Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Производящая функция Дирихле

2017-06-14T17:04:13Z

Ivan Trofimov:

{{Определение
|definition=
'''Производящая функция Дирихле''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') последовательности <tex>\{a_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> — это формальный ряд вида:
<center>
<tex>A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</tex>,
</center>
}}

== Примечание ==
* Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
* Вместо переменной <tex>x</tex> используется <tex>s</tex>. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой.
* Принято писать <tex> \frac{a_n}{n^s} </tex> вместо <tex> {a_n}{n^{-s}} </tex>. Это считается более удобной формой.

== Примеры ==

Самой известной среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана
{{Определение
|definition=
'''Дзета-функция Римана ''' (англ. ''The Riemann zeta function'') — производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности <tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex>, состоящей из единиц:<center>
<tex>\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,</tex>
</center>

}}

Таблица содержит известные производящие функции. Первая из них — это дзета-функция Римана, состоящая из единиц. <tex>[\zeta(s)]^2</tex> является последовательностью количества делителей числа. <tex>\mu(n)</tex> — последовательность Мҷбиуса (англ. Möbius). <tex>H(n)</tex> — последоватльность факторизаций числа. <tex>\phi(n)</tex> — функция Эйлера. <tex>\lambda(s)</tex> — лямбда функция Дирихле.
{| class="wikitable" style="width:20cm" border=1

|-align="center" bgcolor=#EEEEFF
| '''<tex>f(s)</tex>''' || '''Последоватльность''' || '''<tex>{a_n}</tex>'''

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\zeta(s)</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>1/\zeta(s)</tex> || <tex>\mu(n)</tex> || <tex>1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>[\zeta(s)]^2</tex> || <tex>d(n)</tex> || <tex>1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\zeta(s)\zeta(s-k)</tex> || <tex>\sigma_k(n)</tex> ||

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\zeta(s-1)/\zeta(s)</tex> || <tex>\phi(n)</tex> || <tex>1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>1/[2-\zeta(s)]</tex> || <tex>H(n)</tex> || <tex>1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\lambda(s)</tex> || <tex>1/2[1-(-1)^n]</tex> || <tex>1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(\zeta(s)\zeta(s-1))/(\zeta(2s))</tex> || <tex>\psi(n)</tex> || <tex>1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, \dots</tex>
|}
== Операции ==

Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.

=== Умножение ===

Если <tex>A(s)</tex> и <tex>B(s)</tex> — произодящие функции Дирихле двух последовательностей <tex>\{a_n\}_{n=1}^\infty</tex> и <tex>\{b_n\}_{n=1}^\infty</tex> соответсвенно, то <tex>A(s)B(s) = \frac{a_1b_1}{1^s} + \frac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \frac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \frac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} \frac{\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}</tex>, где внутренние суммирование ведется по всем разложением числа <tex>n</tex> в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел.
=== Сложение ===

Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.

=== Единица ===

Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция <tex>1 = 1 ^ {-s}</tex>.

=== Обратимость ===

Любая производящая функция Дирихле <tex>A(s)</tex> с ненулевым свободным членом, <tex>a_1 \neq 0</tex>, обратима: для нее существует функция <tex>B(s)</tex>, такая что <tex>A(s)B(s) = 1</tex>

Attention!
Можно привести доказательство теоремы об обратной функции для дзета-функции Римана
== Источники информации ==
* [http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d62ef84c-a780-11dc-945c-d34917fee0be/47_lando_lekcii_o_proizvodyashih_foo.pdf С.К.Ландо, Леции о производящих функциях, 2007 год]
* [http://mathworld.wolfram.com/DirichletGeneratingFunction.html Dirichlet Generating Function]
* [https://mathlesstraveled.com/2017/01/30/dirichlet-generating-functions/ Dirichlet generating functions]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]

Производящая функция Дирихле

2017-06-14T16:55:24Z

Ivan Trofimov:

{{Определение
|definition=
'''Производящая функция Дирихле''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') последовательности <tex>\{a_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> — это формальный ряд вида:
<center>
<tex>A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</tex>,
</center>
}}

== Примечание ==
* Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
* Вместо переменной <tex>x</tex> используется <tex>s</tex>. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой.
* Принято писать <tex> \frac{a_n}{n^s} </tex> вместо <tex> {a_n}{n^{-s}} </tex>. Это считается более удобной формой.

== Примеры ==

Самой известной среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана
{{Определение
|definition=
'''Дзета-функция Римана ''' (англ. ''The Riemann zeta function'') — производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности <tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex>, состоящей из единиц:<center>
<tex>\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,</tex>
</center>

}}

Таблица содержит известные производящие функции. Первая из них — это дзета-функция Римана, состоящая из единиц. <tex>[\zeta(s)]^2</tex> является последовательностью количества делителей числа. <tex>\mu(n)</tex> — последовательность Мҷбиуса (англ. Möbius). <tex>H(n)</tex> — последоватльность факторизаций числа. <tex>\phi(n)</tex> — функция Эйлера. <tex>\lambda(s)</tex> — лямбда функция Дирихле.
{| class="wikitable" style="width:20cm" border=1

|-align="center" bgcolor=#EEEEFF
| '''<tex>f(s)</tex>''' || '''Последоватльность''' || '''<tex>{a_n}</tex>'''

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\zeta(s)</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>1/\zeta(s)</tex> || <tex>\mu(n)</tex> || <tex>1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>[\zeta(s)]^2</tex> || <tex>d(n)</tex> || <tex>1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\zeta(s)\zeta(s-k)</tex> || <tex>\sigma_k(n)</tex> ||

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\zeta(s-1)/\zeta(s)</tex> || <tex>\phi(n)</tex> || <tex>1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>1/[2-\zeta(s)]</tex> || <tex>H(n)</tex> || <tex>1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\lambda(s)</tex> || <tex>1/2[1-(-1)^n]</tex> || <tex>1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(\zeta(s)\zeta(s-1))/(\zeta(2s))</tex> || <tex>\psi(n)</tex> || <tex>1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, \dots</tex>
|}
== Операции ==

Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.

=== Умножение ===

Если <tex>A(s)</tex> и <tex>B(s)</tex> — произодящие функции Дирихле двух последовательностей <tex>\{a_n\}_{n=1}^\infty</tex> и <tex>\{b_n\}_{n=1}^\infty</tex> соответсвенно, то <tex>A(s)B(s) = \frac{a_1b_1}{1^s} + \frac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \frac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \frac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} \frac{\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}</tex>, где внутренние суммирование ведется по всем разложением числа <tex>n</tex> в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел.
=== Сложение ===

Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.

//пример

=== Единица ===

Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция <tex>1 = 1 ^ {-s}</tex>.

=== Обратимость ===

Любая производящая функция Дирихле <tex>A(s)</tex> с ненулевым свободным членом, <tex>a_1 \neq 0</tex>, обратима: для нее существует функция <tex>B(s)</tex>, такая что <tex>A(s)B(s) = 1</tex>

Attention!
Можно привести доказательство теоремы об обратной функции для дзета-функции Римана
== Источники информации ==
* [http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d62ef84c-a780-11dc-945c-d34917fee0be/47_lando_lekcii_o_proizvodyashih_foo.pdf С.К.Ландо, Леции о производящих функциях, 2007 год]
* [http://mathworld.wolfram.com/DirichletGeneratingFunction.html Dirichlet Generating Function]
* [https://mathlesstraveled.com/2017/01/30/dirichlet-generating-functions/ Dirichlet generating functions]
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]

Участник:Ivan Trofimov

2017-06-14T16:53:06Z

Ivan Trofimov: Удалено содержимое страницы

Производящая функция Дирихле

2017-06-14T16:51:42Z

Ivan Trofimov:

{{Определение
|definition=
'''Производящая функция Дирихле''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') последовательности <tex>\{a_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> — это формальный ряд вида:
<center>
<tex>A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</tex>,
</center>
}}

== Примечание ==
* Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
* Вместо переменной <tex>x</tex> используется <tex>s</tex>. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой.
* Принято писать <tex> \frac{a_n}{n^s} </tex> вместо <tex> {a_n}{n^{-s}} </tex>. Это считается более удобной формой.

== Примеры ==

Самой известной среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана
{{Определение
|definition=
'''Дзета-функция Римана ''' (англ. ''The Riemann zeta function'') — производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности <tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex>, состоящей из единиц:<center>
<tex>\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,</tex>
</center>

}}

Таблица содержит последовательности производящих функций. Первая из них — это дзета-функция Римана, состоящая из единиц. <tex>[\zeta(s)]^2</tex> является последовательностью количества делителей числа. <tex>\mu(n)</tex> — последовательность Мҷбиуса (англ. Möbius). <tex>H(n)</tex> — последоватльность факторизаций числа. <tex>\phi(n)</tex> — функция Эйлера. <tex>\lambda(s)</tex> — лямбда функция Дирихле.
{| class="wikitable" style="width:20cm" border=1

|-align="center" bgcolor=#EEEEFF
| '''<tex>f(s)</tex>''' || '''Последоватльность''' || '''<tex>{a_n}</tex>'''

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\zeta(s)</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>1/\zeta(s)</tex> || <tex>\mu(n)</tex> || <tex>1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>[\zeta(s)]^2</tex> || <tex>d(n)</tex> || <tex>1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\zeta(s)\zeta(s-k)</tex> || <tex>\sigma_k(n)</tex> ||

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\zeta(s-1)/\zeta(s)</tex> || <tex>\phi(n)</tex> || <tex>1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>1/[2-\zeta(s)]</tex> || <tex>H(n)</tex> || <tex>1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\lambda(s)</tex> || <tex>1/2[1-(-1)^n]</tex> || <tex>1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(\zeta(s)\zeta(s-1))/(\zeta(2s))</tex> || <tex>\psi(n)</tex> || <tex>1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, \dots</tex>
|}
== Операции ==

Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.

=== Умножение ===

Если <tex>A(s)</tex> и <tex>B(s)</tex> — произодящие функции Дирихле двух последовательностей <tex>\{a_n\}_{n=1}^\infty</tex> и <tex>\{b_n\}_{n=1}^\infty</tex> соответсвенно, то <tex>A(s)B(s) = \frac{a_1b_1}{1^s} + \frac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \frac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \frac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} \frac{\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}</tex>, где внутренние суммирование ведется по всем разложением числа <tex>n</tex> в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел.
=== Сложение ===

Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.

//пример

=== Единица ===

Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция <tex>1 = 1 ^ {-s}</tex>.

=== Обратимость ===

Любая производящая функция Дирихле <tex>A(s)</tex> с ненулевым свободным членом, <tex>a_1 \neq 0</tex>, обратима: для нее существует функция <tex>B(s)</tex>, такая что <tex>A(s)B(s) = 1</tex>

Attention!
Можно привести доказательство теоремы об обратной функции для дзета-функции Римана
== Источники информации ==
* [http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d62ef84c-a780-11dc-945c-d34917fee0be/47_lando_lekcii_o_proizvodyashih_foo.pdf С.К.Ландо, Леции о производящих функциях, 2007 год]
* [http://mathworld.wolfram.com/DirichletGeneratingFunction.html Dirichlet Generating Function]
* [https://mathlesstraveled.com/2017/01/30/dirichlet-generating-functions/ Dirichlet generating functions]
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]

Участник:Ivan Trofimov

2017-06-14T16:50:59Z

Ivan Trofimov: commit

{{Определение
|definition=
'''Производящая функция Дирихле''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') последовательности <tex>\{a_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> — это формальный ряд вида:
<center>
<tex>A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</tex>,
</center>
}}

== Примечание ==
* Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
* Вместо переменной <tex>x</tex> используется <tex>s</tex>. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой.
* Принято писать <tex> \frac{a_n}{n^s} </tex> вместо <tex> {a_n}{n^{-s}} </tex>. Это считается более удобной формой.

== Примеры ==

Самой известной среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана
{{Определение
|definition=
'''Дзета-функция Римана ''' (англ. ''The Riemann zeta function'') — производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности <tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex>, состоящей из единиц:<center>
<tex>\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,</tex>
</center>

}}

Таблица содержит последовательности производящих функций. Первая из них — это дзета-функция Римана, состоящая из единиц. <tex>[\zeta(s)]^2</tex> является последовательностью количества делителей числа. <tex>\mu(n)</tex> — последовательность Мҷбиуса (англ. Möbius). <tex>H(n)</tex> — последоватльность факторизаций числа. <tex>\phi(n)</tex> — функция Эйлера. <tex>\lambda(s)</tex> — лямбда функция Дирихле.
{| class="wikitable" style="width:20cm" border=1

|-align="center" bgcolor=#EEEEFF
| '''<tex>f(s)</tex>''' || '''Последоватльность''' || '''<tex>{a_n}</tex>'''

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\zeta(s)</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>1/\zeta(s)</tex> || <tex>\mu(n)</tex> || <tex>1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>[\zeta(s)]^2</tex> || <tex>d(n)</tex> || <tex>1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\zeta(s)\zeta(s-k)</tex> || <tex>\sigma_k(n)</tex> ||

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\zeta(s-1)/\zeta(s)</tex> || <tex>\phi(n)</tex> || <tex>1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>1/[2-\zeta(s)]</tex> || <tex>H(n)</tex> || <tex>1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>\lambda(s)</tex> || <tex>1/2[1-(-1)^n]</tex> || <tex>1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots</tex>

|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(\zeta(s)\zeta(s-1))/(\zeta(2s))</tex> || <tex>\psi(n)</tex> || <tex>1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, \dots</tex>
|}
== Операции ==

Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.

=== Умножение ===

Если <tex>A(s)</tex> и <tex>B(s)</tex> — произодящие функции Дирихле двух последовательностей <tex>\{a_n\}_{n=1}^\infty</tex> и <tex>\{b_n\}_{n=1}^\infty</tex> соответсвенно, то <tex>A(s)B(s) = \frac{a_1b_1}{1^s} + \frac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \frac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \frac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} \frac{\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}</tex>, где внутренние суммирование ведется по всем разложением числа <tex>n</tex> в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел.
=== Сложение ===

Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.

//пример

=== Единица ===

Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция <tex>1 = 1 ^ {-s}</tex>.

=== Обратимость ===

Любая производящая функция Дирихле <tex>A(s)</tex> с ненулевым свободным членом, <tex>a_1 \neq 0</tex>, обратима: для нее существует функция <tex>B(s)</tex>, такая что <tex>A(s)B(s) = 1</tex>

Attention!
Можно привести доказательство теоремы об обратной функции для дзета-функции Римана
== Источники информации ==
* [http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d62ef84c-a780-11dc-945c-d34917fee0be/47_lando_lekcii_o_proizvodyashih_foo.pdf С.К.Ландо, Леции о производящих функциях, 2007 год]
* [http://mathworld.wolfram.com/DirichletGeneratingFunction.html Dirichlet Generating Function]
* [https://mathlesstraveled.com/2017/01/30/dirichlet-generating-functions/ Dirichlet generating functions]
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]

Производящая функция Дирихле

2017-06-13T22:04:08Z

Ivan Trofimov: init

{{Определение
|definition=
'''Производящая функция Дирихле''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') последовательности <tex>a_n</tex> — это формальный ряд вида:
<center>
<tex>A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</tex>,
</center>
}}

== Примечание ==
* Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
* что-то про то почему s, а не x

== Примеры ==

Самая известная среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана
{{Определение
|definition=
'''Дзета-функция Римана ''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') -- производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности a1, a2, a3, вида:

a1 +a2 +a3 +... 1s 2s 3s
}}

Ниже таблица с кучей разных примеров

== Операции ==

Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.

=== Умножение ===

A(s) = ann−s и B(s) = bnn−s мы получаем функцию
A(s)B(s)= a1b1 + a1b2 +a2b1 + a1b3 +a3b1 + a1b4 +a2b2 +a4b1 +... 1s 2s 3s 4s
Внутренние суммирование ведется по всем разложениям числа m в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативнную структуру натуральных чисел.

=== Сложение ===

Сложение данных производящих функций соответствует обычному почтенному сложению последовательностей

//пример

=== Единица ===

Существует единица 1 = 1^-s

=== Обратимость ===

Любая производящая функция Дирихле A(s) с ненулевым свободным членом, а1 != 0, обратима: для нее су
Можно привести доказательство теоремы о виде обратной функции для дето-функции Римана
== Источники информации ==
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{---}} Generating function]
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Подсчёт числа объектов]]

Участник:Ivan Trofimov

2017-06-13T20:25:11Z

Ivan Trofimov:

Участник:Ivan Trofimov

2017-06-13T19:06:35Z

Ivan Trofimov:

{{Определение
|definition=
'''Производящая функция''' (англ. ''generating function'') — это формальный степенной ряд:
<center>
<tex>G(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n</tex>,
</center>
порождающий(производящий) последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, \ldots)</tex>.
}}
Метод производящих функций был разработан Эйлером в 1750-х годах.

== Источники информации ==
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{---}} Generating function]
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Подсчёт числа объектов]]

Участник:Ivan Trofimov

2017-06-13T19:05:59Z

Ivan Trofimov: test init

== Источники информации ==
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{---}} Generating function]
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Подсчёт числа объектов]]