26T21:32:39Z

Sementry: убрал "TODO:непонятно", сделал попонятнее

2012-06-26T12:09:44Z

убрал "TODO:непонятно", сделал попонятнее

Komarov в 00:10, 25 июня 2012

2012-06-25T00:10:07Z

Komarov в 00:02, 25 июня 2012

2012-06-25T00:02:09Z

Komarov в 23:27, 24 июня 2012

2012-06-24T23:27:22Z

Dmitriy D. в 12:19, 24 июня 2012

2012-06-24T12:19:37Z

Dmitriy D. в 12:03, 24 июня 2012

2012-06-24T12:03:52Z

Rybak в 08:17, 24 июня 2012

2012-06-24T08:17:21Z

← Предыдущая		Версия 16:13, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	[[Теорема Фейера\|<<]][[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке\|>>]]		[[Теорема Фейера\|<<]][[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке\|>>]]

← Предыдущая		Версия 06:00, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	[[Теорема Фейера\|<<]][[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке\|>>]]		[[Теорема Фейера\|<<]][[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке\|>>]]

@@ Строка 67: / Строка 67: @@
 <tex> \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x+t) \frac1{\sin \frac{t}2} (\cos \frac{t}2 \sin nt + \sin \frac{t}2 \cos nt) dt = </tex>
-<tex> = \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x +t) ctg \frac{t}2 \sin t dt + \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x + t) \cos nt dt )</tex>.
+<tex> = \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x +t) \mathrm{ctg} \frac{t}2 \sin nt dt + \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x + t) \cos nt dt )</tex>.
-Так как функции <tex> f(x+t) ctg \frac{t} 2 </tex> и <tex> f(x+t) </tex> суммируемы на <tex> (-\pi; -\delta) </tex>, то, по только что доказанной лемме, оба интеграла стремятся к нулю при <tex> n \to \infty </tex>. Аналогично поступаем с тремя остальными частями разности.
+Так как функции <tex> f(x+t) \mathrm{ctg} \frac{t} 2 </tex> и <tex> f(x+t) </tex> суммируемы на <tex> (-\pi; -\delta) </tex>, то, по только что доказанной лемме, оба интеграла стремятся к нулю при <tex> n \to \infty </tex>. Аналогично поступаем с тремя остальными частями разности.
 }}

@@ Строка 38: / Строка 38: @@
 На самом деле обе леммы равносильны.
 # Первая получается из второй, если подставить <tex>f = 0</tex> вне отрезка <tex>Q</tex>.
-# В обратную сторону: вне конечного отрезка функция стремится к нулю, а на конечном можно сжать интервал интегрирвания в <tex> [-\pi; \pi] </tex>. {{TODO|t=тут ничего не понятно}}
+# В обратную сторону: так как интеграл от модуля функции сходится, то необходимо <tex> | \int\limits_{|x| > a} f(x) \cos(px) | \le \int\limits_{|x| > a} |f(x)| \xrightarrow[a \to \infty]{} 0 </tex>. На отрезке <tex> [-a; a] </tex> можно сжать интервал интегрирования в <tex> [-\pi; \pi] </tex>.
 }}

@@ Строка 51: / Строка 51: @@
 Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
 |proof=
 <tex> S_n(f, x) = \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x+t) \frac{\sin (n+\frac12)t}{\sin \frac{t}2}dt </tex>.

@@ Строка 19: / Строка 19: @@
 <tex> = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx</tex>.
-Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1||\cos nx|dx \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1|dx = </tex>
+Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| \cdot |\cos nx|dx \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1|dx = </tex>
 <tex> = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>, то есть <tex>|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>.

@@ Строка 12: / Строка 12: @@
 Пусть <tex>T_{n-1}(f)_1</tex> {{---}} полином наилучшего приближения функции <tex>f</tex>, степени, не большей <tex>n-1</tex>, в пространстве <tex>L_1</tex>.
-Так как это сумма вида <tex>\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{m-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})</tex>, то, по свойству тригонометрических функций, выполняется:
+Так как это сумма вида <tex>\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})</tex>, то, по свойству тригонометрических функций, выполняется:
 <tex>\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1 \cos{nx}dx = 0</tex>.
@@ Строка 19: / Строка 19: @@
 <tex> = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx</tex>.
-Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1||\cos nx| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| = </tex>
+Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1||\cos nx|dx \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1|dx = </tex>
 <tex> = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>, то есть <tex>|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>.
@@ Строка 28: / Строка 28: @@
 }}
-Следует иметь в виду, что <tex>\int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|</tex> не стремится к 0, поэтому грубая оценка, что <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx</tex> ни к чему не ведет. То, что лемма Римана-Лебега была написана для <tex>2\pi</tex>-периодичных функций не имеет принципиального значения, так как на самом деле справедлив общий факт:
+Следует иметь в виду, что <tex>\int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx</tex> не стремится к 0, поэтому грубая оценка, что <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx</tex> ни к чему не ведет. То, что лемма Римана-Лебега была написана для <tex>2\pi</tex>-периодичных функций не имеет принципиального значения, так как на самом деле справедлив общий факт:
 {{Лемма
@@ Строка 36: / Строка 36: @@
 Пусть <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}|f| < +\infty</tex>, тогда <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)\cos(px) \to 0</tex> при <tex>p \to \infty</tex>.
 |proof=
 # Первая получается из второй, если подставить <tex>f = 0</tex> вне отрезка <tex>Q</tex>.
 # В обратную сторону: вне конечного отрезка функция стремится к нулю, а на конечном можно сжать интервал интегрирвания в <tex> [-\pi; \pi] </tex>.

@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 Риман-Лебег
 |statement=
-Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
+Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> коэффициенты ряда Фурье <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
 |proof=
 <tex>|a_n(f)| = \frac{1}{\pi}|\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx|</tex>.

@@ Строка 44: / Строка 44: @@
 |author=
 Риман
 |statement=
 Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.