Группы графов - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:17:43Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.86.148.90 в 05:43, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:43:08Z

Ashkroft в 17:37, 17 декабря 2016

2016-12-17T17:37:30Z

Ashkroft в 23:16, 13 декабря 2016

2016-12-13T23:16:22Z

Ashkroft в 21:43, 13 декабря 2016

2016-12-13T21:43:15Z

Ashkroft в 20:14, 13 декабря 2016

2016-12-13T20:14:50Z

Ashkroft в 23:15, 11 декабря 2016

2016-12-11T23:15:13Z

Ashkroft в 20:03, 10 декабря 2016

2016-12-10T20:03:49Z

Ashkroft в 20:02, 10 декабря 2016

2016-12-10T20:02:07Z

Ashkroft в 19:25, 10 декабря 2016

2016-12-10T19:25:24Z

← Предыдущая		Версия 16:17, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	==Вершинная и рёберная группы графов==		==Вершинная и рёберная группы графов==
	{{Определение		{{Определение

← Предыдущая		Версия 05:43, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	==Вершинная и рёберная группы графов==		==Вершинная и рёберная группы графов==
	{{Определение		{{Определение

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Определение
 |definition=
@@ Строка 38: / Строка 39: @@
 <tex> \Rightarrow </tex>
-Для доказательства необходимости предположим, что  <tex>\Gamma(G)\cong\Gamma_1(G)</tex>. Тогда из неравенства <tex>\alpha\not=i</tex>(<tex>i</tex> — тождественная подстановка) следует, что <tex>\alpha'\not=i</tex>. Если в графе <tex>G</tex> существуют две различные изолированные вершины <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex>, то можно определить подстановку <tex>\alpha\in\Gamma(G)</tex>, положив <tex>\alpha(v_1) = v_2, \alpha(v_2) = v_1, \alpha(v) = v</tex> для <tex>\forall v \not= v_1,v_2 </tex>. Тогда <tex>\alpha\not=i</tex>, но <tex>\alpha'=i</tex>. Если <tex>K_2</tex> {{---}} компонента графа <tex>G</tex>, то, записав ребро графа <tex>K_2</tex> в виде <tex>x = v_1v_2</tex> и определив подстановку <tex>\alpha\in\Gamma(g)</tex> точно так же, как выше, получим <tex>\alpha\not=i</tex>, но <tex>\alpha'=i</tex>.
+:Для доказательства необходимости предположим, что  <tex>\Gamma(G)\cong\Gamma_1(G)</tex>. Тогда из неравенства <tex>\alpha\not=i</tex>(<tex>i</tex> — тождественная подстановка) следует, что <tex>\alpha'\not=i</tex>. Если в графе <tex>G</tex> существуют две различные изолированные вершины <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex>, то можно определить подстановку <tex>\alpha\in\Gamma(G)</tex>, положив <tex>\alpha(v_1) = v_2, \alpha(v_2) = v_1, \alpha(v) = v</tex> для <tex>\forall v \not= v_1,v_2 </tex>. Тогда <tex>\alpha\not=i</tex>, но <tex>\alpha'=i</tex>. Если <tex>K_2</tex> {{---}} компонента графа <tex>G</tex>, то, записав ребро графа <tex>K_2</tex> в виде <tex>x = v_1v_2</tex> и определив подстановку <tex>\alpha\in\Gamma(g)</tex> точно так же, как выше, получим <tex>\alpha\not=i</tex>, но <tex>\alpha'=i</tex>.
 <tex> \Leftarrow </tex>
-Чтобы доказать достаточность, предположим, что граф <tex>G</tex> имеет не больше одной изолированной вершины и <tex>K_2</tex> не является его компонентой. Если группа <tex>\Gamma(G)</tex> тривиальна, то очевидно, что группа <tex>\Gamma_1(G)</tex> оставляет на месте каждое ребро и, следовательно, <tex>\Gamma_1(G)</tex> {{---}} тривиальная группа. Поэтому предположим, что существует подстановка <tex>\alpha\in\Gamma(G)</tex>, для которой <tex>\alpha(u)=v\not=u</tex>. Тогда степени вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> равны. Поскольку вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> не изолированы, их степени не равны нулю. Здесь возникает два случая.
+:Чтобы доказать достаточность, предположим, что граф <tex>G</tex> имеет не больше одной изолированной вершины и <tex>K_2</tex> не является его компонентой. Если группа <tex>\Gamma(G)</tex> тривиальна, то очевидно, что группа <tex>\Gamma_1(G)</tex> оставляет на месте каждое ребро и, следовательно, <tex>\Gamma_1(G)</tex> {{---}} тривиальная группа. Поэтому предположим, что существует подстановка <tex>\alpha\in\Gamma(G)</tex>, для которой <tex>\alpha(u)=v\not=u</tex>. Тогда степени вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> равны. Поскольку вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> не изолированы, их степени не равны нулю. Здесь возникает два случая. <tex<\par</tex>
-''Случай 1.'' Вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> смежны. Пусть <tex>x=uv</tex>. Так как <tex>K_2</tex> не является компонентой графа <tex>G</tex>, то степени обеих вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> больше единицы. Следовательно, существует такое ребро <tex>y \not= x</tex> инцидентное вершине <tex>u</tex>, что ребро <tex>\alpha'(y)</tex> инцидентно вершине <tex>v</tex>. Отсюда <tex>\alpha'(y) \not= y</tex>, и тогда <tex>\alpha'\not=i</tex>.
+:''Случай 1.'' Вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> смежны. Пусть <tex>x=uv</tex>. Так как <tex>K_2</tex> не является компонентой графа <tex>G</tex>, то степени обеих вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> больше единицы. Следовательно, существует такое ребро <tex>y \not= x</tex> инцидентное вершине <tex>u</tex>, что ребро <tex>\alpha'(y)</tex> инцидентно вершине <tex>v</tex>. Отсюда <tex>\alpha'(y) \not= y</tex>, и тогда <tex>\alpha'\not=i</tex>.
-''Случай 2.'' Вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> не смежны. Пусть <tex>x</tex> — произвольное ребро, инцидентное вершине <tex>u</tex>. Тогда <tex>\alpha'(x) \not= x</tex>, следовательно, <tex>\alpha'\not=i</tex>.
+:''Случай 2.'' Вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> не смежны. Пусть <tex>x</tex> — произвольное ребро, инцидентное вершине <tex>u</tex>. Тогда <tex>\alpha'(x) \not= x</tex>, следовательно, <tex>\alpha'\not=i</tex>.
 }}

← Предыдущая		Версия 23:16, 13 декабря 2016
Строка 25:		Строка 25:

	Понятно, что реберная и вершинная группы графа <tex>K_4 - x</tex> изоморфны. Но они, конечно, не могут быть идентичными, так как степень группы <tex>\Gamma_1 (K_4 - x) </tex> равна <tex>5</tex>, а степень группы <tex>\Gamma (K_4 - x) </tex> равна <tex>4</tex>.		Понятно, что реберная и вершинная группы графа <tex>K_4 - x</tex> изоморфны. Но они, конечно, не могут быть идентичными, так как степень группы <tex>\Gamma_1 (K_4 - x) </tex> равна <tex>5</tex>, а степень группы <tex>\Gamma (K_4 - x) </tex> равна <tex>4</tex>.
		+

	{{Теорема		{{Теорема

@@ Строка 24: / Строка 24: @@
 <tex>(x_1)(x_2)(x_3)(x_4)(x_5); (x_1x_4)(x_2x_3)(x_5); (x_1x_2)(x_3x_4)(x_5); (x_1x_3)(x_2x_4)(x_5).</tex>
-Понятно, что реберная и вершинная группы графа  <tex>K_4 - х</tex> изоморфны. Но они, конечно, не могут быть идентичными, так как степень группы <tex>\Gamma_1 (K_4 - x) </tex> равна <tex>5</tex>, а степень группы <tex>\Gamma (K_4 - x) </tex> равна <tex>4</tex>.
+Понятно, что реберная и вершинная группы графа  <tex>K_4 - x</tex> изоморфны. Но они, конечно, не могут быть идентичными, так как степень группы <tex>\Gamma_1 (K_4 - x) </tex> равна <tex>5</tex>, а степень группы <tex>\Gamma (K_4 - x) </tex> равна <tex>4</tex>.
 {{Теорема
@@ Строка 82: / Строка 82: @@
-Композиция <tex>C_3 [S_2 ] </tex> имеет степень <tex>6</tex> и порядок <tex>24</tex>. Любую подстановку из <tex>C_3 [S_2 ] </tex> можно записать в таком виде, как она действует на множестве <tex>X\times Y</tex>. Вводя опять обозначение <tex>1a</tex> для упорядоченной пары <tex>(1,a)</tex> и используя фэрмулу выше можно представить подстановку <tex>((123);(a)(b),(ab),(a)(b))</tex> в виде <tex>(1a\ 2a\ 3b\ 1b\ 2b\ 3a)</tex>. Заметим, что группа <tex>S_2 [C_3 ] </tex> имеет порядок <tex>18</tex> и поэтому не изоморфна группе <tex>C_3 [S_2 ] </tex>.
+Композиция <tex>C_3 [S_2 ] </tex> имеет степень <tex>6</tex> и порядок <tex>24</tex>. Любую подстановку из <tex>C_3 [S_2 ] </tex> можно записать в таком виде, как она действует на множестве <tex>X\times Y</tex>. Вводя опять обозначение <tex>1a</tex> для упорядоченной пары <tex>(1,a)</tex> и используя формулу выше можно представить подстановку <tex>((123);(a)(b),(ab),(a)(b))</tex> в виде <tex>(1a\ 2a\ 3b\ 1b\ 2b\ 3a)</tex>. Заметим, что группа <tex>S_2 [C_3 ] </tex> имеет порядок <tex>18</tex> и поэтому не изоморфна группе <tex>C_3 [S_2 ] </tex>.
 ===Степенная группа===

@@ Строка 64: / Строка 64: @@
-Таким образом, группа <tex>C_3 + S_2</tex> содержит <tex>6</tex> подстановок, каждую из которых можно записать в виде суммы подстановок <tex>\alpha \in C_3</tex> и <tex>\beta\in S_2</tex>, как, например, <tex>(123)(ab)=(123)+(ab)</tex>.
+Таким образом, группа <tex>C_3 + S_2</tex> содержит <tex>6</tex> подстановок, каждую из которых можно записать в виде суммы подстановок <tex>\alpha \in C_3</tex> и <tex>\beta\in S_2</tex>, как, например, <tex>(123)(ab)=(123)+(ab)</tex>. (степень равна <tex>5</tex>.)
 ===Произведение групп===
 <tex>A \times B </tex> {{---}} это группа подстановок, действующая на множестве <tex>X\times Y</tex>, элементы которой записываются в виде <tex>\alpha\times\beta</tex> и представляют собой упорядоченные пары подстановок <tex>\alpha</tex> из <tex>A</tex> и <tex>\beta</tex> из <tex>B</tex>. Элемент <tex>(x,y)</tex> множества <tex>X\times Y</tex> преобразуется подстановкой <tex>\alpha\times\beta</tex> естественным образом:
 <tex>(\alpha\times\beta)(x,y)=(\alpha x,\beta y)</tex>
-Подстановкой в группе <tex>C_3\times S_2</tex>, которая соответствует подстановке <tex>(123)+(ab)</tex> будет <tex>(1a\ 2b\ 3a\ 1b\ 2a\ 3b)</tex>, где для краткости символ <tex>(1,a)</tex> заменен на <tex>1a</tex>.
+Подстановкой в группе <tex>C_3\times S_2</tex>, которая соответствует подстановке <tex>(123)+(ab)</tex> будет <tex>(1a\ 2b\ 3a\ 1b\ 2a\ 3b)</tex>, где для краткости символ <tex>(1,a)</tex> заменен на <tex>1a</tex>. (Порядок и степень равны <tex>6</tex>.)
 ===Композиция групп===
 <tex>A[B]</tex> группы <tex>A</tex> относительно группы <tex>B</tex> также действует на множестве <tex>X\times Y</tex>. Для любой подстановки <tex>\alpha</tex> из <tex>A</tex> и любой последовательности <tex>(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_d)</tex>, содержащей <tex>d</tex> (не обязательно различных) подстановок из <tex>B</tex>, существует единственная подстановка из <tex>A[B]</tex>, которая записывается в виде <tex>(\alpha;\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_d)</tex>, такая, что для всякой пары <tex>(x_i , y_i)</tex> из <tex>X\times Y</tex> выполняется равенство
 <tex>(\alpha;\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_d)(x_i , y_j) = (\alpha x_i,\beta_i y_j).</tex>
 ===Степенная группа===
 (обозначается <tex>B^A</tex>) действует на множестве <tex>Y^X</tex> всех функций, отображающих <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>. Будем всегда предполагать, что степенная группа действует на множестве, состоящем более чем из одной функции. Для каждой пары подстановок <tex>\alpha</tex> из <tex>A</tex> и <tex>\beta</tex> из <tex>B</tex> существует единственная подстановка из <tex>B^A</tex> (записывается <tex>\beta^\alpha</tex>), которая действует на любую функцию <tex>f</tex> из <tex>Y^X</tex> в соответствии со следующим соотношением, определяющим образ каждого элемента <tex>x\in X</tex> при отображении <tex>\beta^\alpha f</tex>:
 <tex>(\beta^\alpha f)(x)=\beta f(\alpha x).</tex>
 ==См. также==

@@ Строка 49: / Строка 49: @@
 ==Операции на группах подстановок==
 ===Сумма подстановок===
 <tex>A + B</tex> {{---}} это группа подстановок, действующая на объединении <tex>X \cup Y</tex> непересекающихся множеств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> элементы которой записываются в виде <tex>\alpha + \beta</tex> и представляют собой упорядоченные пары подстановок <tex>\alpha</tex> из <tex>A</tex> и <tex>\beta</tex> из <tex>B</tex>. Каждый элемент <tex>z</tex>, принадлежащий множеству <tex>X \cup Y</tex>  преобразуется подстановкой <tex>\alpha + \beta</tex> по правилу
@@ Строка 59: / Строка 62: @@
 \end{cases}
 </tex>
 ===Произведение групп===
@@ Строка 64: / Строка 70: @@
 <tex>(\alpha\times\beta)(x,y)=(\alpha x,\beta y)</tex>
 ===Композиция групп===

@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 '''Автоморфизмом''' (англ. ''Automorphism'') графа <tex>G</tex> называется изоморфизм графа <tex>G</tex> на себя
 }}
 Каждый автоморфизм <tex>\alpha</tex> графа <tex>G</tex> есть [[:группа#Группа_подстановок|подстановка]] множества вершин <tex>V</tex>, сохраняющая смежность. Конечно, подстановка <tex>\alpha</tex> переводит любую вершину графа в вершину той же степени. Очевидно, что последовательное выполнение двух автоморфизмов есть также автоморфизм;

@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 '''Автоморфизмом''' (англ. ''Automorphism'') графа <tex>G</tex> называется изоморфизм графа <tex>G</tex> на себя
 }}
 {{Определение
 |definition=
-Каждый автоморфизм <tex>\alpha</tex> графа <tex>G</tex> есть подстановка множества вершин <tex>V</tex>, сохраняющая смежность. Конечно, [[:группа#Группа_подстановок|подстановка]] <tex>\alpha</tex> переводит любую вершину графа в вершину той же степени. Очевидно, что последовательное выполнение двух автоморфизмов есть также автоморфизм; поэтому автоморфизмы графа <tex> G </tex> образуют [[:группа#Группа_подстановок|группу подстановок]] <tex> \Gamma (G) </tex>, действующую на множестве вершин <tex>V(G)</tex>. Эту группу называют '''группой''' или иногда '''вершинной группой графа''' <tex>G</tex> (англ. ''point-group'').
+Автоморфизмы графа <tex> G </tex> образуют [[:группа#Группа_подстановок|группу подстановок]] <tex> \Gamma (G) </tex>, действующую на множестве вершин <tex>V(G)</tex>. Эту [[:группа|группу]] называют '''группой''' или иногда '''вершинной группой графа''' <tex>G</tex> (англ. ''point-group'').
 }}
@@ Строка 16: / Строка 19: @@
 [[Файл:fordm.png|right]]
-Для иллюстрации различия групп <tex>\Gamma</tex> и <tex>\Gamma_1</tex> рассмотрим граф <tex>K_4 - х</tex>, показанный на рисунке; его вершины помечены <tex>v_1 , v_2, v_3, v_4 </tex> а ребра <tex>x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 </tex>. Вершинная группа <tex>\Gamma (K_4 - x) </tex> состоит из четырех подстановок
+Для иллюстрации различия групп <tex>\Gamma</tex> и <tex>\Gamma_1</tex> рассмотрим граф <tex>K_4 - x</tex>, показанный на рисунке; его вершины помечены <tex>v_1 , v_2, v_3, v_4 </tex> а ребра <tex>x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 </tex>. Вершинная группа <tex>\Gamma (K_4 - x) </tex> состоит из четырех подстановок
 <tex>(v_1)(v_2)(v_3)(v_4); (v_1)(v_3)(v_2v_4); (v_2)(v_4)(v_1v_3); (v_1v_3)(v_2v_4).</tex>
@@ Строка 22: / Строка 25: @@
 <tex>(x_1)(x_2)(x_3)(x_4)(x_5); (x_1x_4)(x_2x_3)(x_5); (x_1x_2)(x_3x_4)(x_5); (x_1x_3)(x_2x_4)(x_5).</tex>
-Понятно, что реберная и вершинная группы графа  <tex>K_4 - х</tex> изоморфны. Но они, конечно, не могут быть идентичными, так как степень группы <tex>\Gamma_1 (K_4 - x) </tex> равна 5, а степень группы <tex>\Gamma (K_4 - x) </tex> равна 4.
+Понятно, что реберная и вершинная группы графа  <tex>K_4 - х</tex> изоморфны. Но они, конечно, не могут быть идентичными, так как степень группы <tex>\Gamma_1 (K_4 - x) </tex> равна <tex>5</tex>, а степень группы <tex>\Gamma (K_4 - x) </tex> равна <tex>4</tex>.
 {{Теорема