Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Полукольца и алгебры

2012-02-02T19:54:18Z

Yonkaps:

[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Мера на полукольце множеств|>>]]

== Полукольцо ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом''', если:
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения)
# <tex> A, B \in \mathcal R, A \subset B \Rightarrow \exists D_1, \ldots, D_n, \ldots \in \mathcal R: B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing </tex> для <tex> i \ne j </tex> (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).
}}

Простой пример полукольца: <tex> X = \mathbb R, \mathcal R = \{\,[a; b) \mid a, b \in \mathbb R, a \le b\,\} </tex>.
Элементы этого полукольца называются '''ячейками'''.

Докажем теперь пару полезных утверждений для полуколец.

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> B, A_1, A_2, \ldots, A_n \in \mathcal R </tex>. Тогда <tex> B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_j = \bigcup\limits_{k} D_k, D_k \in \mathcal R, D_k </tex> дизъюнктны.
|proof=
Доказательство ведем индукцией по <tex> n </tex>. При <tex> n = 1 </tex> получаем в точности третью аксиому полукольца.

Пусть теперь утверждение выполнялось для <tex> n - 1 </tex> множества. Тогда получаем:

<tex> B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_j = ( B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n-1} A_j\ ) \setminus A_n = (\bigcup\limits_{k} D_k) \setminus A_n = \bigcup\limits_{k}(D_k \setminus A_n) = \bigcup\limits_{k}(\bigcup\limits_{j} D_{k,j}) = \bigcup\limits_{l} D_l </tex>

Очевидно, множества из получившегося объединения дизъюнктны, как и требуется, поэтому утверждение выполняется для любого <tex> n </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> B_1, B_2, \ldots, B_n, \ldots \in \mathcal R </tex>. Тогда <tex> \bigcup\limits_{n} B_n = \bigcup\limits_{k} D_k, D_k \in \mathcal R, D_k</tex> дизъюнктны.
|proof=
<tex> \bigcup\limits_{n} B_n = B_1 \cup (B_2 \setminus B_1) \cup (B_3 \setminus ( B_1 \cup B_2 )) \cup \ldots \cup (B_{n+1} \setminus (\bigcup\limits_{k=1}^n B_k)) \cup \ldots </tex>

По доказанному выше утверждению, это объединение можно записать как:

<tex> B_1 \cup (\bigcup\limits_{k_2} D_{k_2}) \cup (\bigcup\limits_{k_3} D_{k_3}) \cup \ldots = \bigcup\limits_{l} D_l </tex>
}}

== Алгебра ==

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal A </tex> — совокупность его подмножеств. <tex> \mathcal A </tex> — '''алгебра''', если:

# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
# <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex>
# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A </tex>

<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> объединения счетного числа множеств:

<tex> B_1, B_2, ... \in \mathcal A \Rightarrow \bigcup \limits_{n} B_n \in \mathcal A </tex>
}}

Из данных аксиом следует, что <tex> X = \overline \varnothing \in \mathcal A </tex> и <tex> B \cup C = \overline {\overline B \cap \overline C} \in \mathcal A </tex>, поэтому алгебра замкнута относительно любых конечных теоретико-множественных операций.

'''σ'''-алгебра замкнута относительно теоретико-множественных операций с не более, чем счетным числом объектов.

Cигма-алгебры являются частным случаем обычных алгебр, которые, в свою очередь, являются частным случаем полуколец: <tex> A \subset B, B \setminus A = B \cap \overline A \in \mathcal{A} </tex>

[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Мера на полукольце множеств|>>]]

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Полукольца и алгебры

2012-02-02T19:49:38Z

Yonkaps:

[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Мера на полукольце множеств|>>]]

== Полукольцо ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом''', если:
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения)
# <tex> A, B \in \mathcal R, A \subset B \Rightarrow \exists D_1, \ldots, D_n, \ldots \in \mathcal R: B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing </tex> для <tex> i \ne j </tex> (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).
}}

Простой пример полукольца: <tex> X = \mathbb R, \mathcal R = \{\,[a; b) \mid a, b \in \mathbb R, a \le b\,\} </tex>.
Элементы этого полукольца называются '''ячейками'''.

Докажем теперь пару полезных утверждений для полуколец.

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> B, A_1, A_2, \ldots, A_n \in \mathcal R </tex>. Тогда <tex> B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_j = \bigcup\limits_{k} D_k, D_k \in \mathcal R, D_k </tex> дизъюнктны.
|proof=
Доказательство ведем индукцией по <tex> n </tex>. При <tex> n = 1 </tex> получаем в точности третью аксиому полукольца.

Пусть теперь утверждение выполнялось для <tex> n - 1 </tex> множества. Тогда получаем:

<tex> B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_j = ( B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n-1} A_j\ ) \setminus A_n = (\bigcup\limits_{k} D_k) \setminus A_n = \bigcup\limits_{k}(D_k \setminus A_n) = \bigcup\limits_{k}(\bigcup\limits_{j} D_{k,j}) = \bigcup\limits_{l} D_l </tex>

Очевидно, множества из получившегося объединения дизъюнктны, как и требуется, поэтому утверждение выполняется для любого <tex> n </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> B_1, B_2, \ldots, B_n, \ldots \in \mathcal R </tex>. Тогда <tex> \bigcup\limits_{n} B_n = \bigcup\limits_{k} D_k, D_k \in \mathcal R, D_k</tex> дизъюнктны.
|proof=
<tex> \bigcup\limits_{n} B_n = B_1 \cup (B_2 \setminus B_1) \cup (B_3 \setminus ( B_1 \cup B_2 )) \cup \ldots \cup (B_{n+1} \setminus (\bigcup\limits_{k=1}^n B_k)) \cup \ldots </tex>

По доказанному выше утверждению, это объединение можно записать как:

<tex> B_1 \cup (\bigcup\limits_{k_2} D_{k_2}) \cup (\bigcup\limits_{k_3} D_{k_3}) \cup \ldots = \bigcup\limits_{l} D_l </tex>
}}

== Алгебра ==

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal A </tex> — совокупность его подмножеств. <tex> \mathcal A </tex> — '''алгебра''', если:

# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
# <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex>
# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A </tex>

<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> объединения счетного числа множеств:

<tex> B_1, B_2, ... \in \mathcal A \Rightarrow \cap\limits_{n} B_n \in \mathcal A </tex>
}}

Из данных аксиом следует, что <tex> X = \overline \varnothing \in \mathcal A </tex> и <tex> B \cup C = \overline {\overline B \cap \overline C} \in \mathcal A </tex>, поэтому алгебра замкнута относительно любых конечных теоретико-множественных операций.

'''σ'''-алгебра замкнута относительно теоретико-множественных операций с не более, чем счетным числом объектов.

Cигма-алгебры являются частным случаем обычных алгебр, которые, в свою очередь, являются частным случаем полуколец: <tex> A \subset B, B \setminus A = B \cap \overline A \in \mathcal{A} </tex>

[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Мера на полукольце множеств|>>]]

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Обсуждение:Процесс Каратеодори

2012-01-10T01:35:11Z

Yonkaps: /* Критерий \mu-измеримости */

== Проверено ==

Вроде все адекватно, поправил кое-какие мелочи, но лучше ещё внимательных читателей. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 08:35, 31 декабря 2011 (MSK)
: Подтверждаю, что все адекватно, снял плашку про читателей. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 03:18, 6 января 2012 (MSK)

== Следствие ==
<tex>A = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} A_n</tex>, <tex>B = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} B_n</tex> — A всегда больше , B всегда уменьшается. Так почему же из того, что <tex>A_n \subset E \subset B_n</tex> следует <tex>A \subset E \subset B</tex>? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 09:22, 31 декабря 2011 (MSK)
: Не вижу в этом никаких проблем. Объединение подмножеств какого-то множества тоже является его подмножеством, пересечение надмножеств, содержащих множество, тоже его содержит, так что здесь все корректно. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 03:18, 6 января 2012 (MSK)
:: Из твоего объяснения я ничего не понял, но подумал сам ещё раз, и понял что я был упорот =) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 03:30, 6 января 2012 (MSK)

== опечатка? ==
<tex>(X, \mathcal{R}, \mu) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex> <br>
в дальнейшем первоначальная мера называется m<br>
должно быть: <tex>(X, \mathcal{R}, m) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex>

== Полнота ==
Вроде бы, вместо <tex>\mu^*E\geq \mu^*(E\cap B) - \mu^*(E\cap\bar B)</tex> должно быть <tex>\mu^*E\geq \mu^*(E\cap B) + \mu^*(E\cap\bar B)</tex>, именно это нужно проверять для установления того, хорошо ли <tex>B</tex> разбивает <tex>E</tex>. Если с минусом, то это более слабое утверждение и вообще какой-то укур. --[[Участник:Glukos|Иван Раков]] 09:18, 6 января 2012 (MSK)
: Пофиксил, в том числе не только это, проверьте, а. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 17:36, 6 января 2012 (MSK)

== Критерий <tex>\mu</tex>-измеримости ==
а вообще не <tex>\mu</tex>* ли?

Мы нашли пару измеримых множеств, между которыми вставлено <tex>E</tex>. <tex>\mu(B\setminus A) = 0</tex>. Значит, по полноте <tex> \mu </tex>, утверждение верно.

вообще по непрерывности.

: Исправил. Вообще, мог бы и сам пофиксить. И, блин, подписывайтесь, страна должна знать своих героев! --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 02:51, 10 января 2012 (MSK)
:: Подписи нужны скорее для того, чтобы можно было понять кто - что написал. --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 04:21, 10 января 2012 (MSK)
:::"мог бы"? ну ок) в следующий раз буду сама всё фигачить, ога)--[[Участник:Yonkaps|Yonkaps]] 04:34, 10 января 2012 (MSK)

Обсуждение:Процесс Каратеодори

2012-01-10T01:34:15Z

Yonkaps: /* Критерий \mu-измеримости */

== Проверено ==

Вроде все адекватно, поправил кое-какие мелочи, но лучше ещё внимательных читателей. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 08:35, 31 декабря 2011 (MSK)
: Подтверждаю, что все адекватно, снял плашку про читателей. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 03:18, 6 января 2012 (MSK)

== Следствие ==
<tex>A = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} A_n</tex>, <tex>B = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} B_n</tex> — A всегда больше , B всегда уменьшается. Так почему же из того, что <tex>A_n \subset E \subset B_n</tex> следует <tex>A \subset E \subset B</tex>? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 09:22, 31 декабря 2011 (MSK)
: Не вижу в этом никаких проблем. Объединение подмножеств какого-то множества тоже является его подмножеством, пересечение надмножеств, содержащих множество, тоже его содержит, так что здесь все корректно. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 03:18, 6 января 2012 (MSK)
:: Из твоего объяснения я ничего не понял, но подумал сам ещё раз, и понял что я был упорот =) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 03:30, 6 января 2012 (MSK)

== опечатка? ==
<tex>(X, \mathcal{R}, \mu) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex> <br>
в дальнейшем первоначальная мера называется m<br>
должно быть: <tex>(X, \mathcal{R}, m) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex>

== Полнота ==
Вроде бы, вместо <tex>\mu^*E\geq \mu^*(E\cap B) - \mu^*(E\cap\bar B)</tex> должно быть <tex>\mu^*E\geq \mu^*(E\cap B) + \mu^*(E\cap\bar B)</tex>, именно это нужно проверять для установления того, хорошо ли <tex>B</tex> разбивает <tex>E</tex>. Если с минусом, то это более слабое утверждение и вообще какой-то укур. --[[Участник:Glukos|Иван Раков]] 09:18, 6 января 2012 (MSK)
: Пофиксил, в том числе не только это, проверьте, а. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 17:36, 6 января 2012 (MSK)

== Критерий <tex>\mu</tex>-измеримости ==
а вообще не <tex>\mu</tex>* ли?

Мы нашли пару измеримых множеств, между которыми вставлено <tex>E</tex>. <tex>\mu(B\setminus A) = 0</tex>. Значит, по полноте <tex> \mu </tex>, утверждение верно.

вообще по непрерывности.

: Исправил. Вообще, мог бы и сам пофиксить. И, блин, подписывайтесь, страна должна знать своих героев! --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 02:51, 10 января 2012 (MSK)
:: Подписи нужны скорее для того, чтобы можно было понять кто - что написал. --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 04:21, 10 января 2012 (MSK)
:::"мог бы"? ну ок)--[[Участник:Yonkaps|Yonkaps]] 04:34, 10 января 2012 (MSK)

Обсуждение:Процесс Каратеодори

2012-01-10T01:33:46Z

Yonkaps: /* Критерий \mu-измеримости */

Обсуждение:Полукольца и алгебры

2012-01-06T18:08:06Z

Yonkaps: /* Немного формализма */

== Определение полукольца ==

Тут походу должно быть что-то вроде «найдутся такие подмножества, что их дизъюнктное объединение блаблабла», из определения Додонова это вроде не очевидно. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 06:23, 21 ноября 2011 (MSK)
: Хотя в той версии, которую сделал я, создаётся ощущение что их должно быть конечное число, а это, наверное, не обязательно

== Определение алгебры ==
В третьей аксиоме, наверное, должно быть <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cup C \in \mathcal A </tex>.

И, похоже, что все-таки «Из данных аксиом следует, что <tex> X = \overline \varnothing \in \mathcal A </tex> и <tex> B \cap C = \overline {\overline B \cup \overline C} \in \mathcal A </tex>»

Плюсаните, если я прав. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 05:22, 31 декабря 2011 (MSK)

==Косяк в утверждении==
<tex> \bigcup\limits_{n} B_n = B_1 \cup (B_2 \setminus B_1) \cup (B_3 \setminus B_1) \cup \ldots \cup (B_n \setminus B_1) \cup \ldots </tex>
У меня записано, что надо
<tex> \bigcup\limits_{n} B_n = B_1 \cup (B_2 \setminus B_1) \cup (B_3 \setminus (B_1 \bigcup B_2) \cup \ldots \cup (B_n \setminus \bigcup\limits_{k = 1}^{n - 1} B_k) \cup \ldots </tex>
: Да, и вправду бред был. fixed. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 05:12, 3 января 2012 (MSK)

==И еще==
надо добавить еще, что объединение множеств тоже входит в алгебру.
<tex>B \cup C = \overline{\overline{B} \cap \overline{C}}</tex>
: Это добавлено после определения алгебры. Подписывайтесь, чтоли. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 04:38, 3 января 2012 (MSK)

==Немного формализма==
Третья аксиома в определении кольца:
3. <tex> B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n</tex>.
Возникает вопрос: объединение <tex>\bigcup\limits_n D_n</tex> счетное или конечное или не важно? Кажется мы не уточнили это на паре (в тетрадях этого вроде ни у кого не видел), но в википедии написано, что это объединение конечное. Может быть это не играет роли.
--[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 04:27, 4 января 2012 (MSK)
:: А вот непонятно, тут так же есть сигма-кольцо и обычное кольцо, отличаются счетным и конечным объединением. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 06:10, 4 января 2012 (MSK)
у меня записано, что конечное/счётное число множеств.--[[Участник:Yonkaps|Yonkaps]] 21:08, 6 января 2012 (MSK)