Алгоритм Джонсона - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:27:06Z

rollbackEdits.php mass rollback

91.212.153.123 в 04:49, 1 сентября 2022

2022-09-01T04:49:38Z

185.19.22.217 в 19:48, 13 сентября 2016

2016-09-13T19:48:15Z

185.19.22.217 в 19:25, 13 сентября 2016

2016-09-13T19:25:15Z

93.175.2.216: /* Теорема о существовании потенциальной функции */

2016-06-21T10:30:54Z

‎Теорема о существовании потенциальной функции

Qtr в 20:45, 25 января 2016

2016-01-25T20:45:21Z

Внесённые изменения

Dgerasimov: /* Сохранение кратчайших путей */

2013-11-16T08:46:21Z

‎Сохранение кратчайших путей

109.205.252.183: /* Теорема о существовании потенциальной функции */

2012-10-15T18:38:42Z

‎Теорема о существовании потенциальной функции

Dgerasimov: /* Описание */

2012-08-19T16:05:20Z

‎Описание

192.168.0.2 в 06:19, 17 января 2012

2012-01-17T06:19:28Z

← Предыдущая		Версия 16:27, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	'''Алгоритм Джонсона''' (англ. ''Johnson's algorithm'') находит кратчайшие пути между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе с любыми весами ребер, но не имеющем отрицательных циклов.		'''Алгоритм Джонсона''' (англ. ''Johnson's algorithm'') находит кратчайшие пути между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе с любыми весами ребер, но не имеющем отрицательных циклов.

← Предыдущая		Версия 04:49, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	'''Алгоритм Джонсона''' (англ. ''Johnson's algorithm'') находит кратчайшие пути между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе с любыми весами ребер, но не имеющем отрицательных циклов.		'''Алгоритм Джонсона''' (англ. ''Johnson's algorithm'') находит кратчайшие пути между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе с любыми весами ребер, но не имеющем отрицательных циклов.

@@ Строка 11: / Строка 11: @@
 Пусть <tex> \varphi : V \rightarrow \mathbb R </tex> — произвольное отображение из множества вершин в вещественные числа. Тогда новой весовой функцией будет <tex> \omega_\varphi(u, v) = \omega(u, v) + \varphi(u) - \varphi(v) </tex>.
-Такая потенциальная функция строится при помощи добавления фиктивной вершины в <tex> G </tex>, из которой проведены ребра нулевого веса во все остальные вершины и запуском [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритма Форда-Беллмана]] из нее. На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.
+Такая потенциальная функция строится добавлем фиктивной вершины <tex> s </tex> в <tex> G </tex>, из которой проведены ориентированные ребра нулевого веса во все остальные вершины графа, и запуском [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритма Форда-Беллмана]] из нее (<tex> \varphi(v) </tex> будет равно длине кратчайшего пути из <tex> s </tex> в  <tex> v </tex>). На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.
 Теперь, когда мы знаем, что веса всех ребер неотрицательны, и кратчайшие пути сохранятся, можно запустить [[Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры]] из каждой вершины и таким образом найти кратчайшие расстояния между всеми парами вершин.

@@ Строка 11: / Строка 11: @@
 Пусть <tex> \varphi : V \rightarrow \mathbb R </tex> — произвольное отображение из множества вершин в вещественные числа. Тогда новой весовой функцией будет <tex> \omega_\varphi(u, v) = \omega(u, v) + \varphi(u) - \varphi(v) </tex>.
-Такая потенциальная функция строится при помощи добавлении фиктивной вершины в <tex> G </tex>, из которой проведены ребра нулевого веса во все остальные вершины и запуском [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритма Форда-Беллмана]] из нее. На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.
+Такая потенциальная функция строится при помощи добавления фиктивной вершины в <tex> G </tex>, из которой проведены ребра нулевого веса во все остальные вершины и запуском [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритма Форда-Беллмана]] из нее. На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.
 Теперь, когда мы знаем, что веса всех ребер неотрицательны, и кратчайшие пути сохранятся, можно запустить [[Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры]] из каждой вершины и таким образом найти кратчайшие расстояния между всеми парами вершин.

@@ Строка 50: / Строка 50: @@
 <tex>\Leftarrow </tex>: Рассмотрим произвольный <tex>C</tex> — цикл в графе <tex>G</tex>
-:По лемме, его вес равен <tex> \omega(C) = \omega_\varphi(C) - \varphi(u_0) - \varphi(u_0) = \omega_\varphi(C) \geqslant 0</tex>
+:По лемме, его вес равен <tex> \omega(C) = \omega_\varphi(C) + \varphi(u_0) - \varphi(u_0) = \omega_\varphi(C) \geqslant 0</tex>
 <tex>\Rightarrow </tex>: Добавим фиктивную вершину <tex>s</tex> в граф, а также ребра <tex> s \to u </tex> весом <tex> 0 </tex> для всех <tex> u </tex>.

@@ Строка 23: / Строка 23: @@
 {{Лемма
 |statement=
-Пусть <tex>P,\; Q </tex> {{---}} 2 пути <tex> a \rightsquigarrow b\;</tex> и <tex>\omega(P) < \omega(Q).</tex> Тогда <tex>\forall \varphi: \; \omega_\varphi(P) < \omega_\varphi(Q)</tex>
+Пусть <tex>P,\; Q </tex> {{---}} два пути <tex> a \rightsquigarrow b\;</tex> и <tex>\omega(P) < \omega(Q).</tex> Тогда <tex>\forall \varphi: \; \omega_\varphi(P) < \omega_\varphi(Q)</tex>
 |proof=

@@ Строка 51: / Строка 51: @@
 |proof=
-Рассмотрим произвольный <tex>\Leftarrow </tex>: <tex>C</tex> - цикл в графе <tex>G</tex>
+<tex>\Leftarrow </tex>: Рассмотрим произвольный <tex>C</tex> - цикл в графе <tex>G</tex>
 :По лемме, его вес равен <tex> \omega(C) = \omega_\varphi(C) - \varphi(u_0) - \varphi(u_0) = \omega_\varphi(C) \ge 0</tex>

@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 }}
-Такая потенциальная функция строится при помощи добавлении фиктивной вершины в <tex> G </tex> и запуском алгоритма Форда-Беллмана из нее. На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.
+Такая потенциальная функция строится при помощи добавлении фиктивной вершины в <tex> G </tex>, из которой проведены ребра нулевого веса во все остальные вершины и запуском алгоритма Форда-Беллмана из нее. На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.
 Теперь, когда мы знаем, что веса всех ребер неотрицательны, и кратчайшие пути сохранятся, можно запустить алгоритм Дейкстры из каждой вершины и таким образом найти кратчайшие расстояния между всеми парами вершин.

@@ Строка 93: / Строка 93: @@
 == Сложность ==
-Алгоритм Джонсона работает за <tex>O(VE + VD)</tex>, где <tex>O(D)</tex> - время работы [[Алгоритм Дейкстры| алгоритма Дейкстры]]. Если в алгоритме Дейкстры неубывающая очередь с приоритетами реализована в виде [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%BA%D1%83%D1%87%D0%B0 фибоначчиевой кучи], то время работы алгоритма Джонсона равно <tex>O(V^2\log V + V E)</tex>.
+Алгоритм Джонсона работает за <tex>O(VE + VD)</tex>, где <tex>O(D)</tex> - время работы [[Алгоритм Дейкстры| алгоритма Дейкстры]]. Если в алгоритме Дейкстры неубывающая очередь с приоритетами реализована в виде [[Фибоначчиевы кучи| фибоначчиевой кучи]], то время работы алгоритма Джонсона есть <tex>O(V^2\log V + V E)</tex>.
 == См. также ==