Вычислимые числа - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:07:42Z

rollbackEdits.php mass rollback

194.88.143.66 в 06:19, 1 сентября 2022

2022-09-01T06:19:50Z

178.252.127.225 в 19:57, 17 мая 2021

2021-05-17T19:57:00Z

178.252.127.225 в 19:19, 17 мая 2021

2021-05-17T19:19:38Z

Nursan в 20:10, 10 марта 2019

2019-03-10T20:10:12Z

AMaltsev: уменьшены дроби в индексах

2016-11-26T19:59:25Z

уменьшены дроби в индексах

AMaltsev в 19:34, 26 ноября 2016

2016-11-26T19:34:45Z

AMaltsev в 19:34, 26 ноября 2016

2016-11-26T19:34:03Z

AMaltsev в 19:33, 26 ноября 2016

2016-11-26T19:33:01Z

AMaltsev: pseudocode improvements 2

2016-11-26T18:15:16Z

pseudocode improvements 2

← Предыдущая		Версия 16:07, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	В математике натуральные, целые и рациональные числа являются конструктивными объектами, поэтому их использование в теории вычислимости не требует особых уточнений. В то же время, действительные числа, которые необходимы для применения методов математического анализа, определяются неконструктивно. Предложенный далее метод позволяет построить конструктивные объекты, во многом схожие с обычными действительными числами.		В математике натуральные, целые и рациональные числа являются конструктивными объектами, поэтому их использование в теории вычислимости не требует особых уточнений. В то же время, действительные числа, которые необходимы для применения методов математического анализа, определяются неконструктивно. Предложенный далее метод позволяет построить конструктивные объекты, во многом схожие с обычными действительными числами.

← Предыдущая		Версия 06:19, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	В математике натуральные, целые и рациональные числа являются конструктивными объектами, поэтому их использование в теории вычислимости не требует особых уточнений. В то же время, действительные числа, которые необходимы для применения методов математического анализа, определяются неконструктивно. Предложенный далее метод позволяет построить конструктивные объекты, во многом схожие с обычными действительными числами.		В математике натуральные, целые и рациональные числа являются конструктивными объектами, поэтому их использование в теории вычислимости не требует особых уточнений. В то же время, действительные числа, которые необходимы для применения методов математического анализа, определяются неконструктивно. Предложенный далее метод позволяет построить конструктивные объекты, во многом схожие с обычными действительными числами.

@@ Строка 146: / Строка 146: @@
 Пусть <tex> \alpha = \lim\limits_{n \to \infty} r_n </tex>. Запишем формально данные нам условия:
-<tex> \forall \varepsilon_1 > 0\ \forall n > (\varepsilon_1): |r(n) - \alpha| < \varepsilon_1 </tex>
+<tex> \forall \varepsilon_1 > 0\ \forall n > N(\varepsilon_1): |r(n) - \alpha| < \varepsilon_1 </tex>
 <tex> \forall n\ \forall \varepsilon_2 > 0\ |r(n) - p_n(\varepsilon_2)| < \varepsilon_2 </tex>

@@ Строка 119: / Строка 119: @@
 <tex> f_{\frac {1} {\alpha}}(\varepsilon) = f_{\alpha}(\varepsilon a a_\alpha) </tex>.
-Отсюда, <tex> \dfrac {\alpha} {\beta} = \dfrac{1} {\alpha} \beta </tex> также вычислимо.
+Отсюда, <tex> \dfrac {\alpha} {\beta} = \dfrac{1} {\beta} \alpha </tex> также вычислимо.
 }}

@@ Строка 95: / Строка 95: @@
 Для того, чтобы получить приближение для результата операции, нам нужно выразить функцию-результат через приближения для операндов.
-Заметим, что <tex> |(\alpha \pm \beta) - (a \pm b)| \le |\alpha - a| \pm |\beta - b| </tex>, для произвольных рациональных <tex> a, b </tex>, значит, в качестве необходимых функций для <tex> \alpha + \beta </tex> и <tex> \alpha - \beta </tex> можно взять
+Заметим, что <tex> |(\alpha \pm \beta) - (a \pm b)| \leqslant |\alpha - a| \pm |\beta - b| </tex>, для произвольных рациональных <tex> a, b </tex>, значит, в качестве необходимых функций для <tex> \alpha + \beta </tex> и <tex> \alpha - \beta </tex> можно взять
 <tex > f_{\alpha + \beta}(\varepsilon) = f_{\alpha}\left(\dfrac {\varepsilon} {2}\right) + f_{\beta}\left(\dfrac {\varepsilon} {2}\right) </tex>
@@ Строка 107: / Строка 107: @@
 Далее, так как
-<tex> |\alpha \beta - ab| = |(\alpha \beta - a \beta) + (a \beta - ab)| \le |\beta||\alpha - a| + |a||\beta - b| \le |b_\beta||\alpha - a| + |a||\beta - b|</tex>,
+<tex> |\alpha \beta - ab| = |(\alpha \beta - a \beta) + (a \beta - ab)| \leqslant |\beta||\alpha - a| + |a||\beta - b| \leqslant |b_\beta||\alpha - a| + |a||\beta - b|</tex>,
 где <tex>b_\beta</tex> {{---}} наименьшее рациональное число, большее <tex>\beta</tex> по модулю (т.е. <tex> b_\beta \in \mathbb Q, |b_\beta| > |\beta| </tex>), то
@@ Строка 115: / Строка 115: @@
 Убедимся в вычислимости числа <tex> \dfrac {1} {\alpha} </tex>:
-<tex> \left|\dfrac {1} {\alpha} - \dfrac{1}{a}\right| \le \dfrac {|a - \alpha|}{a a_\alpha} </tex>, где <tex> a_\alpha \in \mathbb Q, |a_\alpha| < |\alpha| </tex>.
+<tex> \left|\dfrac {1} {\alpha} - \dfrac{1}{a}\right| \leqslant \dfrac {|a - \alpha|}{a a_\alpha} </tex>, где <tex> a_\alpha \in \mathbb Q, |a_\alpha| < |\alpha| </tex>.
 <tex> f_{\frac {1} {\alpha}}(\varepsilon) = f_{\alpha}(\varepsilon a a_\alpha) </tex>.

@@ Строка 117: / Строка 117: @@
 <tex> \left|\dfrac {1} {\alpha} - \dfrac{1}{a}\right| \le \dfrac {|a - \alpha|}{a a_\alpha} </tex>, где <tex> a_\alpha \in \mathbb Q, |a_\alpha| < |\alpha| </tex>.
-<tex> f_{\dfrac {1} {\alpha}}(\varepsilon) = f_{\alpha}(\varepsilon a a_\alpha) </tex>.
+<tex> f_{\frac {1} {\alpha}}(\varepsilon) = f_{\alpha}(\varepsilon a a_\alpha) </tex>.
 Отсюда, <tex> \dfrac {\alpha} {\beta} = \dfrac{1} {\alpha} \beta </tex> также вычислимо.
@@ Строка 183: / Строка 183: @@
 : По определению <tex> \alpha </tex>, множество <tex> A = \{ a \in \mathbb Q \mid a < \alpha \} </tex> перечислимо. Кроме того, <tex> \sup A = \alpha </tex>.
-: По определению нижней грани, <tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists x_\varepsilon \in A: \varepsilon > \alpha - x_\varepsilon </tex>. Тогда можно взять, например, последовательность <tex> a_n = x_{\dfrac{1}{n}} </tex>.
+: По определению нижней грани, <tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists x_\varepsilon \in A: \varepsilon > \alpha - x_\varepsilon </tex>. Тогда можно взять, например, последовательность <tex> a_n = x_{\frac{1}{n}} </tex>.
 <tex>\Longleftarrow</tex>

@@ Строка 26: / Строка 26: @@
         '''return''' <tex>0</tex>
-<tex> \Longleftarrow </tex>:
+<tex> \Longleftarrow </tex>
 : Построим функцию <tex> a(\varepsilon) </tex>
@@ Строка 46: / Строка 46: @@
 Число <tex> \alpha </tex> вычислимо <tex>\iff</tex> последовательность знаков представляющей его двоичной записи вычислима.
 |proof=
-<tex> \Longrightarrow </tex>:
+<tex> \Longrightarrow </tex>
 : Если число <tex> \alpha </tex> {{---}} рациональное, то необходимую последовательность можно получить, воспользовавшись стандартным алгоритмом перевода числа в двоичную систему счисления. Рассмотрим случай, когда <tex> \alpha \in \mathbb R \setminus \mathbb Q </tex>.
@@ Строка 64: / Строка 64: @@
     '''return''' <tex>t</tex>
-<tex> \Longleftarrow </tex>:
+<tex> \Longleftarrow </tex>
 : Для любого рационального <tex> \varepsilon > 0 </tex>, найдем <tex> n: 2^{-n} < \varepsilon </tex>, тогда в качестве значения функции <tex> a(\varepsilon) </tex> можно взять часть последовательности знаков двоичной записи <tex> \alpha </tex> с <tex> n </tex> знаками после запятой.
 }}
@@ Строка 77: / Строка 77: @@
 Число <tex> \alpha </tex> вычислимо <tex>\iff</tex> существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к <tex> \alpha </tex>.
 |proof=
-<tex> \Longrightarrow </tex>:
+<tex> \Longrightarrow </tex>
 : Так как <tex> \alpha </tex> вычислимо, то, согласно предыдущей теореме, вычислима и его двоичная запись. Пусть <tex> r_n </tex> {{---}} часть последовательности знаков двоичной записи <tex> \alpha </tex> с <tex> n </tex> знаками после запятой. Данная последовательность вычислима, а также вычислимо сходится к <tex> \alpha </tex>, так как <tex> N(\varepsilon) = \lceil -\log_2 \varepsilon \rceil</tex>.
-<tex> \Longleftarrow </tex>:
+<tex> \Longleftarrow </tex>
 : Пусть <tex> a(\varepsilon) = r_{N(\varepsilon)} </tex>, тогда <tex> \alpha </tex> вычислимо по определению.
@@ Строка 179: / Строка 179: @@
 Число <tex> \alpha </tex> перечислимо снизу <tex>\iff</tex> существует вычислимая возрастающая последовательность рациональных чисел, пределом которой является <tex> \alpha </tex>.
 |proof=
-<tex>\Longrightarrow</tex>:
+<tex>\Longrightarrow</tex>
 : По определению <tex> \alpha </tex>, множество <tex> A = \{ a \in \mathbb Q \mid a < \alpha \} </tex> перечислимо. Кроме того, <tex> \sup A = \alpha </tex>.
@@ Строка 185: / Строка 185: @@
 : По определению нижней грани, <tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists x_\varepsilon \in A: \varepsilon > \alpha - x_\varepsilon </tex>. Тогда можно взять, например, последовательность <tex> a_n = x_{\dfrac{1}{n}} </tex>.
-<tex>\Longleftarrow</tex>:
+<tex>\Longleftarrow</tex>
 : Построим полуразрешитель для множества <tex> A </tex>:

@@ Строка 55: / Строка 55: @@
   '''function''' <tex>p(n)</tex>:
-    l = 0, r = 1
+    <tex>l = 0, r = 1 </tex>
     '''for''' <tex> k = 1</tex> '''to''' <tex>n </tex>
       <tex> m = \dfrac{l+r}{2} </tex>
       '''if''' <tex> m < \alpha</tex>
-        <tex>l = m, t =</tex> <tex>1</tex>
+        <tex>l = m, t = 1</tex>
       '''else'''
-        <tex>r = m, t =</tex> <tex>0</tex>
+        <tex>r = m, t = 0</tex>
     '''return''' <tex>t</tex>

@@ Строка 30: / Строка 30: @@
 : Построим функцию <tex> a(\varepsilon) </tex>
-  '''function''' <tex> a(\varepsilon) </tex>
+  '''function''' <tex> a(\varepsilon) </tex>:
     '''for''' <tex> x \in A </tex>
       '''if''' <tex> x + \varepsilon \notin A </tex>