Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2019-01-06T12:03:10Z

Vsklamm: /* Алгоритм */

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex>, <tex>F = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> и <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>.

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I \cup s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

'''Псевдокод'''
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

'''Время работы'''

Это подразумевает, что максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex> мы можем найти за полиномиальное время (жадно наращивать независимое множество в <tex>M = M_1 \cup \ldots \cup M_k</tex>). Cunningham<ref>Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, стр.732</ref> разработал алгоритм, которым за <tex>O((n^{(3/2)} + k)mQ + n^{(1/2)}km)</tex> можно найти максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, где <tex>n</tex> максимальный размер множества в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, <tex>m</tex> размер подмножества и <tex>Q</tex> время, необходимое, чтобы определить принадлежит ли множество <tex> \mathcal{I}_j</tex> для каждого <tex>j</tex>. Более детальное объяснение алгоритма (но не время работы) можно найти у C. Greene и T.L. Magnanti<ref>C. Greene, T.L. Magnanti, Some abstract pivot algorithms, SIAM Journal on Applied Mathematics, p.530-539</ref>.

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I \cup s \in \mathcal{I} \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам графа <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, {{---}} Springer, 2004, {{---}} стр.732

[http://booksc.org/book/18618751/0b4420 C. Greene, T.L. Magnanti, Some abstract pivot algorithms, SIAM Journal on Applied Mathematics 29 (1975) 530-539]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Вершинная, рёберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины

2019-01-04T22:52:41Z

Vsklamm: /* Нахождение реберной связности */

{{Определение
|definition=
'''Вершинной связностью''' <tex>\kappa</tex> графа <tex>G</tex> (англ. ''vertex-connectivity'') называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.
}}

{{Определение
|definition=
'''Реберной связностью''' <tex>\lambda</tex> графа <tex>G</tex> (англ. ''edge-connectivity'') называется наименьшее количество ребер, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.
}}

== Связь между вершинной, реберной связностью и минимальной степенью вершины ==
Пускай минимальная степень вершины графа <tex>G</tex> обозначается буквой <tex>\delta</tex>. Тогда:
{{Теорема
|statement=
Для любого графа <tex>G</tex> справедливо следующее неравенство: <tex>\kappa \leqslant \lambda \leqslant \delta </tex>
|proof=
[[Файл:Ver_ed_coh_1.png|thumb|right|150px|Полный граф. <tex> \lambda = \delta = \kappa = 4</tex>]]
# Проверим второе неравенство. Если в графе <tex>G</tex> нет ребер, то <tex> \lambda = 0 </tex>. Если ребра есть, то несвязный граф получаем из данного, удаляя все ребра, инцидентные вершине с наименьшей степенью. В любом случае <tex> \lambda \leqslant \delta </tex>.
# Чтобы проверить первое неравенство нужно рассмотреть несколько случаев.
##Если <tex>G</tex> {{---}} несвязный или тривиальный граф, то <tex> \kappa = \lambda = 0 </tex>.
##Если <tex>G</tex> связен и имеет мост <tex>x</tex>, то <tex>\lambda = 1 </tex>. В последнем случае <tex> \kappa = 1 </tex>, поскольку или граф <tex>G</tex> имеет точку сочленения, инцидентную ребру <tex>x</tex>, или же <tex>G=K_2</tex>.
##Наконец, предположим, что граф <tex>G</tex> содержит множество из <tex> \lambda \geqslant 2 </tex> ребер, удаление которых делает его несвязным. Ясно, что удаляя <tex>\lambda - 1 </tex> ребер из этого множества получаем граф, имеющий мост <tex>x = uv</tex>. Для каждого из этих <tex>\lambda - 1 </tex> ребер выберем какую-либо инцидентную с ним вершину отличную от <tex>u</tex> и <tex>v</tex>. Удаление выбранных вершин приводит к удалению <tex>\lambda - 1 </tex> (а возможно, и большего числа) ребер. Если получаемый после такого удаления граф не связен, то <tex>\kappa \lt \lambda</tex>; если же он связен, то в нем есть мост <tex>x</tex>, и поэтому удаление вершины <tex>u</tex> или <tex>v</tex> приводит либо к несвязному, либо к тривиальному графу. В любом случае <tex> \kappa \leqslant \lambda</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Для любых натуральных чисел <tex>a, b, c</tex>, таких что <tex>a \leqslant b \leqslant c</tex>, существует граф <tex>G</tex>, у которого <tex>\kappa = a, \lambda = b</tex> и <tex>\delta = c </tex>
|proof=[[Файл:Ver_ed_coh_2.png|thumb|right|335px|Граф, в котором <tex> \delta = 4</tex>, <tex>\lambda = 3</tex>, <tex>\kappa = 2</tex>.]]
Рассмотрим граф <tex>G</tex>, являющийся объединением двух полных графов <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, содержащих <tex>c + 1</tex> вершину. Отметим <tex>b</tex> вершин, принадлежащих подграфу <tex>G_1</tex> и <tex>a</tex> вершин, принадлежащих подграфу <tex>G_2</tex>. Добавим в граф <tex>G</tex> <tex>b</tex> ребер так, чтобы каждое ребро было инцидентно помеченной вершине, лежащей в подграфе <tex>G_1</tex> и помеченной вершине, лежащей в подграфе <tex>G_2</tex>, причем не осталось ни одной помеченной вершины, у которой не появилось хотя бы одно новое ребро, инцидентное ей.
Тогда:

# Поскольку <tex>b \leqslant c</tex>, то было как минимум две непомеченные вершины, поэтому <tex> \delta = c</tex>, так как минимальные степени вершин графов <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> были равны <tex>c</tex>, а степени их вершин не уменьшались.
# Заметим, что между двумя вершинами графа <tex>G</tex> существует не меньше <tex>a</tex> вершинно-непересекающихся простых цепей, следовательно по [[теорема Менгера|теореме Менгера]] <tex>\kappa \geqslant a</tex>. Однако если удалить из графа <tex>G</tex> помеченные вершины его подграфа <tex>G_2</tex>, то граф <tex>G</tex> потеряет связность. Значит, <tex>\kappa = a</tex>.
# Аналогично рассуждению пункта 2, легко убедится, что <tex>\lambda = b</tex>.
}}

== Нахождение реберной связности ==

Для нахождения реберной связности нужно перебрать все пары вершин <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, найти количество непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> и выбрать минимум.
Пусть он равен <tex>l</tex>. По утверждению, граф является [[k-связность#def_2|<tex>l</tex>-связным]], причем такое <tex>l</tex> {{---}} максимально (ведь мы явно нашли количество путей). А значит, по определению, реберная связность равна <tex>l</tex>.

Для нахождения количества непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> воспользуемся алгоритмом нахождения максимального потока. Сопоставим каждому ребру пропускную способность, равную <tex>1</tex> и найдем максимальный [[Определение сети, потока #Определение потока |поток]] (например, [[Алгоритм Эдмондса-Карпа|алгоритм Эдмондса-Карпа]]).
Он и будет равен количеству путей. Действительно, если провести декомпозицию потока, то получим набор реберно непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>, по которым поток неотрицателен и равен <tex>1</tex> (т.к. пропускная способность всех ребер равна <tex>1</tex>). А значит, если поток равен <tex>flow</tex>, то и количество путей равно <tex>flow</tex>.

''' Псевдокод алгоритма '''
'''function''' disjoint_paths_count(): '''int'''
ans = INF
'''for''' <tex>s \in V:</tex>
'''for''' <tex>t \in V:</tex>
flow = find_max_flow(s, t) // максимальный поток {{---}} количество путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> 
ans = min(ans, flow)
'''return''' ans

'''Оценка работы'''

Время работы равно <tex>V^2 \times O(find\_max\_flow)</tex>. При использовании алгоритма Эдмондса-Карпа время равно <tex>V^2 \times O(V E^2)</tex> или <tex>O(V^3 E^2)</tex>

== Нахождение вершинной связности ==
Используя аналогичные утверждения и определения для вершинной связности придем к такому же алгоритму с тем отличием, что понадобится искать вершинно-непересекающиеся пути.
Искать их можно тем же способом, если сопоставить каждой вершине пропускную способность, равную <tex>1</tex>.
Для этого воспользуемся известным трюком:

Разобьем каждую вершину <tex>v</tex> графа на две вершины <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex>. Все ребра, которые входили в <tex>v</tex> будут входить в <tex>v_1</tex>. Все ребра, которые выходили из <tex>v</tex> будут выходить из <tex>v_2</tex>. Так же добавим ребро <tex>(v_1, v_2)</tex> с пропускной способностью <tex>1</tex>.

[[Файл:Vertex-2vertex.png|300px|left|thumb|Иллюстрация]]
 

После этого для нахождения количества вершинно непересекающихся путей в исходном графе будем искать количество реберно непересекающихся в новом графе.

Тем самым сведя задачу к нахождению реберной связности.

==См. также==

*[[Теорема Менгера]]
*[[Алгоритм Эдмондса-Карпа]]
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A0%D0%BE%D0%B1%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%81%D0%B0 Википедия {{---}} Теорема Роббинса]

==Источники информации==

* [https://stugum.files.wordpress.com/2014/03/harary-graph-theory.pdf Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. / Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 60 с.]

* [http://alleng.org/d/comp/comp384.htm Дж. Клейнберг, Е. Тардос. Алгоритмы: разработка и применение. Классика Computers Science. 2016. - 383 c.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Связность в графах]]

Вершинная, рёберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины

2019-01-04T22:52:13Z

Vsklamm: /* Нахождение реберной связности */

{{Определение
|definition=
'''Вершинной связностью''' <tex>\kappa</tex> графа <tex>G</tex> (англ. ''vertex-connectivity'') называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.
}}

{{Определение
|definition=
'''Реберной связностью''' <tex>\lambda</tex> графа <tex>G</tex> (англ. ''edge-connectivity'') называется наименьшее количество ребер, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.
}}

== Связь между вершинной, реберной связностью и минимальной степенью вершины ==
Пускай минимальная степень вершины графа <tex>G</tex> обозначается буквой <tex>\delta</tex>. Тогда:
{{Теорема
|statement=
Для любого графа <tex>G</tex> справедливо следующее неравенство: <tex>\kappa \leqslant \lambda \leqslant \delta </tex>
|proof=
[[Файл:Ver_ed_coh_1.png|thumb|right|150px|Полный граф. <tex> \lambda = \delta = \kappa = 4</tex>]]
# Проверим второе неравенство. Если в графе <tex>G</tex> нет ребер, то <tex> \lambda = 0 </tex>. Если ребра есть, то несвязный граф получаем из данного, удаляя все ребра, инцидентные вершине с наименьшей степенью. В любом случае <tex> \lambda \leqslant \delta </tex>.
# Чтобы проверить первое неравенство нужно рассмотреть несколько случаев.
##Если <tex>G</tex> {{---}} несвязный или тривиальный граф, то <tex> \kappa = \lambda = 0 </tex>.
##Если <tex>G</tex> связен и имеет мост <tex>x</tex>, то <tex>\lambda = 1 </tex>. В последнем случае <tex> \kappa = 1 </tex>, поскольку или граф <tex>G</tex> имеет точку сочленения, инцидентную ребру <tex>x</tex>, или же <tex>G=K_2</tex>.
##Наконец, предположим, что граф <tex>G</tex> содержит множество из <tex> \lambda \geqslant 2 </tex> ребер, удаление которых делает его несвязным. Ясно, что удаляя <tex>\lambda - 1 </tex> ребер из этого множества получаем граф, имеющий мост <tex>x = uv</tex>. Для каждого из этих <tex>\lambda - 1 </tex> ребер выберем какую-либо инцидентную с ним вершину отличную от <tex>u</tex> и <tex>v</tex>. Удаление выбранных вершин приводит к удалению <tex>\lambda - 1 </tex> (а возможно, и большего числа) ребер. Если получаемый после такого удаления граф не связен, то <tex>\kappa \lt \lambda</tex>; если же он связен, то в нем есть мост <tex>x</tex>, и поэтому удаление вершины <tex>u</tex> или <tex>v</tex> приводит либо к несвязному, либо к тривиальному графу. В любом случае <tex> \kappa \leqslant \lambda</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Для любых натуральных чисел <tex>a, b, c</tex>, таких что <tex>a \leqslant b \leqslant c</tex>, существует граф <tex>G</tex>, у которого <tex>\kappa = a, \lambda = b</tex> и <tex>\delta = c </tex>
|proof=[[Файл:Ver_ed_coh_2.png|thumb|right|335px|Граф, в котором <tex> \delta = 4</tex>, <tex>\lambda = 3</tex>, <tex>\kappa = 2</tex>.]]
Рассмотрим граф <tex>G</tex>, являющийся объединением двух полных графов <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, содержащих <tex>c + 1</tex> вершину. Отметим <tex>b</tex> вершин, принадлежащих подграфу <tex>G_1</tex> и <tex>a</tex> вершин, принадлежащих подграфу <tex>G_2</tex>. Добавим в граф <tex>G</tex> <tex>b</tex> ребер так, чтобы каждое ребро было инцидентно помеченной вершине, лежащей в подграфе <tex>G_1</tex> и помеченной вершине, лежащей в подграфе <tex>G_2</tex>, причем не осталось ни одной помеченной вершины, у которой не появилось хотя бы одно новое ребро, инцидентное ей.
Тогда:

# Поскольку <tex>b \leqslant c</tex>, то было как минимум две непомеченные вершины, поэтому <tex> \delta = c</tex>, так как минимальные степени вершин графов <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> были равны <tex>c</tex>, а степени их вершин не уменьшались.
# Заметим, что между двумя вершинами графа <tex>G</tex> существует не меньше <tex>a</tex> вершинно-непересекающихся простых цепей, следовательно по [[теорема Менгера|теореме Менгера]] <tex>\kappa \geqslant a</tex>. Однако если удалить из графа <tex>G</tex> помеченные вершины его подграфа <tex>G_2</tex>, то граф <tex>G</tex> потеряет связность. Значит, <tex>\kappa = a</tex>.
# Аналогично рассуждению пункта 2, легко убедится, что <tex>\lambda = b</tex>.
}}

== Нахождение реберной связности ==

Для нахождения реберной связности нужно перебрать все пары вершин <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, найти количество непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> и выбрать минимум.
Пусть он равен <tex>l</tex>. По утверждению, граф является [[k-связность#def_2|<tex>l</tex>-связным]], причем такое <tex>l</tex> {{---}} максимально (ведь мы явно нашли количество путей). А значит, по определению, реберная связность равна <tex>l</tex>.

Для нахождения количества непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> воспользуемся алгоритмом нахождения максимального потока. Сопоставим каждому ребру пропускную способность, равную <tex>1</tex> и найдем максимальный [[Определение сети, потока #Определение потока |поток]] (например, [[Алгоритм Эдмондса-Карпа|алгоритм Эдмондса-Карпа]]).
Он и будет равен количеству путей. Действительно, если провести декомпозицию потока, то получим набор реберно непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>, по которым поток неотрицателен и равен <tex>1</tex> (т.к. пропускная способность всех ребер равна <tex>1</tex>). А значит, если поток равен <tex>flow</tex>, то и количество путей равно <tex>flow</tex>.

''' Псевдокод алгоритма '''
'''function''' disjoint_paths_count(): '''int'''
ans = INF
'''for''' <tex>s \in V:</tex>
'''for''' <tex>t \in V:</tex>
flow = find_max_flow(s, t) // максимальный поток {{---}} количество путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> 
ans = min(ans, flow)
'''return''' ans

'''Оценка работы'''

Время работы равно <tex>V^2 \times O(find_max_flow)</tex>. При использовании алгоритма Эдмондса-Карпа время равно <tex>V^2 \times O(V E^2)</tex> или <tex>O(V^3 E^2)</tex>

== Нахождение вершинной связности ==
Используя аналогичные утверждения и определения для вершинной связности придем к такому же алгоритму с тем отличием, что понадобится искать вершинно-непересекающиеся пути.
Искать их можно тем же способом, если сопоставить каждой вершине пропускную способность, равную <tex>1</tex>.
Для этого воспользуемся известным трюком:

Разобьем каждую вершину <tex>v</tex> графа на две вершины <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex>. Все ребра, которые входили в <tex>v</tex> будут входить в <tex>v_1</tex>. Все ребра, которые выходили из <tex>v</tex> будут выходить из <tex>v_2</tex>. Так же добавим ребро <tex>(v_1, v_2)</tex> с пропускной способностью <tex>1</tex>.

[[Файл:Vertex-2vertex.png|300px|left|thumb|Иллюстрация]]
 

После этого для нахождения количества вершинно непересекающихся путей в исходном графе будем искать количество реберно непересекающихся в новом графе.

Тем самым сведя задачу к нахождению реберной связности.

==См. также==

*[[Теорема Менгера]]
*[[Алгоритм Эдмондса-Карпа]]
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A0%D0%BE%D0%B1%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%81%D0%B0 Википедия {{---}} Теорема Роббинса]

==Источники информации==

* [https://stugum.files.wordpress.com/2014/03/harary-graph-theory.pdf Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. / Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 60 с.]

* [http://alleng.org/d/comp/comp384.htm Дж. Клейнберг, Е. Тардос. Алгоритмы: разработка и применение. Классика Computers Science. 2016. - 383 c.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Связность в графах]]

Рёберное ядро

2019-01-04T22:42:09Z

Vsklamm: /* Критерий существования реберного ядра */

{{Определение|
definition=
'''Рёберное ядро''' (англ. ''core'') <tex>C_1(G)</tex> графа <tex>G</tex> {{---}} это подграф [[Основные определения теории графов#finite graph|графа]] <tex>G</tex>, порожденный объединением таких независимых множеств <tex>Y \subset E(G)</tex>, что <tex>|Y| = \alpha_{0}(G)</tex>, где <tex>\alpha_{0}(G)</tex> {{---}} число вершинного покрытия.
}}

{{Определение|
definition=
Множество [[Основные определения теории графов#def_graph_edge_1|ребер]] (вершин) называется '''независимым''' (англ. ''independent''), если никакие его два элемента не смежны.
}}
{{Определение
|id=def_3
|definition=
'''Вершинным покрытием''' (англ. ''vertex cover'') графа <tex>G</tex> называется такое множество <tex>V</tex> его вершин, что у любого ребра в <tex>G</tex> хотя бы одна из вершин лежит в <tex>V</tex>.
}}
{{Определение|
definition=
'''Числом вершинного покрытия''' (англ. ''point-covering number'') называется число вершин в наименьшем вершинном покрытии графа <tex>G</tex>.
}}
==Критерий существования реберного ядра==
{{Определение|
definition=
Наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> с множеством вершин <tex>V</tex> называется '''внешним''' (англ. ''external vertex cover''), если для любого подмножества <tex>M' \subseteq M</tex> выполняется неравенство <tex>|M'| \leqslant |U(M')|</tex>, где <tex>U(M') = \{v \mid \:v \in V(G) \setminus M, \: vu \in E(G), \: u \in M'\}</tex>.
}}
{{Теорема|
statement=
Для произвольного графа <tex>G</tex> следующие утверждения эквивалентны:
(1) <tex>G</tex> имеет не пустое рёберное ядро. 
(2) <tex>G</tex> имеет внешнее наименьшее вершинное покрытие.
(3) каждое наименьшее вершинное покрытие для <tex>G</tex> является внешним.
|proof=
Обозначим минимальное вершинное покрытие <tex>G</tex> как <tex>M</tex>. Пусть <tex>U = V(G) \setminus M</tex>. 
Докажем <tex>(1) \Rightarrow (3)</tex>. Предположим, что в <tex>G</tex> существует наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex>, которое не является внешним.
Это значит что <tex>\exists M' : \: M' = \{u_1, \dots, u_r \}, </tex> где <tex>r \leqslant \alpha_0(G)</tex>,
такое что <tex>|M'| > |U(M')|.</tex> Пусть <tex>U(M') = \{u_1, \dots, u_t\}, \: t < r</tex>. Так же, пусть <tex>X</tex> {{---}} максимальное независимое множество ребер в <tex>G</tex>. Поскольку никакие две вершины <tex>U</tex> не смежны, каждое ребро из <tex>X</tex> соединено, по крайней мере, с одной вершиной из <tex>M</tex>. Если какое-нибудь ребро из <tex>X</tex> соединено более чем с одной ввершиной из <tex>M</tex>, то <tex>|X| < \alpha_0(G)</tex> и <tex>C_1(G) = \varnothing </tex>. Так что будем считать, что каждое ребро из <tex>X</tex> смежно ровно с одной вершиной из <tex>M</tex>. Из этого сдедует, что <tex>|X| \leqslant t - r + \alpha_0(g) < \alpha_0(G)</tex>. И снова <tex>C_1(G) = \varnothing</tex>. 
Следствие <tex>(3) \Rightarrow (2)</tex> {{---}} очевидно. 
Докажем <tex>(2) \Rightarrow (1)</tex>.
Пусть <tex>M = \{v_1, \dots, v_s\}</tex> {{---}} наименьшее внешнее вершинное покрытие. Пусть <tex>Y_i = \{u \mid u \in U, uv_i \in E(G) \}</tex>. Тогда для любого <tex>k: \:\: 1 \leqslant k \leqslant s</tex>, объединение любых <tex>k</tex> различных множеств <tex>Y_i</tex> содержит, по меньшей мере <tex>k</tex> вершин.
Следовательно, по [[Теорема Холла|теореме о свадьбах (Холла)]], существует множество <tex>s</tex> различных вершин <tex>\{y_1, \dots, y_s\}, \: y_j \in Y_j</tex>. Следовательно существует набор независимых ребер <tex>y_1v_1, \dots, y_sv_s</tex>. А значит <tex>C_1(G)</tex> не может быть пустым.
}}
[[Файл:EdgeCore.png|thumb|500px|рис. 1. a) граф <tex>H</tex>, б) реберное ядро графа <tex>H</tex> ]]
В качестве примера рассмотрим граф <tex>H</tex> изображенный на рис. 1 а). Этот граф имеет два наименьших вершинных покрытия: <tex>M_1 = \{B, E, F\}</tex> и <tex>M_2 = \{B, E, G\}</tex>.
Пусть <tex>M_1' = M_1</tex> то <tex>U(M_1') = \{A, C, D, G\}</tex>. Пусть <tex>M_1'' = \{E, F\}</tex>. Тогда <tex>U(M_1'') =\{C, D, G\}</tex>.
Отсюда <tex>|M_1'| \leqslant |U(M_1')|</tex> и <tex>|M_1''| \leqslant |U(M_1'')|</tex>. И это верно для любого подмножества <tex>M_1</tex>. Значит, <tex>M_1</tex> {{---}} внешнее покрытие. Значит и <tex>M_2</tex> {{---}} внешнее покрытие.
 

==Реберное ядро в двудольном графе==
Здесь и далее будем рассматривать [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G</tex>, в котором обозначим <tex>S</tex> {{---}} множество вершин левой доли, <tex>T</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
{{Определение |
definition= <tex>G</tex> {{---}} '''полунесводимый граф''' (англ. ''semi-irreducible graph''), если <tex>G</tex> имеет ровно одно вершинное покрытие <tex>M</tex>, такое что или <tex>M \cap S</tex> или <tex>M \cap T</tex> {{---}} пусто
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''несводимый''' граф (англ. ''irreducible graph''), если он имеет ровно два наименьших вершинных покрытия <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>, таких что либо <tex>M_1 \cap S \cup M_2 \cap T = \varnothing </tex>, либо <tex>M_2 \cap S \cup M_1 \cap T = \varnothing</tex>
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''сводимый граф''' (англ. ''reducible graph'') если он не является ни полунесводимым, ни несводимым.
}}

{{Теорема|
id=th2|
statement=
Если оба конца ребра <tex>w \in E(G)</tex> покрыто некоторым минимальным вершинным покрытием, то <tex>w \notin C_1(G)</tex>.
|proof=
Сошлемся на теорему 3 (Theorem 3)<ref>A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn, 1958, pp. 519.</ref> аналогичного результата для двудольных графов. То же самое доказательство можно перенести на произвольный граф.
}}
{{ Утверждение
|about=Следствие 1
|statement=Eсли <tex>G</tex> имеет минимальное вершинное покрытие, которое не является независимым, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>. 
}}

{{ Утверждение
|about=Следствие 2
|id=proposal2
|statement=Если <tex>G</tex> {{---}} сводимый связный двудольный граф, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>.
}}

{{Теорема|
id=th3|
statement=
Если <tex>G</tex> имеет непустое реберное ядро, то <tex>C_1(G) \supset G</tex>, <tex>C_1(C_1(G)) = C_1(G)</tex>, а компоненты <tex>C_1(G)</tex> являются несводимыми или полунесводимыми двудольными подграфами <tex>G</tex>
}}

{{Теорема
|id=th4
|statement=
<tex>G</tex> и его реберное ядро <tex>C_1(G)</tex> совпадают тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> является двудольным и не является сводимым.
}}

=== Примеры ===
[[File:Bipartite_graph_1.png|thumb|130px|Двудольный граф <tex>G_1</tex>]]
[[File:Bipartite_graph_2.png|thumb|130px|Двудольный граф <tex>G_2</tex>]]

Рассмотрим двудольные графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, изображенные на рисунках 1 и 2. В графе <tex>G_1</tex> пусть <tex>S_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и <tex>T_1 = \{v_1, v_2, v_4, v_5, v_7 \}</tex>. Этот граф имеет единственное наименьшее вершинное покрытие <tex>M_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и, поскольку <tex>M_1 \cap T_1 = \varnothing</tex>, он полунесводимый; следовательно, он совпадает со своим рёберным ядром. В графе <tex>G_2</tex> пусть <tex>S_2 = \{u_1, u_4, u_5\}</tex> и <tex>T_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. В нём два наименьших вершинных покрытия, именно <tex>M_2 = \{u_1,u_4, u_5\}</tex> и <tex>N_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. Так как <tex>M_2 \cap T_2 = \varnothing</tex> и <tex>N_2 \cap S_2 = \varnothing</tex>, то <tex>G_2</tex> {{---}} несводимый граф и, значит, совпадает со своим рёберным ядром.
 

== См. также ==
* [[NP-полнота задачи о независимом множестве]]
* [[Теория Рамсея]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

==Примечания==
<references />

== Источники информации ==

* [https://math.dartmouth.edu/archive/m38s12/public_html/sources/Hall1935.pdf P. Hall, On representatives of subsets, Journal of the London Mathematical Society 10 (1935) pp. 26-30.]

* [https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0517-0534.pdf A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn: Coverings of bipartite graphs, Canad J. Math., (1958), 517-534.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2019-01-04T18:10:45Z

Vsklamm: /* Алгоритм */

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex>, <tex>F = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> и <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>.

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I \cup s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

'''Псевдокод'''
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

'''Время работы'''

Это подразумевает, что максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex> мы можем найти за полиномиальное время (жадно наращивать независимое множество в <tex>M = M_1 \cup \ldots \cup M_k</tex>). Cunningham<ref>Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, стр.732</ref> разработал алгоритм, которым за <tex>O((n^{(3/2)} + k)mQ + n^{(1/2)}km)</tex> можно найти максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, где <tex>n</tex> максимальный размер множества в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, <tex>m</tex> размер подмножества и <tex>Q</tex> время, необходимое, чтобы определить принадлежит ли множество <tex> \mathcal{I}_j</tex> для каждого <tex>j</tex>. Более детальное объяснение алгоритма (но не время работы) можно найти в объяснении C. Greene и T.L. Magnanti<ref>C. Greene, T.L. Magnanti, Some abstract pivot algorithms, SIAM Journal on Applied Mathematics, p.530-539</ref>.

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I \cup s \in \mathcal{I} \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам графа <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, {{---}} Springer, 2004, {{---}} стр.732

[http://booksc.org/book/18618751/0b4420 C. Greene, T.L. Magnanti, Some abstract pivot algorithms, SIAM Journal on Applied Mathematics 29 (1975) 530-539]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2019-01-04T18:09:20Z

Vsklamm: /* Алгоритм */

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex>, <tex>F = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> и <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>.

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I \cup s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

'''Псевдокод'''
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

'''Время работы'''

Это подразумевает, что максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex> мы можем найти за полиномиальное время (жадно наращивать независимое множество в <tex>M = M_1 \cup \ldots \cup M_k</tex>). Cunningham<ref>Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, стр.732</ref> разработал алгоритм, которым за <tex>O((n^{(3/2)} + k)mQ + n^{(1/2)}km)</tex> можно найти максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, где <tex>n</tex> максимальный размер множества в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, <tex>m</tex> размер подмножества и <tex>Q</tex> время, необходимое, чтобы определить принадлежит ли множество <tex> \mathcal{I}_j</tex> для каждого <tex>j</tex>. Более детальное объяснение алгоритма (но не время работы) можно найти в объяснении C. Greene и T.L. Magnanti<ref>C. Greene, T.L. Magnanti, Some abstract pivot algorithms</ref>.

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I \cup s \in \mathcal{I} \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам графа <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, {{---}} Springer, 2004, {{---}} стр.732

[http://booksc.org/book/18618751/0b4420 C. Greene, T.L. Magnanti, Some abstract pivot algorithms, SIAM Journal on Applied Mathematics 29 (1975) 530-539]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2019-01-04T18:08:08Z

Vsklamm: /* Алгоритм */

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex>, <tex>F = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> и <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>.

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I \cup s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

'''Псевдокод'''
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

'''Время работы'''

Это подразумевает, что максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex> мы можем найти за полиномиальное время (жадно наращивать независимое множество в <tex>M = M_1 \cup \ldots \cup M_k</tex>). Cunningham<ref>Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, стр.732</ref> разработал алгоритм, которым за <tex>O((n^{(3/2)} + k)mQ + n^{(1/2)}km)</tex> можно найти максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, где <tex>n</tex> максимальный размер множества в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, <tex>m</tex> размер подмножества и <tex>Q</tex> время, необходимое, чтобы определить принадлежит ли множество <tex> \mathcal{I}_j</tex> для каждого <tex>j</tex>. Более детальное объяснение алгоритма можно в объяснении C. Greene и T.L. Magnanti<ref>C. Greene, T.L. Magnanti, Some abstract pivot algorithms</ref>.

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I \cup s \in \mathcal{I} \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам графа <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, {{---}} Springer, 2004, {{---}} стр.732

[http://booksc.org/book/18618751/0b4420 C. Greene, T.L. Magnanti, Some abstract pivot algorithms, SIAM Journal on Applied Mathematics 29 (1975) 530-539]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2019-01-04T18:03:20Z

Vsklamm: /* Источники информации */

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex>, <tex>F = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> и <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>.

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I \cup s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

'''Псевдокод'''
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

'''Время работы'''

Это подразумевает, что максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex> мы можем найти за полиномиальное время (жадно наращивать независимое множество в <tex>M = M_1 \cup \ldots \cup M_k</tex>). Cunningham<ref>Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, стр.732</ref> разработал алгоритм, которым за <tex>O((n^{(3/2)} + k)mQ + n^{(1/2)}km)</tex> можно найти максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, где <tex>n</tex> максимальный размер множества в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, <tex>m</tex> размер подмножества и <tex>Q</tex> время, необходимое, чтобы определить принадлежит ли множество <tex> \mathcal{I}_j</tex> для каждого <tex>j</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I \cup s \in \mathcal{I} \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам графа <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, {{---}} Springer, 2004, {{---}} стр.732

[http://booksc.org/book/18618751/0b4420 C. Greene, T.L. Magnanti, Some abstract pivot algorithms, SIAM Journal on Applied Mathematics 29 (1975) 530-539]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2019-01-04T15:40:16Z

Vsklamm: /* Алгоритм */

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex>, <tex>F = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> и <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>.

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I \cup s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

'''Псевдокод'''
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

'''Время работы'''

Это подразумевает, что максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex> мы можем найти за полиномиальное время (жадно наращивать независимое множество в <tex>M = M_1 \cup \ldots \cup M_k</tex>). Cunningham<ref>Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, стр.732</ref> разработал алгоритм, которым за <tex>O((n^{(3/2)} + k)mQ + n^{(1/2)}km)</tex> можно найти максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, где <tex>n</tex> максимальный размер множества в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, <tex>m</tex> размер подмножества и <tex>Q</tex> время, необходимое, чтобы определить принадлежит ли множество <tex> \mathcal{I}_j</tex> для каждого <tex>j</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I \cup s \in \mathcal{I} \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам графа <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, {{---}} Springer, 2004, {{---}} стр.732

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2019-01-04T15:39:10Z

Vsklamm: /* Алгоритм */

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex>, <tex>F = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> и <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>.

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I \cup s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

'''Псевдокод'''
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

'''Время работы'''
Это подразумевает, что максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex> мы можем найти за полиномиальное время (жадно наращивать независимое множество в <tex>M = M_1 \cup \ldots \cup M_k</tex>). Cunningham<ref>Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, стр.732</ref> разработал алгоритм, которым за <tex>O((n^{(3/2)} + k)mQ + n^{(1/2)}km)</tex> можно найти максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, где <tex>n</tex> максимальный размер множества в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, <tex>m</tex> размер подмножества и <tex>Q</tex> время, необходимое, чтобы определить принадлежит ли множество <tex> \mathcal{I}_j</tex> для каждого <tex>j</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I \cup s \in \mathcal{I} \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам графа <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, {{---}} Springer, 2004, {{---}} стр.732

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Вершинная, рёберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины

2019-01-04T15:37:50Z

Vsklamm: /* Нахождение реберной связности */

{{Определение
|definition=
'''Вершинной связностью''' <tex>\kappa</tex> графа <tex>G</tex> (англ. ''vertex-connectivity'') называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.
}}

{{Определение
|definition=
'''Реберной связностью''' <tex>\lambda</tex> графа <tex>G</tex> (англ. ''edge-connectivity'') называется наименьшее количество ребер, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.
}}

== Связь между вершинной, реберной связностью и минимальной степенью вершины ==
Пускай минимальная степень вершины графа <tex>G</tex> обозначается буквой <tex>\delta</tex>. Тогда:
{{Теорема
|statement=
Для любого графа <tex>G</tex> справедливо следующее неравенство: <tex>\kappa \leqslant \lambda \leqslant \delta </tex>
|proof=
[[Файл:Ver_ed_coh_1.png|thumb|right|150px|Полный граф. <tex> \lambda = \delta = \kappa = 4</tex>]]
# Проверим второе неравенство. Если в графе <tex>G</tex> нет ребер, то <tex> \lambda = 0 </tex>. Если ребра есть, то несвязный граф получаем из данного, удаляя все ребра, инцидентные вершине с наименьшей степенью. В любом случае <tex> \lambda \leqslant \delta </tex>.
# Чтобы проверить первое неравенство нужно рассмотреть несколько случаев.
##Если <tex>G</tex> {{---}} несвязный или тривиальный граф, то <tex> \kappa = \lambda = 0 </tex>.
##Если <tex>G</tex> связен и имеет мост <tex>x</tex>, то <tex>\lambda = 1 </tex>. В последнем случае <tex> \kappa = 1 </tex>, поскольку или граф <tex>G</tex> имеет точку сочленения, инцидентную ребру <tex>x</tex>, или же <tex>G=K_2</tex>.
##Наконец, предположим, что граф <tex>G</tex> содержит множество из <tex> \lambda \geqslant 2 </tex> ребер, удаление которых делает его несвязным. Ясно, что удаляя <tex>\lambda - 1 </tex> ребер из этого множества получаем граф, имеющий мост <tex>x = uv</tex>. Для каждого из этих <tex>\lambda - 1 </tex> ребер выберем какую-либо инцидентную с ним вершину отличную от <tex>u</tex> и <tex>v</tex>. Удаление выбранных вершин приводит к удалению <tex>\lambda - 1 </tex> (а возможно, и большего числа) ребер. Если получаемый после такого удаления граф не связен, то <tex>\kappa \lt \lambda</tex>; если же он связен, то в нем есть мост <tex>x</tex>, и поэтому удаление вершины <tex>u</tex> или <tex>v</tex> приводит либо к несвязному, либо к тривиальному графу. В любом случае <tex> \kappa \leqslant \lambda</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Для любых натуральных чисел <tex>a, b, c</tex>, таких что <tex>a \leqslant b \leqslant c</tex>, существует граф <tex>G</tex>, у которого <tex>\kappa = a, \lambda = b</tex> и <tex>\delta = c </tex>
|proof=[[Файл:Ver_ed_coh_2.png|thumb|right|335px|Граф, в котором <tex> \delta = 4</tex>, <tex>\lambda = 3</tex>, <tex>\kappa = 2</tex>.]]
Рассмотрим граф <tex>G</tex>, являющийся объединением двух полных графов <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, содержащих <tex>c + 1</tex> вершину. Отметим <tex>b</tex> вершин, принадлежащих подграфу <tex>G_1</tex> и <tex>a</tex> вершин, принадлежащих подграфу <tex>G_2</tex>. Добавим в граф <tex>G</tex> <tex>b</tex> ребер так, чтобы каждое ребро было инцидентно помеченной вершине, лежащей в подграфе <tex>G_1</tex> и помеченной вершине, лежащей в подграфе <tex>G_2</tex>, причем не осталось ни одной помеченной вершины, у которой не появилось хотя бы одно новое ребро, инцидентное ей.
Тогда:

# Поскольку <tex>b \leqslant c</tex>, то было как минимум две непомеченные вершины, поэтому <tex> \delta = c</tex>, так как минимальные степени вершин графов <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> были равны <tex>c</tex>, а степени их вершин не уменьшались.
# Заметим, что между двумя вершинами графа <tex>G</tex> существует не меньше <tex>a</tex> вершинно-непересекающихся простых цепей, следовательно по [[теорема Менгера|теореме Менгера]] <tex>\kappa \geqslant a</tex>. Однако если удалить из графа <tex>G</tex> помеченные вершины его подграфа <tex>G_2</tex>, то граф <tex>G</tex> потеряет связность. Значит, <tex>\kappa = a</tex>.
# Аналогично рассуждению пункта 2, легко убедится, что <tex>\lambda = b</tex>.
}}

== Нахождение реберной связности ==

Для нахождения реберной связности нужно перебрать все пары вершин <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, найти количество непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> и выбрать минимум.
Пусть он равен <tex>l</tex>. По утверждению, граф является [[k-связность#def_2|<tex>l</tex>-связным]], причем такое <tex>l</tex> {{---}} максимально (ведь мы явно нашли количество путей). А значит, по определению, реберная связность равна <tex>l</tex>.

Для нахождения количества непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> воспользуемся алгоритмом нахождения максимального потока. Сопоставим каждому ребру пропускную способность, равную <tex>1</tex> и найдем максимальный [[Определение сети, потока #Определение потока |поток]] (например, [[Алгоритм Эдмондса-Карпа|алгоритм Эдмондса-Карпа]]).
Он и будет равен количеству путей. Действительно, если провести декомпозицию потока, то получим набор реберно непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>, по которым поток неотрицателен и равен <tex>1</tex> (т.к. пропускная способность всех ребер равна <tex>1</tex>). А значит, если поток равен <tex>flow</tex>, то и количество путей равно <tex>flow</tex>.

''' Псевдокод алгоритма '''
'''function''' disjoint_paths_count(): '''int'''
ans = INF
'''for''' <tex>s \in V:</tex>
'''for''' <tex>t \in V:</tex>
flow = find_flow(s, t) // максимальный поток {{---}} количество путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> 
ans = min(ans, flow)
'''return''' ans

'''Оценка работы'''

Время работы равно <tex>V^2 \times O(find\_flow)</tex>. При использовании алгоритма Эдмондса-Карпа время равно <tex>V^2 \times O(V E^2)</tex> или <tex>O(V^3 E^2)</tex>

== Нахождение вершинной связности ==
Используя аналогичные утверждения и определения для вершинной связности придем к такому же алгоритму с тем отличием, что понадобится искать вершинно-непересекающиеся пути.
Искать их можно тем же способом, если сопоставить каждой вершине пропускную способность, равную <tex>1</tex>.
Для этого воспользуемся известным трюком:

Разобьем каждую вершину <tex>v</tex> графа на две вершины <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex>. Все ребра, которые входили в <tex>v</tex> будут входить в <tex>v_1</tex>. Все ребра, которые выходили из <tex>v</tex> будут выходить из <tex>v_2</tex>. Так же добавим ребро <tex>(v_1, v_2)</tex> с пропускной способностью <tex>1</tex>.

[[Файл:Vertex-2vertex.png|300px|left|thumb|Иллюстрация]]
 

После этого для нахождения количества вершинно непересекающихся путей в исходном графе будем искать количество реберно непересекающихся в новом графе.

Тем самым сведя задачу к нахождению реберной связности.

==См. также==

*[[Теорема Менгера]]
*[[Алгоритм Эдмондса-Карпа]]
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A0%D0%BE%D0%B1%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%81%D0%B0 Википедия {{---}} Теорема Роббинса]

==Источники информации==

* [https://stugum.files.wordpress.com/2014/03/harary-graph-theory.pdf Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. / Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 60 с.]

* [http://alleng.org/d/comp/comp384.htm Дж. Клейнберг, Е. Тардос. Алгоритмы: разработка и применение. Классика Computers Science. 2016. - 383 c.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Связность в графах]]

Вершинная, рёберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины

2019-01-04T15:37:07Z

Vsklamm: /* Нахождение реберной связности */

{{Определение
|definition=
'''Вершинной связностью''' <tex>\kappa</tex> графа <tex>G</tex> (англ. ''vertex-connectivity'') называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.
}}

{{Определение
|definition=
'''Реберной связностью''' <tex>\lambda</tex> графа <tex>G</tex> (англ. ''edge-connectivity'') называется наименьшее количество ребер, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.
}}

== Связь между вершинной, реберной связностью и минимальной степенью вершины ==
Пускай минимальная степень вершины графа <tex>G</tex> обозначается буквой <tex>\delta</tex>. Тогда:
{{Теорема
|statement=
Для любого графа <tex>G</tex> справедливо следующее неравенство: <tex>\kappa \leqslant \lambda \leqslant \delta </tex>
|proof=
[[Файл:Ver_ed_coh_1.png|thumb|right|150px|Полный граф. <tex> \lambda = \delta = \kappa = 4</tex>]]
# Проверим второе неравенство. Если в графе <tex>G</tex> нет ребер, то <tex> \lambda = 0 </tex>. Если ребра есть, то несвязный граф получаем из данного, удаляя все ребра, инцидентные вершине с наименьшей степенью. В любом случае <tex> \lambda \leqslant \delta </tex>.
# Чтобы проверить первое неравенство нужно рассмотреть несколько случаев.
##Если <tex>G</tex> {{---}} несвязный или тривиальный граф, то <tex> \kappa = \lambda = 0 </tex>.
##Если <tex>G</tex> связен и имеет мост <tex>x</tex>, то <tex>\lambda = 1 </tex>. В последнем случае <tex> \kappa = 1 </tex>, поскольку или граф <tex>G</tex> имеет точку сочленения, инцидентную ребру <tex>x</tex>, или же <tex>G=K_2</tex>.
##Наконец, предположим, что граф <tex>G</tex> содержит множество из <tex> \lambda \geqslant 2 </tex> ребер, удаление которых делает его несвязным. Ясно, что удаляя <tex>\lambda - 1 </tex> ребер из этого множества получаем граф, имеющий мост <tex>x = uv</tex>. Для каждого из этих <tex>\lambda - 1 </tex> ребер выберем какую-либо инцидентную с ним вершину отличную от <tex>u</tex> и <tex>v</tex>. Удаление выбранных вершин приводит к удалению <tex>\lambda - 1 </tex> (а возможно, и большего числа) ребер. Если получаемый после такого удаления граф не связен, то <tex>\kappa \lt \lambda</tex>; если же он связен, то в нем есть мост <tex>x</tex>, и поэтому удаление вершины <tex>u</tex> или <tex>v</tex> приводит либо к несвязному, либо к тривиальному графу. В любом случае <tex> \kappa \leqslant \lambda</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Для любых натуральных чисел <tex>a, b, c</tex>, таких что <tex>a \leqslant b \leqslant c</tex>, существует граф <tex>G</tex>, у которого <tex>\kappa = a, \lambda = b</tex> и <tex>\delta = c </tex>
|proof=[[Файл:Ver_ed_coh_2.png|thumb|right|335px|Граф, в котором <tex> \delta = 4</tex>, <tex>\lambda = 3</tex>, <tex>\kappa = 2</tex>.]]
Рассмотрим граф <tex>G</tex>, являющийся объединением двух полных графов <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, содержащих <tex>c + 1</tex> вершину. Отметим <tex>b</tex> вершин, принадлежащих подграфу <tex>G_1</tex> и <tex>a</tex> вершин, принадлежащих подграфу <tex>G_2</tex>. Добавим в граф <tex>G</tex> <tex>b</tex> ребер так, чтобы каждое ребро было инцидентно помеченной вершине, лежащей в подграфе <tex>G_1</tex> и помеченной вершине, лежащей в подграфе <tex>G_2</tex>, причем не осталось ни одной помеченной вершины, у которой не появилось хотя бы одно новое ребро, инцидентное ей.
Тогда:

# Поскольку <tex>b \leqslant c</tex>, то было как минимум две непомеченные вершины, поэтому <tex> \delta = c</tex>, так как минимальные степени вершин графов <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> были равны <tex>c</tex>, а степени их вершин не уменьшались.
# Заметим, что между двумя вершинами графа <tex>G</tex> существует не меньше <tex>a</tex> вершинно-непересекающихся простых цепей, следовательно по [[теорема Менгера|теореме Менгера]] <tex>\kappa \geqslant a</tex>. Однако если удалить из графа <tex>G</tex> помеченные вершины его подграфа <tex>G_2</tex>, то граф <tex>G</tex> потеряет связность. Значит, <tex>\kappa = a</tex>.
# Аналогично рассуждению пункта 2, легко убедится, что <tex>\lambda = b</tex>.
}}

== Нахождение реберной связности ==

Для нахождения реберной связности нужно перебрать все пары вершин <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, найти количество непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> и выбрать минимум.
Пусть он равен <tex>l</tex>. По утверждению, граф является [[k-связность#def_2|<tex>l</tex>-связным]], причем такое <tex>l</tex> {{---}} максимально (ведь мы явно нашли количество путей). А значит, по определению, реберная связность равна <tex>l</tex>.

Для нахождения количества непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> воспользуемся алгоритмом нахождения максимального потока. Сопоставим каждому ребру пропускную способность, равную <tex>1</tex> и найдем максимальный [[Определение сети, потока #Определение потока |поток]] (например, [[Алгоритм Эдмондса-Карпа|алгоритм Эдмондса-Карпа]]).
Он и будет равен количеству путей. Действительно, если провести декомпозицию потока, то получим набор реберно непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>, по которым поток неотрицателен и равен <tex>1</tex> (т.к. пропускная способность всех ребер равна <tex>1</tex>). А значит, если поток равен <tex>flow</tex>, то и количество путей равно <tex>flow</tex>.

''' Псевдокод алгоритма '''
'''function''' disjoint_paths_count(): '''int'''
ans = INF
'''for''' <tex>s \in V:</tex>
'''for''' <tex>t \in V:</tex>
flow = find_flow(s, t) // максимальный поток {{---}} количество путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> 
ans = min(ans, flow)
'''return''' ans

'''Оценка работы'''

Время работы равно <tex>V^2 \times O(find\_flow)</tex>. При использовании [[Алоритм Эдмондса-Карпа|алгоритма Эдмондса-Карпа]] время равно <tex>V^2 \times O(V E^2)</tex> или <tex>O(V^3 E^2)</tex>

== Нахождение вершинной связности ==
Используя аналогичные утверждения и определения для вершинной связности придем к такому же алгоритму с тем отличием, что понадобится искать вершинно-непересекающиеся пути.
Искать их можно тем же способом, если сопоставить каждой вершине пропускную способность, равную <tex>1</tex>.
Для этого воспользуемся известным трюком:

Разобьем каждую вершину <tex>v</tex> графа на две вершины <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex>. Все ребра, которые входили в <tex>v</tex> будут входить в <tex>v_1</tex>. Все ребра, которые выходили из <tex>v</tex> будут выходить из <tex>v_2</tex>. Так же добавим ребро <tex>(v_1, v_2)</tex> с пропускной способностью <tex>1</tex>.

[[Файл:Vertex-2vertex.png|300px|left|thumb|Иллюстрация]]
 

После этого для нахождения количества вершинно непересекающихся путей в исходном графе будем искать количество реберно непересекающихся в новом графе.

Тем самым сведя задачу к нахождению реберной связности.

==См. также==

*[[Теорема Менгера]]
*[[Алгоритм Эдмондса-Карпа]]
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A0%D0%BE%D0%B1%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%81%D0%B0 Википедия {{---}} Теорема Роббинса]

==Источники информации==

* [https://stugum.files.wordpress.com/2014/03/harary-graph-theory.pdf Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. / Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 60 с.]

* [http://alleng.org/d/comp/comp384.htm Дж. Клейнберг, Е. Тардос. Алгоритмы: разработка и применение. Классика Computers Science. 2016. - 383 c.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Связность в графах]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T18:18:53Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex>, <tex>F = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> и <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>.

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I \cup s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I \cup s \in \mathcal{I} \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам графа <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T18:17:44Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex>, <tex>F = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> и <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>.

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I \cup s \in \mathcal{I} \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам графа <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T18:17:15Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex>, <tex>F = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> и <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>.

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I \cup {{s}} \in \mathcal{I} \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам графа <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T18:16:42Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex>, <tex>F = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> и <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>.

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I \cup {s} \in \mathcal{I} \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам графа <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T18:15:31Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex>, <tex>F = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> и <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>.

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I \cup s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T18:12:45Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex>, <tex>F = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> и <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>.

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T18:09:02Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex> которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex> . Или формально:

<tex>F_i = \{ s \in S \setminus I_i : I_i + s \in \mathcal{I}_i \}</tex> . <tex>F = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T18:03:00Z

Vsklamm: /* Псевдокод */

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex> которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex> . Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex> . <tex>F = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T17:58:42Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex> которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex> . Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex> . <tex>F = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + x \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + x</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T17:52:30Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество вершин из <tex>S_i \setminus I_i</tex>, которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex> . Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex> . <tex>F = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + x \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + x</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T17:27:44Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Наивный жадный алгоритм не работает, потому что неясно, как проверять множество на независимость в <tex>M</tex>. Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество вершин из <tex>S_i \setminus I_i</tex>, которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex> . Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex> . <tex>F = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + x \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + x</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T15:50:45Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество вершин из <tex>S_i \setminus I_i</tex>, которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex> . Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex> . <tex>F = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + x \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + x</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T15:46:31Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>, где <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, такой что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество вершин из <tex>S_i \setminus I_i</tex>, которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex> . Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex> . <tex>F = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + x \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + x</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T15:38:50Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = \langle S,\mathcal{I} \rangle = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = \langle S,\mathcal{I}_i \rangle</tex>
}}

== Алгоритм ==

Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>, где <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, такой что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество вершин из <tex>S_i \setminus I_i</tex>, которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex> . Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex> . <tex>F = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + x \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + x</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T15:37:50Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = \langle S,\mathcal{I} \rangle = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = \langle S,\mathcal{I}_i \rangle</tex>
}}

== Алгоритм ==

Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>, где <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, такой что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество вершин из <tex>S_i \setminus I_i</tex>, которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex> . Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex> . <tex>F = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + x \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + x</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T15:37:26Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\dots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = \langle S,\mathcal{I} \rangle = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = \langle S,\mathcal{I}_i \rangle</tex>
}}

== Алгоритм ==

Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>, где <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, такой что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество вершин из <tex>S_i \setminus I_i</tex>, которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex> . Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex> . <tex>F = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + x \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + x</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T15:36:38Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex> Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = \langle S,\mathcal{I} \rangle = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = \langle S,\mathcal{I}_i \rangle</tex>
}}

== Алгоритм ==

Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>, где <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, такой что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество вершин из <tex>S_i \setminus I_i</tex>, которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex> . Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex> . <tex>F = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + x \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + x</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-12T15:35:34Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldotsk</tex> с <tex>I_i \ I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex> Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = \langle S,\mathcal{I} \rangle = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = \langle S,\mathcal{I}_i \rangle</tex>
}}

== Алгоритм ==

Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>, где <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, такой что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество вершин из <tex>S_i \setminus I_i</tex>, которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex> . Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex> . <tex>F = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + x \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + x</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-11T19:37:07Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = \langle S, \mathcal{I}_1 \rangle</tex> и <tex>M_2 = \langle S, \mathcal{I}_2 \rangle</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = \langle S,\mathcal{I} \rangle = \bigcup\limits_{k=1}^{2}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = \langle S,\mathcal{I}_i \rangle</tex>
}}

== Алгоритм ==

Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>, где <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, такой что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество вершин из <tex>S_i \setminus I_i</tex>, которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex> . Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex> . <tex>F = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + x \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + x</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Теорема о циклах

2018-12-05T01:23:45Z

Vsklamm:

{{Определение
|definition=
'''Циклом''' (англ. ''circuit'') в матроиде называется множество, не являющееся независимым, каждое подмножество которого является независимым.
}}

{{Теорема
|about=
о циклах
|statement=
Пусть <tex>M</tex> {{---}} матроид и <tex>\mathfrak{C}</tex> {{---}} семейство его циклов. Тогда:
# <tex>\varnothing \notin \mathfrak{C}</tex>
# Если <tex>C_1, C_2 \in \mathfrak{C}</tex> и <tex>C_1 \ne C_2</tex>, то <tex>C_1 \nsubseteq C_2</tex> и <tex>C_2 \nsubseteq C_1</tex>
# Если <tex>C_1, C_2 \in \mathfrak{C}, C_1 \ne C_2</tex> и <tex>p \in C_1 \cap C_2</tex>, то существует <tex>C \in \mathfrak{C}</tex> такой, что <tex>C \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p.</tex>
|proof=
# Из [[Определение матроида|определения матроида]] (первой аксиомы) <tex>\varnothing \in I</tex>, где <tex>I</tex> {{---}} семейство независимых множеств матроида <tex>M</tex>. Откуда <tex>\varnothing \notin \mathfrak{C}</tex>.
# От противного. Из определения цикла: если <tex>C_1 \subset C_2</tex>, то <tex>C_1 \in I</tex>. Значит <tex>C_1 \notin \mathfrak{C}</tex>. Противоречие. Аналогично <tex>C_2 \nsubseteq C_1</tex>.
# От противного. Пусть <tex>D = (C_1 \cup C_2) \setminus p</tex> независимо.
#: Обозначим <tex>A = C_1 \cap C_2</tex>. Покажем, что <tex>|A| < |D|</tex>. Из предыдущего пункта очевидным образом следует, что <tex>|C_1 \setminus C_2| > 0</tex> и <tex>|C_2 \setminus C_1| > 0</tex>.
#: <tex>|D| = |C_1 \setminus C_2| + |C_2 \setminus C_1| + |A| - 1 \geqslant |A| + 1 + 1 - 1 = |A| + 1 > |A|.</tex>
#: Отсюда путем многократного применения третьей аксиомы матроидов получим <tex>\exists B: A \subset B</tex> и <tex>|B| = |D|</tex>, причем <tex>B</tex> {{---}} независимо.
#: Поскольку <tex>C_1</tex> {{---}} цикл, <tex>C_1 \nsubseteq B</tex>. Значит, найдется хотя бы один элемент в <tex>C_1 \setminus A</tex>, не лежащий в <tex>B</tex>. Следовательно в <tex>B</tex> лежит не более чем <tex>|C_1 \setminus A| - 1</tex> элементов из этого множества. Аналогично в <tex>B</tex> лежит не более чем <tex>|C_2 \setminus A| - 1</tex> элементов из множества <tex>C_2 \setminus A</tex> .
#: Получаем: <tex>|B| \leqslant |A| + |C_1 \setminus A| - 1 + |C_2 \setminus A| - 1 = |C_1 \cup C_2| - 2 = |D| - 1</tex> . А поскольку <tex>|B| = |D|</tex> получаем противоречие.
}}

==См. также==
* [[Определение матроида]]
* [[Примеры матроидов]]

== Источники информации ==
* [[wikipedia:en:Matroid#Bases_and_circuits | Wikipedia {{---}} Matroid]]
* [[wikipedia:ru:Матроид#Аксиоматическое определение | Википедия {{---}} Матроид]]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Основные факты теории матроидов]]

Теорема о циклах

2018-12-05T01:23:04Z

Vsklamm:

{{Определение
|definition=
'''Циклом''' (англ. ''circuit'') в матроиде называется множество, не являющееся независимым, каждое подмножество которого является независимым.
}}

{{Теорема
|about=
о циклах
|statement=
Пусть <tex>M</tex> {{---}} матроид и <tex>\mathfrak{C}</tex> {{---}} семейство его циклов. Тогда:
# <tex>\varnothing \notin \mathfrak{C}</tex>
# Если <tex>C_1, C_2 \in \mathfrak{C}</tex> и <tex>C_1 \ne C_2</tex>, то <tex>C_1 \nsubseteq C_2</tex> и <tex>C_2 \nsubseteq C_1</tex>
# Если <tex>C_1, C_2 \in \mathfrak{C}, C_1 \ne C_2</tex> и <tex>p \in C_1 \cap C_2</tex>, то существует <tex>C \in \mathfrak{C}</tex> такой, что <tex>C \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p.</tex>
|proof=
# Из [[Определение матроида|определения матроида]] (первой аксиомы) <tex>\varnothing \in I</tex>, где <tex>I</tex> {{---}} семейство независимых множеств матроида <tex>M</tex>. Откуда <tex>\varnothing \notin \mathfrak{C}</tex>.
# От противного. Из определения цикла: если <tex>C_1 \subset C_2</tex>, то <tex>C_1 \in I</tex>. Значит <tex>C_1 \notin \mathfrak{C}</tex>. Противоречие. Аналогично <tex>C_2 \nsubseteq C_1</tex>.
# От противного. Пусть <tex>D = (C_1 \cup C_2) \setminus p</tex> независимо.
#: Обозначим <tex>A = C_1 \cap C_2</tex>. Покажем, что <tex>|A| < |D|</tex>. Из предыдущего пункта очевидным образом следует, что <tex>|C_1 \setminus C_2| > 0</tex> и <tex>|C_2 \setminus C_1| > 0</tex>.
#: <tex>|D| = |C_1 \setminus C_2| + |C_2 \setminus C_1| + |A| - 1 \geqslant |A| + 1 + 1 - 1 = |A| + 1 > |A|.</tex>
#: Отсюда путем многократного применения третьей аксиомы матроидов получим <tex>\exists B: A \subset B</tex> и <tex>|B| = |D|</tex>, причем <tex>B</tex> {{---}} независимо.
#: Поскольку <tex>C_1</tex> {{---}} цикл, <tex>C_1 \nsubseteq B</tex>. Значит, найдется хотя бы один элемент в <tex>C_1 \setminus A</tex>, не лежащий в <tex>B</tex>. Следовательно в <tex>B</tex> лежит не более чем <tex>|C_1 \setminus A| - 1</tex> элементов из этого множества. Аналогично в <tex>B</tex> лежит не более чем <tex>|C_2 \setminus A| - 1</tex> элементов из множества <tex>C_2 \setminus A</tex>.
#: Получаем: <tex>|B| \leqslant |A| + |C_1 \setminus A| - 1 + |C_2 \setminus A| - 1 = |C_1 \cup C_2| - 2 = |D| - 1</tex> . А поскольку <tex>|B| = |D|</tex> получаем противоречие.
}}

==См. также==
* [[Определение матроида]]
* [[Примеры матроидов]]

== Источники информации ==
* [[wikipedia:en:Matroid#Bases_and_circuits | Wikipedia {{---}} Matroid]]
* [[wikipedia:ru:Матроид#Аксиоматическое определение | Википедия {{---}} Матроид]]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Основные факты теории матроидов]]

Теорема о циклах

2018-12-05T01:22:39Z

Vsklamm:

{{Определение
|definition=
'''Циклом''' (англ. ''circuit'') в матроиде называется множество, не являющееся независимым, каждое подмножество которого является независимым.
}}

{{Теорема
|about=
о циклах
|statement=
Пусть <tex>M</tex> {{---}} матроид и <tex>\mathfrak{C}</tex> {{---}} семейство его циклов. Тогда:
# <tex>\varnothing \notin \mathfrak{C}</tex>
# Если <tex>C_1, C_2 \in \mathfrak{C}</tex> и <tex>C_1 \ne C_2</tex>, то <tex>C_1 \nsubseteq C_2</tex> и <tex>C_2 \nsubseteq C_1</tex>
# Если <tex>C_1, C_2 \in \mathfrak{C}, C_1 \ne C_2</tex> и <tex>p \in C_1 \cap C_2</tex>, то существует <tex>C \in \mathfrak{C}</tex> такой, что <tex>C \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p.</tex>
|proof=
# Из [[Определение матроида|определения матроида]] (первой аксиомы) <tex>\varnothing \in I</tex>, где <tex>I</tex> {{---}} семейство независимых множеств матроида <tex>M</tex>. Откуда <tex>\varnothing \notin \mathfrak{C}</tex>.
# От противного. Из определения цикла: если <tex>C_1 \subset C_2</tex>, то <tex>C_1 \in I</tex>. Значит <tex>C_1 \notin \mathfrak{C}</tex>. Противоречие. Аналогично <tex>C_2 \nsubseteq C_1</tex>.
# От противного. Пусть <tex>D = (C_1 \cup C_2) \setminus p</tex> независимо.
#: Обозначим <tex>A = C_1 \cap C_2</tex>. Покажем, что <tex>|A| < |D|</tex>. Из предыдущего пункта очевидным образом следует, что <tex>|C_1 \setminus C_2| > 0</tex> и <tex>|C_2 \setminus C_1| > 0</tex>.
#: <tex>|D| = |C_1 \setminus C_2| + |C_2 \setminus C_1| + |A| - 1 \geqslant |A| + 1 + 1 - 1 = |A| + 1 > |A|.</tex>
#: Отсюда путем многократного применения третьей аксиомы матроидов получим <tex>\exists B: A \subset B</tex> и <tex>|B| = |D|</tex>, причем <tex>B</tex> {{---}} независимо.
#: Поскольку <tex>C_1</tex> {{---}} цикл, <tex>C_1 \nsubseteq B</tex>. Значит, найдется хотя бы один элемент в <tex>C_1 \setminus A</tex>, не лежащий в <tex>B</tex>. Следовательно в <tex>B</tex> лежит не более чем <tex>|C_1 \setminus A| - 1</tex> элементов из этого множества. Аналогично в <tex>B</tex> лежит не более чем <tex>|C_2 \setminus A| - 1</tex> элементов из множества <tex>C_2 \setminus A</tex>.
#: Получаем: <tex>|B| \leqslant |A| + |C_1 \setminus A| - 1 + |C_2 \setminus A| - 1 = |C_1 \cup C_2| - 2 = |D| - 1</tex>. А поскольку <tex>|B| = |D|</tex> получаем противоречие.
}}

==См. также==
* [[Определение матроида]]
* [[Примеры матроидов]]

== Источники информации ==
* [[wikipedia:en:Matroid#Bases_and_circuits | Wikipedia {{---}} Matroid]]
* [[wikipedia:ru:Матроид#Аксиоматическое определение | Википедия {{---}} Матроид]]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Основные факты теории матроидов]]

Рёберное ядро

2018-11-09T09:49:14Z

Vsklamm: /* Реберное ядро в двудольном графе */

{{Определение|
definition=
'''Рёберное ядро''' (англ. ''core'') <tex>C_1(G)</tex> графа <tex>G</tex> {{---}} это подграф [[Основные определения теории графов#finite graph|графа]] <tex>G</tex>, порожденный объединением таких независимых множеств <tex>Y \subset E(G)</tex>, что <tex>|Y| = \alpha_{0}(G)</tex>, где <tex>\alpha_{0}(G)</tex> {{---}} число вершинного покрытия.
}}

{{Определение|
definition=
Множество [[Основные определения теории графов#def_graph_edge_1|ребер]] (вершин) называется '''независимым''' (англ. ''independent''), если никакие его два элемента не смежны.
}}
{{Определение
|id=def_3
|definition=
'''Вершинным покрытием''' (англ. ''vertex cover'') графа <tex>G</tex> называется такое множество <tex>V</tex> его вершин, что у любого ребра в <tex>G</tex> хотя бы одна из вершин лежит в <tex>V</tex>.
}}
{{Определение|
definition=
'''Числом вершинного покрытия''' (англ. ''point-covering number'') называется число вершин в наименьшем вершинном покрытии графа <tex>G</tex>.
}}
==Критерий существования реберного ядра==
{{Определение|
definition=
Наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> с множеством вершин <tex>V</tex> называется '''внешним''' (англ. ''external vertex cover''), если для любого подмножества <tex>M' \subseteq M</tex> выполняется неравенство <tex>|M'| \leqslant |U(M')|</tex>, где <tex>U(M') = \{v \mid \:v \in V(G) \setminus M, \: vu \in E(G), \: u \in M'\}</tex>.
}}
{{Теорема|
statement=
Для произвольного графа <tex>G</tex> следующие утверждения эквивалентны:
(1) <tex>G</tex> имеет не пустое рёберное ядро. 
(2) <tex>G</tex> имеет внешнее наименьшее вершинное покрытие.
(3) каждое наименьшее вершинное покрытие для <tex>G</tex> является внешним.
|proof=
Обозначим минимальное вершинное покрытие <tex>G</tex> как <tex>M</tex>. Пусть <tex>U = V(G) \setminus M</tex>. 
Докажем <tex>(1) \Rightarrow (3)</tex>. Предположим, что в <tex>G</tex> существует наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex>, которое не является внешним.
Это значит что <tex>\exists M' : \: M' = \{u_1, \dots, u_r \}, </tex> где <tex>r \leqslant \alpha_0(G)</tex>,
такое что <tex>|M'| > |U(M')|.</tex> Пусть <tex>U(M') = \{u_1, \dots, u_t\}, \: t < r</tex>. Так же, пусть <tex>X</tex> {{---}} максимальное независимое множество ребер в <tex>G</tex>. Поскольку никакие две вершины <tex>U</tex> не смежны, каждое ребро из <tex>X</tex> соединено, по крайней мере, с одной вершиной из <tex>M</tex>. Если какое-нибудь ребро из <tex>X</tex> соединено более чем с одной ввершиной из <tex>M</tex>, то <tex>|X| < \alpha_0(G)</tex> и <tex>C_1(G) = \varnothing </tex>. Так что будем считать, что каждое ребро из <tex>X</tex> смежно ровно с одной вершиной из <tex>M</tex>. Из этого сдедует, что <tex>|X| \leqslant t - r + \alpha_0(g) < \alpha_0(G)</tex>. И снова <tex>C_1(G) = \varnothing</tex>. 
Следствие <tex>(3) \Rightarrow (2)</tex> {{---}} очевидно. 
Докажем <tex>(2) \Rightarrow (1)</tex>.
Пусть <tex>M = \{v_1, \dots, v_s\}</tex> {{---}} наименьшее внешнее вершинное покрытие. Пусть <tex>Y_i = \{u \mid u \in U, uv_i \in E(G) \}</tex>. Тогда для любого <tex>k: \:\: 1 \leqslant k \leqslant s</tex>, объединение любых <tex>k</tex> различных множеств <tex>Y_i</tex> содержит, по меньшей мере <tex>k</tex> вершин.
Следовательно, по теореме Холла<ref>Hall, 1935, pp. 26-30.</ref>, существует множество <tex>s</tex> различных вершин <tex>\{y_1, \dots, y_s\}, \: y_j \in Y_j</tex>. Следовательно существует набор независимых ребер <tex>y_1v_1, \dots, y_sv_s</tex>. А значит <tex>C_1(G)</tex> не может быть пустым.
}}
[[Файл:EdgeCore.png|thumb|500px|рис. 1. a) граф <tex>H</tex>, б) реберное ядро графа <tex>H</tex> ]]
В качестве примера рассмотрим граф <tex>H</tex> изображенный на рис. 1 а). Этот граф имеет два наименьших вершинных покрытия: <tex>M_1 = \{B, E, F\}</tex> и <tex>M_2 = \{B, E, G\}</tex>.
Пусть <tex>M_1' = M_1</tex> то <tex>U(M_1') = \{A, C, D, G\}</tex>. Пусть <tex>M_1'' = \{E, F\}</tex>. Тогда <tex>U(M_1'') =\{C, D, G\}</tex>.
Отсюда <tex>|M_1'| \leqslant |U(M_1')|</tex> и <tex>|M_1''| \leqslant |U(M_1'')|</tex>. И это верно для любого подмножества <tex>M_1</tex>. Значит, <tex>M_1</tex> {{---}} внешнее покрытие. Значит и <tex>M_2</tex> {{---}} внешнее покрытие.
 

==Реберное ядро в двудольном графе==
Здесь и далее будем рассматривать [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G</tex>, в котором обозначим <tex>S</tex> {{---}} множество вершин левой доли, <tex>T</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
{{Определение |
definition= <tex>G</tex> {{---}} '''полунесводимый граф''' (англ. ''semi-irreducible graph''), если <tex>G</tex> имеет ровно одно вершинное покрытие <tex>M</tex>, такое что или <tex>M \cap S</tex> или <tex>M \cap T</tex> {{---}} пусто
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''несводимый''' граф (англ. ''irreducible graph''), если он имеет ровно два наименьших вершинных покрытия <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>, таких что либо <tex>M_1 \cap S \cup M_2 \cap T = \varnothing </tex>, либо <tex>M_2 \cap S \cup M_1 \cap T = \varnothing</tex>
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''сводимый граф''' (англ. ''reducible graph'') если он не является ни полунесводимым, ни несводимым.
}}

{{Теорема|
id=th2|
statement=
Если оба конца ребра <tex>w \in E(G)</tex> покрыто некоторым минимальным вершинным покрытием, то <tex>w \notin C_1(G)</tex>.
|proof=
Сошлемся на теорему 3 (Theorem 3)<ref>A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn, 1958, pp. 519.</ref> аналогичного результата для двудольных графов. То же самое доказательство можно перенести на произвольный граф.
}}
{{ Утверждение
|about=Следствие 1
|statement=Eсли <tex>G</tex> имеет минимальное вершинное покрытие, которое не является независимым, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>. 
}}

{{ Утверждение
|about=Следствие 2
|id=proposal2
|statement=Если <tex>G</tex> {{---}} сводимый связный двудольный граф, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>.
}}

{{Теорема|
id=th3|
statement=
Если <tex>G</tex> имеет непустое реберное ядро, то <tex>C_1(G) \supset G</tex>, <tex>C_1(C_1(G)) = C_1(G)</tex>, а компоненты <tex>C_1(G)</tex> являются несводимыми или полунесводимыми двудольными подграфами <tex>G</tex>
}}

{{Теорема
|id=th4
|statement=
<tex>G</tex> и его реберное ядро <tex>C_1(G)</tex> совпадают тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> является двудольным и не является сводимым.
}}

=== Примеры ===
[[File:Bipartite_graph_1.png|thumb|130px|Двудольный граф <tex>G_1</tex>]]
[[File:Bipartite_graph_2.png|thumb|130px|Двудольный граф <tex>G_2</tex>]]

Рассмотрим двудольные графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, изображенные на рисунках 1 и 2. В графе <tex>G_1</tex> пусть <tex>S_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и <tex>T_1 = \{v_1, v_2, v_4, v_5, v_7 \}</tex>. Этот граф имеет единственное наименьшее вершинное покрытие <tex>M_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и, поскольку <tex>M_1 \cap T_1 = \varnothing</tex>, он полунесводимый; следовательно, он совпадает со своим рёберным ядром. В графе <tex>G_2</tex> пусть <tex>S_2 = \{u_1, u_4, u_5\}</tex> и <tex>T_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. В нём два наименьших вершинных покрытия, именно <tex>M_2 = \{u_1,u_4, u_5\}</tex> и <tex>N_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. Так как <tex>M_2 \cap T_2 = \varnothing</tex> и <tex>N_2 \cap S_2 = \varnothing</tex>, то <tex>G_2</tex> {{---}} несводимый граф и, значит, совпадает со своим рёберным ядром.
 

== См. также ==
* [[NP-полнота задачи о независимом множестве]]
* [[Теория Рамсея]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

==Примечания==
<references />

== Источники информации ==

* [https://math.dartmouth.edu/archive/m38s12/public_html/sources/Hall1935.pdf P. Hall, On representatives of subsets, Journal of the London Mathematical Society 10 (1935) pp. 26-30.]

* [https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0517-0534.pdf A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn: Coverings of bipartite graphs, Canad J. Math., (1958), 517-534.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-11-09T08:56:23Z

Vsklamm:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = \langle S, \mathcal{I}_1 \rangle</tex> и <tex>M_2 = \langle S, \mathcal{I}_2 \rangle</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = \langle S,\mathcal{I} \rangle = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = \langle S,\mathcal{I}_i \rangle</tex>
}}

== Алгоритм ==

Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>, где <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, такой что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество вершин из <tex>S_i \setminus I_i</tex>, которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex> . Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex> . <tex>F = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + x \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + x</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-11-09T08:46:19Z

Vsklamm: /* Алгоритм */

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = \langle S, \mathcal{I}_1 \rangle</tex> и <tex>M_2 = \langle S, \mathcal{I}_2 \rangle</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M</tex> = <tex>\langle S,\mathcal{I} \rangle</tex> = <tex>\bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i</tex> = <tex>\langle S,\mathcal{I}_i \rangle</tex>
}}

== Алгоритм ==

Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>, где <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, такой что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество вершин из <tex>S_i \setminus I_i</tex>, которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex>. Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex>. <tex>F</tex> = <tex>\bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex>. Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + x \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + x</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + s \in J \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \le r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex>. Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \le (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \le |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Рёберное ядро

2018-11-09T08:35:15Z

Vsklamm: /* Реберное ядро в двудольном графе */

{{Определение|
definition=
'''Рёберное ядро''' (англ. ''core'') <tex>C_1(G)</tex> графа <tex>G</tex> {{---}} это подграф [[Основные определения теории графов#finite graph|графа]] <tex>G</tex>, порожденный объединением таких независимых множеств <tex>Y \subset E(G)</tex>, что <tex>|Y| = \alpha_{0}(G)</tex>, где <tex>\alpha_{0}(G)</tex> {{---}} число вершинного покрытия.
}}

{{Определение|
definition=
Множество [[Основные определения теории графов#def_graph_edge_1|ребер]] (вершин) называется '''независимым''' (англ. ''independent''), если никакие его два элемента не смежны.
}}
{{Определение
|id=def_3
|definition=
'''Вершинным покрытием''' (англ. ''vertex cover'') графа <tex>G</tex> называется такое множество <tex>V</tex> его вершин, что у любого ребра в <tex>G</tex> хотя бы одна из вершин лежит в <tex>V</tex>.
}}
{{Определение|
definition=
'''Числом вершинного покрытия''' (англ. ''point-covering number'') называется число вершин в наименьшем вершинном покрытии графа <tex>G</tex>.
}}
==Критерий существования реберного ядра==
{{Определение|
definition=
Наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> с множеством вершин <tex>V</tex> называется '''внешним''' (англ. ''external vertex cover''), если для любого подмножества <tex>M' \subseteq M</tex> выполняется неравенство <tex>|M'| \leqslant |U(M')|</tex>, где <tex>U(M') = \{v \mid \:v \in V(G) \setminus M, \: vu \in E(G), \: u \in M'\}</tex>.
}}
{{Теорема|
statement=
Для произвольного графа <tex>G</tex> следующие утверждения эквивалентны:
(1) <tex>G</tex> имеет не пустое рёберное ядро. 
(2) <tex>G</tex> имеет внешнее наименьшее вершинное покрытие.
(3) каждое наименьшее вершинное покрытие для <tex>G</tex> является внешним.
|proof=
Обозначим минимальное вершинное покрытие <tex>G</tex> как <tex>M</tex>. Пусть <tex>U = V(G) \setminus M</tex>. 
Докажем <tex>(1) \Rightarrow (3)</tex>. Предположим, что в <tex>G</tex> существует наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex>, которое не является внешним.
Это значит что <tex>\exists M' : \: M' = \{u_1, \dots, u_r \}, </tex> где <tex>r \leqslant \alpha_0(G)</tex>,
такое что <tex>|M'| > |U(M')|.</tex> Пусть <tex>U(M') = \{u_1, \dots, u_t\}, \: t < r</tex>. Так же, пусть <tex>X</tex> {{---}} максимальное независимое множество ребер в <tex>G</tex>. Поскольку никакие две вершины <tex>U</tex> не смежны, каждое ребро из <tex>X</tex> соединено, по крайней мере, с одной вершиной из <tex>M</tex>. Если какое-нибудь ребро из <tex>X</tex> соединено более чем с одной ввершиной из <tex>M</tex>, то <tex>|X| < \alpha_0(G)</tex> и <tex>C_1(G) = \varnothing </tex>. Так что будем считать, что каждое ребро из <tex>X</tex> смежно ровно с одной вершиной из <tex>M</tex>. Из этого сдедует, что <tex>|X| \leqslant t - r + \alpha_0(g) < \alpha_0(G)</tex>. И снова <tex>C_1(G) = \varnothing</tex>. 
Следствие <tex>(3) \Rightarrow (2)</tex> {{---}} очевидно. 
Докажем <tex>(2) \Rightarrow (1)</tex>.
Пусть <tex>M = \{v_1, \dots, v_s\}</tex> {{---}} наименьшее внешнее вершинное покрытие. Пусть <tex>Y_i = \{u \mid u \in U, uv_i \in E(G) \}</tex>. Тогда для любого <tex>k: \:\: 1 \leqslant k \leqslant s</tex>, объединение любых <tex>k</tex> различных множеств <tex>Y_i</tex> содержит, по меньшей мере <tex>k</tex> вершин.
Следовательно, по теореме Холла<ref>Hall, 1935, pp. 26-30.</ref>, существует множество <tex>s</tex> различных вершин <tex>\{y_1, \dots, y_s\}, \: y_j \in Y_j</tex>. Следовательно существует набор независимых ребер <tex>y_1v_1, \dots, y_sv_s</tex>. А значит <tex>C_1(G)</tex> не может быть пустым.
}}
[[Файл:EdgeCore.png|thumb|500px|рис. 1. a) граф <tex>H</tex>, б) реберное ядро графа <tex>H</tex> ]]
В качестве примера рассмотрим граф <tex>H</tex> изображенный на рис. 1 а). Этот граф имеет два наименьших вершинных покрытия: <tex>M_1 = \{B, E, F\}</tex> и <tex>M_2 = \{B, E, G\}</tex>.
Пусть <tex>M_1' = M_1</tex> то <tex>U(M_1') = \{A, C, D, G\}</tex>. Пусть <tex>M_1'' = \{E, F\}</tex>. Тогда <tex>U(M_1'') =\{C, D, G\}</tex>.
Отсюда <tex>|M_1'| \leqslant |U(M_1')|</tex> и <tex>|M_1''| \leqslant |U(M_1'')|</tex>. И это верно для любого подмножества <tex>M_1</tex>. Значит, <tex>M_1</tex> {{---}} внешнее покрытие. Значит и <tex>M_2</tex> {{---}} внешнее покрытие.
 

==Реберное ядро в двудольном графе==
Здесь и далее будем рассматривать [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G</tex>, в котором обозначим <tex>S</tex> {{---}} множество вершин левой доли, <tex>T</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
{{Определение |
definition= <tex>G</tex> {{---}} '''полунесводимый граф''' (англ. ''semi-irreducible graph''), если <tex>G</tex> имеет ровно одно вершинное покрытие <tex>M</tex>, такое что или <tex>M \cap S</tex> или <tex>M \cap T</tex> {{---}} пусто
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''несводимый''' граф (англ. ''irreducible graph''), если он имеет ровно два наименьших вершинных покрытия <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>, таких что либо <tex>M_1 \cap S \cup M_2 \cap T = \varnothing </tex>, либо <tex>M_2 \cap S \cup M_1 \cap T = \varnothing</tex>
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''сводимый граф''' (англ. ''reducible graph'') если он не является ни полунесводимым, ни несводимым.
}}

{{Теорема|
id=th2|
statement=
Если оба конца ребра <tex>w \in E(G)</tex> покрыто некоторым минимальным вершинным покрытием, то <tex>w \notin C_1(G)</tex>.
|proof=
Сошлемся на теорему <tex>(3)</tex> аналогичного результата<ref>A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn, 1958, pp. 517-534.</ref> для двудольных графов. То же самое доказательство можно перенести на произвольный граф.
}}
{{ Утверждение
|about=Следствие 1
|statement=Eсли <tex>G</tex> имеет минимальное вершинное покрытие, которое не является независимым, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>. 
}}

{{ Утверждение
|about=Следствие 2
|id=proposal2
|statement=Если <tex>G</tex> {{---}} сводимый связный двудольный граф, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>.
}}

{{Теорема|
id=th3|
statement=
Если <tex>G</tex> имеет непустое реберное ядро, то <tex>C_1(G) \supset G</tex>, <tex>C_1(C_1(G)) = C_1(G)</tex>, а компоненты <tex>C_1(G)</tex> являются несводимыми или полунесводимыми двудольными подграфами <tex>G</tex>
}}

{{Теорема
|id=th4
|statement=
<tex>G</tex> и его реберное ядро <tex>C_1(G)</tex> совпадают тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> является двудольным и не является сводимым.
}}

=== Примеры ===
[[File:Bipartite_graph_1.png|thumb|130px|Двудольный граф <tex>G_1</tex>]]
[[File:Bipartite_graph_2.png|thumb|130px|Двудольный граф <tex>G_2</tex>]]

Рассмотрим двудольные графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, изображенные на рисунках 1 и 2. В графе <tex>G_1</tex> пусть <tex>S_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и <tex>T_1 = \{v_1, v_2, v_4, v_5, v_7 \}</tex>. Этот граф имеет единственное наименьшее вершинное покрытие <tex>M_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и, поскольку <tex>M_1 \cap T_1 = \varnothing</tex>, он полунесводимый; следовательно, он совпадает со своим рёберным ядром. В графе <tex>G_2</tex> пусть <tex>S_2 = \{u_1, u_4, u_5\}</tex> и <tex>T_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. В нём два наименьших вершинных покрытия, именно <tex>M_2 = \{u_1,u_4, u_5\}</tex> и <tex>N_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. Так как <tex>M_2 \cap T_2 = \varnothing</tex> и <tex>N_2 \cap S_2 = \varnothing</tex>, то <tex>G_2</tex> {{---}} несводимый граф и, значит, совпадает со своим рёберным ядром.
 

== См. также ==
* [[NP-полнота задачи о независимом множестве]]
* [[Теория Рамсея]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

==Примечания==
<references />

== Источники информации ==

* [https://math.dartmouth.edu/archive/m38s12/public_html/sources/Hall1935.pdf P. Hall, On representatives of subsets, Journal of the London Mathematical Society 10 (1935) pp. 26-30.]

* [https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0517-0534.pdf A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn: Coverings of bipartite graphs, Canad J. Math., (1958), 517-534.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Рёберное ядро

2018-11-03T06:10:52Z

Vsklamm: /* Примеры */

{{Определение|
definition=
'''Рёберное ядро''' (англ. ''core'') <tex>C_1(G)</tex> графа <tex>G</tex> {{---}} это подграф [[Основные определения теории графов#finite graph|графа]] <tex>G</tex>, порожденный объединением таких независимых множеств <tex>Y \subset E(G)</tex>, что <tex>|Y| = \alpha_{0}(G)</tex>, где <tex>\alpha_{0}(G)</tex> {{---}} число вершинного покрытия.
}}

{{Определение|
definition=
Множество [[Основные определения теории графов#def_graph_edge_1|ребер]] (вершин) называется '''независимым''' (англ. ''independent''), если никакие его два элемента не смежны.
}}
{{Определение
|id=def_3
|definition=
'''Вершинным покрытием''' (англ. ''vertex cover'') графа <tex>G</tex> называется такое множество <tex>V</tex> его вершин, что у любого ребра в <tex>G</tex> хотя бы одна из вершин лежит в <tex>V</tex>.
}}
{{Определение|
definition=
'''Числом вершинного покрытия''' (англ. ''point-covering number'') называется число вершин в наименьшем вершинном покрытии графа <tex>G</tex>.
}}
==Критерий существования реберного ядра==
{{Определение|
definition=
Наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> с множеством вершин <tex>V</tex> называется '''внешним''' (англ. ''external vertex cover''), если для любого подмножества <tex>M' \subseteq M</tex> выполняется неравенство <tex>|M'| \leqslant |U(M')|</tex>, где <tex>U(M') = \{v \mid \:v \in V(G) \setminus M, \: vu \in E(G), \: u \in M'\}</tex>.
}}
{{Теорема|
statement=
Для произвольного графа <tex>G</tex> следующие утверждения эквивалентны:
(1) <tex>G</tex> имеет не пустое рёберное ядро. 
(2) <tex>G</tex> имеет внешнее наименьшее вершинное покрытие.
(3) каждое наименьшее вершинное покрытие для <tex>G</tex> является внешним.
|proof=
Обозначим минимальное вершинное покрытие <tex>G</tex> как <tex>M</tex>. Пусть <tex>U = V(G) \setminus M</tex>. 
Докажем <tex>(1) \Rightarrow (3)</tex>. Предположим, что в <tex>G</tex> существует наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex>, которое не является внешним.
Это значит что <tex>\exists M' : \: M' = \{u_1, \dots, u_r \}, </tex> где <tex>r \leqslant \alpha_0(G)</tex>,
такое что <tex>|M'| > |U(M')|.</tex> Пусть <tex>U(M') = \{u_1, \dots, u_t\}, \: t < r</tex>. Так же, пусть <tex>X</tex> {{---}} максимальное независимое множество ребер в <tex>G</tex>. Поскольку никакие две вершины <tex>U</tex> не смежны, каждое ребро из <tex>X</tex> соединено, по крайней мере, с одной вершиной из <tex>M</tex>. Если какое-нибудь ребро из <tex>X</tex> соединено более чем с одной ввершиной из <tex>M</tex>, то <tex>|X| < \alpha_0(G)</tex> и <tex>C_1(G) = \varnothing </tex>. Так что будем считать, что каждое ребро из <tex>X</tex> смежно ровно с одной вершиной из <tex>M</tex>. Из этого сдедует, что <tex>|X| \leqslant t - r + \alpha_0(g) < \alpha_0(G)</tex>. И снова <tex>C_1(G) = \varnothing</tex>. 
Следствие <tex>(3) \Rightarrow (2)</tex> {{---}} очевидно. 
Докажем <tex>(2) \Rightarrow (1)</tex>.
Пусть <tex>M = \{v_1, \dots, v_s\}</tex> {{---}} наименьшее внешнее вершинное покрытие. Пусть <tex>Y_i = \{u \mid u \in U, uv_i \in E(G) \}</tex>. Тогда для любого <tex>k: \:\: 1 \leqslant k \leqslant s</tex>, объединение любых <tex>k</tex> различных множеств <tex>Y_i</tex> содержит, по меньшей мере <tex>k</tex> вершин.
Следовательно, по теореме Холла<ref>Hall, 1935, pp. 26-30.</ref>, существует множество <tex>s</tex> различных вершин <tex>\{y_1, \dots, y_s\}, \: y_j \in Y_j</tex>. Следовательно существует набор независимых ребер <tex>y_1v_1, \dots, y_sv_s</tex>. А значит <tex>C_1(G)</tex> не может быть пустым.
}}
[[Файл:EdgeCore.png|thumb|500px|рис. 1. a) граф <tex>H</tex>, б) реберное ядро графа <tex>H</tex> ]]
В качестве примера рассмотрим граф <tex>H</tex> изображенный на рис. 1 а). Этот граф имеет два наименьших вершинных покрытия: <tex>M_1 = \{B, E, F\}</tex> и <tex>M_2 = \{B, E, G\}</tex>.
Пусть <tex>M_1' = M_1</tex> то <tex>U(M_1') = \{A, C, D, G\}</tex>. Пусть <tex>M_1'' = \{E, F\}</tex>. Тогда <tex>U(M_1'') =\{C, D, G\}</tex>.
Отсюда <tex>|M_1'| \leqslant |U(M_1')|</tex> и <tex>|M_1''| \leqslant |U(M_1'')|</tex>. И это верно для любого подмножества <tex>M_1</tex>. Значит, <tex>M_1</tex> {{---}} внешнее покрытие. Значит и <tex>M_2</tex> {{---}} внешнее покрытие.
 

==Реберное ядро в двудольном графе==
Здесь и далее будем рассматривать [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G</tex>, в котором обозначим <tex>S</tex> {{---}} множество вершин левой доли, <tex>T</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
{{Определение |
definition= <tex>G</tex> {{---}} '''полунесводимый граф''' (англ. ''semi-irreducible graph''), если <tex>G</tex> имеет ровно одно вершинное покрытие <tex>M</tex>, такое что или <tex>M \cap S</tex> или <tex>M \cap T</tex> {{---}} пусто
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''несводимый''' граф (англ. ''irreducible graph''), если он имеет ровно два наименьших вершинных покрытия <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>, таких что либо <tex>M_1 \cap S \cup M_2 \cap T = \varnothing </tex>, либо <tex>M_2 \cap S \cup M_1 \cap T = \varnothing</tex>
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''сводимый граф''' (англ. ''reducible graph'') если он не является ни полунесводимым, ни сводимым.
}}

{{Теорема|
id=th2|
statement=
Если оба конца ребра <tex>w \in E(G)</tex> покрыто некоторым минимальным вершинным покрытием, то <tex>w \notin C_1(G)</tex>.
|proof=
Сошлемся на теорему <tex>(3)</tex> аналогичного результата<ref>A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn, 1958, pp. 517-534.</ref> для двудольных графов. То же самое доказательство можно перенести на произвольный граф.
}}
{{ Утверждение
|about=Следствие 1
|statement=Eсли <tex>G</tex> имеет минимальное вершинное покрытие, которое не является независимым, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>. 
}}

{{ Утверждение
|about=Следствие 2
|id=proposal2
|statement=Если <tex>G</tex> {{---}} сводимый связный двудольный граф, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>.
}}

{{Теорема|
id=th3|
statement=
Если <tex>G</tex> имеет непустое реберное ядро, то <tex>C_1(G) \supset G</tex>, <tex>C_1(C_1(G)) = C_1(G)</tex>, а компоненты <tex>C_1(G)</tex> являются несводимыми или полунесводимыми двудольными подграфами <tex>G</tex>
}}

{{Теорема
|id=th4
|statement=
<tex>G</tex> и его реберное ядро <tex>C_1(G)</tex> совпадают тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> является двудольным и не является сводимым.
}}

=== Примеры ===
[[File:Bipartite_graph_1.png|thumb|130px|Двудольный граф <tex>G_1</tex>]]
[[File:Bipartite_graph_2.png|thumb|130px|Двудольный граф <tex>G_2</tex>]]

Рассмотрим двудольные графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, изображенные на рисунках 1 и 2. В графе <tex>G_1</tex> пусть <tex>S_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и <tex>T_1 = \{v_1, v_2, v_4, v_5, v_7 \}</tex>. Этот граф имеет единственное наименьшее вершинное покрытие <tex>M_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и, поскольку <tex>M_1 \cap T_1 = \varnothing</tex>, он полунесводимый; следовательно, он совпадает со своим рёберным ядром. В графе <tex>G_2</tex> пусть <tex>S_2 = \{u_1, u_4, u_5\}</tex> и <tex>T_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. В нём два наименьших вершинных покрытия, именно <tex>M_2 = \{u_1,u_4, u_5\}</tex> и <tex>N_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. Так как <tex>M_2 \cap T_2 = \varnothing</tex> и <tex>N_2 \cap S_2 = \varnothing</tex>, то <tex>G_2</tex> {{---}} несводимый граф и, значит, совпадает со своим рёберным ядром.
 

== См. также ==
* [[NP-полнота задачи о независимом множестве]]
* [[Теория Рамсея]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

==Примечания==
<references />

== Источники информации ==

* [https://math.dartmouth.edu/archive/m38s12/public_html/sources/Hall1935.pdf P. Hall, On representatives of subsets, Journal of the London Mathematical Society 10 (1935) pp. 26-30.]

* [https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0517-0534.pdf A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn: Coverings of bipartite graphs, Canad J. Math., (1958), 517-534.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Рёберное ядро

2018-11-03T06:10:30Z

Vsklamm: /* Примеры */

{{Определение|
definition=
'''Рёберное ядро''' (англ. ''core'') <tex>C_1(G)</tex> графа <tex>G</tex> {{---}} это подграф [[Основные определения теории графов#finite graph|графа]] <tex>G</tex>, порожденный объединением таких независимых множеств <tex>Y \subset E(G)</tex>, что <tex>|Y| = \alpha_{0}(G)</tex>, где <tex>\alpha_{0}(G)</tex> {{---}} число вершинного покрытия.
}}

{{Определение|
definition=
Множество [[Основные определения теории графов#def_graph_edge_1|ребер]] (вершин) называется '''независимым''' (англ. ''independent''), если никакие его два элемента не смежны.
}}
{{Определение
|id=def_3
|definition=
'''Вершинным покрытием''' (англ. ''vertex cover'') графа <tex>G</tex> называется такое множество <tex>V</tex> его вершин, что у любого ребра в <tex>G</tex> хотя бы одна из вершин лежит в <tex>V</tex>.
}}
{{Определение|
definition=
'''Числом вершинного покрытия''' (англ. ''point-covering number'') называется число вершин в наименьшем вершинном покрытии графа <tex>G</tex>.
}}
==Критерий существования реберного ядра==
{{Определение|
definition=
Наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> с множеством вершин <tex>V</tex> называется '''внешним''' (англ. ''external vertex cover''), если для любого подмножества <tex>M' \subseteq M</tex> выполняется неравенство <tex>|M'| \leqslant |U(M')|</tex>, где <tex>U(M') = \{v \mid \:v \in V(G) \setminus M, \: vu \in E(G), \: u \in M'\}</tex>.
}}
{{Теорема|
statement=
Для произвольного графа <tex>G</tex> следующие утверждения эквивалентны:
(1) <tex>G</tex> имеет не пустое рёберное ядро. 
(2) <tex>G</tex> имеет внешнее наименьшее вершинное покрытие.
(3) каждое наименьшее вершинное покрытие для <tex>G</tex> является внешним.
|proof=
Обозначим минимальное вершинное покрытие <tex>G</tex> как <tex>M</tex>. Пусть <tex>U = V(G) \setminus M</tex>. 
Докажем <tex>(1) \Rightarrow (3)</tex>. Предположим, что в <tex>G</tex> существует наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex>, которое не является внешним.
Это значит что <tex>\exists M' : \: M' = \{u_1, \dots, u_r \}, </tex> где <tex>r \leqslant \alpha_0(G)</tex>,
такое что <tex>|M'| > |U(M')|.</tex> Пусть <tex>U(M') = \{u_1, \dots, u_t\}, \: t < r</tex>. Так же, пусть <tex>X</tex> {{---}} максимальное независимое множество ребер в <tex>G</tex>. Поскольку никакие две вершины <tex>U</tex> не смежны, каждое ребро из <tex>X</tex> соединено, по крайней мере, с одной вершиной из <tex>M</tex>. Если какое-нибудь ребро из <tex>X</tex> соединено более чем с одной ввершиной из <tex>M</tex>, то <tex>|X| < \alpha_0(G)</tex> и <tex>C_1(G) = \varnothing </tex>. Так что будем считать, что каждое ребро из <tex>X</tex> смежно ровно с одной вершиной из <tex>M</tex>. Из этого сдедует, что <tex>|X| \leqslant t - r + \alpha_0(g) < \alpha_0(G)</tex>. И снова <tex>C_1(G) = \varnothing</tex>. 
Следствие <tex>(3) \Rightarrow (2)</tex> {{---}} очевидно. 
Докажем <tex>(2) \Rightarrow (1)</tex>.
Пусть <tex>M = \{v_1, \dots, v_s\}</tex> {{---}} наименьшее внешнее вершинное покрытие. Пусть <tex>Y_i = \{u \mid u \in U, uv_i \in E(G) \}</tex>. Тогда для любого <tex>k: \:\: 1 \leqslant k \leqslant s</tex>, объединение любых <tex>k</tex> различных множеств <tex>Y_i</tex> содержит, по меньшей мере <tex>k</tex> вершин.
Следовательно, по теореме Холла<ref>Hall, 1935, pp. 26-30.</ref>, существует множество <tex>s</tex> различных вершин <tex>\{y_1, \dots, y_s\}, \: y_j \in Y_j</tex>. Следовательно существует набор независимых ребер <tex>y_1v_1, \dots, y_sv_s</tex>. А значит <tex>C_1(G)</tex> не может быть пустым.
}}
[[Файл:EdgeCore.png|thumb|500px|рис. 1. a) граф <tex>H</tex>, б) реберное ядро графа <tex>H</tex> ]]
В качестве примера рассмотрим граф <tex>H</tex> изображенный на рис. 1 а). Этот граф имеет два наименьших вершинных покрытия: <tex>M_1 = \{B, E, F\}</tex> и <tex>M_2 = \{B, E, G\}</tex>.
Пусть <tex>M_1' = M_1</tex> то <tex>U(M_1') = \{A, C, D, G\}</tex>. Пусть <tex>M_1'' = \{E, F\}</tex>. Тогда <tex>U(M_1'') =\{C, D, G\}</tex>.
Отсюда <tex>|M_1'| \leqslant |U(M_1')|</tex> и <tex>|M_1''| \leqslant |U(M_1'')|</tex>. И это верно для любого подмножества <tex>M_1</tex>. Значит, <tex>M_1</tex> {{---}} внешнее покрытие. Значит и <tex>M_2</tex> {{---}} внешнее покрытие.
 

==Реберное ядро в двудольном графе==
Здесь и далее будем рассматривать [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G</tex>, в котором обозначим <tex>S</tex> {{---}} множество вершин левой доли, <tex>T</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
{{Определение |
definition= <tex>G</tex> {{---}} '''полунесводимый граф''' (англ. ''semi-irreducible graph''), если <tex>G</tex> имеет ровно одно вершинное покрытие <tex>M</tex>, такое что или <tex>M \cap S</tex> или <tex>M \cap T</tex> {{---}} пусто
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''несводимый''' граф (англ. ''irreducible graph''), если он имеет ровно два наименьших вершинных покрытия <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>, таких что либо <tex>M_1 \cap S \cup M_2 \cap T = \varnothing </tex>, либо <tex>M_2 \cap S \cup M_1 \cap T = \varnothing</tex>
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''сводимый граф''' (англ. ''reducible graph'') если он не является ни полунесводимым, ни сводимым.
}}

{{Теорема|
id=th2|
statement=
Если оба конца ребра <tex>w \in E(G)</tex> покрыто некоторым минимальным вершинным покрытием, то <tex>w \notin C_1(G)</tex>.
|proof=
Сошлемся на теорему <tex>(3)</tex> аналогичного результата<ref>A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn, 1958, pp. 517-534.</ref> для двудольных графов. То же самое доказательство можно перенести на произвольный граф.
}}
{{ Утверждение
|about=Следствие 1
|statement=Eсли <tex>G</tex> имеет минимальное вершинное покрытие, которое не является независимым, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>. 
}}

{{ Утверждение
|about=Следствие 2
|id=proposal2
|statement=Если <tex>G</tex> {{---}} сводимый связный двудольный граф, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>.
}}

{{Теорема|
id=th3|
statement=
Если <tex>G</tex> имеет непустое реберное ядро, то <tex>C_1(G) \supset G</tex>, <tex>C_1(C_1(G)) = C_1(G)</tex>, а компоненты <tex>C_1(G)</tex> являются несводимыми или полунесводимыми двудольными подграфами <tex>G</tex>
}}

{{Теорема
|id=th4
|statement=
<tex>G</tex> и его реберное ядро <tex>C_1(G)</tex> совпадают тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> является двудольным и не является сводимым.
}}

=== Примеры ===
[[File:Bipartite_graph_1.png|thumb|170px|Двудольный граф <tex>G_1</tex>]]
[[File:Bipartite_graph_2.png|thumb|170px|Двудольный граф <tex>G_2</tex>]]

Рассмотрим двудольные графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, изображенные на рисунках 1 и 2. В графе <tex>G_1</tex> пусть <tex>S_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и <tex>T_1 = \{v_1, v_2, v_4, v_5, v_7 \}</tex>. Этот граф имеет единственное наименьшее вершинное покрытие <tex>M_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и, поскольку <tex>M_1 \cap T_1 = \varnothing</tex>, он полунесводимый; следовательно, он совпадает со своим рёберным ядром. В графе <tex>G_2</tex> пусть <tex>S_2 = \{u_1, u_4, u_5\}</tex> и <tex>T_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. В нём два наименьших вершинных покрытия, именно <tex>M_2 = \{u_1,u_4, u_5\}</tex> и <tex>N_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. Так как <tex>M_2 \cap T_2 = \varnothing</tex> и <tex>N_2 \cap S_2 = \varnothing</tex>, то <tex>G_2</tex> {{---}} несводимый граф и, значит, совпадает со своим рёберным ядром.
 

== См. также ==
* [[NP-полнота задачи о независимом множестве]]
* [[Теория Рамсея]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

==Примечания==
<references />

== Источники информации ==

* [https://math.dartmouth.edu/archive/m38s12/public_html/sources/Hall1935.pdf P. Hall, On representatives of subsets, Journal of the London Mathematical Society 10 (1935) pp. 26-30.]

* [https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0517-0534.pdf A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn: Coverings of bipartite graphs, Canad J. Math., (1958), 517-534.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Рёберное ядро

2018-11-03T05:30:29Z

Vsklamm: /* Примеры */

{{Определение|
definition=
'''Рёберное ядро''' (англ. ''core'') <tex>C_1(G)</tex> графа <tex>G</tex> {{---}} это подграф [[Основные определения теории графов#finite graph|графа]] <tex>G</tex>, порожденный объединением таких независимых множеств <tex>Y \subset E(G)</tex>, что <tex>|Y| = \alpha_{0}(G)</tex>, где <tex>\alpha_{0}(G)</tex> {{---}} число вершинного покрытия.
}}

{{Определение|
definition=
Множество [[Основные определения теории графов#def_graph_edge_1|ребер]] (вершин) называется '''независимым''' (англ. ''independent''), если никакие его два элемента не смежны.
}}
{{Определение
|id=def_3
|definition=
'''Вершинным покрытием''' (англ. ''vertex cover'') графа <tex>G</tex> называется такое множество <tex>V</tex> его вершин, что у любого ребра в <tex>G</tex> хотя бы одна из вершин лежит в <tex>V</tex>.
}}
{{Определение|
definition=
'''Числом вершинного покрытия''' (англ. ''point-covering number'') называется число вершин в наименьшем вершинном покрытии графа <tex>G</tex>.
}}
==Критерий существования реберного ядра==
{{Определение|
definition=
Наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> с множеством вершин <tex>V</tex> называется '''внешним''' (англ. ''external vertex cover''), если для любого подмножества <tex>M' \subseteq M</tex> выполняется неравенство <tex>|M'| \leqslant |U(M')|</tex>, где <tex>U(M') = \{v \mid \:v \in V(G) \setminus M, \: vu \in E(G), \: u \in M'\}</tex>.
}}
{{Теорема|
statement=
Для произвольного графа <tex>G</tex> следующие утверждения эквивалентны:
(1) <tex>G</tex> имеет не пустое рёберное ядро. 
(2) <tex>G</tex> имеет внешнее наименьшее вершинное покрытие.
(3) каждое наименьшее вершинное покрытие для <tex>G</tex> является внешним.
|proof=
Обозначим минимальное вершинное покрытие <tex>G</tex> как <tex>M</tex>. Пусть <tex>U = V(G) \setminus M</tex>. 
Докажем <tex>(1) \Rightarrow (3)</tex>. Предположим, что в <tex>G</tex> существует наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex>, которое не является внешним.
Это значит что <tex>\exists M' : \: M' = \{u_1, \dots, u_r \}, </tex> где <tex>r \leqslant \alpha_0(G)</tex>,
такое что <tex>|M'| > |U(M')|.</tex> Пусть <tex>U(M') = \{u_1, \dots, u_t\}, \: t < r</tex>. Так же, пусть <tex>X</tex> {{---}} максимальное независимое множество ребер в <tex>G</tex>. Поскольку никакие две вершины <tex>U</tex> не смежны, каждое ребро из <tex>X</tex> соединено, по крайней мере, с одной вершиной из <tex>M</tex>. Если какое-нибудь ребро из <tex>X</tex> соединено более чем с одной ввершиной из <tex>M</tex>, то <tex>|X| < \alpha_0(G)</tex> и <tex>C_1(G) = \varnothing </tex>. Так что будем считать, что каждое ребро из <tex>X</tex> смежно ровно с одной вершиной из <tex>M</tex>. Из этого сдедует, что <tex>|X| \leqslant t - r + \alpha_0(g) < \alpha_0(G)</tex>. И снова <tex>C_1(G) = \varnothing</tex>. 
Следствие <tex>(3) \Rightarrow (2)</tex> {{---}} очевидно. 
Докажем <tex>(2) \Rightarrow (1)</tex>.
Пусть <tex>M = \{v_1, \dots, v_s\}</tex> {{---}} наименьшее внешнее вершинное покрытие. Пусть <tex>Y_i = \{u \mid u \in U, uv_i \in E(G) \}</tex>. Тогда для любого <tex>k: \:\: 1 \leqslant k \leqslant s</tex>, объединение любых <tex>k</tex> различных множеств <tex>Y_i</tex> содержит, по меньшей мере <tex>k</tex> вершин.
Следовательно, по теореме Холла<ref>Hall, 1935, pp. 26-30.</ref>, существует множество <tex>s</tex> различных вершин <tex>\{y_1, \dots, y_s\}, \: y_j \in Y_j</tex>. Следовательно существует набор независимых ребер <tex>y_1v_1, \dots, y_sv_s</tex>. А значит <tex>C_1(G)</tex> не может быть пустым.
}}
[[Файл:EdgeCore.png|thumb|500px|рис. 1. a) граф <tex>H</tex>, б) реберное ядро графа <tex>H</tex> ]]
В качестве примера рассмотрим граф <tex>H</tex> изображенный на рис. 1 а). Этот граф имеет два наименьших вершинных покрытия: <tex>M_1 = \{B, E, F\}</tex> и <tex>M_2 = \{B, E, G\}</tex>.
Пусть <tex>M_1' = M_1</tex> то <tex>U(M_1') = \{A, C, D, G\}</tex>. Пусть <tex>M_1'' = \{E, F\}</tex>. Тогда <tex>U(M_1'') =\{C, D, G\}</tex>.
Отсюда <tex>|M_1'| \leqslant |U(M_1')|</tex> и <tex>|M_1''| \leqslant |U(M_1'')|</tex>. И это верно для любого подмножества <tex>M_1</tex>. Значит, <tex>M_1</tex> {{---}} внешнее покрытие. Значит и <tex>M_2</tex> {{---}} внешнее покрытие.
 

==Реберное ядро в двудольном графе==
Здесь и далее будем рассматривать [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G</tex>, в котором обозначим <tex>S</tex> {{---}} множество вершин левой доли, <tex>T</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
{{Определение |
definition= <tex>G</tex> {{---}} '''полунесводимый граф''' (англ. ''semi-irreducible graph''), если <tex>G</tex> имеет ровно одно вершинное покрытие <tex>M</tex>, такое что или <tex>M \cap S</tex> или <tex>M \cap T</tex> {{---}} пусто
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''несводимый''' граф (англ. ''irreducible graph''), если он имеет ровно два наименьших вершинных покрытия <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>, таких что либо <tex>M_1 \cap S \cup M_2 \cap T = \varnothing </tex>, либо <tex>M_2 \cap S \cup M_1 \cap T = \varnothing</tex>
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''сводимый граф''' (англ. ''reducible graph'') если он не является ни полунесводимым, ни сводимым.
}}

{{Теорема|
id=th2|
statement=
Если оба конца ребра <tex>w \in E(G)</tex> покрыто некоторым минимальным вершинным покрытием, то <tex>w \notin C_1(G)</tex>.
|proof=
Сошлемся на теорему <tex>(3)</tex> аналогичного результата<ref>A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn, 1958, pp. 517-534.</ref> для двудольных графов. То же самое доказательство можно перенести на произвольный граф.
}}
{{ Утверждение
|about=Следствие 1
|statement=Eсли <tex>G</tex> имеет минимальное вершинное покрытие, которое не является независимым, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>. 
}}

{{ Утверждение
|about=Следствие 2
|id=proposal2
|statement=Если <tex>G</tex> {{---}} сводимый связный двудольный граф, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>.
}}

{{Теорема|
id=th3|
statement=
Если <tex>G</tex> имеет непустое реберное ядро, то <tex>C_1(G) \supset G</tex>, <tex>C_1(C_1(G)) = C_1(G)</tex>, а компоненты <tex>C_1(G)</tex> являются несводимыми или полунесводимыми двудольными подграфами <tex>G</tex>
}}

{{Теорема
|id=th4
|statement=
<tex>G</tex> и его реберное ядро <tex>C_1(G)</tex> совпадают тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> является двудольным и не является сводимым.
}}

=== Примеры ===
Рассмотрим двудольные графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, изображенные на рисунках 1 и 2. В графе <tex>G_1</tex> пусть <tex>S_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и <tex>T_1 = \{v_1, v_2, v_4, v_5, v_7 \}</tex>. Этот граф имеет единственное наименьшее вершинное покрытие <tex>M_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и, поскольку <tex>M_1 \cap T_1 = \varnothing</tex>, он полунесводимый; следовательно, он совпадает со своим рёберным ядром. В графе <tex>G_2</tex> пусть <tex>S_2 = \{u_1, u_4, u_5\}</tex> и <tex>T_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. В нём два наименьших вершинных покрытия, именно <tex>M_2 = \{u_1,u_4, u_5\}</tex> и <tex>N_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. Так как <tex>M_2 \cap T_2 = \varnothing</tex> и <tex>N_2 \cap S_2 = \varnothing</tex>, то <tex>G_2</tex> {{---}} несводимый граф и, значит, совпадает со своим рёберным ядром.

<div class="tleft" style="clear:none">[[File:Bipartite_graph_1.png|thumb|170px|Двудольный граф <tex>G_1</tex>]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none">[[File:Bipartite_graph_2.png|thumb|170px|Двудольный граф <tex>G_2</tex>]]</div>
 

== См. также ==
* [[NP-полнота задачи о независимом множестве]]
* [[Теория Рамсея]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

==Примечания==
<references />

== Источники информации ==

* [https://math.dartmouth.edu/archive/m38s12/public_html/sources/Hall1935.pdf P. Hall, On representatives of subsets, Journal of the London Mathematical Society 10 (1935) pp. 26-30.]

* [https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0517-0534.pdf A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn: Coverings of bipartite graphs, Canad J. Math., (1958), 517-534.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Рёберное ядро

2018-11-03T05:29:50Z

Vsklamm: /* Примеры */

{{Определение|
definition=
'''Рёберное ядро''' (англ. ''core'') <tex>C_1(G)</tex> графа <tex>G</tex> {{---}} это подграф [[Основные определения теории графов#finite graph|графа]] <tex>G</tex>, порожденный объединением таких независимых множеств <tex>Y \subset E(G)</tex>, что <tex>|Y| = \alpha_{0}(G)</tex>, где <tex>\alpha_{0}(G)</tex> {{---}} число вершинного покрытия.
}}

{{Определение|
definition=
Множество [[Основные определения теории графов#def_graph_edge_1|ребер]] (вершин) называется '''независимым''' (англ. ''independent''), если никакие его два элемента не смежны.
}}
{{Определение
|id=def_3
|definition=
'''Вершинным покрытием''' (англ. ''vertex cover'') графа <tex>G</tex> называется такое множество <tex>V</tex> его вершин, что у любого ребра в <tex>G</tex> хотя бы одна из вершин лежит в <tex>V</tex>.
}}
{{Определение|
definition=
'''Числом вершинного покрытия''' (англ. ''point-covering number'') называется число вершин в наименьшем вершинном покрытии графа <tex>G</tex>.
}}
==Критерий существования реберного ядра==
{{Определение|
definition=
Наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> с множеством вершин <tex>V</tex> называется '''внешним''' (англ. ''external vertex cover''), если для любого подмножества <tex>M' \subseteq M</tex> выполняется неравенство <tex>|M'| \leqslant |U(M')|</tex>, где <tex>U(M') = \{v \mid \:v \in V(G) \setminus M, \: vu \in E(G), \: u \in M'\}</tex>.
}}
{{Теорема|
statement=
Для произвольного графа <tex>G</tex> следующие утверждения эквивалентны:
(1) <tex>G</tex> имеет не пустое рёберное ядро. 
(2) <tex>G</tex> имеет внешнее наименьшее вершинное покрытие.
(3) каждое наименьшее вершинное покрытие для <tex>G</tex> является внешним.
|proof=
Обозначим минимальное вершинное покрытие <tex>G</tex> как <tex>M</tex>. Пусть <tex>U = V(G) \setminus M</tex>. 
Докажем <tex>(1) \Rightarrow (3)</tex>. Предположим, что в <tex>G</tex> существует наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex>, которое не является внешним.
Это значит что <tex>\exists M' : \: M' = \{u_1, \dots, u_r \}, </tex> где <tex>r \leqslant \alpha_0(G)</tex>,
такое что <tex>|M'| > |U(M')|.</tex> Пусть <tex>U(M') = \{u_1, \dots, u_t\}, \: t < r</tex>. Так же, пусть <tex>X</tex> {{---}} максимальное независимое множество ребер в <tex>G</tex>. Поскольку никакие две вершины <tex>U</tex> не смежны, каждое ребро из <tex>X</tex> соединено, по крайней мере, с одной вершиной из <tex>M</tex>. Если какое-нибудь ребро из <tex>X</tex> соединено более чем с одной ввершиной из <tex>M</tex>, то <tex>|X| < \alpha_0(G)</tex> и <tex>C_1(G) = \varnothing </tex>. Так что будем считать, что каждое ребро из <tex>X</tex> смежно ровно с одной вершиной из <tex>M</tex>. Из этого сдедует, что <tex>|X| \leqslant t - r + \alpha_0(g) < \alpha_0(G)</tex>. И снова <tex>C_1(G) = \varnothing</tex>. 
Следствие <tex>(3) \Rightarrow (2)</tex> {{---}} очевидно. 
Докажем <tex>(2) \Rightarrow (1)</tex>.
Пусть <tex>M = \{v_1, \dots, v_s\}</tex> {{---}} наименьшее внешнее вершинное покрытие. Пусть <tex>Y_i = \{u \mid u \in U, uv_i \in E(G) \}</tex>. Тогда для любого <tex>k: \:\: 1 \leqslant k \leqslant s</tex>, объединение любых <tex>k</tex> различных множеств <tex>Y_i</tex> содержит, по меньшей мере <tex>k</tex> вершин.
Следовательно, по теореме Холла<ref>Hall, 1935, pp. 26-30.</ref>, существует множество <tex>s</tex> различных вершин <tex>\{y_1, \dots, y_s\}, \: y_j \in Y_j</tex>. Следовательно существует набор независимых ребер <tex>y_1v_1, \dots, y_sv_s</tex>. А значит <tex>C_1(G)</tex> не может быть пустым.
}}
[[Файл:EdgeCore.png|thumb|500px|рис. 1. a) граф <tex>H</tex>, б) реберное ядро графа <tex>H</tex> ]]
В качестве примера рассмотрим граф <tex>H</tex> изображенный на рис. 1 а). Этот граф имеет два наименьших вершинных покрытия: <tex>M_1 = \{B, E, F\}</tex> и <tex>M_2 = \{B, E, G\}</tex>.
Пусть <tex>M_1' = M_1</tex> то <tex>U(M_1') = \{A, C, D, G\}</tex>. Пусть <tex>M_1'' = \{E, F\}</tex>. Тогда <tex>U(M_1'') =\{C, D, G\}</tex>.
Отсюда <tex>|M_1'| \leqslant |U(M_1')|</tex> и <tex>|M_1''| \leqslant |U(M_1'')|</tex>. И это верно для любого подмножества <tex>M_1</tex>. Значит, <tex>M_1</tex> {{---}} внешнее покрытие. Значит и <tex>M_2</tex> {{---}} внешнее покрытие.
 

==Реберное ядро в двудольном графе==
Здесь и далее будем рассматривать [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G</tex>, в котором обозначим <tex>S</tex> {{---}} множество вершин левой доли, <tex>T</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
{{Определение |
definition= <tex>G</tex> {{---}} '''полунесводимый граф''' (англ. ''semi-irreducible graph''), если <tex>G</tex> имеет ровно одно вершинное покрытие <tex>M</tex>, такое что или <tex>M \cap S</tex> или <tex>M \cap T</tex> {{---}} пусто
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''несводимый''' граф (англ. ''irreducible graph''), если он имеет ровно два наименьших вершинных покрытия <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>, таких что либо <tex>M_1 \cap S \cup M_2 \cap T = \varnothing </tex>, либо <tex>M_2 \cap S \cup M_1 \cap T = \varnothing</tex>
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''сводимый граф''' (англ. ''reducible graph'') если он не является ни полунесводимым, ни сводимым.
}}

{{Теорема|
id=th2|
statement=
Если оба конца ребра <tex>w \in E(G)</tex> покрыто некоторым минимальным вершинным покрытием, то <tex>w \notin C_1(G)</tex>.
|proof=
Сошлемся на теорему <tex>(3)</tex> аналогичного результата<ref>A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn, 1958, pp. 517-534.</ref> для двудольных графов. То же самое доказательство можно перенести на произвольный граф.
}}
{{ Утверждение
|about=Следствие 1
|statement=Eсли <tex>G</tex> имеет минимальное вершинное покрытие, которое не является независимым, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>. 
}}

{{ Утверждение
|about=Следствие 2
|id=proposal2
|statement=Если <tex>G</tex> {{---}} сводимый связный двудольный граф, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>.
}}

{{Теорема|
id=th3|
statement=
Если <tex>G</tex> имеет непустое реберное ядро, то <tex>C_1(G) \supset G</tex>, <tex>C_1(C_1(G)) = C_1(G)</tex>, а компоненты <tex>C_1(G)</tex> являются несводимыми или полунесводимыми двудольными подграфами <tex>G</tex>
}}

{{Теорема
|id=th4
|statement=
<tex>G</tex> и его реберное ядро <tex>C_1(G)</tex> совпадают тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> является двудольным и не является сводимым.
}}

=== Примеры ===
Рассмотрим двудольные графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, изображенные на рисунках 1 и 2. В графе <tex>G_1</tex> пусть <tex>S_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и <tex>T_1 = \{v_1, v_2, v_4, v_5, v_7 \}</tex>. Этот граф имеет единственное наименьшее вершинное покрытие <tex>M_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и, поскольку <tex>M_1 \cap T_1 = \varnothing</tex>, он полунесводимый; следовательно, он совпадает со своим рёберным ядром. В графе <tex>G_2</tex> пусть <tex>S_2 = \{u_1, u_4, u_5\}</tex> и <tex>T_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. В нём два наименьших вершинных покрытия, именно <tex>M_2 = \{u_1,u_4, u_5\}</tex> и <tex>N_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. Так как <tex>M_2 \cap T_2 = \varnothing</tex> и <tex>N_2 \cap S_2 = \varnothing</tex>, то <tex>G_2</tex> {{---}} несводимый граф и, значит, совпадает со своим рёберным ядром.

<div class="tleft" style="clear:none">[[File:Bipartite_graph_1.png|thumb|170px|Двудольный граф <tex>G_1</tex>]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none">[[File:Bipartite_graph_2.png|thumb|170px|Двудольный граф <tex>G_2</tex>]]</div>

== См. также ==
* [[NP-полнота задачи о независимом множестве]]
* [[Теория Рамсея]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

==Примечания==
<references />

== Источники информации ==

* [https://math.dartmouth.edu/archive/m38s12/public_html/sources/Hall1935.pdf P. Hall, On representatives of subsets, Journal of the London Mathematical Society 10 (1935) pp. 26-30.]

* [https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0517-0534.pdf A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn: Coverings of bipartite graphs, Canad J. Math., (1958), 517-534.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Файл:Bipartite graph 2.png

2018-11-03T05:18:25Z

Vsklamm:

Файл:Bipartite graph 1.png

2018-11-03T05:13:02Z

Vsklamm: Vsklamm загрузил новую версию Файл:Bipartite graph 1.png

Двудольный граф G_1

Файл:Bipartite graph 1.png

2018-11-03T05:08:42Z

Vsklamm: Vsklamm загрузил новую версию Файл:Bipartite graph 1.png

Двудольный граф G_1

Файл:Bipartite graph 1.png

2018-11-03T05:05:15Z

Vsklamm: Двудольный граф G_1

Двудольный граф G_1

Рёберное ядро

2018-11-03T04:58:39Z

Vsklamm: /* Примеры */

{{Определение|
definition=
'''Рёберное ядро''' (англ. ''core'') <tex>C_1(G)</tex> графа <tex>G</tex> {{---}} это подграф [[Основные определения теории графов#finite graph|графа]] <tex>G</tex>, порожденный объединением таких независимых множеств <tex>Y \subset E(G)</tex>, что <tex>|Y| = \alpha_{0}(G)</tex>, где <tex>\alpha_{0}(G)</tex> {{---}} число вершинного покрытия.
}}

{{Определение|
definition=
Множество [[Основные определения теории графов#def_graph_edge_1|ребер]] (вершин) называется '''независимым''' (англ. ''independent''), если никакие его два элемента не смежны.
}}
{{Определение
|id=def_3
|definition=
'''Вершинным покрытием''' (англ. ''vertex cover'') графа <tex>G</tex> называется такое множество <tex>V</tex> его вершин, что у любого ребра в <tex>G</tex> хотя бы одна из вершин лежит в <tex>V</tex>.
}}
{{Определение|
definition=
'''Числом вершинного покрытия''' (англ. ''point-covering number'') называется число вершин в наименьшем вершинном покрытии графа <tex>G</tex>.
}}
==Критерий существования реберного ядра==
{{Определение|
definition=
Наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> с множеством вершин <tex>V</tex> называется '''внешним''' (англ. ''external vertex cover''), если для любого подмножества <tex>M' \subseteq M</tex> выполняется неравенство <tex>|M'| \leqslant |U(M')|</tex>, где <tex>U(M') = \{v \mid \:v \in V(G) \setminus M, \: vu \in E(G), \: u \in M'\}</tex>.
}}
{{Теорема|
statement=
Для произвольного графа <tex>G</tex> следующие утверждения эквивалентны:
(1) <tex>G</tex> имеет не пустое рёберное ядро. 
(2) <tex>G</tex> имеет внешнее наименьшее вершинное покрытие.
(3) каждое наименьшее вершинное покрытие для <tex>G</tex> является внешним.
|proof=
Обозначим минимальное вершинное покрытие <tex>G</tex> как <tex>M</tex>. Пусть <tex>U = V(G) \setminus M</tex>. 
Докажем <tex>(1) \Rightarrow (3)</tex>. Предположим, что в <tex>G</tex> существует наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex>, которое не является внешним.
Это значит что <tex>\exists M' : \: M' = \{u_1, \dots, u_r \}, </tex> где <tex>r \leqslant \alpha_0(G)</tex>,
такое что <tex>|M'| > |U(M')|.</tex> Пусть <tex>U(M') = \{u_1, \dots, u_t\}, \: t < r</tex>. Так же, пусть <tex>X</tex> {{---}} максимальное независимое множество ребер в <tex>G</tex>. Поскольку никакие две вершины <tex>U</tex> не смежны, каждое ребро из <tex>X</tex> соединено, по крайней мере, с одной вершиной из <tex>M</tex>. Если какое-нибудь ребро из <tex>X</tex> соединено более чем с одной ввершиной из <tex>M</tex>, то <tex>|X| < \alpha_0(G)</tex> и <tex>C_1(G) = \varnothing </tex>. Так что будем считать, что каждое ребро из <tex>X</tex> смежно ровно с одной вершиной из <tex>M</tex>. Из этого сдедует, что <tex>|X| \leqslant t - r + \alpha_0(g) < \alpha_0(G)</tex>. И снова <tex>C_1(G) = \varnothing</tex>. 
Следствие <tex>(3) \Rightarrow (2)</tex> {{---}} очевидно. 
Докажем <tex>(2) \Rightarrow (1)</tex>.
Пусть <tex>M = \{v_1, \dots, v_s\}</tex> {{---}} наименьшее внешнее вершинное покрытие. Пусть <tex>Y_i = \{u \mid u \in U, uv_i \in E(G) \}</tex>. Тогда для любого <tex>k: \:\: 1 \leqslant k \leqslant s</tex>, объединение любых <tex>k</tex> различных множеств <tex>Y_i</tex> содержит, по меньшей мере <tex>k</tex> вершин.
Следовательно, по теореме Холла<ref>Hall, 1935, pp. 26-30.</ref>, существует множество <tex>s</tex> различных вершин <tex>\{y_1, \dots, y_s\}, \: y_j \in Y_j</tex>. Следовательно существует набор независимых ребер <tex>y_1v_1, \dots, y_sv_s</tex>. А значит <tex>C_1(G)</tex> не может быть пустым.
}}
[[Файл:EdgeCore.png|thumb|500px|рис. 1. a) граф <tex>H</tex>, б) реберное ядро графа <tex>H</tex> ]]
В качестве примера рассмотрим граф <tex>H</tex> изображенный на рис. 1 а). Этот граф имеет два наименьших вершинных покрытия: <tex>M_1 = \{B, E, F\}</tex> и <tex>M_2 = \{B, E, G\}</tex>.
Пусть <tex>M_1' = M_1</tex> то <tex>U(M_1') = \{A, C, D, G\}</tex>. Пусть <tex>M_1'' = \{E, F\}</tex>. Тогда <tex>U(M_1'') =\{C, D, G\}</tex>.
Отсюда <tex>|M_1'| \leqslant |U(M_1')|</tex> и <tex>|M_1''| \leqslant |U(M_1'')|</tex>. И это верно для любого подмножества <tex>M_1</tex>. Значит, <tex>M_1</tex> {{---}} внешнее покрытие. Значит и <tex>M_2</tex> {{---}} внешнее покрытие.
 

==Реберное ядро в двудольном графе==
Здесь и далее будем рассматривать [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G</tex>, в котором обозначим <tex>S</tex> {{---}} множество вершин левой доли, <tex>T</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
{{Определение |
definition= <tex>G</tex> {{---}} '''полунесводимый граф''' (англ. ''semi-irreducible graph''), если <tex>G</tex> имеет ровно одно вершинное покрытие <tex>M</tex>, такое что или <tex>M \cap S</tex> или <tex>M \cap T</tex> {{---}} пусто
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''несводимый''' граф (англ. ''irreducible graph''), если он имеет ровно два наименьших вершинных покрытия <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>, таких что либо <tex>M_1 \cap S \cup M_2 \cap T = \varnothing </tex>, либо <tex>M_2 \cap S \cup M_1 \cap T = \varnothing</tex>
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''сводимый граф''' (англ. ''reducible graph'') если он не является ни полунесводимым, ни сводимым.
}}

{{Теорема|
id=th2|
statement=
Если оба конца ребра <tex>w \in E(G)</tex> покрыто некоторым минимальным вершинным покрытием, то <tex>w \notin C_1(G)</tex>.
|proof=
Сошлемся на теорему <tex>(3)</tex> аналогичного результата<ref>A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn, 1958, pp. 517-534.</ref> для двудольных графов. То же самое доказательство можно перенести на произвольный граф.
}}
{{ Утверждение
|about=Следствие 1
|statement=Eсли <tex>G</tex> имеет минимальное вершинное покрытие, которое не является независимым, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>. 
}}

{{ Утверждение
|about=Следствие 2
|id=proposal2
|statement=Если <tex>G</tex> {{---}} сводимый связный двудольный граф, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>.
}}

{{Теорема|
id=th3|
statement=
Если <tex>G</tex> имеет непустое реберное ядро, то <tex>C_1(G) \supset G</tex>, <tex>C_1(C_1(G)) = C_1(G)</tex>, а компоненты <tex>C_1(G)</tex> являются несводимыми или полунесводимыми двудольными подграфами <tex>G</tex>
}}

{{Теорема
|id=th4
|statement=
<tex>G</tex> и его реберное ядро <tex>C_1(G)</tex> совпадают тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> является двудольным и не является сводимым.
}}

=== Примеры ===
Рассмотрим двудольные графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, изображенные на рисунках 1 и 2. В графе <tex>G_1</tex> пусть <tex>S_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и <tex>T_1 = \{v_1, v_2, v_4, v_5, v_7 \}</tex>. Этот граф имеет единственное наименьшее вершинное покрытие <tex>M_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и, поскольку <tex>M_1 \cap T_1 = \varnothing</tex>, он полунесводимый; следовательно, он совпадает со своим рёберным ядром. В графе <tex>G_2</tex> пусть <tex>S_2 = \{u_1, u_4, u_5\}</tex> и <tex>T_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. В нём два наименьших вершинных покрытия, именно <tex>M_2 = \{u_1,u_4, u_5\}</tex> и <tex>N_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. Так как <tex>M_2 \cap T_2 = \varnothing</tex> и <tex>N_2 \cap S_2 = \varnothing</tex>, то <tex>G_2</tex> {{---}} несводимый граф и, значит, совпадает со своим рёберным ядром.

== См. также ==
* [[NP-полнота задачи о независимом множестве]]
* [[Теория Рамсея]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

==Примечания==
<references />

== Источники информации ==

* [https://math.dartmouth.edu/archive/m38s12/public_html/sources/Hall1935.pdf P. Hall, On representatives of subsets, Journal of the London Mathematical Society 10 (1935) pp. 26-30.]

* [https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0517-0534.pdf A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn: Coverings of bipartite graphs, Canad J. Math., (1958), 517-534.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Рёберное ядро

2018-11-03T04:52:22Z

Vsklamm: /* Примеры */

{{Определение|
definition=
'''Рёберное ядро''' (англ. ''core'') <tex>C_1(G)</tex> графа <tex>G</tex> {{---}} это подграф [[Основные определения теории графов#finite graph|графа]] <tex>G</tex>, порожденный объединением таких независимых множеств <tex>Y \subset E(G)</tex>, что <tex>|Y| = \alpha_{0}(G)</tex>, где <tex>\alpha_{0}(G)</tex> {{---}} число вершинного покрытия.
}}

{{Определение|
definition=
Множество [[Основные определения теории графов#def_graph_edge_1|ребер]] (вершин) называется '''независимым''' (англ. ''independent''), если никакие его два элемента не смежны.
}}
{{Определение
|id=def_3
|definition=
'''Вершинным покрытием''' (англ. ''vertex cover'') графа <tex>G</tex> называется такое множество <tex>V</tex> его вершин, что у любого ребра в <tex>G</tex> хотя бы одна из вершин лежит в <tex>V</tex>.
}}
{{Определение|
definition=
'''Числом вершинного покрытия''' (англ. ''point-covering number'') называется число вершин в наименьшем вершинном покрытии графа <tex>G</tex>.
}}
==Критерий существования реберного ядра==
{{Определение|
definition=
Наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> с множеством вершин <tex>V</tex> называется '''внешним''' (англ. ''external vertex cover''), если для любого подмножества <tex>M' \subseteq M</tex> выполняется неравенство <tex>|M'| \leqslant |U(M')|</tex>, где <tex>U(M') = \{v \mid \:v \in V(G) \setminus M, \: vu \in E(G), \: u \in M'\}</tex>.
}}
{{Теорема|
statement=
Для произвольного графа <tex>G</tex> следующие утверждения эквивалентны:
(1) <tex>G</tex> имеет не пустое рёберное ядро. 
(2) <tex>G</tex> имеет внешнее наименьшее вершинное покрытие.
(3) каждое наименьшее вершинное покрытие для <tex>G</tex> является внешним.
|proof=
Обозначим минимальное вершинное покрытие <tex>G</tex> как <tex>M</tex>. Пусть <tex>U = V(G) \setminus M</tex>. 
Докажем <tex>(1) \Rightarrow (3)</tex>. Предположим, что в <tex>G</tex> существует наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex>, которое не является внешним.
Это значит что <tex>\exists M' : \: M' = \{u_1, \dots, u_r \}, </tex> где <tex>r \leqslant \alpha_0(G)</tex>,
такое что <tex>|M'| > |U(M')|.</tex> Пусть <tex>U(M') = \{u_1, \dots, u_t\}, \: t < r</tex>. Так же, пусть <tex>X</tex> {{---}} максимальное независимое множество ребер в <tex>G</tex>. Поскольку никакие две вершины <tex>U</tex> не смежны, каждое ребро из <tex>X</tex> соединено, по крайней мере, с одной вершиной из <tex>M</tex>. Если какое-нибудь ребро из <tex>X</tex> соединено более чем с одной ввершиной из <tex>M</tex>, то <tex>|X| < \alpha_0(G)</tex> и <tex>C_1(G) = \varnothing </tex>. Так что будем считать, что каждое ребро из <tex>X</tex> смежно ровно с одной вершиной из <tex>M</tex>. Из этого сдедует, что <tex>|X| \leqslant t - r + \alpha_0(g) < \alpha_0(G)</tex>. И снова <tex>C_1(G) = \varnothing</tex>. 
Следствие <tex>(3) \Rightarrow (2)</tex> {{---}} очевидно. 
Докажем <tex>(2) \Rightarrow (1)</tex>.
Пусть <tex>M = \{v_1, \dots, v_s\}</tex> {{---}} наименьшее внешнее вершинное покрытие. Пусть <tex>Y_i = \{u \mid u \in U, uv_i \in E(G) \}</tex>. Тогда для любого <tex>k: \:\: 1 \leqslant k \leqslant s</tex>, объединение любых <tex>k</tex> различных множеств <tex>Y_i</tex> содержит, по меньшей мере <tex>k</tex> вершин.
Следовательно, по теореме Холла<ref>Hall, 1935, pp. 26-30.</ref>, существует множество <tex>s</tex> различных вершин <tex>\{y_1, \dots, y_s\}, \: y_j \in Y_j</tex>. Следовательно существует набор независимых ребер <tex>y_1v_1, \dots, y_sv_s</tex>. А значит <tex>C_1(G)</tex> не может быть пустым.
}}
[[Файл:EdgeCore.png|thumb|500px|рис. 1. a) граф <tex>H</tex>, б) реберное ядро графа <tex>H</tex> ]]
В качестве примера рассмотрим граф <tex>H</tex> изображенный на рис. 1 а). Этот граф имеет два наименьших вершинных покрытия: <tex>M_1 = \{B, E, F\}</tex> и <tex>M_2 = \{B, E, G\}</tex>.
Пусть <tex>M_1' = M_1</tex> то <tex>U(M_1') = \{A, C, D, G\}</tex>. Пусть <tex>M_1'' = \{E, F\}</tex>. Тогда <tex>U(M_1'') =\{C, D, G\}</tex>.
Отсюда <tex>|M_1'| \leqslant |U(M_1')|</tex> и <tex>|M_1''| \leqslant |U(M_1'')|</tex>. И это верно для любого подмножества <tex>M_1</tex>. Значит, <tex>M_1</tex> {{---}} внешнее покрытие. Значит и <tex>M_2</tex> {{---}} внешнее покрытие.
 

==Реберное ядро в двудольном графе==
Здесь и далее будем рассматривать [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G</tex>, в котором обозначим <tex>S</tex> {{---}} множество вершин левой доли, <tex>T</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
{{Определение |
definition= <tex>G</tex> {{---}} '''полунесводимый граф''' (англ. ''semi-irreducible graph''), если <tex>G</tex> имеет ровно одно вершинное покрытие <tex>M</tex>, такое что или <tex>M \cap S</tex> или <tex>M \cap T</tex> {{---}} пусто
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''несводимый''' граф (англ. ''irreducible graph''), если он имеет ровно два наименьших вершинных покрытия <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>, таких что либо <tex>M_1 \cap S \cup M_2 \cap T = \varnothing </tex>, либо <tex>M_2 \cap S \cup M_1 \cap T = \varnothing</tex>
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''сводимый граф''' (англ. ''reducible graph'') если он не является ни полунесводимым, ни сводимым.
}}

{{Теорема|
id=th2|
statement=
Если оба конца ребра <tex>w \in E(G)</tex> покрыто некоторым минимальным вершинным покрытием, то <tex>w \notin C_1(G)</tex>.
|proof=
Сошлемся на теорему <tex>(3)</tex> аналогичного результата<ref>A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn, 1958, pp. 517-534.</ref> для двудольных графов. То же самое доказательство можно перенести на произвольный граф.
}}
{{ Утверждение
|about=Следствие 1
|statement=Eсли <tex>G</tex> имеет минимальное вершинное покрытие, которое не является независимым, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>. 
}}

{{ Утверждение
|about=Следствие 2
|id=proposal2
|statement=Если <tex>G</tex> {{---}} сводимый связный двудольный граф, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>.
}}

{{Теорема|
id=th3|
statement=
Если <tex>G</tex> имеет непустое реберное ядро, то <tex>C_1(G) \supset G</tex>, <tex>C_1(C_1(G)) = C_1(G)</tex>, а компоненты <tex>C_1(G)</tex> являются несводимыми или полунесводимыми двудольными подграфами <tex>G</tex>
}}

{{Теорема
|id=th4
|statement=
<tex>G</tex> и его реберное ядро <tex>C_1(G)</tex> совпадают тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> является двудольным и не является сводимым.
}}

=== Примеры ===
Рассмотрим двудольные графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, изображенные на рисунках 1 и 2. В графе <tex>G_1</tex> пусть <tex>S_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и <tex>T_1 = \{v_1, v_2, v_4, v_5, v_7 \}</tex>. Этот граф имеет единственное наименьшее вершинное покрытие <tex>M_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и, поскольку <tex>M_1 \cap T_1 = \varnothing</tex>, он полунесводимый; следовательно, он совпадает со своим рёберным ядром. В графе <tex>G_2</tex> пусть <tex>S_2 = \{u_1, u_4, u_5\}</tex> и <tex>T_2 = \{u_2, u_3, u_6\}</tex>. В нём два наименьших вершинных покрытия, именно <tex>M_2 = \{u_1,u_4, u_5\}</tex> и <tex>N_2 = \{u_2, u_3, u_6\}. Так как <tex>M_2 \cap T_2 = \varnothing</tex> и <tex>N_2 \cap S_2 = \varnothing</tex>, то <tex>G_2</tex> {{{---}}} несводимый граф и, значит, совпадает со своим рёберным ядром.

== См. также ==
* [[NP-полнота задачи о независимом множестве]]
* [[Теория Рамсея]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

==Примечания==
<references />

== Источники информации ==

* [https://math.dartmouth.edu/archive/m38s12/public_html/sources/Hall1935.pdf P. Hall, On representatives of subsets, Journal of the London Mathematical Society 10 (1935) pp. 26-30.]

* [https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0517-0534.pdf A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn: Coverings of bipartite graphs, Canad J. Math., (1958), 517-534.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Рёберное ядро

2018-10-30T11:33:14Z

Vsklamm: /* Реберное ядро в двудольном графе */

{{Определение|
definition=
'''Рёберное ядро''' (англ. ''core'') <tex>C_1(G)</tex> графа <tex>G</tex> {{---}} это подграф [[Основные определения теории графов#finite graph|графа]] <tex>G</tex>, порожденный объединением таких независимых множеств <tex>Y \subset E(G)</tex>, что <tex>|Y| = \alpha_{0}(G)</tex>, где <tex>\alpha_{0}(G)</tex> {{---}} число вершинного покрытия.
}}

{{Определение|
definition=
Множество [[Основные определения теории графов#def_graph_edge_1|ребер]] (вершин) называется '''независимым''' (англ. ''independent''), если никакие его два элемента не смежны.
}}
{{Определение
|id=def_3
|definition=
'''Вершинным покрытием''' (англ. ''vertex cover'') графа <tex>G</tex> называется такое множество <tex>V</tex> его вершин, что у любого ребра в <tex>G</tex> хотя бы одна из вершин лежит в <tex>V</tex>.
}}
{{Определение|
definition=
'''Числом вершинного покрытия''' (англ. ''point-covering number'') называется число вершин в наименьшем вершинном покрытии графа <tex>G</tex>.
}}
==Критерий существования реберного ядра==
{{Определение|
definition=
Наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> с множеством вершин <tex>V</tex> называется '''внешним''' (англ. ''external vertex cover''), если для любого подмножества <tex>M' \subseteq M</tex> выполняется неравенство <tex>|M'| \leqslant |U(M')|</tex>, где <tex>U(M') = \{v \mid \:v \in V(G) \setminus M, \: vu \in E(G), \: u \in M'\}</tex>.
}}
{{Теорема|
statement=
Для произвольного графа <tex>G</tex> следующие утверждения эквивалентны:
(1) <tex>G</tex> имеет не пустое рёберное ядро. 
(2) <tex>G</tex> имеет внешнее наименьшее вершинное покрытие.
(3) каждое наименьшее вершинное покрытие для <tex>G</tex> является внешним.
|proof=
Обозначим минимальное вершинное покрытие <tex>G</tex> как <tex>M</tex>. Пусть <tex>U = V(G) \setminus M</tex>. 
Докажем <tex>(1) \Rightarrow (3)</tex>. Предположим, что в <tex>G</tex> существует наименьшее вершинное покрытие <tex>M</tex>, которое не является внешним.
Это значит что <tex>\exists M' : \: M' = \{u_1, \dots, u_r \}, </tex> где <tex>r \leqslant \alpha_0(G)</tex>,
такое что <tex>|M'| > |U(M')|.</tex> Пусть <tex>U(M') = \{u_1, \dots, u_t\}, \: t < r</tex>. Так же, пусть <tex>X</tex> {{---}} максимальное независимое множество ребер в <tex>G</tex>. Поскольку никакие две вершины <tex>U</tex> не смежны, каждое ребро из <tex>X</tex> соединено, по крайней мере, с одной вершиной из <tex>M</tex>. Если какое-нибудь ребро из <tex>X</tex> соединено более чем с одной ввершиной из <tex>M</tex>, то <tex>|X| < \alpha_0(G)</tex> и <tex>C_1(G) = \varnothing </tex>. Так что будем считать, что каждое ребро из <tex>X</tex> смежно ровно с одной вершиной из <tex>M</tex>. Из этого сдедует, что <tex>|X| \leqslant t - r + \alpha_0(g) < \alpha_0(G)</tex>. И снова <tex>C_1(G) = \varnothing</tex>. 
Следствие <tex>(3) \Rightarrow (2)</tex> {{---}} очевидно. 
Докажем <tex>(2) \Rightarrow (1)</tex>.
Пусть <tex>M = \{v_1, \dots, v_s\}</tex> {{---}} наименьшее внешнее вершинное покрытие. Пусть <tex>Y_i = \{u \mid u \in U, uv_i \in E(G) \}</tex>. Тогда для любого <tex>k: \:\: 1 \leqslant k \leqslant s</tex>, объединение любых <tex>k</tex> различных множеств <tex>Y_i</tex> содержит, по меньшей мере <tex>k</tex> вершин.
Следовательно, по теореме Холла<ref>Hall, 1935, pp. 26-30.</ref>, существует множество <tex>s</tex> различных вершин <tex>\{y_1, \dots, y_s\}, \: y_j \in Y_j</tex>. Следовательно существует набор независимых ребер <tex>y_1v_1, \dots, y_sv_s</tex>. А значит <tex>C_1(G)</tex> не может быть пустым.
}}
[[Файл:EdgeCore.png|thumb|500px|рис. 1. a) граф <tex>H</tex>, б) реберное ядро графа <tex>H</tex> ]]
В качестве примера рассмотрим граф <tex>H</tex> изображенный на рис. 1 а). Этот граф имеет два наименьших вершинных покрытия: <tex>M_1 = \{B, E, F\}</tex> и <tex>M_2 = \{B, E, G\}</tex>.
Пусть <tex>M_1' = M_1</tex> то <tex>U(M_1') = \{A, C, D, G\}</tex>. Пусть <tex>M_1'' = \{E, F\}</tex>. Тогда <tex>U(M_1'') =\{C, D, G\}</tex>.
Отсюда <tex>|M_1'| \leqslant |U(M_1')|</tex> и <tex>|M_1''| \leqslant |U(M_1'')|</tex>. И это верно для любого подмножества <tex>M_1</tex>. Значит, <tex>M_1</tex> {{---}} внешнее покрытие. Значит и <tex>M_2</tex> {{---}} внешнее покрытие.
 

==Реберное ядро в двудольном графе==
Здесь и далее будем рассматривать [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G</tex>, в котором обозначим <tex>S</tex> {{---}} множество вершин левой доли, <tex>T</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
{{Определение |
definition= <tex>G</tex> {{---}} '''полунесводимый граф''' (англ. ''semi-irreducible graph''), если <tex>G</tex> имеет ровно одно вершинное покрытие <tex>M</tex>, такое что или <tex>M \cap S</tex> или <tex>M \cap T</tex> {{---}} пусто
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''несводимый''' граф (англ. ''irreducible graph''), если он имеет ровно два наименьших вершинных покрытия <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>, таких что либо <tex>M_1 \cap S \cup M_2 \cap T = \varnothing </tex>, либо <tex>M_2 \cap S \cup M_1 \cap T = \varnothing</tex>
}}
{{Определение|
definition=
<tex>G</tex> {{---}} '''сводимый граф''' (англ. ''reducible graph'') если он не является ни полунесводимым, ни сводимым.
}}

{{Теорема|
id=th2|
statement=
Если оба конца ребра <tex>w \in E(G)</tex> покрыто некоторым минимальным вершинным покрытием, то <tex>w \notin C_1(G)</tex>.
|proof=
Сошлемся на теорему <tex>(3)</tex> аналогичного результата<ref>A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn, 1958, pp. 517-534.</ref> для двудольных графов. То же самое доказательство можно перенести на произвольный граф.
}}
{{ Утверждение
|about=Следствие 1
|statement=Eсли <tex>G</tex> имеет минимальное вершинное покрытие, которое не является независимым, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>. 
}}

{{ Утверждение
|about=Следствие 2
|id=proposal2
|statement=Если <tex>G</tex> {{---}} сводимый связный двудольный граф, то <tex>G \neq C_1(G)</tex>.
}}

{{Теорема|
id=th3|
statement=
Если <tex>G</tex> имеет непустое реберное ядро, то <tex>C_1(G) \supset G</tex>, <tex>C_1(C_1(G)) = C_1(G)</tex>, а компоненты <tex>C_1(G)</tex> являются несводимыми или полунесводимыми двудольными подграфами <tex>G</tex>
}}

{{Теорема
|id=th4
|statement=
<tex>G</tex> и его реберное ядро <tex>C_1(G)</tex> совпадают тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> является двудольным и не является сводимым.
}}

=== Примеры ===
Рассмотрим двудольные графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, изображенные на рисунке. В графе <tex>G_1</tex> пусть <tex>S_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и <tex>T_1 = \{v_1, v_2, v_4, v_5, v_7 \}</tex>. Этот граф имеет единственное наименьшее вершинное покрытие <tex>M_1 = \{v_3, v_6\}</tex> и, поскольку <tex>M_1 об T_1 = пуст</tex>, он полунесводимый; сдеовательно, он совпадает со своим рёберным графом. В графе <tex>G_2</tex> пусть <tex>S_2 = \{u_1, u_4, u_5\}</tex>...

== См. также ==
* [[NP-полнота задачи о независимом множестве]]
* [[Теория Рамсея]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

==Примечания==
<references />

== Источники информации ==

* [https://math.dartmouth.edu/archive/m38s12/public_html/sources/Hall1935.pdf P. Hall, On representatives of subsets, Journal of the London Mathematical Society 10 (1935) pp. 26-30.]

* [https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0517-0534.pdf A. L. Dulmage and N. S. Mendelsohn: Coverings of bipartite graphs, Canad J. Math., (1958), 517-534.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Префикс-функция

2018-10-29T00:13:08Z

Vsklamm: /* Эффективный алгоритм */

{{Определение
|definition = '''Префикс-функция''' ''(англ. prefix-function)'' от строки {{---}} массив длин наибольших [[Период_и_бордер,_их_связь#Определения|бордеров]] для каждой позиции этой строки}}
Здесь и далее считаем, что символы в строках нумеруются с <tex>0</tex>.

Определим префикс-функцию от строки <tex>s</tex> в позиции <tex>i</tex> следующим образом: <tex>\pi(s, i) = \max\limits_{k = 0 \ldots i - 1} \{k : </tex> <tex>s[0 \ldots k] = s[i - k \ldots i] \}</tex>. Если мы не нашли такого <tex>k</tex>, то <tex>\pi(s, i)=0</tex>.

==Наивный алгоритм==
Наивный алгоритм вычисляет префикс-функцию непосредственно по определению, сравнивая префиксы и суффиксы строк. Обозначим длину строки за <tex>n</tex>. Будем считать, что префикс-функция хранится в массиве <tex> p </tex>.

===Псевдокод===
'''int'''[] prefixFunction('''string''' s):
'''int'''[] p = '''int'''[s.length]
fill(p, 0)
'''for''' i = 0 '''to''' s.length - 1
'''for''' k = 0 '''to''' i - 1
'''if''' s[0..k] == s[i - k..i]
p[i] = k
'''return''' p

===Пример===
Рассмотрим строку <tex>abcabcd</tex>, для которой значение префикс-функции равно <tex>[0,0,0,1,2,3,0]</tex>.
{| class="wikitable"
! Шаг || Строка || Значение функции
|-
| <tex>1</tex> || a || 0
|-
| <tex>2</tex> || ab || 0
|-
| <tex>3</tex> || abc || 0
|-
| <tex>4</tex> || abca || 1
|-
| <tex>5</tex> || abcab || 2
|-
| <tex>6</tex> || abcabc || 3
|-
| <tex>7</tex> || abcabcd || 0
|}

===Время работы===
Всего <tex>O(n^2)</tex> итераций цикла, на каждой из который происходит сравнение строк за <tex>O(n)</tex>, что дает в итоге <tex>O(n^3)</tex>.

==Эффективный алгоритм==
Вносятся несколько важных замечаний:
* Заметим, что <tex>p[i + 1] \leqslant p[i] + 1</tex>. Чтобы показать это, рассмотрим суффикс,оканчивающийся на позиции <tex>i + 1</tex> и имеющий длину <tex>p[i + 1]</tex>, удалив из него последний символ, мы получим суффикс, оканчивающийся на позиции <tex>i</tex> и имеющий длину <tex>p[i + 1] - 1</tex>, следовательно неравенство <tex>p[i + 1] > p[i] + 1</tex> неверно.
* Избавимся от явных сравнений строк. Пусть мы вычислили <tex>p[i]</tex>, тогда, если <tex>s[i + 1] = s[p[i]]</tex>, то <tex>p[i + 1] = p[i] + 1</tex>. Если окажется, что <tex>s[i + 1] \ne s[p[i]]</tex>, то нужно попытаться попробовать подстроку меньшей длины. Хотелось бы сразу перейти к такому [[Период_и_бордер,_их_связь#Определения|бордеру]] наибольшей длины, для этого подберем такое <tex>k</tex>, что <tex>k = p[i] - 1</tex>. Делаем это следующим образом. За исходное <tex>k</tex> необходимо взять <tex>p[i - 1]</tex>, что следует из первого пункта. В случае, когда символы <tex>s[k+1]</tex> и <tex>s[i]</tex> не совпадают, <tex>p[k]</tex> {{---}} следующее потенциальное наибольшее значение <tex>k</tex>, что видно из рисунка. Последнее утверждение верно, пока <tex>k>0</tex>, что позволит всегда найти его следующее значение. Если <tex>k=0</tex>, то <tex>p[i]=1</tex> при <tex>s[i] = s[1]</tex> , иначе <tex>p[i]=0</tex>.

[[Файл:mprfx.jpg|800px]]

===Псевдокод===
'''int'''[] prefixFunction('''string''' s):
p[0] = 0
'''for''' i = 1 '''to''' s.length - 1
k = p[i - 1]
'''while''' k > 0 '''and''' s[i] != s[k]
k = p[k - 1]
'''if''' s[i] == s[k]
k++
p[i] = k
'''return''' p

===Время работы===
Время работы алгоритма составит <tex>O(n)</tex>. Для доказательства этого нужно заметить, что итоговое количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> определяет асимптотику алгоритма. Теперь стоит отметить, что <tex>k</tex> увеличивается на каждом шаге не более чем на единицу, значит максимально возможное значение <tex>k = n - 1</tex>. Поскольку внутри цикла <tex>\mathrm{while}</tex> значение <tex>k</tex> лишь уменьшается, получается, что <tex>k</tex> не может суммарно уменьшиться больше, чем <tex>n-1</tex> раз. Значит цикл <tex>\mathrm{while}</tex> в итоге выполнится не более <tex>n</tex> раз, что дает итоговую оценку времени алгоритма <tex>O(n)</tex>.

== Построение префикс-функции по Z-функции==
=== Постановка задачи ===
Дан массив с корректной [[Z-функция | Z-функцией]] для строки <tex>s</tex>, получить за <tex>O(n)</tex> массив с префикс-функцией для строки <tex>s</tex>.

=== Описание алгоритма ===
Пусть Z-функция хранится в массиве <tex>z[0 \ldots n-1]</tex>. Префикс-функцию будем записывать в массив <tex>p[0 \ldots n-1]</tex>.
Заметим, что если <tex>z[i] > 0, </tex> то для всех элементов с индексом <tex>i + j</tex>, где <tex>0 \leqslant j < z[i] </tex>, значение <tex>p[i + j] </tex> будет не меньше, чем длина подстроки с <tex> i </tex> по <tex> i + j</tex>, что равно <tex>j + 1</tex> (как изображено на рисунке).

Также заметим, что если мы уже установили в какую-то позицию значение <tex> j </tex> с позиции <tex> i </tex>, а потом пытаемся установить значение <tex> j' </tex> c позиции <tex> i' </tex>, причём <tex> i < i' </tex> и <tex> i + j = i' + j' </tex>, то изменение с позиции <tex> i' </tex> только уменьшит значение <tex> p[i + j]</tex>. Действительно, значение после первого присвоения <tex>p[i + j] = j > j' = p[i' + j']</tex>. В итоге получаем алгоритм: идем слева направо по массиву <tex>z</tex> и, находясь на позиции <tex>i</tex>, пытаемся записать в <tex>p</tex> от позиции <tex>i + z[i] - 1 </tex> до <tex>i</tex> значение <tex> j + 1,</tex> где <tex>j</tex> пробегает все значения <tex> 0 \dots z[i] - 1</tex>, пока не наткнемся на уже инициализированный элемент. Слева от него все значения тоже нет смысла обновлять, поэтому прерываем эту итерацию.

Убедимся, что алгоритм работает за линейное время (см. псевдокод). Каждый элемент устанавливается ровно один раз. Дальше на нем может случиться только <tex>\mathrm{break}</tex>. Поэтому в итоге внутренний цикл суммарно отработает за количество установленных значений и количество <tex>\mathrm{break}</tex>. Количество установленных значений {{---}} <tex> n</tex>. А число <tex>\mathrm{break}</tex> тоже будет не больше <tex>n</tex>, так как каждый <tex>\mathrm{break}</tex> переводит внешний цикл на следующую итерацию, откуда получаем итоговую асимптотику <tex>O(n)</tex>.

[[Файл:ZP4.jpg|800px]]

=== Псевдокод ===
'''int'''[] buildPrefixFunctionFromZFunction('''int'''[] z):
'''int'''[] p = '''int'''[z.length]
fill(p, 0)
'''for''' i = 1 '''to''' z.length - 1
'''for''' j = z[i] - 1 '''downto''' 0
'''if''' p[i + j] > 0
'''break'''
'''else'''
p[i + j] = j + 1
'''return''' p

==Построение строки по префикс-функции==
===Постановка задачи===
Восстановить строку по префикс-функции за <tex>O(n)</tex>, считая алфавит неограниченным.

===Описание алгоритма===
Пусть в массиве <tex>p</tex> хранятся значения префикс-функции, в <tex>s</tex> будет записан ответ. Пойдем по массиву <tex>p</tex> слева направо.

Пусть мы хотим узнать значение <tex>s[i]</tex>. Для этого посмотрим на значение <tex>p[i]</tex>: если <tex>p[i] =0</tex>, тогда в <tex>s[i]</tex> запишем новый символ, иначе <tex>s[i] = s[p[i] - 1]</tex>. Обратим внимание, что <tex>s[p[i] - 1]</tex> нам уже известно, так как <tex>p[i] - 1 < i</tex>.

=== Реализация ===
'''string''' buildFromPrefix('''int'''[] p):
s = ""
'''for''' i = 0 '''to''' p.length - 1
'''if''' p[i] == 0
s += new character
'''else'''
s += s[p[i] - 1]
'''return''' s

===Доказательство корректности алгоритма===
Докажем, что если нам дали корректную префикс-функцию, то наш алгоритм построит строку с такой же префикс-функцией. Также заметим, что строк с такой префикс-функцией может быть много, и алгоритм строит только одну из них.

Пусть <tex>p</tex> {{---}} данная префикс-функция, строку <tex>s</tex> построил наш алгоритм, <tex> q </tex> {{---}} массив значений префикс-функции для <tex>s</tex>.

Докажем корректность индукцией по длине массива префикс-функции полученной строки. Для начала заметим, что на предыдущие значения массива <tex> q </tex> прибавление нового символа не влияет, так как при подсчёте префикс-функции на <tex> i </tex>-ой позиции рассматриваются символы на позициях не больше <tex> i </tex>. Поэтому достаточно показать, что очередное значение префикс-функции будет вычислено правильно.
* База очевидна для строки длины <tex>1</tex>.
* Переход: пусть до <tex>n</tex>-ой позиции мы построили строку, что <tex>p[0 \ldots n - 1] = q[0 \ldots n - 1]</tex>. Возможны два случая:
** <tex>p[n] = 0</tex>. Тогда мы добавляем новый символ, поэтому <tex>q[n]</tex> тоже будет равно <tex>0</tex>.
** <tex>p[n] > 0</tex>. Бордер строки <tex> s[0 \ldots n - 1] </tex> имеет длину <tex> p[n-1] = q[n-1] </tex>. Поэтому если дописать к строке <tex> s </tex> символ <tex> s[q[n] - 1] </tex>, то бордер нашей новой строки <tex> s[0 \ldots n] </tex> станет равен <tex> p[n] </tex>, как можно увидеть на [[Префикс-функция#Эффективный алгоритм | рисунке]].

== Критерий корректности значений префикс-функции ==
{{Задача
|definition = Дан массив значений префикс-функции некоторой строки <tex>s</tex>, необходимо проверить, корректен ли он за <tex>O(|s|)</tex>. Так же узнать размер минимального алфавита, при котором он корректен.
}}

=== Решение ===
Если выполняется неравенство <tex>0 \leqslant p[i + 1] \leqslant p[i] + 1</tex>, то мы можем построить строку из алгоритма выше, значит префикс-функция корректна.

Найдем минимальный алфавит, при котором префикс-функция корректна. Если значение префикс-функции в текущей ячейке больше нуля, буква известна и алфавит не нуждается в добавлении новой буквы. Иначе, необходимо исключить все ранее известные буквы, возвращаясь и проверяя для меньших префиксов. Если все уже известные буквы использованы, понятно что, необходимо добавить новую букву.

=== Доказательство корректности ===
Докажем, что найденнный выше алфавит минимален от противного. Допустим, существует строка, использующая алфавит меньшей мощности. Рассмотрим первое вхождение буквы, которая есть в нашем алфавите, а в их отсутствует. Понятно, что для этого символа префикс-функция равна 0, т.к. мы добавили новую букву. Пройдемся циклом <tex>\mathrm{while}</tex> по подпрефиксам. Т.к. в меньшем решении буква не новая, то она увеличит подпрефикс и префикс-функция в новой строке будет отличаться от нуля в этом символе, а должна равняться нулю. Противоречие, следовательно не существует алфаивта меньшей мощности, чем найденный алгоритмом выше.

=== Псевдокод ===
'''bool''' is_correct('''int'''[] p):
'''for''' i = 0 '''to''' p.length - 1
'''if''' i > 0 && p[i] > p[i - 1] + 1 || p[i] < 0
'''return''' '''false'''
'''return''' '''true'''

'''int''' minimal_alphabet('''int'''[] p):
c = 1
s[0] = 0
'''for''' i = 1 '''to''' p.length - 1
'''if''' p[i] == 0
'''fill'''(used, false)
k = p[i - 1]
'''while''' k > 0
used[s[k]] = '''true'''
k = p[k - 1]
s[i] = -1
'''for''' j = 1 '''to''' c
'''if''' !used[j]
s[i] = j;
'''break'''
'''if''' s[i] == -1
s[i] = c++
'''else'''
s[i] = s[p[i] - 1]
'''return''' c

== См. также ==
*[[Z-функция|Z-функция]]
*[[Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта|Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта]]
== Источники информации ==
*[[wikipedia:ru:Префикс-функция | Википедия {{---}} Префикс-функция]]
*[http://e-maxx.ru/algo/prefix_function MAXimal :: algo :: Префикс-функция]
* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. {{---}} 2-е изд. {{---}} М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. {{---}} С. 1296 ISBN 978-5-8459-0857-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Поиск подстроки в строке]]
[[Категория:Точный поиск]]