Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T18:43:31Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. }}
{{Утверждение
|statement=Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].
}}

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
<tex>\Rightarrow</tex> 
Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|right]]
<tex>\Leftarrow</tex> 
Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = v \leadsto w</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:

# Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
# Если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>w \leadsto v \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = w \leadsto v</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая <tex>0</tex>), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>:
* связен,
* имеет только вершины четной степени,
* является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==См. также==
* [[Покрытие ребер графа путями]]
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]

==Источники информации==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T18:40:51Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. }}
{{Утверждение
|statement=Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].
}}

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
<tex>\Rightarrow</tex>
Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|right]]
<tex>\Leftarrow</tex>
Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = v \leadsto w</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:

# Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
# Если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>w \leadsto v \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = w \leadsto v</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая <tex>0</tex>), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>:
* связен,
* имеет только вершины четной степени,
* является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==См. также==
* [[Покрытие ребер графа путями]]
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]

==Источники информации==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T16:51:13Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. }}
 Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|150px|right]]
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|150px|right]]
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = v \leadsto w</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:

# Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
# Если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>w \leadsto v \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = w \leadsto v</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|250px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая <tex>0</tex>), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>: связен, имеет только вершины четной степени и является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==См. также==
* [[Покрытие ребер графа путями]]
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]

==Источники информации==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T16:49:32Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. }}
 Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|150px|right]]
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|150px|right]]
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = v \leadsto w</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:

# Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
# Если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>w \leadsto v \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = w \leadsto v</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая <tex>0</tex>), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>: связен, имеет только вершины четной степени и является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==См. также==
* [[Покрытие ребер графа путями]]
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]

==Источники информации==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T16:46:07Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. }}
 Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|right]]
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = v \leadsto w</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:

# Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
# Если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>w \leadsto v \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = w \leadsto v</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая <tex>0</tex>), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>: связен, имеет только вершины четной степени и является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==См. также==
* [[Покрытие ребер графа путями]]
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]

==Источники информации==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T16:27:01Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. }}
 Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|left]]
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:

# 1. Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
# 2. если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>(w,v) \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = (w,v)</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая <tex>0</tex>), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>: связен, имеет только вершины четной степени и является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==См. также==
* [[Покрытие ребер графа путями]]
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]

==Источники информации==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T16:25:19Z

Lev Ospennikov: /* Источники */

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. }}
 Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|left]]
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:

# 1. Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
# 2. если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>(w,v) \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = (w,v)</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая <tex>0</tex>), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>:
* Связен;
* Имеет только вершины четной степени;
* Является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==См. также==
* [[Покрытие ребер графа путями]]
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]

==Источники информации==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T16:24:32Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. }}
 Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|left]]
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:

# 1. Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
# 2. если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>(w,v) \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = (w,v)</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая <tex>0</tex>), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>:
* Связен;
* Имеет только вершины четной степени;
* Является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==См. также==
* [[Покрытие ребер графа путями]]
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]

==Источники==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T16:18:51Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. }}
 Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|left]]
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:

1. Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
2. если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>(w,v) \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = (w,v)</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая 0), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>:
* Связен;
* Имеет только вершины четной степени;
* Является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==См. также==
* [[Покрытие ребер графа путями]]
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]

==Источники==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T16:18:25Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. }}
 Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|left]]
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:

1. Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
2. если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>(w,v) \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = (w,v)</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая 0), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>:
* Связен;
* Имеет только вершины четной степени;
* Является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==См. также==
* [[Покрытие ребер графа путями]]
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]

==Источники==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T16:15:09Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. }}
 Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|left]]
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:

1. Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
2. если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>(w,v) \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = (w,v)</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая 0), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>:
* Связен;
* Имеет только вершины четной степени;
* Является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==Источники==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T16:14:29Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. }}
 Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|left]]
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:

1. если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
2. если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>(w,v) \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = (w,v)</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая 0), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>:
* Связен;
* Имеет только вершины четной степени;
* Является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==Источники==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T14:50:03Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]]. }}

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
Необходимость. Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|left]]
Достаточность. Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:

1. если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
2. если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>(w,v) \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = (w,v)</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая 0), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>:
* Связен;
* Имеет только вершины четной степени;
* Является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==Источники==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T14:33:45Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]]. }}

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
Необходимость. Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров, так как при удалении цикла все степени вершин остались четными. Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|left]]
Достаточность. Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможно 2 случая:

1. если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
2. если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>(w,v) \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> хотя бы полуэйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = (w,v)</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая 0), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>:
* Связен;
* Имеет только вершины четной степени;
* Является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==Источники==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T14:32:36Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]]. }}

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
Необходимость. Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров, так как при удалении цикла все степени вершин остались четными. Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|left]]
Достаточность. Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможно 2 случая:

1. если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
2. если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>(w,v) \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> хотя бы полуэйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = (w,v)</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая 0), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>:
* Связен;
* Имеет только вершины четной степени;
* Является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==Источники==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T14:30:15Z

Lev Ospennikov: /* Строение */

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]]. }}

{{Теорема
|statement=
Неодноэлементный [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеров граф]] <tex>G</tex> является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
Необходимость. Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров, так как при удалении цикла все степени вершин остались четными. Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|left]]
Достаточность. Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможно 2 случая:

1. если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
2. если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>(w,v) \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> хотя бы полуэйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = (w,v)</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая 0), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>:
* Связен;
* Имеет только вершины четной степени;
* Является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==Источники==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

2016-01-28T14:28:42Z

Lev Ospennikov:

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]]. }}

{{Теорема
|statement=
Неодноэлементный [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеров граф]] <tex>G</tex> является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>. 
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
Необходимость. Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>. 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров, так как при удалении цикла все степени вершин остались четными. Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|left]]
Достаточность. Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам. 
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможно 2 случая:

1. если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. 
2. если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>(w,v) \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> хотя бы полуэйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = (w,v)</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. 
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая 0), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>. 
Полученный граф <tex>G</tex>:
* Связен;
* Имеет только вершины четной степени;
* Является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. Но по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==Источники==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Файл:ATGexample.jpg

2016-01-28T12:12:13Z

Lev Ospennikov: загружена новая версия «Файл:ATGexample.jpg»: Добавлено недостающее ребро