Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T18:23:30Z

Katyatitkova:

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо для каждого сайта пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала найдём сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>, перебором. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма k-го порядка ==
{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' <tex>k</tex>'''-го порядка''' (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>.
}}

Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, возьмём диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка. Каждая ячейка построена для некоторого набора <tex>k-1</tex> сайтов. Обозначим множество этих сайтов за <tex>S</tex>. [[Пересечение выпуклых многоугольников|Пересечём]] каждую из этих ячеек с ячейками диаграммы первого порядка, построенной на множестве сайтов <tex>P \setminus S</tex>. Когда мы пересекаем ячейку <tex>k-1</tex>-го порядка для точек <tex>S</tex> с ячейкой первого порядка для точки <tex>p_i</tex>, получаем ячейку для множества <tex>S \cup \{p_i\}</tex>. После пересечения ячеек необходимо объединить те, которые отвечают за одинаковый набор сайтов (это могут быть только соседние по ребру ячейки).

Итого совершаем <tex>k</tex> шагов, на каждом строим <tex>O(n)</tex> диграмм Вороного за время <tex>O(n^3)</tex>, пересекаем <tex>O(n)</tex> ячеек с <tex>O(n)</tex> ячейками за <tex>O(n)</tex> времени, а потом объединяем ячейки за <tex>O(n)</tex> (линейное количество соседних рёбер ячейки, а объединение происходит за <tex>O(1)</tex> за счёт структуры РСДС). Итого <tex>O(k \cdot n^3)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка (она же farthest-point диаграмма) для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является '''farthest-point диаграммой''', т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Свойства ===
{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-inside.png|200px|right]]Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p_i</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём луч <tex>q p_i</tex>. Он пересечёт ребро выпуклой оболочки <tex>p_j p_k</tex>. Получатся два смежных угла, рассмотрим тот, который оказался прямым или тупым. Тогда в полученном треугольнике <tex>\rho(q, p_j) > \rho(q, p_i)</tex>, так как напротив большего угла лежит большая сторона. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== См. также ==
* [[Трапецоидная карта]]
* [[Триангуляция Делоне]]
* [[Straight skeleton]]

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T18:16:20Z

Katyatitkova: /* Свойства */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо для каждого сайта пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала найдём сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>, перебором. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' <tex>k</tex>'''-го порядка''' (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>.
}}

Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, возьмём диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка. Каждая ячейка построена для каких-то <tex>k-1</tex> сайтов, обозначим их множество за <tex>S</tex>. [[Пересечение выпуклых многоугольников|Пересечём]] каждую из этих ячеек с ячейками диаграммы первого порядка для всех сайтов без <tex>S</tex>. Когда мы пересекаем ячейку <tex>k-1</tex>-го порядка для точек <tex>S</tex> с ячейкой первого порядка для точки <tex>p_i</tex>, получаем ячейку для множества <tex>S \cup \{p_i\}</tex>. После пересечения ячеек необходимо объединить те, которые отвечают за одинаковый набор сайтов (это могут быть только соседние по ребру ячейки).

Итого совершаем <tex>k</tex> шагов, на каждом пересекаем <tex>O(n)</tex> ячеек с <tex>O(n)</tex> ячейками за <tex>O(n)</tex>, а потом объединяем ячейки за <tex>O(n)</tex> (линейное количество соседних рёбер ячейки, а объединение за счёт структуры РСДС происходит за <tex>O(1)</tex>). Итого <tex>O(k \cdot n^3)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка (она же farthest-point диаграмма) для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является '''farthest-point диаграммой''', т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Свойства ===
{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-inside.png|200px|right]]Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p_i</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём луч <tex>q p_i</tex>. Он пересечёт ребро выпуклой оболочки <tex>p_j p_k</tex>. Получатся два смежных угла, рассмотрим тот, который оказался прямым или тупым. Тогда в полученном треугольнике <tex>\rho(q, p_j) > \rho(q, p_i)</tex>, так как напротив большего угла лежит большая сторона. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== См. также ==
* [[Трапецоидная карта]]
* [[Триангуляция Делоне]]
* [[Straight skeleton]]

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T18:11:04Z

Katyatitkova: /* Диаграмма k-го порядка */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо для каждого сайта пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала найдём сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>, перебором. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' <tex>k</tex>'''-го порядка''' (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>.
}}

Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, возьмём диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка. Каждая ячейка построена для каких-то <tex>k-1</tex> сайтов, обозначим их множество за <tex>S</tex>. [[Пересечение выпуклых многоугольников|Пересечём]] каждую из этих ячеек с ячейками диаграммы первого порядка для всех сайтов без <tex>S</tex>. Когда мы пересекаем ячейку <tex>k-1</tex>-го порядка для точек <tex>S</tex> с ячейкой первого порядка для точки <tex>p_i</tex>, получаем ячейку для множества <tex>S \cup \{p_i\}</tex>. После пересечения ячеек необходимо объединить те, которые отвечают за одинаковый набор сайтов (это могут быть только соседние по ребру ячейки).

Итого совершаем <tex>k</tex> шагов, на каждом пересекаем <tex>O(n)</tex> ячеек с <tex>O(n)</tex> ячейками за <tex>O(n)</tex>, а потом объединяем ячейки за <tex>O(n)</tex> (линейное количество соседних рёбер ячейки, а объединение за счёт структуры РСДС происходит за <tex>O(1)</tex>). Итого <tex>O(k \cdot n^3)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка (она же farthest-point диаграмма) для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является '''farthest-point диаграммой''', т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Свойства ===
{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== См. также ==
* [[Трапецоидная карта]]
* [[Триангуляция Делоне]]
* [[Straight skeleton]]

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного]]

Файл:Voronoi-farthest-inside.png

2015-05-14T18:05:25Z

Katyatitkova:

Диаграмма Вороного

2015-05-14T17:44:17Z

Katyatitkova: /* Farthest-point диаграмма */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо для каждого сайта пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала найдём сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>, перебором. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' <tex>k</tex>'''-го порядка''' (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>.
}}

Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, возьмём диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка. Каждая ячейка построена для каких-то <tex>k-1</tex> сайтов, обозначим их множество за <tex>S</tex>. Пересечём каждую из этих ячеек с ячейками диаграммы первого порядка для всех сайтов без <tex>S</tex>. Когда мы пересекаем ячейку с ячейкой первого порядка для точки <tex>p_i</tex>, получаем ячейку для множества <tex>S \cup \{p_i\}</tex>. После пересечения ячеек необходимо объединить те, которые отвечают за одинаковый набор сайтов.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка (она же farthest-point диаграмма) для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является '''farthest-point диаграммой''', т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Свойства ===
{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== См. также ==
* [[Трапецоидная карта]]
* [[Триангуляция Делоне]]
* [[Straight skeleton]]

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T17:43:12Z

Katyatitkova: /* Диаграмма k-го порядка */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо для каждого сайта пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала найдём сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>, перебором. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' <tex>k</tex>'''-го порядка''' (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>.
}}

Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, возьмём диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка. Каждая ячейка построена для каких-то <tex>k-1</tex> сайтов, обозначим их множество за <tex>S</tex>. Пересечём каждую из этих ячеек с ячейками диаграммы первого порядка для всех сайтов без <tex>S</tex>. Когда мы пересекаем ячейку с ячейкой первого порядка для точки <tex>p_i</tex>, получаем ячейку для множества <tex>S \cup \{p_i\}</tex>. После пересечения ячеек необходимо объединить те, которые отвечают за одинаковый набор сайтов.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка (она же farthest-point диаграмма) для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является '''farthest-point диаграммой''', т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== См. также ==
* [[Трапецоидная карта]]
* [[Триангуляция Делоне]]
* [[Straight skeleton]]

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T16:41:50Z

Katyatitkova: /* Инкрементальный алгоритм */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо для каждого сайта пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала найдём сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>, перебором. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
{{Определение
|definition=Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>.
}}

Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка (она же farthest-point диаграмма) для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является '''farthest-point диаграммой''', т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== См. также ==
* [[Трапецоидная карта]]
* [[Триангуляция Делоне]]
* [[Straight skeleton]]

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T16:37:31Z

Katyatitkova: /* Свойства */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо для каждого сайта пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
{{Определение
|definition=Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>.
}}

Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка (она же farthest-point диаграмма) для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является '''farthest-point диаграммой''', т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== См. также ==
* [[Трапецоидная карта]]
* [[Триангуляция Делоне]]
* [[Straight skeleton]]

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T16:33:46Z

Katyatitkova: /* Диаграмма k-го порядка */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо для каждого сайта пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
{{Определение
|definition=Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>.
}}

Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка (она же farthest-point диаграмма) для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является '''farthest-point диаграммой''', т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Все ячейки farthest-point диаграммы выпуклы.
|proof=По построению ячейка — пересечение полуплоскостей, значит, она выпукла.
}}

{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== См. также ==
* [[Трапецоидная карта]]
* [[Триангуляция Делоне]]
* [[Straight skeleton]]

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T16:31:39Z

Katyatitkova: /* Диаграмма k-го порядка */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо для каждого сайта пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
{{Определение
|definition=Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>.
}}

Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является '''farthest-point диаграммой''', т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Все ячейки farthest-point диаграммы выпуклы.
|proof=По построению ячейка — пересечение полуплоскостей, значит, она выпукла.
}}

{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== См. также ==
* [[Трапецоидная карта]]
* [[Триангуляция Делоне]]
* [[Straight skeleton]]

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T16:29:41Z

Katyatitkova: /* Наивный алгоритм */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо для каждого сайта пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
{{Определение
|definition=Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов p_1, p_2, ..., p_k.
}}

Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является '''farthest-point диаграммой''', т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Все ячейки farthest-point диаграммы выпуклы.
|proof=По построению ячейка — пересечение полуплоскостей, значит, она выпукла.
}}

{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== См. также ==
* [[Трапецоидная карта]]
* [[Триангуляция Делоне]]
* [[Straight skeleton]]

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T16:28:43Z

Katyatitkova: /* Farthest-point диаграмма */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
{{Определение
|definition=Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов p_1, p_2, ..., p_k.
}}

Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является '''farthest-point диаграммой''', т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Все ячейки farthest-point диаграммы выпуклы.
|proof=По построению ячейка — пересечение полуплоскостей, значит, она выпукла.
}}

{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== См. также ==
* [[Трапецоидная карта]]
* [[Триангуляция Делоне]]
* [[Straight skeleton]]

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T16:28:10Z

Katyatitkova: /* Диаграмма k-го порядка */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
{{Определение
|definition=Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов p_1, p_2, ..., p_k.
}}

Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Все ячейки farthest-point диаграммы выпуклы.
|proof=По построению ячейка — пересечение полуплоскостей, значит, она выпукла.
}}

{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== См. также ==
* [[Трапецоидная карта]]
* [[Триангуляция Делоне]]
* [[Straight skeleton]]

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T16:06:34Z

Katyatitkova:

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Все ячейки farthest-point диаграммы выпуклы.
|proof=По построению ячейка — пересечение полуплоскостей, значит, она выпукла.
}}

{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== См. также ==
* [[Трапецоидная карта]]
* [[Триангуляция Делоне]]
* [[Straight skeleton]]

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T16:00:43Z

Katyatitkova: /* Инкрементальный алгоритм */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Все ячейки farthest-point диаграммы выпуклы.
|proof=По построению ячейка — пересечение полуплоскостей, значит, она выпукла.
}}

{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T15:59:09Z

Katyatitkova: /* Инкрементальный алгоритм */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Все ячейки farthest-point диаграммы выпуклы.
|proof=По построению ячейка — пересечение полуплоскостей, значит, она выпукла.
}}

{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T14:30:16Z

Katyatitkova: /* Неформальное определение */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Все ячейки farthest-point диаграммы выпуклы.
|proof=По построению ячейка — пересечение полуплоскостей, значит, она выпукла.
}}

{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Участница:Katyatitkova

2015-05-14T12:12:03Z

Katyatitkova:

Екатерина Титкова, 4538, year2011

Участница:Katyatitkova

2015-05-14T12:11:43Z

Katyatitkova: ой

Екатерина Титкова, 4538

Диаграмма Вороного

2015-05-14T12:08:27Z

Katyatitkova: /* Алгоритм */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Все ячейки farthest-point диаграммы выпуклы.
|proof=По построению ячейка — пересечение полуплоскостей, значит, она выпукла.
}}

{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T12:06:11Z

Katyatitkova: /* Farthest-point диаграмма */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Все ячейки farthest-point диаграммы выпуклы.
|proof=По построению ячейка — пересечение полуплоскостей, значит, она выпукла.
}}

{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

=== Алгоритм ===
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T12:05:28Z

Katyatitkova: /* Свойства */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Все ячейки farthest-point диаграммы выпуклы.
|proof=По построению ячейка — пересечение полуплоскостей, значит, она выпукла.
}}

{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Файл:Voronoi-farthest-unbounded.png

2015-05-14T12:01:03Z

Katyatitkova:

Диаграмма Вороного

2015-05-14T11:58:09Z

Katyatitkova: /* Farthest-point диаграмма */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Все ячейки farthest-point диаграммы выпуклы.
|proof=По построению ячейка — пересечение полуплоскостей, значит, она выпукла.
}}

{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T11:53:50Z

Katyatitkova: /* Farthest-point диаграмма */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
{{Определение
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
}}

=== Построение ===
Для построения ячейки farthest-point диаграммы для <tex>p_i</tex> будем пересекать полуплоскости, не содержащие <tex>p_i</tex>, образованные серединными перпендикулярами между <tex>p_i</tex> и остальными сайтами (то есть аналогично обычной диаграмме Вороного, но для пересечения берутся противоположные полуплоскости).

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Все ячейки farthest-point диаграммы выпуклы.
|proof=По построению ячейка — пересечение полуплоскостей, значит, она выпукла.
}}

{{Лемма
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
|proof=Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в <tex>q</tex>, проходящую через <tex>p</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочки, эта окружность пересечёт оболочку или полностью лежит внутри неё. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда <tex>\rho(q, p_i) > \rho(q, p)</tex>. Пришли к противоречию.
}}

{{Лемма
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=
}}

{{Лемма
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
|proof=Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
}}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
|proof=
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-14T10:27:11Z

Katyatitkova: /* Диаграмма k-го порядка */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-13T20:17:36Z

Katyatitkova: /* Farthest-point диаграмма */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-13T20:13:31Z

Katyatitkova: /* Инкрементальный алгоритм */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]
|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Файл:Voronoi-incremental-first-step.png

2015-05-13T20:11:26Z

Katyatitkova:

Файл:Voronoi-incremental-zero-step.png

2015-05-13T20:09:57Z

Katyatitkova:

Диаграмма Вороного

2015-05-13T19:54:31Z

Katyatitkova: /* Связь с триангуляцией Делоне */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Процесс построения диаграммы при добавлении новой точки]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-13T19:50:07Z

Katyatitkova: /* Связь с триангуляцией Делоне */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Процесс построения диаграммы при добавлении новой точки]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-13T19:31:05Z

Katyatitkova:

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Процесс построения диаграммы при добавлении новой точки]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-13T19:16:43Z

Katyatitkova: /* Диаграмма k-го порядка */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-13T19:15:34Z

Katyatitkova: /* Инкрементальный алгоритм */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-13T19:13:41Z

Katyatitkova:

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее <tex>p_j</tex> — им становится <tex>e</tex>;
* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point]]
|}

== Farthest-point диаграмма ==
Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-13T19:10:48Z

Katyatitkova: /* Связь с триангуляцией Делоне */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (''largest empty circle of ''<tex>q</tex>'' with respect to ''<tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее <tex>p_j</tex> — им становится <tex>e</tex>;
* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point]]
|}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-13T19:03:55Z

Katyatitkova: /* Топология диаграммы Вороного */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

[[Файл:voronoi-connected.png|500px]]
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition=Наибольшая пустая окружность точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (<tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее <tex>p_j</tex> — им становится <tex>e</tex>;
* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point]]
|}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Файл:Voronoi-connected.png

2015-05-13T19:01:37Z

Katyatitkova: загружена новая версия «Файл:Voronoi-connected.png»

Файл:Voronoi-connected.png

2015-05-13T18:57:46Z

Katyatitkova:

Диаграмма Вороного

2015-05-13T18:15:58Z

Katyatitkova: /* Топология диаграммы Вороного */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition=Наибольшая пустая окружность точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (<tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее <tex>p_j</tex> — им становится <tex>e</tex>;
* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point]]
|}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-13T18:15:01Z

Katyatitkova: /* Топология диаграммы Вороного */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> по рёбрам можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition=Наибольшая пустая окружность точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (<tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее <tex>p_j</tex> — им становится <tex>e</tex>;
* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point]]
|}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-13T18:02:05Z

Katyatitkova: /* Формальное определение */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы, и, раз пути по рёбрам нет, какая-то из них несвязная. Это возможно, только если какая-то ячейка представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition=Наибольшая пустая окружность точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (<tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее <tex>p_j</tex> — им становится <tex>e</tex>;
* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point]]
|}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-13T17:59:29Z

Katyatitkova: /* Связь с пересечением полуплоскостей */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и составляющие эти ячейки вершины и рёбра.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы, и, раз пути по рёбрам нет, какая-то из них несвязная. Это возможно, только если какая-то ячейка представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition=Наибольшая пустая окружность точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (<tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее <tex>p_j</tex> — им становится <tex>e</tex>;
* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point]]
|}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-13T17:56:31Z

Katyatitkova: /* Связь с пересечением полуплоскостей */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и составляющие эти ячейки вершины и рёбра.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \cap_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы, и, раз пути по рёбрам нет, какая-то из них несвязная. Это возможно, только если какая-то ячейка представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition=Наибольшая пустая окружность точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (<tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее <tex>p_j</tex> — им становится <tex>e</tex>;
* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point]]
|}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-12T07:53:04Z

Katyatitkova: /* Инкрементальный алгоритм */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и составляющие эти ячейки вершины и рёбра.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \cap_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы, и, раз пути по рёбрам нет, какая-то из них несвязная. Это возможно, только если какая-то ячейка представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition=Наибольшая пустая окружность точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (<tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

Обновление РСДС происходит следующим образом:

* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее <tex>p_j</tex> — им становится <tex>e</tex>;
* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

{|
|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb]]
|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb]]
|}

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point]]
|}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-12T07:47:25Z

Katyatitkova: /* Связь с триангуляцией Делоне */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и составляющие эти ячейки вершины и рёбра.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \cap_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы, и, раз пути по рёбрам нет, какая-то из них несвязная. Это возможно, только если какая-то ячейка представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition=Наибольшая пустая окружность точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (<tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|right]]Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала найдём сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|right]]В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

* для ребра <tex>e</tex> в РСДС конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее <tex>p_j</tex> — им становится <tex>e</tex>;
* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point]]
|}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-12T07:45:54Z

Katyatitkova: /* Инкрементальный алгоритм */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и составляющие эти ячейки вершины и рёбра.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \cap_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы, и, раз пути по рёбрам нет, какая-то из них несвязная. Это возможно, только если какая-то ячейка представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition=Наибольшая пустая окружность точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (<tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится триангуляция Делоне для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|Вспомним]], что триангуляции Делоне принадлежат те и только те рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|right]]Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала найдём сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|right]]В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

* для ребра <tex>e</tex> в РСДС конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее <tex>p_j</tex> — им становится <tex>e</tex>;
* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point]]
|}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-12T07:45:23Z

Katyatitkova: /* Инкрементальный алгоритм */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и составляющие эти ячейки вершины и рёбра.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \cap_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы, и, раз пути по рёбрам нет, какая-то из них несвязная. Это возможно, только если какая-то ячейка представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition=Наибольшая пустая окружность точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (<tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится триангуляция Делоне для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|Вспомним]], что триангуляции Делоне принадлежат те и только те рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|right]]Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала найдём сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|left]]В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

* для ребра <tex>e</tex> в РСДС конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее <tex>p_j</tex> — им становится <tex>e</tex>;
* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point]]
|}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Диаграмма Вороного

2015-05-12T07:44:35Z

Katyatitkova: /* Наивный алгоритм */

{{В разработке}}

== Определения ==
=== Совсем неформальное определение ===
[[Файл:voronoi-diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]
Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

=== Формальное определение ===
<tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

{{Определение
|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сайтом''' (''site'').
}}

{{Определение
|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> таких, что для фиксированного сайта <tex>p_i</tex> и любых других сайтов <tex>p_j \in P, \ j \neq i</tex> верно неравенство <tex>\rho(q, p_i) < \rho(q, p_j)</tex>.
}}

{{Определение
|definition='''Диаграмма Вороного''' (''Voronoi diagram'', <tex>Vor(P)</tex>) для сайтов <tex>P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex> на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>P</tex>.
}}

В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и составляющие эти ячейки вершины и рёбра.

== Свойства ==
=== Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
|id=intersect
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \cap_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

=== Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
|proof=[[Файл:voronoi-not-lines.png|200px|thumb|right]] В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы, и, раз пути по рёбрам нет, какая-то из них несвязная. Это возможно, только если какая-то ячейка представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.
}}

=== Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Связь с триангуляцией Делоне ===
{{Определение
|definition=Наибольшая пустая окружность точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>P</tex> (<tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>C_P(q)</tex> содержит три и более сайтов на своей границе.
|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграмму.
Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.
}}

{{Лемма
|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex> такая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.
|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|thumb|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> лежит — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>.
Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>, и никаких других сайтов внутри.
}}

{{Теорема
|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится триангуляция Делоне для этого множества точек.
|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> на границе, внутри которой не будет других сайтов. [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|Вспомним]], что триангуляции Делоне принадлежат те и только те рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
}}

== Построение ==
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

=== Инкрементальный алгоритм ===
[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|right]]Храним диаграмму в РСДС. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала найдём сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|left]]В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.

* для ребра <tex>e</tex> в РСДС конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее <tex>p_j</tex> — им становится <tex>e</tex>;
* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>.

Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.

== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка для первых <tex>k - 1</tex> сайтов и заменить каждую ячейку на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов.

Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.

{|
|[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point]]
|}

{{Утверждение
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
}}

{{Утверждение
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
}}

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Делаем их случайную перестановку, но запомним порядки обхода в выпуклой оболочке по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>). Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

{|
|[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb]]
|}

Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

== Источники ==
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]