Внешняя мера - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:31:02Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.100.85.24 в 04:33, 1 сентября 2022

2022-09-01T04:33:47Z

192.168.0.2 в 22:22, 7 января 2012

2012-01-07T22:22:45Z

Rybak в 20:59, 6 января 2012

2012-01-06T20:59:06Z

Dgerasimov в 04:26, 31 декабря 2011

2011-12-31T04:26:28Z

Dgerasimov в 04:23, 31 декабря 2011

2011-12-31T04:23:45Z

Dgerasimov в 05:55, 22 ноября 2011

2011-11-22T05:55:47Z

192.168.0.2: Если вы купили Ford Mondeo, не говорите об этом математикам! Им ничего не стоит пару раз шмякнуть огромной кувалдой по вашей машинке.

2011-09-26T22:35:47Z

Если вы купили Ford Mondeo, не говорите об этом математикам! Им ничего не стоит пару раз шмякнуть огромной кувалдой по вашей машинке.

Новая страница

[[Мера на полукольце множеств|<<]] [[Мера, порожденная внешней мерой|>>]]

{{Определение
|definition=
'''Внешняя мера''' на множестве <tex> X </tex> - неотрицательная функция, заданная на множестве всех подмножеств <tex> X </tex>, и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>

2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (сигма-полуаддитивность)
}}

Из свойства 2) следует, что для <tex> A \subset B \quad \mu^*(A) \le \mu^*(B) </tex> {{---}} '''монотонность''' внешней меры.

Сейчас мы произведем важное построение, которое, имея меру на полукольце, позволяет строить внешнюю меру(такая внешняя мера называется порожденной).

Пусть заданы полукольцо <tex> (X; \mathcal R) </tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:

1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.

2) Полагаем <tex> \mu^*(A) = \inf\limits_{A \subset \bigcup\limits_{n} E_n} \sum\limits_{n} m(E_n) </tex>, в противном случае, то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех возможных покрытий <tex> A </tex> из полукольца <tex> \mathcal R </tex>.

{{Теорема
|statement=
Определенная нами <tex> \mu^* </tex> является корректной внешней мерой на <tex> X </tex>, при этом, для <tex> A \in \mathcal R, \mu^*(A) = m(A) </tex>.

|proof=
Проверим аксиомы внешней меры:

1) <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex> по аксиомам полукольца, <tex> m(\varnothing) = 0 </tex> по аксиомам меры. <tex> \varnothing \subset \varnothing </tex>, то есть <tex> \varnothing </tex> является наименьшим покрытием <tex> \varnothing </tex>, и <tex> \mu^*(\varnothing) = 0 </tex>.

2) Пусть <tex> A \subset \bigcup\limits{n} A_n, A, A_n \subset X </tex>.

Возможны различные варианты:

а) Хотя бы одно из множеств <tex> A_n </tex> не покрывается элементами полукольца(пусть <tex> A_{n_0} </tex>). Тогда <tex> \mu^*(A_{n_0}) = + \infty </tex>, и требуемое неравенство всегда верно и ужасно тривиально.

б) Все <tex> A_n </tex> покрываются элементами полукольца. Тогда для любого <tex> n\ \mu^*(A_n) = \inf\limits{A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p}} \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) </tex>, где все <tex> E_{n_p} </tex> принадлежат полукольцу.

Если внешняя мера хотя бы одного из множеств <tex> A_n </tex> равна <tex> + \infty </tex>, то неравенство опять всегда верно.

В противном случае, по определению нижней грани, для <tex> \frac{\varepsilon}{2^n} </tex> подбираем покрытие <tex> A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p} </tex> так, чтобы <tex> \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) < \mu^*(A_n) + \frac{\varepsilon}{2^n} </tex>.

<tex> A \subset \bigcup\limits_{n} A_n \subset \bigcup\limits_{n}\bigcup\limits_{p} E_{n_p} </tex>
, значит,
<tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n}(\sum\limits_{p} m(E_{n_p})) \le </tex> (используя предыдущее неравенство)

<tex> \le \sum\limits_{n} (\mu^*(A_n) + \frac{\varepsilon}{2^n}) = \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon \sum\limits_{n} \frac{1}{2^n} \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon </tex>.

Итак, <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon </tex>, что при <tex> \varepsilon \rightarrow 0 </tex> дает нам нужный результат.
}}

[[Мера на полукольце множеств|<<]] [[Мера, порожденная внешней мерой|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

← Предыдущая		Версия 16:31, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	[[Мера на полукольце множеств\|<<]] [[Мера, порожденная внешней мерой\|>>]]		[[Мера на полукольце множеств\|<<]] [[Мера, порожденная внешней мерой\|>>]]

← Предыдущая		Версия 04:33, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	[[Мера на полукольце множеств\|<<]] [[Мера, порожденная внешней мерой\|>>]]		[[Мера на полукольце множеств\|<<]] [[Мера, порожденная внешней мерой\|>>]]

@@ Строка 18: / Строка 18: @@
 ) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.
-) Полагаем <tex> \mu^*(A) = \inf\limits_{A \subset \bigcup\limits_{n} E_n} \sum\limits_{n} m(E_n) </tex>, в противном случае, то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех не более чем счетных покрытий <tex> A </tex> из полукольца <tex> \mathcal R </tex>.
+) Полагаем <tex> \mu^*(A) = \inf\limits_{A \subset \bigcup\limits_{n} E_n} \sum\limits_{n} m(E_n) </tex>, в противном случае <tex>(\exists E_1, E_2, ..., E_n, ... \in R: A \subset \bigcup\limits_{n} E_n )</tex> ; то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех не более чем счетных покрытий <tex> A </tex> из полукольца <tex> \mathcal R </tex>.
 {{Теорема

@@ Строка 50: / Строка 50: @@
 }}
-Итог: <tex> (X, \mathcal R, m) \rightarrow (X, \mu^*) </tex>
+Итог: <tex> (X, \mathcal R, m) \rightarrow (X, \mu^*) </tex>, где <tex> \mu^*|_{\mathcal R} = m </tex>
 [[Мера на полукольце множеств|<<]] [[Мера, порожденная внешней мерой|>>]]
 [[Категория:Математический анализ 2 курс]]

@@ Строка 12: / Строка 12: @@
 Из свойства 2) следует, что для <tex> A \subset B \quad \mu^*(A) \le \mu^*(B) </tex> {{---}} '''монотонность''' внешней меры.
-Сейчас мы произведем важное построение, которое, имея меру на полукольце, позволяет строить внешнюю меру(такая внешняя мера называется порожденной).
+Сейчас мы произведем важное построение, которое, имея меру на полукольце, позволяет строить внешнюю меру (такая внешняя мера называется порожденной).
 Пусть заданы полукольцо <tex> (X; \mathcal R) </tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:
@@ Строка 18: / Строка 18: @@
 ) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.
-) Полагаем <tex> \mu^*(A) = \inf\limits_{A \subset \bigcup\limits_{n} E_n} \sum\limits_{n} m(E_n) </tex>, в противном случае, то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех возможных покрытий <tex> A </tex> из полукольца <tex> \mathcal R </tex>.
+) Полагаем <tex> \mu^*(A) = \inf\limits_{A \subset \bigcup\limits_{n} E_n} \sum\limits_{n} m(E_n) </tex>, в противном случае, то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех не более чем счетных покрытий <tex> A </tex> из полукольца <tex> \mathcal R </tex>.
 {{Теорема

@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 ) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>
-) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (сигма-полуаддитивность)
+) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (сигма-полуаддитивность)
 }}
@@ Строка 29: / Строка 29: @@
 ) <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex> по аксиомам полукольца, <tex> m(\varnothing) = 0 </tex> по аксиомам меры. <tex> \varnothing \subset \varnothing </tex>, то есть <tex> \varnothing </tex> является наименьшим покрытием <tex> \varnothing </tex>, и <tex> \mu^*(\varnothing) = 0 </tex>.
-) Пусть <tex> A \subset \bigcup\limits{n} A_n, A, A_n \subset X </tex>.
+) Пусть <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n, A, A_n \subset X </tex>.
 Возможны различные варианты:
@@ Строка 35: / Строка 35: @@
 а) Хотя бы одно из множеств <tex> A_n </tex> не покрывается элементами полукольца(пусть <tex> A_{n_0} </tex>). Тогда <tex> \mu^*(A_{n_0}) = + \infty </tex>, и требуемое неравенство всегда верно и ужасно тривиально.
-б) Все <tex> A_n </tex> покрываются элементами полукольца. Тогда для любого <tex> n\ \mu^*(A_n) = \inf\limits{A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p}} \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) </tex>, где все <tex> E_{n_p} </tex> принадлежат полукольцу.
+б) Все <tex> A_n </tex> покрываются элементами полукольца. Тогда для любого <tex> n\ \mu^*(A_n) = \inf\limits_{A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p}} \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) </tex>, где все <tex> E_{n_p} </tex> принадлежат полукольцу.
 Если внешняя мера хотя бы одного из множеств <tex> A_n </tex> равна <tex> + \infty </tex>, то неравенство опять всегда верно.