Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Обсуждение:Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)

2015-10-03T17:55:07Z

Dmitriy D.:

Доказательство, что <tex>\mathrm{AUT} \subseteq \mathrm{REG}</tex> было неправильное: тот алгоритм неправильно вычисляет <tex>\xi_{ijk}</tex> в случаях, когда <tex>i = j</tex>. (Например, регулярное выражение для автомата с одним принимающим состоянием и переходом в само себя уже получится неправильное). — [[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 21:42, 3 октября 2015 (GST)

Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)

2015-10-03T17:53:19Z

Dmitriy D.: Исправил неправильное доказательство. Кто-нибудь проверьте меня.

{{Теорема
|author=Клини
|statement=Классы [[Детерминированные_конечные_автоматы#Автоматные_языки | автоматных]] и [[Регулярные языки:_два определения_и_их_эквивалентность#REG1 | регулярных]] языков совпадают.
|proof=
[[Файл:Reg0.png|200px|thumb|right|Автоматы для регулярных языков нулевого поколения]]
[[Файл:cup.png|200px|thumb|right|Автомат для объединения двух регулярных языков]]
[[Файл:concat.png|200px|thumb|right|Автомат для конкатенации двух регулярных языков]]
[[Файл:Klenee.png|200px|thumb|right|Автомат для замыкания Клини регулярного языка]]
1. <tex>\mathrm{REG} \subseteq \mathrm{AUT}</tex>.

Для доказательства будем строить автоматы, допускающие регулярные языки (см. картинки справа). При этом будем использовать индукцию по номеру поколения регулярного языка.

'''База.''' <tex>n = 0</tex>.
Для этого достаточно построить автоматы для трех языков:
*<tex>L = \varnothing</tex>,
*<tex>L = \left\{\varepsilon \right\}</tex>,
*<tex>L = \left\{c \right\}</tex>.

'''Индукционный переход'''. Умеем строить автоматы для языков <tex>n</tex>-ого поколения. Будем строить для <tex>n + 1</tex>.
Для этого достаточно научиться строить автоматы для следующих языков (<tex>L, M \in \mathrm{R_n}</tex>):
*<tex>L^\prime = L \cup M</tex>,
*<tex>L^\prime = LM</tex>,
*<tex>L^\prime = L^*</tex>.
Заметим, что по предположению индукции автоматы для <tex>L, M</tex> могут быть построены.

Итого, мы можем по регулярному выражению построить автомат, допускающий тот же язык.

2. <tex>\mathrm{AUT} \subseteq \mathrm{REG}</tex>.

Для доказательства будем строить регулярное выражение, допускающее язык, заданный каким-то автоматом. Пусть задан автомат <tex>A</tex> с набором состояний <tex>Q = \left\{1, 2, \dots n \right\}</tex>.

Определим регулярные выражения, задающие следующие множества слов:

<tex>\xi_{ijk} = \left\{ s \mid \langle i,s \rangle \vdash^* \langle j, \varepsilon \rangle \right\} </tex>, причем в качестве промежуточных вершин выступают только такие, у которых номер не более <tex>k</tex>.

Построим эти регулярные выражения:
*<tex>\xi_{ii0} = (c_1 \mid \dots \mid c_l)^*</tex> , где <tex>c_1, c_2, \dots c_l</tex> символы, по которым есть переход из состояния <tex>i</tex> в него же самого.
*<tex>\xi_{ij0} = c_1 \mid \dots \mid c_l</tex>, где <tex>c_1, c_2, \dots c_l</tex> символы, по которым есть переход из состояния <tex>i</tex> в состояние <tex>j</tex>.
*<tex>\xi_{iik} = (\xi_{ii{k-1}} \mid \xi_{ik{k-1}} (\xi_{kk{k-1}})^* \xi_{ki{k-1}} )^*</tex>.
*<tex>\xi_{ijk} = \xi_{ij{k-1}} \mid \xi_{ik{k-1}} (\xi_{kk{k-1}})^* \xi_{kj{k-1}}</tex>.

Теперь нетрудно задать регулярное выражение для всего языка:

<tex>\varphi = \xi_{s{t_1}n} \mid \xi_{s{t_2}n} \mid \dots \mid \xi_{s{t_r}n}</tex>, где <tex>s</tex> — стартовое состояние, а <tex>t_1, t_2, \dots t_r</tex> — терминальные состояния исходного автомата.

Таким образом, мы построили по автомату регулярное выражение, допускающее тот же самый язык.
}}

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]

Обсуждение:Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)

2015-10-03T17:50:19Z

Dmitriy D.:

Доказательство, что <tex>\mathrm{AUT} \subseteq \mathrm{REG}</tex> неправильное: алгоритм неправильно вычисляет <tex>\xi_{ijk}</tex> в случаях, когда <tex>i = j</tex>. (Например, регулярное выражение для автомата с одним принимающим состоянием и переходом в само себя уже получится неправильное).

На вскидку фикс какой-то такой:

*<tex>\xi_{ii0} = (c_1 \mid \dots \mid c_l)^*</tex> , где <tex>c_1, c_2, \dots c_l</tex> символы, по которым есть переход из состояния <tex>i</tex> в него же самого.
*<tex>\xi_{ij0} = c_1 \mid \dots \mid c_l</tex>, где <tex>c_1, c_2, \dots c_l</tex> символы, по которым есть переход из состояния <tex>i</tex> в состояние <tex>j</tex>.
*<tex>\xi_{iik} = (\xi_{ii{k-1}} \mid \xi_{ik{k-1}} (\xi_{kk{k-1}})^* \xi_{ki{k-1}} )^*</tex>.
*<tex>\xi_{ijk} = \xi_{ij{k-1}} \mid \xi_{ik{k-1}} (\xi_{kk{k-1}})^* \xi_{kj{k-1}}</tex>.

Кто-нибудь проверьте меня и исправьте статью. Это висит там с 2010 года.
— [[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 21:42, 3 октября 2015 (GST)

Обсуждение:Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)

2015-10-03T17:44:20Z

Dmitriy D.:

Доказательство, что <tex>\mathrm{AUT} \subseteq \mathrm{REG}</tex> неправильное: алгоритм неправильно вычисляет <tex>\xi_{ijk}</tex> в случаях, когда <tex>i = j</tex>. (Например, регулярное выражение для автомата с одним принимающим состоянием и переходом в само себя уже получится неправильное).

На вскидку фикс какой-то такой:

*<tex>\xi_{ii0} = (c_1 \mid \dots \mid c_l)^*</tex> , где <tex>c_1, c_2, \dots c_l</tex> символы, по которым есть переход из состояния <tex>i</tex> в него же самого.
*<tex>\xi_{ij0} = c_1 \mid \dots \mid c_l</tex>, где <tex>c_1, c_2, \dots c_l</tex> символы, по которым есть переход из состояния <tex>i</tex> в состояние <tex>j</tex>.
*<tex>\xi_{iik} = (\xi_{ii{k-1}} \mid \xi_{ik{k-1}} (\xi_{kk{k-1}})^* \xi_{ki{k-1}} )^*</tex>.
*<tex>\xi_{ijk} = \xi_{ij{k-1}} \mid \xi_{ik{k-1}} (\xi_{kk{k-1}})^* \xi_{kj{k-1}}</tex>.

— [[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 21:42, 3 октября 2015 (GST)

Обсуждение:Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)

2015-10-03T17:42:48Z

Dmitriy D.: Новая страница: «Доказательство, что <tex>\mathrm{AUT} \subseteq \mathrm{REG}</tex> неправильное: алгоритм неправильно вычисл...»

Доказательство, что <tex>\mathrm{AUT} \subseteq \mathrm{REG}</tex> неправильное: алгоритм неправильно вычисляет <tex>\xi_{ijk}</tex> в случаях, когда <tex>i = j</tex>. (Например, регулярное выражение для автомата с одним принимающим состоянием и переходом в само себя уже получится неправильное).

На вскидку фикс какой-то такой:

*<tex>\xi_{ii0} = (c_1 \mid \dots \mid c_l)^*</tex> , где <tex>c_1, c_2, \dots c_l</tex> символы, по которым есть переход из состояния <tex>i</tex> в него же самого.
*<tex>\xi_{ij0} = c_1 \mid \dots \mid c_l</tex>, где <tex>c_1, c_2, \dots c_l</tex> символы, по которым есть переход из состояния <tex>i</tex> в состояние <tex>j</tex>.
*<tex>\xi_{iik} = \xi_{ii{k-1}} \mid ( \xi_{ik{k-1}} (\xi_{kk{k-1}})^* \xi_{ki{k-1}} )^*</tex>.
*<tex>\xi_{ijk} = \xi_{ij{k-1}} \mid \xi_{ik{k-1}} (\xi_{kk{k-1}})^* \xi_{kj{k-1}}</tex>.

— [[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 21:42, 3 октября 2015 (GST)

Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях

2014-11-17T20:44:30Z

Dmitriy D.: Товарищ Georgeee видимо торопился перед экзаменом и переписал конспект "Задача об устойчивом паросочетании" поверх существующего.

== Паросочетание в двудольном графе==

{{Определение
|id=matching_def
|definition= '''Паросочетание''' <tex>M</tex> в двудольном графе — произвольное множество ребер двудольного графа, такое что никакие два ребра не имеют общей вершины.}}
{{Определение
|definition= Вершины двудольного графа, инцидентные ребрам паросочетания <tex>M</tex>, называются '''покрытыми''', а неинцидентные — '''свободными'''.}}
{{Определение
|definition= '''Чередующаяся цепь''' — путь в двудольном графе, для любых двух соседних ребер которого верно, что одно из них принадлежит паросочетанию <tex>M</tex>, а другое нет.}}
{{Определение
|definition= '''Дополняющая цепь''' — чередующаяся цепь, у которой оба конца свободны.}}

== Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях ==

{{Теорема
|id=theorem1
|statement=
Паросочетание <tex>M</tex> в двудольном графе <tex>G</tex> является максимальным тогда и только тогда, когда в <tex>G</tex> нет дополняющей цепи.
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть в двудольном графе <tex>G</tex> с максимальным паросочетанием <tex>M</tex> существует дополняющая цепь. Тогда пройдя по ней и заменив вдоль нее все ребра, входящие в паросочетание, на невходящие и наоборот, мы получим большее паросочетание. То есть <tex>M</tex> не являлось максимальным. Противоречие.

<tex>\Leftarrow</tex>

В доказательстве используются несколько новых понятий:
{{Определение
|definition= '''Увеличивающая цепь''' — чередующаяся цепь, у которой оба конца свободны.}}
{{Определение
|definition= '''Уменьшающая цепь''' — чередующаяся цепь, у которой оба конца покрыты.}}
{{Определение
|definition= '''Сбалансированная цепь''' — чередующаяся цепь, у которой один конец свободен, а другой покрыт}}

Рассмотрим паросочетание <tex>M</tex> в графе <tex>G</tex> и предположим, что <tex>M</tex> - не наибольшее. Докажем, что тогда имеется увеличивающая цепь относительно <tex>M</tex>. Пусть <tex>M'</tex> - другое паросочетание и <tex>|M'|>|M|</tex>. Рассмотрим подграф <tex>H</tex> графа <tex>G</tex>, образованный теми ребрами, которые входят в одно и только в одно из паросочетаний <tex>M</tex>, <tex>M'</tex>. Иначе говоря, множеством ребер графа <tex>H</tex> является симметрическая разность <tex>M\oplus M'</tex>. В графе <tex>H</tex> каждая вершина инцидентна не более чем двум ребрам (одному из <tex>M</tex> и одному из <tex>M'</tex> ), т.е. имеет степень не более двух. В таком графе каждая компонента связности - путь или цикл. В каждом из этих путей и циклов чередуются ребра из <tex>M</tex> и <tex>M'</tex>. Так как <tex>|M'|>|M|</tex>, имеется компонента, в которой ребер из <tex>M'</tex> содержится больше, чем ребер из <tex>M</tex>. Это может быть только путь, у которого оба концевых ребра принадлежат <tex>M'</tex>. Заметим, что относительно <tex>M</tex> этот путь является увеличивающей (дополняющей) цепью.
}}

==Литература==
* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. '''ISBN 978-5-8114-1068-2'''

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о паросочетании]]

Сопряжённый оператор

2013-02-20T20:11:13Z

Dmitriy D.: Всяким там пора прекратить выпендриваться на викиконспектах и самим учить матан.

{{В разработке}}

Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.

== Естественное вложение ==

<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>. <tex> E^* </tex> называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.

Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.

Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый ''естественный изоморфизм'', сохраняющий норму точки. {{TODO|t=?}}

Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex> F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.

<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex>, тогда <tex> F_x \in E^{**} </tex>.

Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.

<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.

<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.

С другой стороны, по теореме Хана-Банаха, <tex> \forall x_0 \in E, \exists f_0 \in E^* </tex>, что выполняются два условия:
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex>
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.

<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.

Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> {{---}} изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили ''естественное вложение'' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.

<tex> E </tex> называется ''рефлексивным'', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.

Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).

<tex> C[0, 1] </tex> {{---}} не является рефлексивным.

== Сопряженный оператор ==

Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \phi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} ''сопряженный оператор'' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
|proof=
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.

<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>.

Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A*^ \| \le \| A \| </tex>.

Для доказательства в обратную сторону используем теорему Хана-Банаха:

По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.

<tex> Ax \in F </tex>, по теореме Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.

<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.

Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.

}}

== Примеры сопряженных операторов ==

Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.

<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.

Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.

Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:

<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.

В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.

{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> называется ''самосопряженным'', если <tex> A = A^* </tex>
}}

В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.

Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.

Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.

''Интегральный оператор'' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.

Построим сопряженный оператор:

По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=ее у нас в курсе не было. КАК НЕ БЫЛО-ТО???777 НИЧЕГО ШТО ЭТО ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО!!?? -- Вот только <tex>L_p</tex> не совсем гильбертово, ага? (<tex>p \neq 2</tex>)}},

<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются ''сопряженными показателями'').

<tex> L_p^* = L_q </tex>.

<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>

Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.

<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(s, t) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>), и <tex> k = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>

== Ортогональное дополнение ==

Важное значение имеет ''ортогональное дополнение'' (в любом нормированном пространстве):

<tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} ортогональное дополнение <tex> S \subset E^* </tex>.

Аналогично определяется для <tex> T \subset E : T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.

{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ 0 \} = E^{\bot} </tex>.
|proof=

Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:

Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>

Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по теореме Хана-Банаха, <tex> \exists f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.

Второе включение в обратную сторону доказывается аналогично.
}}

Обсуждение:Линейные функционалы

2013-01-16T14:57:20Z

Dmitriy D.: /* Утверждение (Коразмерность ядра функционала) */ Новая тема

* Андрей писал: "у меня в конспекте, вроде, пропущен примерно абзац текста" (перед пунктом "Непрерывность функционала")
** Есть еще такие? В конспекте Алины вроде никаких пропущенных абзацев не наблюдается --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 17:13, 6 января 2013 (GST)

* Андрей писал "еще пять страниц конспекта"
** Точно пять? У Алины в конспекте там осталась только теорема Рисса об общем виде линейного функционала в H. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 17:28, 6 января 2013 (GST)

* Возможно, в конце раздела о коразмерности у меня в конспекте что-то пропущено. --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 20:24, 3 января 2013 (GST)

>>TODO: осталось еще пять страниц конспекта

аххаха, мой конспект всего занимал страниц 5. Хотя вру, на самом деле все 11. И кроме этих 11 страниц мне ничего не понадобилось, чтобы сдать на питерачку. Да, это при том, что пройти мы успели больше.
: И с какой же целью ты, анонимус с исключительнейшими способностями к функциональному анализу, рисуешься здесь перед нами, столь глупыми и ограниченными писателями викиконспектов? --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 00:47, 6 января 2013 (GST)

:Запилил Теорема (характеристика ограниченного функционала в терминах ядра) - Андреев Кирилл
:: Клево. А там действительно "еще 5 страниц конспекта"? Или уже все что должно быть, есть? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 14:41, 13 января 2013 (GST)
:::у меня в конспекте после этого доказательства сраху идет теорема Рисса

== Утверждение (Коразмерность ядра функционала) ==

А что если <tex> f \equiv 0</tex> ? Тогда <tex> dim Ker f = dim X </tex> (совсем не гиперплоскость) и <tex>Codim Ker f = 0</tex>. Это вроде единственный частный случай. Все остальные доказательство покрывает. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 18:57, 16 января 2013 (GST)

Топологические векторные пространства

2013-01-16T13:42:14Z

Dmitriy D.: опечатки

{{В разработке}}

Рассмотрим множество <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.

{{Определение
|definition=
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:
* непрерывность умножения на скаляр: <tex> \alpha x \to \alpha_0 x_0 </tex>, если <tex> \alpha \to \alpha_0 </tex>, <tex> x \to x_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(\alpha_0 x_0) </tex> существует <tex> \varepsilon > 0 </tex> и существует <tex> U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \implies \alpha x \in U(\alpha_0 x_0) </tex>
* непрерывность сложения векторов: <tex> x + y \to x_0 + y_0 </tex>, если <tex> x \to x_0 </tex>, <tex> y \to y_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(x_0 + y_0) </tex> существуют окрестности <tex> U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \implies x + y \in U(x_0 + y_0) </tex>.
}}

В ситуации <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>, когда предел определен поточечно, если <tex> \forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0 </tex> рассмотреть <tex> U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \} </tex>, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.

Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> A, B \subset X </tex>, тогда определим
* <tex>A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}</tex>
*<tex>\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}</tex>

Заметим, что <tex> 2 A \subset A + A </tex>, но обратное не верно. Например, в <tex>X = \mathbb{R}</tex>, <tex> A = \{1, 3\}</tex>: <tex>2A=\{2,6\}</tex>, но <tex>A+A=\{2,4,6\}</tex>.

{{Определение
|definition=
<tex> A </tex> '''закругленное/уравновешенное''', если <tex> \forall \lambda: |\lambda| < 1: \lambda A \subset A </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> A </tex> '''поглощает''' <tex> B </tex>, если <tex> \exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda: |\lambda| > \lambda_0: B \subset \lambda A </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> A </tex> '''радиальное/поглощающее''', если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> A </tex> '''выпуклое''', если <tex> \forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + (1 - \alpha) y \in A </tex>, то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.
}}

Существует стандартная конструкция, которая позволяет уравновесить любое множество.
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>A \subset X</tex> и <tex>\varepsilon > 0</tex>, и <tex>A_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{|\lambda| \leq \varepsilon} \lambda A</tex> Тогда <tex>A_\varepsilon</tex> — уравновешенное.
|proof=
Пусть <tex>|\mu| < 1</tex>, проверим, что <tex>\mu A_{\varepsilon} \subset A_{\varepsilon}</tex>:

<tex>x \in \mu A_{\varepsilon}</tex>. <tex>x = \mu y</tex>. <tex>y \in A_{\varepsilon}</tex>. <tex>y \in \lambda A</tex>. <tex>|\lambda| \le \varepsilon</tex>

<tex>y = \lambda z, z \in A</tex>. Тогда <tex>x = (\mu \lambda) z</tex>, но <tex>|\mu \lambda| = |\mu||\lambda| \leq |\lambda| \leq \varepsilon</tex>

Тогда <tex>x \in (\mu \lambda) A, |\mu \lambda| \leq \varepsilon</tex> и <tex>x \in A_{\varepsilon}</tex>, что и требовалось доказать.
}}

== Теорема о характеристике векторной топологии ==

{{Теорема
|about=характеристика векторной топологии
|statement=
<tex> \tau </tex> — векторная топология на <tex> X </tex> тогда и только тогда, когда:
# <tex> \tau </tex> инвариантна относительно сдвигов: <tex> \tau + x_0 = \tau </tex>
# существует база из радиальных уравновешенных окрестностей нуля
# <tex> \forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex>
|proof=
В прямую сторону:

# Рассмотрим отображение <tex> x \mapsto x + x_0 </tex>, то есть сдвиг на <tex> x_0 </tex>. Это отображение взаимно однозначно, следовательно непрерывно, то есть если <tex> G \in \tau </tex> (открыто), <tex> G + x_0 </tex> также открыто. То есть получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов.
# Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. <tex> \lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0 </tex>, то есть <tex> \forall U(0) \exists \delta > 0, W(0): |\lambda| \le \delta </tex> <tex> x \in W(0) \implies \lambda x \in U(0) \iff \lambda W(0) \subset U(0) \implies \bigcup\limits_{|\lambda| \le \delta} \lambda W(0) \subset U(0) </tex>, где <tex> \lambda W(0) </tex> — уравновешено и окрестность 0.
#: Для радиальности: <tex> \forall x_0 \in X, \lambda \to 0, \lambda x_0 \to 0 x_0 = 0 \implies \forall U(0) \exists \delta > 0: |\lambda| \le \delta, \lambda x_0 \in U(0) </tex>. <tex> x_0 \in {1 \over \lambda} U(0), |\lambda| \le \delta, \left| {1 \over \lambda} \right| \ge {1 \over \delta} </tex>, то есть <tex> U(0) </tex> поглощает <tex> x_0 </tex>.
# <tex> x + y \to 0, x, y \to 0 \quad \forall U(0) \exists U_1(0) \implies U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex>.

В обратную сторону, то есть если соблюдаются эти три свойства, в этой топологии линейные операции непрерывны:

Непрерывность сложения:
*: Вспомогательный факт: если <tex> x \to x_0 </tex>, то <tex> x - x_0 \to 0 </tex>, то есть <tex> x </tex> представимо как <tex> x = x_0 + y, y \to 0 </tex>.
*: Если <tex> x \to x_0, y \to y_0 </tex>. <tex> x = x_0 + u, y = y_0 + v, u \to 0, v \to 0 </tex>. <tex> x + y = (x_0 + y_0) + (u + v) </tex>, где по свойствам предела <tex> (u + v) \to 0 </tex>, что и требуется.

Непрерывность умножения: пусть <tex> \lambda \to \lambda_0, x \to x_0 </tex>, покажем что <tex> \lambda x \to \lambda_0 x_0 </tex>.
Пусть <tex> \lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0 </tex>, <tex> x = x_0 + u, u \to 0 </tex>.
Тогда <tex> \lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u) </tex>.
Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.

1) <tex>\alpha x_0</tex> из радиальной окрестности нуля, значит стремится к нулю.

2) <tex>\alpha \to 0 \implies |\alpha| \le 1</tex>, по условию теоремы <tex> \exists U(0)</tex> — уравновешенное <tex> \implies \alpha U(0) \subset U(0) \implies \alpha u \to 0 </tex>.

3) по условию теоремы <tex>\forall U(0) \exists U_1 (0) : U_1(0)+U_1(0) \subset U(0) \implies 2U_1(0) \subset U(0)</tex>.
Раз <tex>U_1(0)</tex> — окрестность 0 <tex> \implies \exists 2U_2(0) \subset U_1(0) ... \implies 2^n U_n(0) \subset ... \subset 2 U_1 (0) \subset U(0)</tex>
<tex> \implies \exists n_1 : | {\lambda_0 \over 2^{n_1}} | < 1 \implies </tex> если <tex>u \in U_{n_1}(0), 2^{n_1} U_{n_1}(0) \subset U \implies 2^{n_1} u \in U(0) \implies {\lambda_0 \over 2^{n_1}} 2^{n_1} u \in U(0) \implies \lambda_0 u \in U \implies \lambda_0 u \to 0</tex>.

Получили, что скобка стремится к нулю, значит умножение непрерывно.
}}

Любое НП является частным случаем ТВП. Обратное в общем случае неверно, в связи с чем возникает вопрос о том, в каком случае ТВП можно нормировать. Ответ на него дает понятие функционала Минковского.

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> \mu </tex> — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' <tex> p_{\mu} </tex> определяется как <tex> p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda \mu\} </tex>.
}}

Заметим, что если <tex> M, N </tex> — радиальны и <tex> M \subset N </tex>, то <tex> p_N(x) \le p_M(x) </tex>.

Пример:
* <tex> X </tex> — НП, <tex> V_1 = \{ x \mid \|x\| < 1\}, p_{V_1}(x) = \|x\| </tex>, сдедовательно, норма — частный случай функционала Минковского.

{{Утверждение
|statement=
Если <tex> M </tex> — уравновешенное радиальное выпуклое множество, <tex> p_M(X) </tex> — полунорма на <tex> X </tex>.
|proof=
<tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex>

<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) < \lambda_1 < p_M(x) + \varepsilon </tex>, <tex> p_M(y) < \lambda_2 < p_M(y) + \varepsilon </tex>, <tex> x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \implies {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M </tex>. Рассмотрим <tex> \alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2} </tex>, заметим, что <tex> \alpha + \beta = 1 </tex>, из выпуклости получим, что <tex> \alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \implies {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \implies x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M </tex>, то есть <tex> p_M(x + y) < \lambda_1 + \lambda_2 < p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon </tex>, сделав предельный переход, получим <tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex>.

<tex> p_M(\lambda x) = |\lambda| p_M(x) </tex> проверяется аналогично.
}}

{{Определение
|definition=Топологическое пространство <tex>X</tex> называется '''Хаусдорфовым''', если <tex>\forall x, y \in X : x \ne y : \exists U(x) \cap U(y) = \varnothing</tex>
}}

{{Теорема
|author=Колмогоров
|statement=
[[Хаусдорфово]] ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность.
|proof=
В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то <tex> V_r = \{ x : \| x \| \le 1 \} </tex>

{{TODO|t= далее я что-то не особенно осознал, что происходит. На всякий случай — доказательство вроде есть в Люстернике-Соболеве, стр 94, правда оно несколько другое вроде}}

В обратную: пусть <tex> V </tex> — ограниченная выпуклая окрестность нуля. <tex> W </tex> — радиальная уравновешенная) окрестность 0: <tex> W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — выпуклая оболочка множества <tex> W </tex>, <tex> V </tex> — выпуклая, <tex> \mathrm{Cov} W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — радиальное уравновешенное множество, так как <tex> W </tex> — такое же. Из ограниченности <tex> V </tex> следует ограниченность <tex> \mathrm{Cov} W </tex>, то есть, мы построили <tex> V^* = \mathrm{Cov} W </tex> — радиальную уравновешенную выпуклую окрестность <tex> 0 </tex>.

<tex> V^* \to p_{V^*} </tex> — функционал Минковского — полунорма. <tex> V^* </tex> ограничено, тогда <tex> \{ {1 \over n} V^* \} </tex> — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то <tex> \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \implies p_{V^*}(x) = 0 \implies x = 0 </tex>, то есть <tex> p_{V^*} </tex> — норма, а <tex> \{ {1 \over n} V^*\} </tex> — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Обсуждение:Счетно-нормированные пространства

2013-01-16T13:33:16Z

Dmitriy D.: /* C^{\infty} [a; b] */ Новая тема

== Метризумеость счетно-нормированного пространства ==
Зачем-то у меня была TODO-шка "проверить что сходимость в таком МП эквивалентна определению сходимости в счетно-нормированном пространстве. Кто-нибудь знает, зачем? :) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 11:21, 13 января 2013 (GST)

== <tex> C^{\infty} [a; b] </tex> ==

"Для <tex>C^{\infty} [a; b]</tex> эта формула не выполняется."
Какая формула не выполняется, и если это про максимум разности k-ых производных, то почему? --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 17:33, 16 января 2013 (GST)

Счетно-нормированные пространства

2013-01-16T12:10:15Z

Dmitriy D.: опечатка

{{В разработке}}
<wikitex>
$C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$

$ \| f - g \| \le \varepsilon$ — равномерная близость $k$-тых производных, так как получаем, что $\max\limits_{[a; b]} | f^{(k)}(t) - g^{(k)}(t)| < \varepsilon$.

Для $C^{\infty} [a; b]$ эта формула не выполняется.

{{Определение
|definition=
'''Полунорма''' — норма, которая может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть $X$ — линейное пространство. Тогда если существует счётное множество $p_1 \dots p_n \dots$ полунорм, такое, что для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, то $X$ называют '''счетно-нормированным пространством'''
}}

Пример:
* $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$

{{Утверждение
|statement=
Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.
|proof=
# Очевидно, $\rho(x, y) \ge 0$, рассмотрим, когда $\rho(x, y) = 0$, это значит, что $\forall n: p_n(x - y) = 0$, по определению счетно-нормированного пространства это означает, что $x - y = 0 \implies x = y$.
# Очевидно
# Проверяется аналогично [[Метрические пространства#rinfcoordconv | доказательства метризуемости $R^\infty$]], рассмотрим функцию $f(t) = \frac{t}{1 + t}$, для нее выполняется $f(t_1) < f(t_2)$ при $t_1 < t_2$ и $f(t_1 + t_2) < f(t_1) + f(t_2)$ для всех $t_1, t_2 > 0$. Рассмотрим каждое $p_n(x - z) = p_n((x - y) + (y - z)) \le p_n(x - y) + p_n(y - z)$. Тогда $f(p_n(x - z)) \le f(p_n(x - y) + p_n(y - z)) \le f(p_n(x - y)) + f(p_n(y - z))$. Тогда и $\sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - z)}{1 + p_n(x - z)} \le \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - y)}{1 + p_n(x - y)} + \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(y - z)}{1 + p_n(y - z)}$, что и требовалось доказать.
}}

{{Определение
|definition=
'''$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$''', если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$. Две системы полунорм '''эквивалентны''', если они порождают одну и ту же сходимость.
}}

Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$.

Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных, но обратное в общем случае неверно, каковым вопросом мы и займемся, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм? Если такая норма есть, то говорят, что данное счетно-нормированное пространство нормируемо.

{{Определение
|definition=
Система полунорм $\{p_n\}$ называется '''монотонной''', если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(x)$.
}}

Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная (видимо, это очевидно) (видимо, это можно, так как сумма полунорм является полунормой)

{{Определение
|definition=
Полунорма $q$ '''мажорирует''' полунорму $p$, если $\exists C \forall x \in X: p(x) \le C q(x)$. 
Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ '''мажорирует''' $\{p_n\}$ если каждая полунорма из $\{p_n\}$ мажорируется какой-то полунормой из $\{q_n\}$.
}}

{{Утверждение
|statement=
Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга.
|proof=
В обратную сторону: рассмотрим любую полунорму $p_m$: по мажорируемости, $\exists q_k \exists M: p_m(x_n - x) \le M q_k(x_n - x)$, но $q_k(x_n - x) \to 0$ по сходимости $x_n$ по системе полунорм $q$. Абсолютно симметрично для случая, когда $p$ мажорирует $q$.

В прямую сторону: пусть системы $p$ и $q$ эквивалентны. Установим, что $q$ мажорирует $p$, то что $p$ мажорирует $q$ доказывается аналогично. Докажем от противного: пусть существует $p_{M}$, не мажорируемая ни одной полунормой из $q$, то есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_M(x_n) > n q_n(x_n)$. По гомогенности(можно вынести константу) полунормы, если вместо $x_n$ взять $y_n = {x_n \over p_M(x_n)}$, неравенство все еще будет соблюдаться, а норма $p_M(y_n)$ будет равна $1$, то есть получили $1 > n q_n(y_n)$ и последовательность $y_n$ по полунорме $p_M$ не сходится к 0.

Покажем, что $y_n \to 0$ по полунормам системы $q$, то есть $\forall m: q_m \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$: для каждого конкретного $m$ возьмем члены $y$ начиная с $m$-того элемента, тогда $\forall n \ge m: q_m(y_n) \le q_n(y_n)$ (это по монотонности) $\le {1 \over n}$ (по уже доказанному), устремив $n \to \infty$ получаем, что каждая конкретная полунорма стремится к нулю, то есть по системе $p$ последовательность $y_n$ не сходится, а по $q$ — сходится, противоречие.
}}

{{Определение
|definition=
Полунорма $p_n$ в системе $p$ '''существенна''', если она не мажорируется ни одной из полунорм этой системы с меньшими чем $n$ номерами.
}}

{{Теорема
|about=критерий нормируемости счетно-нормированного пространства
|statement=
Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм.
|proof=
В прямую сторону: пусть $X$ нормируемо нормой $\| \cdot \|$. Тогда по определнию нормируемости счетно-нормированного пространства, система полунорм из $\| \|$ эквивалентна системе полунорм $p$. Тогда $\| \|$ мажорируется некоторой полунормой $p_N$ по предыдущей теореме, то есть существует постоянная $C$ такая, что $\forall x \in X: \|x\| \le C p_N(x)$. Покажем от противного, что в этой системе существенных полунорм не может быть больше $N$: пусть такая полунорма с номером $m > N$ есть, тогда она должна мажорироваться полунормой $\| \|$, то есть существует постоянная $D$ такая, что $\forall x \in X: p_m(x) \le D \|x\|$. Но тогда, комбинируя два неравенства, получим $\forall x \in X: p_m(x) \le C D p_N(x)$, то есть полунорма номером $m$ мажорируется полунормой с номером $N < m$, то есть она не может быть существенной.

В обратную сторону: пусть в системе $p$ конечное число существенных полунорм. Возьмем из существенных полунорм полунорму с наибольшим номером, пусть это $p_N$. Пусть $p_N(x) = 0$, тогда все полунормы с меньшими $N$ номерами также равны нулю по монотонности. Полунормы с большими номерами мажорируются $p_N$, так как $p_N$ по своему выбору последняя существенная полунорма, и тогда если $p_N(x) = 0$, все полунормы с большими номерами также равны нулю. Таким образом, полунорму $p_N$ можно взять как искомую норму.
}}

</wikitex>

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Нормированные пространства (3 курс)

2013-01-15T17:39:18Z

Dmitriy D.: последний пример НП, опечатка - fixed.

{{В разработке}}

{{Определение
|id=defvs
|definition=
'''Линейное (векторное) пространство над полем <tex>K</tex>''' — это множество <tex>L</tex> с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:
* По операции сложения <tex>L</tex> является абелевой группой — выполняются:
** ассоциативность — <tex>\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)</tex>;
** существование нейтрального элемента — <tex>\exists \mathrm{0} \in L\ \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x</tex>, причем можно показать, что он единственный;
** существование обратного элемента — <tex>\forall x \in L\ \exists y: x + y = \mathrm{0}</tex>, такой <tex>y</tex> называют обратным к <tex>x</tex>, причем можно показать, что он единственный;
** коммутативность — <tex>\forall x, y \in L: x + y = y + x</tex>;
* Для операции умножения на скаляр:
** ассоциативность умножения на скаляр — <tex>\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)</tex>;
** унитарность: <tex>\forall x \in L: 1 \cdot x = x</tex>, где <tex>1</tex> — единица по умножению в поле <tex>K</tex>;
** дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — <tex>\forall \alpha \in K\ \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y</tex>;
** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — <tex>\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x</tex>.
}}

{{Определение
|id=defnorm
|definition=
Функция <tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}</tex> называется нормой в пространстве <tex>L</tex>, если для нее выполняется:
# <tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0</tex>, <tex>\| x \| = 0 \iff x = \mathrm{0}</tex>
# <tex>\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|</tex>
# <tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|</tex>
Пространство с введенной на нем нормой называют '''нормированным пространством'''.
}}

Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как <tex>\rho(x, y) = \| x - y \|</tex>. Заметим, что обратное неверно: например, хоть <tex>\mathbb{R}^{\infty}</tex> c <tex>\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}</tex> и можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.

{{Утверждение
|statement=
В нормированных пространствах линейные операции непрерывны.
|proof=
Пусть <tex> x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha</tex>.

Тогда <tex> x_n + y_n \to x + y </tex>, так как <tex> \|(x_n + y_n) - (x + y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \to 0</tex>.

<tex> \alpha_n x_n \to \alpha x </tex>, так как <tex> \|\alpha_n x_n - \alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0</tex>.
}}

Примеры НП:
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^{n} x_k^2}</tex>
* <tex>X = C[a; b]</tex> — пространство непрерывных на <tex>[a; b]</tex> функций, <tex>\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|</tex>
* <tex>X = L_p</tex> — пространство функций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,<tex>\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}</tex>. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
* <tex>X = \ell_p</tex> — пространство числовых последовательностей, суммируемых с <tex>p</tex>-й степенью, норму можно ввести как <tex>\|x\|_p = { \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right) }^{1 \over p}</tex>

{{Определение
|definition=
Нормированное пространство <tex>(X, \|\cdot\|)</tex> называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов <tex>X</tex>, для которых из <tex>\|x_n - x_m\| \to 0</tex> при <tex>n, m \to \infty</tex> вытекает существование предела последовательности.
}}

{{Определение
|definition=
Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> '''эквивалентны''', если сходимость в них равносильна: <tex>\forall \{x_n\}: x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \iff x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>.
}}
Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть, выполняются рефлексивность, симметричность и транзитивность).

{{Утверждение
|statement=
Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> эквивалентны <tex> \iff </tex> существуют константы <tex>m, M > 0</tex> такие, что <tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2</tex>.
|proof=
{{TODO|t=Это было "очевидно". Доказал: --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:46, 13 января 2013 (GST). Проверьте и, если все хорошо, уберите данную плашку.}}

Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость:

<tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < \varepsilon \implies </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \frac \varepsilon m \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>;

<tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \varepsilon \implies </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < M \varepsilon \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x</tex>.

Теперь убедимся, что без взаимной ограниченности равносходимости также не будет:

Так как ее нет, то не существует, например, необходимой константы <tex> M </tex>. Значит, существует последовательность <tex> \forall x_n: \|x\|_1 \ge n \|x\|_2 </tex>.

Рассмотрим тогда последовательность <tex> \frac {x_n}{\|x_n\|_1} </tex>.

В норме <tex> \|\cdot\|_2 </tex> она будет сходиться к нулю: <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_2 \le \|\frac {x_n}{n\|x_n\|_2}\| = \frac1n \frac{\|x_n\|_2}{\|x_n\|_2} = \frac1n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>.

Но в <tex> \|\cdot\|_1 </tex> каждый элемент имеет норму <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_1 = \frac {\|x_n\|_1}{\|x_n\|_1} = 1 \ne \|0\|_1</tex>, то есть, последовательность <tex> x_n </tex> к нулю в этой норме не сходится, что и требовалось доказать.
}}

{{Определение
|definition=
Пространство <tex> X </tex> '''конечномерно''', если <tex> \exists n = dim X < \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>.
}}

{{Теорема
|author=Рисс
|statement=
В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.
|proof=
Докажем, что произвольная норма <tex>\| \|</tex> в конечномерном пространстве <tex>X</tex> эквивалентна <tex>\| \|_2</tex>, то есть выберем <tex>m, M >0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2</tex>, далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме.

Выберем и зафиксируем в пространстве <tex>X</tex> произвольный базис <tex>(e_1 \dots e_n)</tex>.

1. <tex>x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k</tex>, <tex>\| x \| \le \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le </tex> (по [[Неравенства Гёльдера, Минковского#Теорема Минковского|неравенству Коши для сумм]]) <tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex>. Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}</tex> является нормой <tex>\| \|_2</tex> в координатной записи, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex> является константным значением для фиксированного базиса.

Таким образом, получили <tex>\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2</tex>.

2. Теперь надо доказать, что <tex>\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|</tex>

Рассмотрим единичный шар по норме <tex>\| \|_2</tex>: <tex>S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}</tex>, <tex>S_2</tex> является компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, воспользуемся [[Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях | теоремой Хаусдорфа]] и покажем: {{TODO|t=если кому-то не лень, может потренироваться и расписать поформальнее}}
* замкнутость: возьмем последовательность, пусть она сходится не к элементу единичной сферы, тогда с какого-то члена элементы последовательности тоже окажутся с нормой, не равной 1.
* вполне ограниченность: пусть нам дали какой-то <tex>\varepsilon</tex>, заметим что норма <tex>\|\|_2</tex> — самое обычная длина вектора, возьмем и сделаем в параллелепипеде <tex>[0; 1]^n</tex> n-мерную сетку с шагом <tex>\frac{\varepsilon}{\sqrt n}</tex>, которая и будет центрами шаров радиусом эпсилон, тогда любая точка в параллелепипеде точно будет покрыта каким-то шаром

Рассмотрим на нем функцию <tex>f : S_2 \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|</tex>. Покажем, что она непрерывна.

Покажем, что <tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \|</tex>. Раскроем двумя способами модуль.
* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\ge0 </tex> <tex>\implies </tex> <tex>\|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\le\|\alpha\| + \|\Delta\alpha\|-\|\alpha\| = \|\Delta\alpha\|</tex>
* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|<0 </tex> <tex>\implies </tex> <tex>\|\alpha\|-\|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>= \|\alpha+\Delta\alpha-\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>\le \|\alpha+\Delta\alpha\| + \|\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex> = \|\Delta\alpha\|</tex>

По свойствам нормы, <tex>\|\Delta\alpha\| = \|\sum \Delta\alpha_k e_k\| \le \sum \|\Delta\alpha_ke_k\| = \sum |\Delta\alpha_k| \|e_k\|</tex>

<tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}</tex>, то есть при стремлении <tex>\Delta \alpha_k </tex> к <tex>0</tex>, расстояние между <tex>f(\overline \alpha)</tex> и <tex>f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)</tex> также стремится к нулю, что означает непрерывность.

Так как <tex>f</tex> непрерывна на <tex>S_2</tex>, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный <tex>m</tex> (пусть он достигается в точке <tex>\overline \alpha^*</tex>). Также <tex>f</tex> не может быть нулем на <tex>S_2</tex>: пусть для какого-то <tex>x \in S_2</tex> это так, тогда тогда <tex>\|x\| = 0 \implies \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \implies \alpha_k e_k = 0 \implies \forall k: \alpha_k = 0 \implies \|x\|_2 = 0</tex>, что означает, что <tex>x \notin S_2</tex>, то есть <tex>m > 0</tex>.

Теперь рассмотрим произвольный ненулевой <tex>x \in \mathbb{R}^n</tex>, тогда точка <tex>x' = {x \over \|x\|_2}</tex> также принадлежит <tex>\mathbb{R}^n</tex> по линейности пространства, и в частности, принадлежит <tex>S_2</tex>. Рассмотрим <tex>x'</tex>: <tex> f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m</tex>, то есть <tex>m \| x \|_2 \le \|x\|</tex>.

Таким образом, получили обе части двойного неравенства.
}}

{{Определение
|definition=Подпространство в алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно '''подпространством''' называется именно ''замкнутое'' подпространство, а ''алгебраические'' подпространства называют '''линейными подмножествами'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> — НП и <tex>Y</tex> — линейное конечномерное подмножество в <tex>X</tex>, тогда <tex>Y</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>, т.е.
<tex>\mathrm{Cl} Y = Y</tex>.
|proof=
Пусть для произвольного <tex>y \in X</tex>, <tex>y_m \in Y, y_m \to y, Y = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n), \|\cdot\|</tex> --- исходная норма.

<tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k</tex>, пусть <tex>\|y\|_2 = \max\{|\alpha_1|, \ldots, |\alpha_n|\}</tex>.

По теореме Рисса, нормы <tex>\|\cdot\|</tex> и <tex>\|\cdot\|_2</tex> в <tex>Y</tex> эквивалентны; в <tex>\|\cdot\|_2</tex>, очевидно, есть покоординатная сходимость.

//Возьмем еще одну последовательность <tex>y_p \to y</tex>, <tex>\|y_m - y_p\| \to 0 \implies \|y_m - y_p\|_2 \to 0</tex>.

//Вследствие покоординатной сходимости, <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} - \alpha_k^{(m)} \to 0</tex>.

По полноте вещественной оси, все <tex>n</tex> последовательностей сходятся: <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} \to \alpha_k^*</tex>.

Так как <tex>\|y_m - y^*\| \to 0</tex> и <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k \in Y</tex>, то <tex>y \in Y</tex> и <tex>Y = \mathrm{Cl} Y</tex>.}}

Пример: <tex> X = C[0; 1]</tex>, <tex>Y</tex> — пространство всех полиномов степени не выше <tex> n </tex>. Очевидно, <tex> Y </tex> конечномерно, и, по только что доказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из <tex> Y </tex>, то ее пределом будет также полином из <tex> Y </tex>. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математического анализа получается очень непросто. Однако, если степень полиномов в <tex>Y</tex> не ограничивать, то замыканием <tex>Y</tex> будет все пространство <tex>X</tex>, по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке | теореме Вейерштрасса]], любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить полиномами.

== Ссылки ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space Vector space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics) Norm]

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Обсуждение:Нормированные пространства (3 курс)

2013-01-15T17:29:55Z

Dmitriy D.: /* норма для R^infty */

Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$. Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость. В обратную сторону: ???.
: А у меня в конспекте ничего не сказано про равносильность определений, более того, подозреваю, что это неверно. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 01:02, 5 января 2013 (GST)
:: UPD: видимо, равносильность все же должна быть. Но я пока не понимаю, как ее доказать. Может, кто-нибудь сделает это? --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 07:43, 7 января 2013 (GST)
::: А тебе для чего-то понадобилось? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 15:10, 7 января 2013 (GST)
::: <wikitex>И, кстати, я правильно понимаю, что надо доказать что-то вроде "если нормы не эквивалентны, то найдется последовательность, которая по одной норме сходится, а по другой нет?". Тогда вроде все просто, действуем по определению, пусть $\|\|_1$ и $\|\|_2$ не эквивалентны, тогда для любого $n$ найдется $x_n$ такой, что $\|x_n\|_1 > n \|x_n\|_2$. Теперь рассмотрим последовательность $\frac{x_n}{\|x_n\|_1}$, по первой норме она сходится к 1, а по второй норме — к 0</wikitex>. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 10:19, 13 января 2013 (GST)
:::: Не, не понадобилось, просто я подумал и решил, что это как-то неестественно, если определения не эквивалентны. Да, твое доказательство верно, сейчас добавлю его в статью. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 21:26, 13 января 2013 (GST)
::::: Стоп, твое доказательство неверно =( Последовательность <tex> \frac {x_n} {\|x_n\|} </tex> не обязана никуда сходиться. То, что последовательность из норм к чему-то сходится, еще ничего не значит. Доказательство, тем не менее, правдоподобное, но его надо доработать.
:::::: UPD: доработал --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:46, 13 января 2013 (GST)
::::::: Почему то, что последовательность норм сходится, ничего не означает? Сходимость же через нормы и определеяется. Да и у тебя ровно то доказательство, которое я имел в виду) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 11:36, 14 января 2013 (GST)

TODO: сначала надо что-то сказать про изоморфность конечномерных пространств, чтоли?
: WAT? Вроде бы, все согласуется с определением конечномерного пространства, возможно, я чего-то не понял, но пока удолил --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 01:02, 5 января 2013 (GST)

== аппроксимационная теорема Вейерштрасса (Стоуна-Вейерштрасса) ==
Может быть, можно как-то воспользоваться следствием и очень просто доказать ее, но в моем конспекте она вообще не упомянута. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 01:12, 5 января 2013 (GST)
: UPD: Похоже, речь шла о том, что в теореме Вейерштрасса максимальная степень полинома не ограничена, и пространство вообще всех полиномов замкнутым не является, но это {{---}} так, маловажное замечание. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 04:08, 5 января 2013 (GST)

== норма для R^infty ==
"не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой."
: почему? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 09:52, 13 января 2013 (GST)
:: Допустим, это можно сделать, тогда <tex> \|x\| = \rho(0, x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \frac {|x_k|} {1 + |x_k|} </tex>, ну и дальше понятно, что там однородность поедет. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 21:15, 13 января 2013 (GST)
::: Неубедительно. Если там однородность поедет, то это вообще даже не норма, и из этого ничего не следует. Разве обязательно, чтобы <tex>\|x\| = \rho(0,x)</tex>? А вдруг есть другой способ задать норму, и в ней то все будет? Взять, например, пространство <tex>\mathbb{R}</tex> с той же метрикой: <tex>\rho(x, y) = \frac {|x - y|} {1 + |x - y|}</tex>. Тут можно взять любую норму, например <tex>\|x\| = |x|</tex>, и сходимость по норме будет равносильна сходимости по метрике. А, если бы взяли <tex>\|x\| = \rho(0,x)</tex>, то однородность точно также бы поехала. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 21:29, 15 января 2013 (GST)

== компактность единичной сферы в норме \|\|_2 ==
Нужна для доказательства теоремы Рисса. Мы это где-то доказывали? Если нет, я правильно понимаю, что надо сказать, что пространство полное по метрике, индуцированной этой нормой, замкнутость сферы очевидна, вполне ограниченность тоже, ну и тогда по теореме кого-то там (точно была) — это компакт? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 10:47, 13 января 2013 (GST)
: Теорема кого-то там {{---}} это теорема Хаусдорфа об <tex> \varepsilon </tex>-сетях =) Замкнутость и вполне ограниченность, кстати, не очень очевидны. Если будешь затыкать TODO в конспекте, вынеси в отдельное утверждение, пожалуйста. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:52, 13 января 2013 (GST)
:: запилил, все еще не очень формально, но мне лень расписывать --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 12:00, 14 января 2013 (GST)

Обсуждение:Заглавная страница

2013-01-09T04:14:14Z

Dmitriy D.:

самая крутая заглавная страница в мире, ИМХО

'''Коллеги, пожалуйста, давайте без вандализма. Я понимаю, что первое апреля и хочется пошутить. Но шутки должны быть смешными и к месту.'''

* [http://inkscape.org/ http://inkscape.org/] — программа для рисования в векторе. Подходит для изображения графов, марковских цепей, схем из функциональных элементов и т.п. [[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 23:01, 17 января 2011 (UTC)

* черт, на вики-конспектах какая-то проблема со временем. В комментариях показывает одно, в последних изменениях - другое.(сообщение написано в 4:42) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 08:42, 12 июня 2011 (UTC)

* Кто сломал тег wikitex???111 --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 14:44, 10 октября 2011 (UTC)

* Кому вообще понадобились эти java-технологии? --[[Участник:Komarov|Андрей Комаров]] 00:43, 18 февраля 2012 (GST)
** Зря Андрей ты так про Джаву, зря-зря-зря... --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 23:30, 29 февраля 2012 (GST)
** Это для первого курса 153N и второго 252N --[[Участник:Borisov|Borisov]] 02:04, 4 марта 2012 (GST)
** За год там ничего не появилось. Удалил. -- [[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 08:14, 9 января 2013 (GST)
== Ссылки на источники ==

* Почему бы не организовать ссылки на источники, как в Википедии? С тегом <nowiki><ref></ref></nowiki> --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 20:13, 29 апреля 2012 (GST)

Заглавная страница

2013-01-09T04:12:29Z

Dmitriy D.: Убрал пункт java-технологии

Добро пожаловать на сайт [[Вики-конспекты|вики-конспектов]]!

= Проверяемые конспекты =

==Преподаватель [[Андрей Сергеевич Станкевич]]==

* [[Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных|Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных — 1, 2, 3 и 4 семестр]]
* [[Теория формальных языков|Теория формальных языков — 5 семестр]]
* [[Теория сложности|Теория сложности — 6 семестр]]
* [[Методы трансляции|Методы трансляции — 6 семестр]]

==Преподаватель [[Федор Николаевич Царев]]==
* [[Эволюционные алгоритмы|Эволюционные алгоритмы — 10 семестр]]

= Непроверяемые конспекты =

*[[Математический анализ 1 курс | Математический анализ — 1, 2 семестр]]
*[[Математический анализ 2 курс | Математический анализ — 3, 4 семестр]]
*[[Математическая логика|Математическая логика — 3 семестр]]
*[[Вычислительная геометрия|Вычислительная геометрия — 3, 4 семестр]]
*[[Assembler|Assembler — 4 семестр]]
*[[Алгоритмы алгебры и теории чисел|Алгоритмы алгебры и теории чисел — 4 семестр]]
*[[Функциональный_анализ_3_курс | Функциональный анализ — 5, 6 семестр]]
*[[Параллельное программирование|Параллельное программирование — 6 семестр]]

Обсуждение:Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

2012-10-29T08:26:00Z

Dmitriy D.: /* Содержание */

== Содержание ==
Алгоритм похож на правильный, но понять его очень сложно, текст не особо связный. Хочется пример для наглядности. И очень хочется список литературы.
:Алгоритм сам по себе сложный. Текст попробую еще поменять, но из псевдокода и так все понятно. Могу добавить пример как с помощью сплиттера происходит деление блока. Список литературы добавлен.

Вот пример автомата
количество состояний - 2, терминальных - 1 (вершина №0), мощность алфавита - 1.
переходы:
0 <math>\to</math> 0
1 <math>\to</math> 1
Этот автомат ведь эквивалентен автомату только с вершиной 0, а алгоритм этого не скажет.

Алгоритм не правильный. При небольших исправлениях он даст верный результат, но работает за <tex>O(|\Sigma| * n ^ 2)</tex>. По второму источнику ("D. Gries. Describing an algorithm by Hopcroft.") можно составить представление как алгоритм за <tex>O(|\Sigma| * n \log {n})</tex> должен работать. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 01:53, 29 октября 2012 (GST)

== Оформление ==
Больше всего претензий. Понимания не только не добавляет, но и отнимает остатки. Пунктуация — аут полный, запятых практически нет. Ну ладно, это работа для гнома. Слово "сплиттер" пишется так, как его пишу я, а не как его пишешь ты. Разность множеств обозначается не тире, а backslash'ем. Зато вместо минусов надо ставить нормальное тире (пока Кирилл не видит, это его любимая мозоль). Там еще пара орфографических ошибок есть, но пока забьем.
:Исправил "сплиттер", минусы и разность множеств. С письменным русским языком большие проблемы, так что надеюсь на гнома)

Влад, имхо, это стоит расписать подлиннее и поподробнее. Алёна.

Обсуждение:Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

2012-10-28T21:53:37Z

Dmitriy D.: /* Содержание */

== Содержание ==
Алгоритм похож на правильный, но понять его очень сложно, текст не особо связный. Хочется пример для наглядности. И очень хочется список литературы.
:Алгоритм сам по себе сложный. Текст попробую еще поменять, но из псевдокода и так все понятно. Могу добавить пример как с помощью сплиттера происходит деление блока. Список литературы добавлен.

Вот пример автомата
количество состояний - 2, терминальных - 1 (вершина №0), мощность алфавита - 1.
переходы:
0 <math>\to</math> 0
1 <math>\to</math> 1
Этот автомат ведь эквивалентен автомату только с вершиной 0, а алгоритм этого не скажет.

Алгоритм не правильный. Он даёт верный результат, но работает за <tex>O(|\Sigma| * n ^ 2)</tex>. Кстати предложенный пример (0 <math>\to</math> 0, 1 <math>\to</math> 1) он отработает правильно, нужно только представлять автомат как автомат с "дьявольской вершиной". По второму источнику ("D. Gries. Describing an algorithm by Hopcroft.") можно составить представление как алгоритм за <tex>O(|\Sigma| * n \log {n})</tex> должен работать. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 01:53, 29 октября 2012 (GST)

== Оформление ==
Больше всего претензий. Понимания не только не добавляет, но и отнимает остатки. Пунктуация — аут полный, запятых практически нет. Ну ладно, это работа для гнома. Слово "сплиттер" пишется так, как его пишу я, а не как его пишешь ты. Разность множеств обозначается не тире, а backslash'ем. Зато вместо минусов надо ставить нормальное тире (пока Кирилл не видит, это его любимая мозоль). Там еще пара орфографических ошибок есть, но пока забьем.
:Исправил "сплиттер", минусы и разность множеств. С письменным русским языком большие проблемы, так что надеюсь на гнома)

Влад, имхо, это стоит расписать подлиннее и поподробнее. Алёна.

Теорема Джексона

2012-06-26T16:03:12Z

Dmitriy D.: переходы на соседние параграфы

[[Теорема_Лузина-Данжуа|<<]][[Об_интеграле_Фурье|>>]]

Пофиксите в общем, эту муть, а то я уже офигеваю с этого. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 21:32, 24 июня 2012 (GST)
{{В разработке}}
Ранее нами введено [[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах | наилучшее приближение]] в <tex> C </tex>:

<tex> E_n(f)_C = E_n(f) = \inf \| f - T \|_C, T \in H_n </tex>.

Наилучшее приближение:

<tex> \exists T_n(f)_C = T_n(f): E_n(f) = \| f - T_n(f) \|_C </tex> — полином наилучшего приближения.

<tex> E_n(f) </tex> — полунорма, <tex> \forall T \in H_n, E_n(T) = 0 </tex>. <tex> E_n(f) = E_n(f + T) </tex>

<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах | Ранее]] было установлено, что <tex> E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>.

Группу теорем, которая позволяет судить о скорости стремления наилучшего приближения к нулю называют «прямыми теоремами теории аппроксимации функций (конструктивной теории функций)». Одной из характеристик, которой описывают структурные свойства фунции, является модуль непрерывности.

Чтобы судить о <tex> E_n(f) </tex>, надо строить приближение функции в виде полинома таким образом, чтобы уметь оценивать его отклонение от самой функции в терминах модуля непрерывности. Тогда само отклонение будет не меньше модуля непрерывности, и само приближение будет оценено через него.

Типичный прием — интегрирование свертки с тригонометрическим ядром.

<tex> s_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) D_n(t) dt </tex>

<tex> \sigma_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t) dt </tex>

Получающиеся интегралы являются тригонометрическими полиномами.

<tex> A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt, J_n </tex> — тригонометрический полином, произвольное ядро. Заменим <tex> y = x + t </tex>.

<tex> A(f, x) = \int\limits_Q f(y) J_n(y - x) dy </tex>

<tex> J_n(y - x) = T_n(x) </tex> — тригонометрический полином по <tex> x </tex>, коэффициенты которого зависят от <tex> y </tex>.

<tex> A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt </tex>.

Пусть <tex> \int\limits_Q J_n(t) = 1, J_n(t) \ge 0 </tex>.

<tex> |f(x) - A(f, x)| \le \int\limits_Q |f(x + t) - f(x)| J_n(t) dt \le \int\limits_Q \omega(f, |t|) J_n(t) dt </tex>

<tex>\le \int\limits_Q \omega^*(f, |t|) J_n(t) dt \le </tex> (применим [[Выпуклые функции#Неравенство Йенсена | неравенство Йенсена]] для выпуклых функций) <tex> \le \omega^*(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) \le 2 \omega(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) </tex>

<tex> f </tex> — непрерывная, <tex> 2 \pi </tex> - периодическая функция.

<tex> \| f - A(f) \|_C \le 2 \omega (f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) </tex>, где <tex> \int\limits_Q |t| J_n(t) dt </tex> называется первым, абсолютным моментом ядра.

Из этого неравенства видно, что суть получения основных теорем состоит в том, чтобы удачно подобрать усредняющее ядро, чтобы <tex> \omega \to 0 </tex> при <tex> n \to \infty </tex>.

Одним из этих ядер является ядро Джексона.
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac3{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}

<tex> \int\limits_Q d_n(t) = 1 </tex> {{TODO|t=а доказать?}}

{{Утверждение
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi} t d_n(t) \le \frac{3}{4} \frac{1}{n} </tex>
|proof=
<tex> \int\limits_0^{\pi} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} </tex>

<tex> \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{3}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 dt \le </tex>
<tex> \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{3n^4}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} dt = \frac{3}{2} \left( \frac{\pi}{2 n} \right)^2 \frac{n^3}{2 \pi (2n^2 + 1)} \le a \frac{3}{n} </tex>

<tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} t \frac{\pi^4}{t^4} \frac{3}{2 \pi n (2 n^2 +1)} dt = \frac{1}{2} \frac{3}{2 \pi n (2n^2 +1)} \left( \frac{4 n^2}{\pi^2} - \frac{1}{\pi^2} \right) \le b \frac{3}{n} </tex>. Неравенство установили.
}}

== Теорема Джексона ==

{{Теорема
|author=
Джексон
|statement=
<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex>
|proof=
<tex> Y(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) d_n(t) dt </tex> — интеграл Джексона

<tex> Y_n(f) \in H_{2n - 2} </tex>

<tex> E_{2n - 2} (f) \le \| f - Y_n(f) \| \le 2 \omega (f, \int\limits_Q |t| d_n(t) dt) \le 2 \omega (f, \frac{3}{4 n}) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>

Для четных членов:
: <tex> E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>
: <tex> \frac{3 \pi}{(2n - 2) + 1} = \frac{3 \pi}{2n - 1} > \frac{3 \pi}{2 n}</tex>
Дле нечетных:
: <tex> E_{2n - 1} (f) \le E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>
: <tex> \frac{3 \pi}{(2n - 1) + 1} = \frac{3 \pi}{2 n}</tex>

Приходим к требуемому неравенству соединяя эти два, что и требовалось.
}}

== Следствия ==

<tex> f \in C^1 </tex> — непрерывная, дифференциируемая

<tex> |f(x + t) - f(x)| = |f'(x + \theta t)| |t|, |f'(x + \theta t)| \le \| f' \|_C </tex>

<tex> \omega(f, h) \le \| f' \|_C h </tex>

<tex> \omega(f, \frac{3 \pi}{n + 1}) \le \| f' \|_C \frac{3 \pi}{n + 1} </tex>

Следствие:

<tex> f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \| f' \|_C \frac{6 \pi}{n + 1} </tex>

<tex> f \in C^{(p)} </tex>

<tex> E_n(f) = E_n(f + T), T \in H_n </tex>

Рассмотрим <tex> T_n(f') </tex>. Как и при почленном интегрировании рядов Фурье если из него вычесть его нулевой коэффициент Фурье и написать интеграл от <tex> 0 </tex> до <tex> x </tex>, мы получим тригонометрический полином.

<tex> \int\limits_0^x (T_n(f', t) - \frac{1}{2} a_0 (T_n(f'))) dt \in H_n </tex>

Подставим это в предыдущее равенство вместо <tex> T </tex>:

<tex> E_n(f) = E_n(f - \int\limits_0^x T_n(f', t) - \frac12 a_0(T_n(f')) dt) \le \frac{6 \pi}{n + 1} \| g' \| = \frac{6 \pi}{n + 1} \| f' - T_n(f') + \frac12 a_0(T_n(f'))) \| \le \frac{6 \pi}{n + 1} ( \| f' - T_n(f') \| + \frac12 | a_0(T_n (f'))|) (\star)</tex>

<tex> \frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q T_n (f', x) dx </tex>

<tex> f </tex> — <tex> 2 \pi </tex>-периодична <tex> \Rightarrow \int\limits_Q f' = f(\pi) - f(-\pi) = 0 </tex>

<tex> \frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q (T_n(f', x) - f'(x))dx </tex>

<tex> |\frac12 a_0(T_n(f'))| \le \| T_n(f') - f'\| = E_n(f') </tex>. Подставим в <tex>(\star)</tex> и получим в итоге следующее:

{{Утверждение
|statement=
<tex> f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f') </tex>
|proof=
Следует из написанного выше.
}}

<tex> p = 1: E_n(f) \le \| f' \| \frac{6 \pi}{n + 1} </tex>

<tex> p = 2: E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f') \le 2 (\frac{6 \pi}{n+1})^2 \| f'' \|_C </tex>

По индукции приходим к:

<tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p</tex>, где <tex>c_p</tex> — константа.

То есть чем больше дифференциируемая(гладкая) функция, тем быстрее наилучшее приближение стремится к нулю.

[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%B4%D1%80%D0%BE_%D0%94%D0%B6%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Википедия — Ядро Джексона]

[[Теорема_Лузина-Данжуа|<<]][[Об_интеграле_Фурье|>>]]

Теорема Фейера

2012-06-26T13:16:34Z

Dmitriy D.:

[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|<<]][[Лемма Римана-Лебега|>>]]

Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex>

<tex>(\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k(f))</tex>

Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к <tex>f</tex> либо в индивидуальной
точке, либо в пространстве <tex>L_p</tex> (по норме этих пространств).

Любая сумма Фейера {{---}} тригонометрический полином: <tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>.

__TOC__

== Теорема Фейера в L_1 ==

{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
|proof=
<tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex>

Используя результаты, полученные [[Интеграл_Фейера|здесь]], <tex>\sigma_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1)} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt</tex>

Надо доказать, что этот интеграл при <tex>n\to\infty</tex> стремится к <tex>0</tex>.

Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)|\Phi_n(t) dt</tex>.

Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю. Разобьем его на два интеграла: <tex>h_n = \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex>, и рассмотрим по отдельности.

{{Утверждение
|statement=<tex>\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2 t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=Воспользуемся неравенствами <tex>|\sin nt| \leq n|\sin t|</tex> и <tex>\frac2\pi t \leq \sin t \leq t</tex> (<tex>t \in [0; \frac\pi2]</tex>)

<tex>\sin^2(n+1)\frac{t}2 \leq (n+1)^2\sin^2\frac{t}2</tex>

<tex>\frac{\sin^2(n+1)\frac t2}{\sin^2\frac{t}2} \leq (n + 1)^2,\ n + 1 \leq 2n</tex>

Значит, <tex>\int\limits_0^{h_n} \leq \frac1{2\pi}(n+1)\int\limits_0^{1/n} |\varphi_x(t)|dt \leq \frac1{\pi} \cdot \frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt</tex>.

По условию теоремы, <tex>\frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt \to 0</tex>.
}}

{{Утверждение
|statement=
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2 t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=
<tex>\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2</tex>.

<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq</tex>

<tex>\leq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt \le \frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t) = </tex>

(<tex>\Phi_x(t) = \int\limits_{0}^{t} |\phi_x(y)| dy </tex>; проинтегрируем по частям. '''Здесь <tex>\Phi_x(t)</tex> {{---}} НЕ ядро Фейера, а просто определённый интеграл''')

<tex>= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) \bigg|_{h_n}^{\pi} + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>.

Оценим каждое из слагаемых.

Первое слагаемое (<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)</tex>):

<tex>\frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi)</tex> - константа, <tex> h_n \to 0</tex>;

<tex>h_n \frac1{h_n^2} \Phi_x(h_n) = \frac1{h_n} \int\limits_0^{h_n} |\varphi_x(y)| dy \to 0</tex> по условию теоремы.

Второе слагаемое:

<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{t^3} dt = </tex><tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2} dt</tex>

По условию теоремы, <tex> \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \to 0 </tex>. Распишем это по определению:

<tex>\forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy < \varepsilon</tex>.

Пусть, начиная с какого-то <tex>N</tex>, <tex> h_n < \delta</tex>

Тогда <tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{h_n < \delta}{=} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi</tex>

<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\delta(...)\frac1{t^2} dt < \varepsilon h_n \int\limits_{h_n}^\delta \frac1{t^2} dt = </tex><tex>\varepsilon h_n \left(\frac1{h_n} - \frac1\delta\right) \leq a \varepsilon</tex>

Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} константа для данного <tex>\delta</tex>, а <tex>h_n \to 0</tex>.
}}

Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана.
}}

{{Определение
|definition=Точку <tex>x</tex> принято называть '''регулярной''', если
в этой точке существуют односторонние пределы.
}}
Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.

{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

Заметим, что если в теореме Фейера <tex>f \in C</tex> (непрерывные <tex>2\pi</tex>-периодические функции), то теорема выполнена в каждой точке <tex>x</tex>, и, самое важное, равномерно по <tex>x</tex>, то есть,

В этом случае, <tex>\sigma_n(f) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} f</tex> на <tex> \mathbb{R} </tex>.

Это связано с тем, что условия Фейера выполнены равномерно по <tex>x</tex>
(из теоремы Кантора: <tex>f</tex> {{---}} непрерывно на <tex>[a; b]</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> {{---}} равномерно непрерывна на нём)

== Теорема Фейера в L_p ==
Установим теперь теорему Фейера в <tex>L_p</tex>.

{{Утверждение
|statement=
<tex>f \in L_p \Rightarrow \| \sigma_n(f)\|_p \le \|f\|_p </tex>
|proof=
Так как <tex> \sigma_n(f) \in H_n </tex>, то <tex> \sigma_n(f) \in L_p </tex>.

<tex> \| \sigma_n(f)\|^p_p = \int\limits_{Q} |\sigma_n(f)|^pdx, \sigma_n(f, x) = \int\limits_{Q} f(x+t) \Phi_n(t) dt </tex>.

<tex> |\sigma_n(f, x)| \le \int\limits_{Q} |f(x + t)|\Phi_n(t) dt = </tex> (возьмем <tex> q:\ \frac1p + \frac1q = 1 </tex>)

<tex>= \int\limits_{Q} |f(x + t)\Phi_n^{\frac1p}(t)| \Phi_n^{\frac1q}(t) dt \le (\int\limits_{Q} |f(x + t)|^p \Phi_n(t) dt)^{\frac1p} (\int\limits_{Q} \Phi_n(t) dt)^{\frac1q}</tex> (здесь мы воспользовались неравенством Гельдера). Несложно заметить, что второй множитель равен <tex> 1 </tex>. Подставим это неравенство под знак интеграла в предыдущем равенстве:

<tex> \|\sigma_n(f)\|^p_p \le \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dt)dx = </tex> (по [[Теорема Фубини|теореме Фубини]] меняем порядок интегрирования)

<tex> = \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dx)dt = \int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p dx)dt =</tex> <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x)|^p dx)dt = \int\limits_{Q} |f(x)|^p dx </tex>.

Возводя неравенство в степень <tex> \frac1p </tex>, получаем требуемое.

}}

{{Теорема
|author=
Фейер
|statement=
<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.
|proof=

<tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>, <tex>E_n(f)_p \leq \|f-\sigma_p(f)\|_p</tex>

Используем тот факт, что в <tex>C</tex> теорема Фейера выполнена, то есть, для непрерывной функции суммы Фейера сходятся равномерно на <tex> \mathbb{R}</tex>:

<tex>f\in C \Rightarrow \sigma_n(f) \stackrel{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} f,\ n \to \infty</tex>.

Рассмотрим произвольную функцию <tex> g \in L_p </tex>.

[[Пространство L_p(E)|Ранее]] нами уже было доказано, что пространство <tex>C</tex> всюду плотно в <tex>L_p</tex> : <tex>\forall\varepsilon>0\forall g\in L_p\exists \varphi \in C : \|g - \varphi\|_p<\varepsilon</tex>.

<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq</tex> (по [[Интеграл_Фейера|записи интеграла Фейера]] очевидно <tex>\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) = \sigma_n(g - \varphi)</tex>)

<tex>\leq \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p + \underset{\leq \varepsilon}{\underbrace{\|g - \varphi\|_p}} + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p </tex>.

По доказанному только что утверждению, <tex> \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p \leq \|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon </tex>.

Значит, <tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>

<tex>\forall f\in C : \|f\|_p^p = \int\limits_Q|f(t)|^p dt</tex>.

<tex>|f(t)| \leq \|f\|_\infty = \max\limits_Q |f(t)|</tex>

<tex>\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p</tex>

<tex>\|f\|_p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty</tex>

<tex>\varphi\in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) \in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C</tex>

<tex>\|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty</tex>

<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>

Так как в <tex>C</tex> верна теорема Фейера, то <tex>\forall \varepsilon>0\exists N \forall n > N : \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty < \varepsilon</tex>

Значит, <tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2 + (2\pi)^{1/p}) \varepsilon</tex>, и теорема верна по определению предела.
}}

{{Теорема
|author=
Теорема Вейерштрасса в <tex>L_p</tex>
|statement=
<tex>f\in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.
|proof=
Эту теорему принято также называть '''обобщенной теоремой Вейерштрасса'''.

Любая сумма Фейера <tex>\sigma_n(f)\in H_n</tex>. Исходя из определения наилучшего приближения <tex>E_n(f)_p \le \|f-\sigma_n(f)\|_p</tex>. Значит <tex>E_n(f)_p \to 0</tex>.
}}

[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|<<]][[Лемма Римана-Лебега|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Обсуждение:Теорема Фейера

2012-06-26T13:15:16Z

Dmitriy D.:

Буковка <tex>E_n</tex> возникает в теореме Вейерштрасса без предварительного определения.
: Подписывайтесь, Анонимус. Буковка <tex>E_n</tex> возникла в прошлом параграфе. Правда тоже без конкретного определения. Но понять не сложно: <tex>E_n(f)_p</tex> означает наилучшее приближение элементами из <tex>H_n</tex>(тригонометрические полиномы, степени не больше <tex>n</tex>) с использованием соответствующей нормы пространства <tex>L_p</tex>.
: Надеюсь кто-нибудь добросовестный напишет это в статью. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 17:15, 26 июня 2012 (GST)

Обсуждение:Теорема Фейера

2012-06-26T13:13:14Z

Dmitriy D.:

Буковка <tex>E_n</tex> возникает в теореме Вейерштрасса без предварительного определения.
: Подписывайтесь, Анонимус. Буковка <tex>E_n</tex> возникла в прошлом параграфе. Правда тоже без конкретного определения. Но понять не сложно: <tex>E_n(f)_p</tex> означает наилучшее приближение элементами из <tex>H_n</tex>(тригонометрические полиномы, степени не больше <tex>n</tex>) с использованием соответствующей нормы пространства <tex>L_p</tex>. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 17:13, 26 июня 2012 (GST)

Интеграл Римана-Стилтьеса

2012-06-26T12:55:28Z

Dmitriy D.:

[[Функции ограниченной вариации|<<]][[Теорема Жордана|>>]]

<wikitex>
Интеграл Римана-Стилтьеса строится аналогично [[Определение_интеграла_Римана,_простейшие_свойства|интегралу Римана]]:

Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
__TOC__
== Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса ==
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
$f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 $.
|proof=
Доказывается аналогично [[Критерий_существования_определённого_интеграла#.D0.9A.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B8.D0.B9_.D0.B8.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B8.D1.80.D1.83.D0.B5.D0.BC.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8|интегралу Римана]].
}}

Напомним совершенно очевидные свойства функций ограниченной вариации:
# $f, g \in V(a, b) \Rightarrow \alpha f + \beta g \in V(a, b) $
# $f, g \in V(a, b) \Rightarrow f g \in V(a, b) $

Теперь перенесем определение интеграла Римана-Стилтьеса на $g \in V(a, b)$:

$ g \in V(a, b)$, $g = g_1 - g_2$, $\int\limits_a^b f dg \stackrel {def}{=} \int\limits_a^b f dg_1 - \int\limits_a^b f dg_2$. Заметим, что определенный таким образом интеграл не зависит от выбора $g_1$ и $g_2$, только от их разности.

Интеграл Римана-Стилтьеса обладает линейностью и аддитивностью, а также линейностью по весовой функции: $ \int\limits_a^b f d(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha \int\limits_a^b f dg_1 + \beta \int\limits_a^b f dg_2 $.

== Интеграл Римана-Стилтьеса непрерывной функции ==
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
|proof=
Так как $f$ непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна, то есть $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |x' - x''| < \delta \Rightarrow |f(x') - f(x'')| < \varepsilon$. Если $\operatorname{rang} \tau < \delta, M_k - m_k \le \varepsilon$
$ \omega (f, g, \tau) \le \left| \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k \right| \le \sum\limits_{k=0}^{n-1} \varepsilon | \Delta g_k | = \varepsilon \bigvee\limits_a^b (g, \tau) \xrightarrow[\varepsilon \to 0]{} 0$.
}}

Уточним аддитивность интеграла:
# $ \exists \int\limits_a^b f dg, \exists \int\limits_a^c f dg, \exists \int\limits_b^c f dg \Rightarrow \int\limits_a^c = \int\limits_a^b + \int\limits_b^c $
# $ \exists \int\limits_a^d \Rightarrow \exists \int\limits_b^c$, где $ [b, c] \in [a, d]$.
# Для интеграла Римана из существования $\int\limits_a^b $ и $\int\limits_b^c$ следует существование $\int\limits_a^c$. Для интеграла Римана-Стилтьеса в общем случае это '''неверно''':

Пусть <tex> f = \begin{cases} 0, & x \in [0; 1) \\ 1, & x \in [1; 2] \end{cases}, g = \begin{cases} 0, & x \in [0; 1] \\ 1, & x \in (1; 2] \end{cases} </tex>.

Тогда на отрезке <tex> [0; 1] </tex> все <tex> \Delta g_k = 0 </tex>, <tex> \int\limits_0^1 f dg = 0 </tex>; на отрезке <tex> [1; 2] </tex> все <tex> \Delta g_k </tex> = 0, кроме <tex> \Delta g_0 = 1</tex>, <tex> \int\limits_1^2 f dg = f(x_0) \Delta g_0 = 1 </tex>.

Можно непосредственно убедиться, что оба интеграла существуют.

Но на отрезке <tex> [0; 2] </tex> всегда можно предъявить сколь угодно мелкое разбиение, содержащее две точки <tex> x_p, x_{p + 1} </tex> по разные стороны от единицы, значит, <tex> \omega (f, g, \tau) = 1</tex> не стремится к нулю.

== Формула интегрирования по частям ==
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
|proof=
$\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g(x_{k + 1}) - g(x_k)) = \\
\sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_{k+1}) - \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_k) = \\
\sum\limits_{j=1}^n f(\xi_{j-1}) g(x_j) - \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_k) = \\
= f(\xi_{n-1}) g(x_n) - f(\xi_0) g(x_0) + \sum\limits_{j=1}^{n-1} g(x_j) (f(\xi_{j - 1}) - f(\xi_j)) = \\
= f(\xi_{n-1}) g(x_n) - f(\xi_0) g(x_0) - \sum\limits_{j=1}^{n-1} g(x_j) (f(\xi_j) - f(\xi_{j-1})) $.

Так как интегралы существуют, точки $\xi_j$ можно выбирать как угодно. Примем $\xi_0 = x_0 = a, \xi_{n-1} = x_n = b, \xi_j = x_j, \xi_{j-1} = x_{j-1}$.
Получим $f(x)g(x) \bigl |_a^b - \sigma(g, f, \tau')$. Устремляя $\tau$ к нулю, получим нужную формулу. Из доказательства видно, что нужно только требование существования хотя бы одного из интегралов.
}}

{{Утверждение
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $f'$ — ограничена на $(a, b)$, тогда $f$ — функция ограниченной вариации.
|proof=
$|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\xi_k)| \Delta x_k \le M \Delta x_k$
$ \bigvee\limits_a^b (f, \tau) \le M (b - a) \Rightarrow f \in \bigvee(a, b) $
}}
== Сведение к интегралу Римана ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть $g'$ непрерывна на $[a, b]$ и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$.
|proof=
Из предыдущего утверждения, $g$ — функция ограниченной вариации, следовательно, $\int\limits_a^b f dg$ существует. Распишем ее интеграл Стилтьеса:
$\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g(x_{k+1}) - g(x_k)) =$ (по формуле Лагранжа)

$= \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g'(\xi'_k) \Delta x_k = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g'(\xi_k) \Delta x_k + \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g'(\xi'_k) - g'(\xi_k)) \Delta x_k $.

Первое слагаемое правой части в пределе дает $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx $. Рассмотрим вторую часть:
За счет равномерной непрерывности $g'$, если $\operatorname{rang} \tau < \delta $ и $\xi_k, \xi'_k \in [x_k, x_{k+1}]$, то $|g'(\xi_k) - g'(\xi'_k)| < \varepsilon$.
$ \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g'(\xi'_k) - g'(\xi_k)) \Delta x_k \le \sum\limits_{k=0}^{n-1} M \varepsilon \Delta x_k = M (b - a) \varepsilon \xrightarrow[\varepsilon \to 0]{} 0$.
{{TODO| t=Из условий утверждения не вытекает, что <tex>f</tex> {{---}} ограниченна (можно привести пример когда это не так, см обсуждение).}}
}}

== Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации ==

В качестве применения этой теоремы оценим коэффициенты Фурье $2\pi$-периодической функции $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Так как $f$ представима в виде разности двух монотонных, [[Критерий_существования_определённого_интеграла#.D0.A1.D1.83.D1.89.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BE.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D1.91.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.B8.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB.D0.B0_.D0.BD.D0.B5.D0.BF.D1.80.D0.B5.D1.80.D1.8B.D0.B2.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.B8.D0.BB.D0.B8_.D0.B2.D0.BE.D0.B7.D1.80.D0.B0.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.8E.D1.89.D0.B5.D0.B9_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B8|монотонные интегрируемы по Риману]] и [[Критерий_существования_определённого_интеграла#.D0.A1.D0.BB.D0.B5.D0.B4.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B8.D0.B5|произведение интегрируемых интегрируемо]], то $f(x) \cos (nx) dx$ интегрируема по Риману.

$a_n(f) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx = \\
\frac{1}{\pi n} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) d sin(nx) = \frac{1}{\pi n} \left( f(x) \sin(x) \bigl |^{\pi}_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^{\pi} sin(nx) df \right) $
Первое слагаемое после подстановки обнуляется, второе слагаемое оценим сверху как $\bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$. Итак, получили: $|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$. Аналогичный результат можно получить для $b_n$.

</wikitex>

[[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|<<]][[Теорема Жордана|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Обсуждение:Интеграл Римана-Стилтьеса

2012-06-26T12:53:56Z

Dmitriy D.:

<tex> \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g'(\xi'_k) - g'(\xi_k)) \Delta x_k \le \sum\limits_{k=0}^{n-1} M \varepsilon \Delta x_k </tex>
: Почему этот переход верен? Вроде бы, нам не гарантируется, что функция <tex> f </tex> ограничена. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 13:29, 24 июня 2012 (GST)
:: [[Определение_интеграла_Римана,_простейшие_свойства| Если функция интегрируема (по Риману), то она конечна]]. И кроме того <tex>g'</tex> {{---}} ограниченна как непрерывная функция на компакте и тогда, раз <tex>fg'</tex> ограниченна то и <tex>f</tex> ограниченна. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 01:22, 25 июня 2012 (GST)
::: Неправда, что из того, что из <tex>fg'</tex> и <tex>g'</tex> {{---}} ограничены, то <tex>f</tex> {{---}} ограничено. Например, <tex>g' = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> {{---}} любая. --[[Участник:Komarov|Андрей Комаров]] 20:21, 25 июня 2012 (GST)
:::: Блин, какой я дурак. Тогда Додонов дал неправильное доказательство. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 06:14, 26 июня 2012 (GST)
:: Додонов на консультации сегодня сказал, что <tex>f</tex> - непрерывная (внезапно). --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 16:53, 26 июня 2012 (GST)

Интеграл Римана-Стилтьеса

2012-06-26T04:41:31Z

Dmitriy D.: TODO: разобраться со сведением интеграла к Риману

[[Функции ограниченной вариации|<<]][[Теорема Жордана|>>]]

<wikitex>
Интеграл Римана-Стилтьеса строится аналогично [[Определение_интеграла_Римана,_простейшие_свойства|интегралу Римана]]:

Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
__TOC__
== Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса ==
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
$f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 $.
|proof=
Доказывается аналогично [[Критерий_существования_определённого_интеграла#.D0.9A.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B8.D0.B9_.D0.B8.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B8.D1.80.D1.83.D0.B5.D0.BC.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8|интегралу Римана]].
}}

Напомним совершенно очевидные свойства функций ограниченной вариации:
# $f, g \in V(a, b) \Rightarrow \alpha f + \beta g \in V(a, b) $
# $f, g \in V(a, b) \Rightarrow f g \in V(a, b) $

Теперь перенесем определение интеграла Римана-Стилтьеса на $g \in V(a, b)$:

$ g \in V(a, b)$, $g = g_1 - g_2$, $\int\limits_a^b f dg \stackrel {def}{=} \int\limits_a^b f dg_1 - \int\limits_a^b f dg_2$. Заметим, что определенный таким образом интеграл не зависит от выбора $g_1$ и $g_2$, только от их разности.

Интеграл Римана-Стилтьеса обладает линейностью и аддитивностью, а также линейностью по весовой функции: $ \int\limits_a^b f d(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha \int\limits_a^b f dg_1 + \beta \int\limits_a^b f dg_2 $.

== Интеграл Римана-Стилтьеса непрерывной функции ==
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
|proof=
Так как $f$ непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна, то есть $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |x' - x''| < \delta \Rightarrow |f(x') - f(x'')| < \varepsilon$. Если $\operatorname{rang} \tau < \delta, M_k - m_k \le \varepsilon$
$ \omega (f, g, \tau) \le \left| \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k \right| \le \sum\limits_{k=0}^{n-1} \varepsilon | \Delta g_k | = \varepsilon \bigvee\limits_a^b (g, \tau) \xrightarrow[\varepsilon \to 0]{} 0$.
}}

Уточним аддитивность интеграла:
# $ \exists \int\limits_a^b f dg, \exists \int\limits_a^c f dg, \exists \int\limits_b^c f dg \Rightarrow \int\limits_a^c = \int\limits_a^b + \int\limits_b^c $
# $ \exists \int\limits_a^d \Rightarrow \exists \int\limits_b^c$, где $ [b, c] \in [a, d]$.
# Для интеграла Римана из существования $\int\limits_a^b $ и $\int\limits_b^c$ следует существование $\int\limits_a^c$. Для интеграла Римана-Стилтьеса в общем случае это '''неверно''':

Пусть <tex> f = \begin{cases} 0, & x \in [0; 1) \\ 1, & x \in [1; 2] \end{cases}, g = \begin{cases} 0, & x \in [0; 1] \\ 1, & x \in (1; 2] \end{cases} </tex>.

Тогда на отрезке <tex> [0; 1] </tex> все <tex> \Delta g_k = 0 </tex>, <tex> \int\limits_0^1 f dg = 0 </tex>; на отрезке <tex> [1; 2] </tex> все <tex> \Delta g_k </tex> = 0, кроме <tex> \Delta g_0 = 1</tex>, <tex> \int\limits_1^2 f dg = f(x_0) \Delta g_0 = 1 </tex>.

Можно непосредственно убедиться, что оба интеграла существуют.

Но на отрезке <tex> [0; 2] </tex> всегда можно предъявить сколь угодно мелкое разбиение, содержащее две точки <tex> x_p, x_{p + 1} </tex> по разные стороны от единицы, значит, <tex> \omega (f, g, \tau) = 1</tex> не стремится к нулю.

== Формула интегрирования по частям ==
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
|proof=
$\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g(x_{k + 1}) - g(x_k)) = \\
\sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_{k+1}) - \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_k) = \\
\sum\limits_{j=1}^n f(\xi_{j-1}) g(x_j) - \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_k) = \\
= f(\xi_{n-1}) g(x_n) - f(\xi_0) g(x_0) + \sum\limits_{j=1}^{n-1} g(x_j) (f(\xi_{j - 1}) - f(\xi_j)) = \\
= f(\xi_{n-1}) g(x_n) - f(\xi_0) g(x_0) - \sum\limits_{j=1}^{n-1} g(x_j) (f(\xi_j) - f(\xi_{j-1})) $.

Так как интегралы существуют, точки $\xi_j$ можно выбирать как угодно. Примем $\xi_0 = x_0 = a, \xi_{n-1} = x_n = b, \xi_j = x_j, \xi_{j-1} = x_{j-1}$.
Получим $f(x)g(x) \bigl |_a^b - \sigma(g, f, \tau')$. Устремляя $\tau$ к нулю, получим нужную формулу. Из доказательства видно, что нужно только требование существования хотя бы одного из интегралов.
}}

{{Утверждение
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $f'$ — ограничена на $(a, b)$, тогда $f$ — функция ограниченной вариации.
|proof=
$|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\xi_k)| \Delta x_k \le M \Delta x_k$
$ \bigvee\limits_a^b (f, \tau) \le M (b - a) \Rightarrow f \in \bigvee(a, b) $
}}
== Сведение к интегралу Римана ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть $g'$ непрерывна на $[a, b]$ и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$.
|proof=
Из предыдущего утверждения, $g$ — функция ограниченной вариации, следовательно, $\int\limits_a^b f dg$ существует. Распишем ее интеграл Стилтьеса:
$\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g(x_{k+1}) - g(x_k)) =$ (по формуле Лагранжа)

$= \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g'(\xi'_k) \Delta x_k = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g'(\xi_k) \Delta x_k + \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g'(\xi'_k) - g'(\xi_k)) \Delta x_k $.

Первое слагаемое правой части в пределе дает $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx $. Рассмотрим вторую часть:
За счет равномерной непрерывности $g'$, если $\operatorname{rang} \tau < \delta $ и $\xi_k, \xi'_k \in [x_k, x_{k+1}]$, то $|g'(\xi_k) - g'(\xi'_k)| < \varepsilon$.
$ \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g'(\xi'_k) - g'(\xi_k)) \Delta x_k \le \sum\limits_{k=0}^{n-1} M \varepsilon \Delta x_k = M (b - a) \varepsilon \xrightarrow[\varepsilon \to 0]{} 0$.
{{TODO| t=Из условий утверждения не вытекает, что <tex>f</tex> {{---}} ограниченна (можно привести пример когда это не так, см обсуждение).
}}

== Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации ==

В качестве применения этой теоремы оценим коэффициенты Фурье $2\pi$-периодической функции $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Так как $f$ представима в виде разности двух монотонных, [[Критерий_существования_определённого_интеграла#.D0.A1.D1.83.D1.89.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BE.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D1.91.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.B8.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB.D0.B0_.D0.BD.D0.B5.D0.BF.D1.80.D0.B5.D1.80.D1.8B.D0.B2.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.B8.D0.BB.D0.B8_.D0.B2.D0.BE.D0.B7.D1.80.D0.B0.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.8E.D1.89.D0.B5.D0.B9_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B8|монотонные интегрируемы по Риману]] и [[Критерий_существования_определённого_интеграла#.D0.A1.D0.BB.D0.B5.D0.B4.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B8.D0.B5|произведение интегрируемых интегрируемо]], то $f(x) \cos (nx) dx$ интегрируема по Риману.

$a_n(f) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx = \\
\frac{1}{\pi n} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) d sin(nx) = \frac{1}{\pi n} \left( f(x) \sin(x) \bigl |^{\pi}_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^{\pi} sin(nx) df \right) $
Первое слагаемое после подстановки обнуляется, второе слагаемое оценим сверху как $\bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$. Итак, получили: $|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$. Аналогичный результат можно получить для $b_n$.

</wikitex>

[[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|<<]][[Теорема Жордана|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Обсуждение:О почленном интегрировании ряда Фурье

2012-06-26T03:51:15Z

Dmitriy D.: Новая страница: «''Также предположим (докажем это позже), что <tex>F</tex> для почти всех <tex>x</tex> дифференцируема...»

''Также предположим (докажем это позже), что <tex>F</tex> для почти всех <tex>x</tex> дифференцируема по верхнему пределу интегрирования, и значение производной равно <tex>f(x)</tex>.''
: И? Вроде бы это так и осталось недоказанным. И еще я не понимаю, как это не противоречит [[Интеграл_с_переменным_верхним_пределом|теореме Барроу]]. Вроде бы производная должна быть <tex>f(x) - \frac{a_o}2</tex>, нет? --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 07:51, 26 июня 2012 (GST)

Вопросы к экзамену по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-26T03:38:40Z

Dmitriy D.:

# Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex>.
# Ядра Дирихле и Фейера.
# Способы суммирование рядов в НП (нормир. простр.).
# Теорема Фробениуса.
# Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве.
# Теорема Фейера.
# Следствие о двух пределах.
# Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex>.
# Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex>.
# Наилучшее приближение в НП и его свойства.
# Существование элемента наилучшего приближения.
# Обобщенная теорема Вейерштрасса.
# Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex>.
# Теорема Дини.
# Следствие о четырех пределах.
# Полная вариация функции и ее аддитивность.
# О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций.
# Условие существования интеграла Стилтьеса.
# Интегрируемость по Стилтьесу непрерывной функции.
# Аддитивность интеграла Стилтьеса.
# Сведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана.
# Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьеса.
# Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации.
# Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации.
# Условие равномерной сходимости ряда Фурье.
# Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя.
# Замкнутые и полные о.н.с.
# Равенство Парсеваля.
# Теорема Лузина-Данжуа.
# Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex>.
# Принцип локализации для рядов Фурье.
# Почленное интегрирование ряда Фурье.
# Модуль непрерывности и его свойства.
# Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности.
# Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex>.
# Ядро Джексона.
# Теорема Джексона.
# Следствия для <tex>C^{(r)}</tex>.
# Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов.
# Обратная теорема Бернштейна теории приближений.
# Явление Гиббса.
# Константа Лебега ядра Дирихле.
# Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега.
# Частный интеграл Фурье.
# Признак Дини сходимости интеграла Фурье.

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теорема Фейера

2012-06-26T03:13:47Z

Dmitriy D.: /* Теорема Фейера в L_p */

[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|<<]][[Лемма Римана-Лебега|>>]]

Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex>

<tex>(\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k(f))</tex>

Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к <tex>f</tex> либо в индивидуальной
точке, либо в пространстве <tex>L_p</tex> (по норме этих пространств).

Любая сумма Фейера {{---}} тригонометрический полином: <tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>.

__TOC__

== Теорема Фейера в L_1 ==

{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
|proof=
{{Определение
|definition=Точку <tex>x</tex> принято называть '''регулярной''', если
в этой точке существуют односторонние пределы.
}}
Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.

{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

<tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex>

Используя результаты, полученные [[Интеграл_Фейера|здесь]], <tex>\sigma_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1)} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt</tex>

Надо доказать, что этот интеграл при <tex>n\to\infty</tex> стремится к <tex>0</tex>.

Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)|\Phi_n(t) dt</tex>.

Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю. Разобьем его на два интеграла: <tex>h_n = \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex>, и рассмотрим по отдельности.

{{Утверждение
|statement=<tex>\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2 t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=Воспользуемся неравенствами <tex>|\sin nt| \leq n|\sin t|</tex> и <tex>\frac2\pi t \leq \sin t \leq t</tex> (<tex>t \in [0; \frac\pi2]</tex>)

<tex>\sin^2(n+1)\frac{t}2 \leq (n+1)^2\sin^2\frac{t}2</tex>

<tex>\frac{\sin^2(n+1)\frac t2}{\sin^2\frac{t}2} \leq (n + 1)^2,\ n + 1 \leq 2n</tex>

Значит, <tex>\int\limits_0^{h_n} \leq \frac1{2\pi}(n+1)\int\limits_0^{1/n} |\varphi_x(t)|dt \leq \frac1{\pi} \cdot \frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt</tex>.

По условию теоремы, <tex>\frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt \to 0</tex>.
}}

{{Утверждение
|statement=
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2 t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=
<tex>\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2</tex>.

<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq</tex>

<tex>\leq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt \le \frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t) = </tex>

(<tex>\Phi_x(t) = \int\limits_{0}^{t} |\phi_x(y)| dy </tex>; проинтегрируем по частям. '''Здесь <tex>\Phi_x(t)</tex> {{---}} НЕ ядро Фейера, а просто определённый интеграл''')

<tex>= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) \bigg|_{h_n}^{\pi} + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>.

Оценим каждое из слагаемых.

Первое слагаемое (<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)</tex>):

<tex>\frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi)</tex> - константа, <tex> h_n \to 0</tex>;

<tex>h_n \frac1{h_n^2} \Phi_x(h_n) = \frac1{h_n} \int\limits_0^{h_n} |\varphi_x(y)| dy \to 0</tex> по условию теоремы.

Второе слагаемое:

<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{t^3} dt = </tex><tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2} dt</tex>

По условию теоремы, <tex> \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \to 0 </tex>. Распишем это по определению:

<tex>\forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy < \varepsilon</tex>.

Пусть, начиная с какого-то <tex>N</tex>, <tex> h_n < \delta</tex>

Тогда <tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{h_n < \delta}{=} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi</tex>

<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\delta(...)\frac1{t^2} dt < \varepsilon h_n \int\limits_{h_n}^\delta \frac1{t^2} dt = </tex><tex>\varepsilon h_n \left(\frac1{h_n} - \frac1\delta\right) \leq a \varepsilon</tex>

Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} константа для данного <tex>\delta</tex>, а <tex>h_n \to 0</tex>.
}}

Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана.
}}

Заметим, что если в теореме Фейера <tex>f \in C</tex> (непрерывные <tex>2\pi</tex>-периодические функции), то теорема выполнена в каждой точке <tex>x</tex>, и, самое важное, равномерно по <tex>x</tex>, то есть,

В этом случае, <tex>\sigma_n(f) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} f</tex> на <tex> \mathbb{R} </tex>.

Это связано с тем, что условия Фейера выполнены равномерно по <tex>x</tex>
(из теоремы Кантора: <tex>f</tex> {{---}} непрерывно на <tex>[a; b]</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> {{---}} равномерно непрерывна на нём)

== Теорема Фейера в L_p ==
Установим теперь теорему Фейера в <tex>L_p</tex>.

{{Утверждение
|statement=
<tex>f \in L_p \Rightarrow \| \sigma_n(f)\|_p \le \|f\|_p </tex>
|proof=
Так как <tex> \sigma_n(f) \in H_n </tex>, то <tex> \sigma_n(f) \in L_p </tex>.

<tex> \| \sigma_n(f)\|^p_p = \int\limits_{Q} |\sigma_n(f)|^pdx, \sigma_n(f, x) = \int\limits_{Q} f(x+t) \Phi_n(t) dt </tex>.

<tex> |\sigma_n(f, x)| \le \int\limits_{Q} |f(x + t)|\Phi_n(t) dt = </tex> (возьмем <tex> q:\ \frac1p + \frac1q = 1 </tex>)

<tex>= \int\limits_{Q} |f(x + t)\Phi_n^{\frac1p}(t)| \Phi_n^{\frac1q}(t) dt \le (\int\limits_{Q} |f(x + t)|^p \Phi_n(t) dt)^{\frac1p} (\int\limits_{Q} \Phi_n(t) dt)^{\frac1q}</tex> (здесь мы воспользовались неравенством Гельдера). Несложно заметить, что второй множитель равен <tex> 1 </tex>. Подставим это неравенство под знак интеграла в предыдущем равенстве:

<tex> \|\sigma_n(f)\|^p_p \le \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dt)dx = </tex> (по [[Теорема Фубини|теореме Фубини]] меняем порядок интегрирования)

<tex> = \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dx)dt = \int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p dx)dt =</tex> <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x)|^p dx)dt = \int\limits_{Q} |f(x)|^p dx </tex>.

Возводя неравенство в степень <tex> \frac1p </tex>, получаем требуемое.

}}

{{Теорема
|author=
Фейер
|statement=
<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.
|proof=

<tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>, <tex>E_n(f)_p \leq \|f-\sigma_p(f)\|_p</tex>

Используем тот факт, что в <tex>C</tex> теорема Фейера выполнена, то есть, для непрерывной функции суммы Фейера сходятся равномерно на <tex> \mathbb{R}</tex>:

<tex>f\in C \Rightarrow \sigma_n(f) \stackrel{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} f,\ n \to \infty</tex>.

Рассмотрим произвольную функцию <tex> g \in L_p </tex>.

[[Пространство L_p(E)|Ранее]] нами уже было доказано, что пространство <tex>C</tex> всюду плотно в <tex>L_p</tex> : <tex>\forall\varepsilon>0\forall g\in L_p\exists \varphi \in C : \|g - \varphi\|_p<\varepsilon</tex>.

<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq</tex> (по [[Интеграл_Фейера|записи интеграла Фейера]] очевидно <tex>\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) = \sigma_n(g - \varphi)</tex>)

<tex>\leq \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p + \underset{\leq \varepsilon}{\underbrace{\|g - \varphi\|_p}} + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p </tex>.

По доказанному только что утверждению, <tex> \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p \leq \|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon </tex>.

Значит, <tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>

<tex>\forall f\in C : \|f\|_p^p = \int\limits_Q|f(t)|^p dt</tex>.

<tex>|f(t)| \leq \|f\|_\infty = \max\limits_Q |f(t)|</tex>

<tex>\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p</tex>

<tex>\|f\|_p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty</tex>

<tex>\varphi\in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) \in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C</tex>

<tex>\|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty</tex>

<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>

Так как в <tex>C</tex> верна теорема Фейера, то <tex>\forall \varepsilon>0\exists N \forall n > N : \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty < \varepsilon</tex>

Значит, <tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2 + (2\pi)^{1/p}) \varepsilon</tex>, и теорема верна по определению предела.
}}

{{Теорема
|author=
Теорема Вейерштрасса в <tex>L_p</tex>
|statement=
<tex>f\in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.
|proof=
Эту теорему принято также называть '''обобщенной теоремой Вейерштрасса'''.

Любая сумма Фейера <tex>\sigma_n(f)\in H_n</tex>. Исходя из определения наилучшего приближения <tex>E_n(f)_p \le \|f-\sigma_n(f)\|</tex>. Значит <tex>E_n(f)_p \to 0</tex>.
}}

[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|<<]][[Лемма Римана-Лебега|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теорема Фейера

2012-06-26T03:12:02Z

Dmitriy D.:

[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|<<]][[Лемма Римана-Лебега|>>]]

Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex>

<tex>(\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k(f))</tex>

Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к <tex>f</tex> либо в индивидуальной
точке, либо в пространстве <tex>L_p</tex> (по норме этих пространств).

Любая сумма Фейера {{---}} тригонометрический полином: <tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>.

__TOC__

== Теорема Фейера в L_1 ==

{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
|proof=
{{Определение
|definition=Точку <tex>x</tex> принято называть '''регулярной''', если
в этой точке существуют односторонние пределы.
}}
Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.

{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

<tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex>

Используя результаты, полученные [[Интеграл_Фейера|здесь]], <tex>\sigma_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1)} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt</tex>

Надо доказать, что этот интеграл при <tex>n\to\infty</tex> стремится к <tex>0</tex>.

Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)|\Phi_n(t) dt</tex>.

Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю. Разобьем его на два интеграла: <tex>h_n = \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex>, и рассмотрим по отдельности.

{{Утверждение
|statement=<tex>\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2 t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=Воспользуемся неравенствами <tex>|\sin nt| \leq n|\sin t|</tex> и <tex>\frac2\pi t \leq \sin t \leq t</tex> (<tex>t \in [0; \frac\pi2]</tex>)

<tex>\sin^2(n+1)\frac{t}2 \leq (n+1)^2\sin^2\frac{t}2</tex>

<tex>\frac{\sin^2(n+1)\frac t2}{\sin^2\frac{t}2} \leq (n + 1)^2,\ n + 1 \leq 2n</tex>

Значит, <tex>\int\limits_0^{h_n} \leq \frac1{2\pi}(n+1)\int\limits_0^{1/n} |\varphi_x(t)|dt \leq \frac1{\pi} \cdot \frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt</tex>.

По условию теоремы, <tex>\frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt \to 0</tex>.
}}

{{Утверждение
|statement=
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2 t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=
<tex>\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2</tex>.

<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq</tex>

<tex>\leq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt \le \frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t) = </tex>

(<tex>\Phi_x(t) = \int\limits_{0}^{t} |\phi_x(y)| dy </tex>; проинтегрируем по частям. '''Здесь <tex>\Phi_x(t)</tex> {{---}} НЕ ядро Фейера, а просто определённый интеграл''')

<tex>= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) \bigg|_{h_n}^{\pi} + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>.

Оценим каждое из слагаемых.

Первое слагаемое (<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)</tex>):

<tex>\frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi)</tex> - константа, <tex> h_n \to 0</tex>;

<tex>h_n \frac1{h_n^2} \Phi_x(h_n) = \frac1{h_n} \int\limits_0^{h_n} |\varphi_x(y)| dy \to 0</tex> по условию теоремы.

Второе слагаемое:

<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{t^3} dt = </tex><tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2} dt</tex>

По условию теоремы, <tex> \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \to 0 </tex>. Распишем это по определению:

<tex>\forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy < \varepsilon</tex>.

Пусть, начиная с какого-то <tex>N</tex>, <tex> h_n < \delta</tex>

Тогда <tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{h_n < \delta}{=} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi</tex>

<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\delta(...)\frac1{t^2} dt < \varepsilon h_n \int\limits_{h_n}^\delta \frac1{t^2} dt = </tex><tex>\varepsilon h_n \left(\frac1{h_n} - \frac1\delta\right) \leq a \varepsilon</tex>

Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} константа для данного <tex>\delta</tex>, а <tex>h_n \to 0</tex>.
}}

Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана.
}}

Заметим, что если в теореме Фейера <tex>f \in C</tex> (непрерывные <tex>2\pi</tex>-периодические функции), то теорема выполнена в каждой точке <tex>x</tex>, и, самое важное, равномерно по <tex>x</tex>, то есть,

В этом случае, <tex>\sigma_n(f) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} f</tex> на <tex> \mathbb{R} </tex>.

Это связано с тем, что условия Фейера выполнены равномерно по <tex>x</tex>
(из теоремы Кантора: <tex>f</tex> {{---}} непрерывно на <tex>[a; b]</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> {{---}} равномерно непрерывна на нём)

== Теорема Фейера в L_p ==
Установим теперь теорему Фейера в <tex>L_p</tex>.

{{Утверждение
|statement=
<tex>f \in L_p \Rightarrow \| \sigma_n(f)\|_p \le \|f\|_p </tex>
|proof=
Так как <tex> \sigma_n(f) \in H_n </tex>, то <tex> \sigma_n(f) \in L_p </tex>.

<tex> \| \sigma_n(f)\|^p_p = \int\limits_{Q} |\sigma_n(f)|^pdx, \sigma_n(f, x) = \int\limits_{Q} f(x+t) \Phi_n(t) dt </tex>.

<tex> |\sigma_n(f, x)| \le \int\limits_{Q} |f(x + t)|\Phi_n(t) dt = </tex> (возьмем <tex> q:\ \frac1p + \frac1q = 1 </tex>)

<tex>= \int\limits_{Q} |f(x + t)\Phi_n^{\frac1p}(t)| \Phi_n^{\frac1q}(t) dt \le (\int\limits_{Q} |f(x + t)|^p \Phi_n(t) dt)^{\frac1p} (\int\limits_{Q} \Phi_n(t) dt)^{\frac1q}</tex> (здесь мы воспользовались неравенством Гельдера). Несложно заметить, что второй множитель равен <tex> 1 </tex>. Подставим это неравенство под знак интеграла в предыдущем равенстве:

<tex> \|\sigma_n(f)\|^p_p \le \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dt)dx = </tex> (по [[Теорема Фубини|теореме Фубини]] меняем порядок интегрирования)

<tex> = \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dx)dt = \int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p dx)dt =</tex> <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x)|^p dx)dt = \int\limits_{Q} |f(x)|^p dx </tex>.

Возводя неравенство в степень <tex> \frac1p </tex>, получаем требуемое.

}}

{{Теорема
|author=
Фейер
|statement=
<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.
|proof=

<tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>, <tex>E_n(f)_p \leq \|f-\sigma_p(f)\|_p</tex>

Используем тот факт, что в <tex>C</tex> теорема Фейера выполнена, то есть, для непрерывной функции суммы Фейера сходятся равномерно на <tex> \mathbb{R}</tex>:

<tex>f\in C \Rightarrow \sigma_n(f) \stackrel{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} f,\ n \to \infty</tex>.

Рассмотрим произвольную функцию <tex> g \in L_p </tex>.

[[Пространство L_p(E)|Ранее]] нами уже было доказано, что пространство <tex>C</tex> всюду плотно в <tex>L_p</tex> : <tex>\forall\varepsilon>0\forall g\in L_p\exists \varphi \in C : \|g - \varphi\|_p<\varepsilon</tex>.

<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq</tex> (по [[Интеграл_Фейера|записи интеграла Фейера]] очевидно <tex>\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) = \sigma_n(g - \varphi)</tex>)

<tex>\leq \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p + \underset{\leq \varepsilon}{\underbrace{\|g - \varphi\|_p}} + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p </tex>.

По доказанному только что утверждению, <tex> \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p \leq \|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon </tex>.

Значит, <tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>

<tex>\forall f\in C : \|f\|_p^p = \int\limits_Q|f(t)|^p dt</tex>.

<tex>|f(t)| \leq \|f\|_\infty = \max\limits_Q |f(t)|</tex>

<tex>\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p</tex>

<tex>\|f\|_p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty</tex>

<tex>\varphi\in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) \in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C</tex>

<tex>\|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty</tex>

<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>

Так как в <tex>C</tex> верна теорема Фейера, то <tex>\forall \varepsilon>0\exists N \forall n > N : \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty < \varepsilon</tex>

Значит, <tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2 + (2\pi)^{1/p}) \varepsilon</tex>, и теорема верна по определению предела.
}}

{{Теорема
|author=
Теорема Вейерштрасса в <tex>L_p</tex>
|statement=
<tex>f\in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.
|proof=
Любая сумма Фейера <tex>\sigma_n(f)\in H_n</tex>. Исходя из определения наилучшего приближения <tex>E_n(f)_p \le \|f-\sigma_n(f)\|</tex>. Значит <tex>E_n(f)_p \to 0</tex>.
Ее также принято называть '''обобщенной теоремой Вейерштрасса'''.
}}

[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|<<]][[Лемма Римана-Лебега|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теорема Фейера

2012-06-26T03:05:22Z

Dmitriy D.: Похоже теорема Вейерштрасса в L_p и есть обощенная теорема Вейерштрасса.

[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|<<]][[Лемма Римана-Лебега|>>]]

Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex>

<tex>(\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k(f))</tex>

Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к <tex>f</tex> либо в индивидуальной
точке, либо в пространстве <tex>L_p</tex> (по норме этих пространств).

Любая сумма Фейера {{---}} тригонометрический полином: <tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>.

__TOC__

== Теорема Фейера в L_1 ==

{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
|proof=
{{Определение
|definition=Точку <tex>x</tex> принято называть '''регулярной''', если
в этой точке существуют односторонние пределы.
}}
Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.

{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

<tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex>

Используя результаты, полученные [[Интеграл_Фейера|здесь]], <tex>\sigma_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1)} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt</tex>

Надо доказать, что этот интеграл при <tex>n\to\infty</tex> стремится к <tex>0</tex>.

Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)|\Phi_n(t) dt</tex>.

Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю. Разобьем его на два интеграла: <tex>h_n = \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex>, и рассмотрим по отдельности.

{{Утверждение
|statement=<tex>\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2 t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=Воспользуемся неравенствами <tex>|\sin nt| \leq n|\sin t|</tex> и <tex>\frac2\pi t \leq \sin t \leq t</tex> (<tex>t \in [0; \frac\pi2]</tex>)

<tex>\sin^2(n+1)\frac{t}2 \leq (n+1)^2\sin^2\frac{t}2</tex>

<tex>\frac{\sin^2(n+1)\frac t2}{\sin^2\frac{t}2} \leq (n + 1)^2,\ n + 1 \leq 2n</tex>

Значит, <tex>\int\limits_0^{h_n} \leq \frac1{2\pi}(n+1)\int\limits_0^{1/n} |\varphi_x(t)|dt \leq \frac1{\pi} \cdot \frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt</tex>.

По условию теоремы, <tex>\frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt \to 0</tex>.
}}

{{Утверждение
|statement=
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2 t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=
<tex>\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2</tex>.

<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq</tex>

<tex>\leq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt \le \frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t) = </tex>

(<tex>\Phi_x(t) = \int\limits_{0}^{t} |\phi_x(y)| dy </tex>; проинтегрируем по частям. '''Здесь <tex>\Phi_x(t)</tex> {{---}} НЕ ядро Фейера, а просто определённый интеграл''')

<tex>= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) \bigg|_{h_n}^{\pi} + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>.

Оценим каждое из слагаемых.

Первое слагаемое (<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)</tex>):

<tex>\frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi)</tex> - константа, <tex> h_n \to 0</tex>;

<tex>h_n \frac1{h_n^2} \Phi_x(h_n) = \frac1{h_n} \int\limits_0^{h_n} |\varphi_x(y)| dy \to 0</tex> по условию теоремы.

Второе слагаемое:

<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{t^3} dt = </tex><tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2} dt</tex>

По условию теоремы, <tex> \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \to 0 </tex>. Распишем это по определению:

<tex>\forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy < \varepsilon</tex>.

Пусть, начиная с какого-то <tex>N</tex>, <tex> h_n < \delta</tex>

Тогда <tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{h_n < \delta}{=} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi</tex>

<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\delta(...)\frac1{t^2} dt < \varepsilon h_n \int\limits_{h_n}^\delta \frac1{t^2} dt = </tex><tex>\varepsilon h_n \left(\frac1{h_n} - \frac1\delta\right) \leq a \varepsilon</tex>

Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} константа для данного <tex>\delta</tex>, а <tex>h_n \to 0</tex>.
}}

Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана.
}}

Заметим, что если в теореме Фейера <tex>f \in C</tex> (непрерывные <tex>2\pi</tex>-периодические функции), то теорема выполнена в каждой точке <tex>x</tex>, и, самое важное, равномерно по <tex>x</tex>, то есть,

В этом случае, <tex>\sigma_n(f) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} f</tex> на <tex> \mathbb{R} </tex>.

Это связано с тем, что условия Фейера выполнены равномерно по <tex>x</tex>
(из теоремы Кантора: <tex>f</tex> {{---}} непрерывно на <tex>[a; b]</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> {{---}} равномерно непрерывна на нём)

== Теорема Фейера в L_p ==
Установим теперь теорему Фейера в <tex>L_p</tex>.

{{Утверждение
|statement=
<tex>f \in L_p \Rightarrow \| \sigma_n(f)\|_p \le \|f\|_p </tex>
|proof=
Так как <tex> \sigma_n(f) \in H_n </tex>, то <tex> \sigma_n(f) \in L_p </tex>.

<tex> \| \sigma_n(f)\|^p_p = \int\limits_{Q} |\sigma_n(f)|^pdx, \sigma_n(f, x) = \int\limits_{Q} f(x+t) \Phi_n(t) dt </tex>.

<tex> |\sigma_n(f, x)| \le \int\limits_{Q} |f(x + t)|\Phi_n(t) dt = </tex> (возьмем <tex> q:\ \frac1p + \frac1q = 1 </tex>)

<tex>= \int\limits_{Q} |f(x + t)\Phi_n^{\frac1p}(t)| \Phi_n^{\frac1q}(t) dt \le (\int\limits_{Q} |f(x + t)|^p \Phi_n(t) dt)^{\frac1p} (\int\limits_{Q} \Phi_n(t) dt)^{\frac1q}</tex> (здесь мы воспользовались неравенством Гельдера). Несложно заметить, что второй множитель равен <tex> 1 </tex>. Подставим это неравенство под знак интеграла в предыдущем равенстве:

<tex> \|\sigma_n(f)\|^p_p \le \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dt)dx = </tex> (по [[Теорема Фубини|теореме Фубини]] меняем порядок интегрирования)

<tex> = \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dx)dt = \int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p dx)dt =</tex> <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x)|^p dx)dt = \int\limits_{Q} |f(x)|^p dx </tex>.

Возводя неравенство в степень <tex> \frac1p </tex>, получаем требуемое.

}}

{{Теорема
|author=
Фейер
|statement=
<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.
|proof=

<tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>, <tex>E_n(f)_p \leq \|f-\sigma_p(f)\|_p</tex>

Используем тот факт, что в <tex>C</tex> теорема Фейера выполнена, то есть, для непрерывной функции суммы Фейера сходятся равномерно на <tex> \mathbb{R}</tex>:

<tex>f\in C \Rightarrow \sigma_n(f) \stackrel{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} f,\ n \to \infty</tex>.

Рассмотрим произвольную функцию <tex> g \in L_p </tex>.

[[Пространство L_p(E)|Ранее]] нами уже было доказано, что пространство <tex>C</tex> всюду плотно в <tex>L_p</tex> : <tex>\forall\varepsilon>0\forall g\in L_p\exists \varphi \in C : \|g - \varphi\|_p<\varepsilon</tex>.

<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq</tex> (по [[Интеграл_Фейера|записи интеграла Фейера]] очевидно <tex>\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) = \sigma_n(g - \varphi)</tex>)

<tex>\leq \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p + \underset{\leq \varepsilon}{\underbrace{\|g - \varphi\|_p}} + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p </tex>.

По доказанному только что утверждению, <tex> \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p \leq \|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon </tex>.

Значит, <tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>

<tex>\forall f\in C : \|f\|_p^p = \int\limits_Q|f(t)|^p dt</tex>.

<tex>|f(t)| \leq \|f\|_\infty = \max\limits_Q |f(t)|</tex>

<tex>\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p</tex>

<tex>\|f\|_p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty</tex>

<tex>\varphi\in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) \in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C</tex>

<tex>\|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty</tex>

<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>

Так как в <tex>C</tex> верна теорема Фейера, то <tex>\forall \varepsilon>0\exists N \forall n > N : \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty < \varepsilon</tex>

Значит, <tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2 + (2\pi)^{1/p}) \varepsilon</tex>, и теорема верна по определению предела.
}}

{{Теорема
|author=
Теорема Вейерштрасса в <tex>L_p</tex>
|statement=
<tex>f\in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.
|proof=
Любая сумма Фейера <tex>\sigma_n(f)\in H_n</tex>. Исходя из определения наилучшего приближения <tex>E_n(f)_p \le \|f-\sigma_n(f)\|</tex>. Значит <tex>E_n(f)_p \to 0</tex>.
}}

[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|<<]][[Лемма Римана-Лебега|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Обсуждение:Интеграл Римана-Стилтьеса

2012-06-26T02:14:05Z

Dmitriy D.:

Об обратных теоремах теории приближения функций

2012-06-26T01:09:04Z

Dmitriy D.:

[[Неравенство Бернштейна|<<]][[Математический анализ 2 курс|>> на главную]]

Ранее была установлена теорема Джексона, показывающая, что скорость, с которой наилучшее приближение функции тригонометрическими полиномами стремится к нулю, напрямую связана с её структурными свойствами.

Чем более гладкая функция, тем быстрее стремятся к ней её наилучшие приближения. Бернштейн обнаружил, что верно и обратное: скорость приближения определяет структурные свойства функции. Установим одну из теорем Бернштейна, потом приведём общие формулировки.

{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>E_n(f) \le \frac{A}{n^2} \Rightarrow \exists f'</tex>
|proof=
По теореме Вейерштрасса, если <tex>T_n(f)</tex> {{---}} полином наилучшего приближения <tex>f</tex> степени <tex>\le n</tex>, то
<tex>T_n(f) \rightrightarrows f</tex> на <tex>\mathbb{R}</tex>

<tex>T_{2^n} \rightrightarrows f</tex>

<tex>U_{2^n} = T_{2^n} - T_{2^{n-1}}</tex>

<tex>T_1 + U_{2^1} + U_{2^2} + \ldots = f</tex>

<tex>\|U'_{2^n}\| \le 2^n\|U_{2^n}\|</tex> [по неравенству Бернштейна] <tex>\le 2^n(\|T_{2^n} - f\| + \|T_{2^{n-1}} - f\|)</tex> [наилучшее прибижение] <tex>2^n(E_{2^n}(f) + E_{2^{n-1}}(f))</tex> <tex>\le 2 \cdot 2^nE_{2^{n-1}}(f)</tex> <tex>\le 2\cdot2^n\frac{1}{2^{2n-2}}</tex> <tex>= B\cdot \frac1{2^n}</tex>

Ряд из производных мажорируется сходящейся геометрической прогрессией <tex>\Rightarrow</tex> по признаку Вейерштрасса, он равномерно сходится <tex>\Rightarrow</tex> ряд можно почленно дифференцировать <tex>\Rightarrow</tex> у <tex>f</tex> есть производная.

}}

''Примечание'': можно было бы попросить <tex>E_n(f) \le \frac1{n^{\alpha + 1}}</tex>, где <tex>\alpha > 0</tex>.

[[Неравенство Бернштейна|<<]][[Математический анализ 2 курс|>> на главную]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Неравенство Бернштейна

2012-06-26T00:50:00Z

Dmitriy D.:

[[Явление Гиббса|<<]][[Об обратных теоремах теории приближения функций|>>]]

{{В разработке}}

<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>

{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T(x)|</tex>. Константу <tex>n</tex> уменьшить нельзя
|proof=
<tex>T_n = \sin nx \Rightarrow T'_n = n \cos nx</tex>. Здесь <tex>n</tex> уменьшить нельзя.

Так как это неравенство понадобится для так называемых обратных задач теории приближений, то мы приведём доказательство более грубого неравенства, но порядок константы будет тот же самый: вместо <tex>n</tex> будет <tex>2n</tex>. Доказательство классического неравенства более трудное. Однако, наше можно доказать, используя <tex>L_p</tex>.

Основываемся на том, что тригонометрический полином {{---}} ряд Фурье самого себя. Запишем его через интеграл Дирихле.

<tex>T_n(x) = \int\limits_Q T_n(t)D_n(x-t) dt = \int\limits_Q T_n(t)D_n(t-x)dt</tex>

Дифференцируем по <tex>x</tex>. Интеграл дифференцировать можно, так как промежуточный интеграл конечен, а под интегралом {{---}} тригонометрический полином.

<tex>T'_n(x) = -\int\limits_Q T_n(t)D'_n(t-x) dt = \int\limits_Q T_n(x+t)D'_n(t)dt</tex>

<tex>T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t) D'_n(t) dt</tex>

<tex>D_n(t) = \frac1\pi\left(\frac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right)</tex>

<tex>D'_n(t) = -\frac1\pi \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt</tex>

Воспользуемся ортогональностью тригонометрической системы. Принимая по внимание то, что под знаком интеграла полином степени не выше <tex>n</tex>:

<tex>G(t) = \sum\limits_{k=n+1}^pc_k\cos kt + d_k\sin kt</tex>

<tex>\int\limits_Q T_n(x+t)D'_n(t) dt</tex> [в силу ортогональности] <tex>=\int\limits_Q T_n(x+t)(D'_n(t)-G(t)) dt</tex>

Вспомним об ядре Фейера

<tex>\Phi_n(t) = \frac1{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> <tex>= \frac1{\pi(n+1)}\left(\frac12 + \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^k \cos jt \right) \right)</tex> <tex>= \frac1{\pi(n+1)} \left( \frac{n+1}2 + \sum\limits_{j=1}^n \cos jt \sum\limits_{k=j}^n 1 \right) </tex> <tex>= \frac1{\pi(n+1)} \left(\frac{n+1}2 + \sum\limits_{j=1}^n (n-j+1)\cos jt\right)</tex> <tex>= \frac1{2\pi} + \frac1\pi \sum\limits_{j=1}^n \left(1 - \frac{j}{n+1}\right) \cos jt</tex>

Итого: <tex>\Phi_n(t) = \frac1{2\pi} + \frac1\pi \sum\limits_{j=1}^n\left(1-\frac{j}{n+1}\right)\cos jt</tex>

<tex>G(t) = \frac{1}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{n-1} k \sin (2n -k)t</tex> Это тот полином, который можно подставить в интеграл.

<tex>T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t)(-\frac1\pi)\left( \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin(2n-k)t \right) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi(n\sin nt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k(\sin kt+\sin(2n-k)t)) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi \left(n\sin nt + 2\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin nt \cdot \cos (n-k)t\right) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(k+t)\frac{2n}\pi\sin nt \left(\frac12 + \frac1n\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\cos(n-k)t\right) dt</tex> <tex>=-\int\limits_Q T_n(x+t)\frac{2n}\pi \sin nt \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^{n-1} \frac{n-j}n \cos jt\right) dt</tex>

Итого: <tex>T'_n(x) = -2n\int\limits_QT_n(x+t)\sin nt \Phi_{n-1}(t)dt</tex>

<tex>\Phi_n</tex> {{---}} неотрицательное и нормированное.

<tex>\|f\|_\infty = \max\limits_{x\in\mathbb{R}} |f(x)|</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|f(t + x)\|_\infty = \|f(t)\|_\infty</tex>, <tex>\|f\|_\infty</tex> не зависит от <tex> x </tex>.

<tex>|\sin nt| < 1</tex>, <tex>\|T'_n\| \le 2n \|T_n\| \cdot \int\limits_Q\Phi_n(t)t = 2n\|T_n\|</tex>

Ослабленное неравенство Бернштейна установлено.
}}

[[Явление Гиббса|<<]][[Об обратных теоремах теории приближения функций|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Явление Гиббса

2012-06-25T21:51:16Z

Dmitriy D.:

[[Об интеграле Фурье|<<]][[Неравенство Бернштейна|>>]]

{{В разработке}}

{{Определение
|definition=''Явление Гиббса'' {{---}} некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции.
}}

С целью упрощения вычислений рассмотрим на примере функции, равной знаку числа <tex>f(x) = \operatorname{sign} x</tex>, <tex>2\pi</tex>-периодизованной. Эта функция удовлетворяет условию [[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке#Теорема Дини | теоремы Дини]] в каждой точке, значит, в каждой точке её можно разложить в ряд Фурье. <tex>f(x) </tex> {{---}} нечётная, значит, будет ряд только по синусам:

<tex>s_n(x) = \int\limits_Q f(t) D_n(t-x) dt = \int\limits_0^\pi + \int\limits_{-\pi}^0 = -1 \cdot \int\limits_{-\pi}^0 D_n(t-x)dt + 1 \cdot \overset{t:=-y}{\int\limits_0^\pi D_n(t-x)dt}</tex> <tex>=\int\limits_0^\pi D_n(t-x) dt - \int\limits_0^\pi D_n(t+x)dt</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^{\pi-x} D_n(t)dt - \int\limits_x^{\pi+x} D_n(t) dt</tex> <tex>= \int\limits_{-x}^x + \int\limits_x^{\pi-x} - \int\limits_x^{\pi+x}</tex> <tex>= \int\limits_{-x}^x - \left(\int\limits_x^{\pi+x} - \int\limits_x^{\pi-x}\right)</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^x - \int\limits_{\pi-x}^{\pi+x}</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^x (D_n(t) - D_n(\pi + t))dt</tex>

Итого: <tex>s_n(x) = \int\limits_{-x}^x (D_n(t) - D_n(\pi + t)) dt</tex>

<tex>D_n(t) - D_n(\pi + t) = \frac1\pi \frac{\sin [(n+1/2)t - (-1)^n t/2]}{\sin t}</tex>

<tex>n + \frac{1-(-1)^n}2 = 2\left[\frac{n+1}2\right]</tex>

<tex>s_n(x) = \frac1\pi\int\limits_{-x}^x \frac{\sin 2\left[\frac{n+1}2\right]t}{\sin t} dt</tex>

Продифференцируем по <tex>x</tex>:
<tex>s'_n(x) = \frac2\pi \frac{\sin 2\left[\frac{n+1}2\right]x}{\sin x}</tex>, <tex>x \in \langle 0; \pi\rangle</tex>

<tex>s'_n(x_{m_n}) = 0</tex>, <tex>x_{m_n} = \frac\pi{m_n}</tex>, <tex>2\left[\frac{n+1}2\right] = m_n</tex>

Путём дифференциального исчисления проверяем, что <tex>m_n</tex> {{---}} точка максимума.

<tex>s_n(m_n) = \frac2\pi \int\limits_0^{x_{mn}} \frac{\sin m_nt}{\sin t} dt=</tex> (заменим переменную на <tex>m_n t</tex>) <tex>= \frac2\pi \int\limits_0^\pi \frac{\sin t}t \frac{t/m_n}{\sin t/m_n} dt</tex>

<tex> \frac{t/m_n}{\sin t/m_n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 1</tex>, <tex>\frac{t}{\sin t}</tex> возрастает, значит, к этому интегралу применима [[Предельный переход под знаком интеграла Лебега | теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла]]:

<tex>s_n(m_n) > s_{n+1}(m_{n+1})</tex>

<tex>s_n(m_n) \to \frac2\pi\int\limits_0^\pi\frac{\sin t}t dt \approx 1,17\ldots</tex>

Смысл полученного в следующем: функция пройдёт через точку максимума <tex>>1</tex> и резко пойдёт в ноль. Явление {{---}} явление Гиббса, он обнаружил физический эффект, связаный с математическим поведением этих сумм.

== См. также ==
[http://en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon Wikipedia — Gibbs phenomenon]

[[Об интеграле Фурье|<<]][[Неравенство Бернштейна|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Явление Гиббса

2012-06-25T21:44:17Z

Dmitriy D.:

[[Об интеграле Фурье|<<]][[Неравенство Бернштейна|>>]]

{{В разработке}}

{{Определение
|definition=''Явление Гиббса'' {{---}} некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции.
}}

С целью упрощения вычислений рассмотрим на примере функции, равной знаку числа <tex>f(x) = \operatorname{sign} x</tex>, <tex>2\pi</tex>-периодизованной. Эта функция удовлетворяет условию [[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке#Теорема Дини | теоремы Дини]] в каждой точке, значит, в каждой точке её можно разложить в ряд Фурье. <tex>f(x) </tex> {{---}} нечётная, значит, будет ряд только по синусам:

<tex>s_n(x) = \int\limits_Q f(t) D_n(t-x) dt = \int\limits_0^\pi + \int\limits_{-\pi}^0 = -1 \cdot \int\limits_{-\pi}^0 D_n(t-x)dt + 1 \cdot \overset{t:=-y}{\int\limits_0^\pi D_n(t-x)dt}</tex> <tex>=\int\limits_0^\pi D_n(t-x) dt - \int\limits_0^\pi D_n(t+x)dt</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^{\pi-x} D_n(t)dt - \int\limits_x^{\pi+x} D_n(t) dt</tex> <tex>= \int\limits_{-x}^x + \int\limits_x^{\pi-x} - \int\limits_x^{\pi+x}</tex> <tex>= \int\limits_{-x}^x - \left(\int\limits_x^{\pi+x} - \int\limits_x^{\pi-x}\right)</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^x - \int\limits_{\pi-x}^{\pi+x}</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^x (D_n(t) - D_n(\pi + t))dt</tex>

Итого: <tex>s_n(x) = \int\limits_{-x}^x (D_n(t) - D_n(\pi + t)) dt</tex>

<tex>D_n(t) - D_n(\pi + t) = \frac1\pi \frac{\sin [(n+1/2)t - (-1)^n t/2]}{\sin t}</tex>

<tex>n + \frac{-(-1)^n}2 = 2\left[\frac{n+1}2\right]</tex>

<tex>s_n(x) = \frac1\pi\int\limits_{-x}^x \frac{\sin 2\left[\frac{n+1}2\right]t}{\sin t} dt</tex>

Продифференцируем по <tex>x</tex>:
<tex>s'_n(x) = \frac2\pi \frac{\sin 2\left[\frac{n+1}2\right]x}{\sin x}</tex>, <tex>x \in \langle 0; \pi\rangle</tex>

<tex>s'_n(x_{m_n}) = 0</tex>, <tex>x_{m_n} = \frac\pi{m_n}</tex>, <tex>2\left[\frac{n+1}2\right] = m_n</tex>

Путём дифференциального исчисления проверяем, что <tex>m_n</tex> {{---}} точка максимума.

<tex>s_n(m_n) = \frac2\pi \int\limits_0^{x_{mn}} \frac{\sin m_nt}{\sin t} dt=</tex> (заменим переменную на <tex>m_n t</tex>) <tex>= \frac2\pi \int\limits_0^\pi \frac{\sin t}t \frac{t/m_n}{\sin t/m_n} dt</tex>

<tex> \frac{t/m_n}{\sin t/m_n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 1</tex>, <tex>\frac{t}{\sin t}</tex> возрастает, значит, к этому интегралу применима [[Предельный переход под знаком интеграла Лебега | теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла]]:

<tex>s_n(m_n) > s_{n+1}(m_{n+1})</tex>

<tex>s_n(m_n) \to \frac2\pi\int\limits_0^\pi\frac{\sin t}t dt \approx 1,17\ldots</tex>

Смысл полученного в следующем: функция пройдёт через точку максимума <tex>>1</tex> и резко пойдёт в ноль. Явление {{---}} явление Гиббса, он обнаружил физический эффект, связаный с математическим поведением этих сумм.

== См. также ==
[http://en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon Wikipedia — Gibbs phenomenon]

[[Об интеграле Фурье|<<]][[Неравенство Бернштейна|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теорема Лузина-Данжуа

2012-06-25T21:21:28Z

Dmitriy D.:

[[L_2-теория рядов Фурье|<<]][[Теорема Джексона|>>]]

Рассмотрим произвольный тригонометрический ряд:

<tex> \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex>

<tex> |a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le |a_n| + |b_n| </tex>

Если <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex> сходится, то тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся.

Обратное в общем случае неверно, тригонометрический ряд может абсолютно сходиться в бесконечном числе точек, но при этом числовой будет расходиться.

Рассмотрим, например, <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin (\pi n! x), x_k = \frac{\pi}{k!} </tex>, тогда при <tex> n \ge k: \sin(\pi n! x_k) = \sin(\pi n (n - 1) \dots (k + 1)) = 0 </tex>, то есть, ряд абсолютно сходится. Однако, <tex> b_{n!} = 1 </tex>, и ряд из коэффициентов расходится.

Однако, есть важная теорема:

<tex> a_n \cos nx + b_n \sin nx = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \cos (nx + \varphi_n) </tex>

<tex> \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \le |a_n| + |b_n| \le \sqrt 2 \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex>, следовательно, ряды <tex> \sum\limits_1^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex> и <tex> \sum\limits_1^{\infty} \sqrt{a_n^2 + b_n^2}) </tex> равносходятся.

{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
|proof=
<tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n |\cos (nx + \varphi_n)| </tex> — сходится для любого <tex> x </tex> в <tex> A </tex> по условию теоремы, где <tex> \lambda A > 0 </tex>.

Пусть <tex> \alpha(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \cos^2(nx + \varphi_n) </tex>. <tex> \alpha(x) </tex> измерима и конечна на <tex> A </tex>, так как <tex> r_n \cos^2(nx + \varphi_n) \le r_n |\cos(nx + \varphi_n)| </tex>.

Тогда <tex> \exists A_0 \subset A: \lambda A_0 > 0, \alpha(x) </tex> — ограничена на <tex> A_0 </tex>. <tex> A = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} A(0 \le \alpha(x) \le n), \lambda A > 0 \Rightarrow \lambda A_n \to \lambda A \Rightarrow \exists n_0 : \lambda A_{n_0} > 0 </tex>, обозначим такой <tex>A_{n_0} </tex> за <tex> A_0 </tex>.

На <tex> A_0 </tex> <tex> \alpha </tex> — суммируема, по [[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега#Теорема Леви|теореме Б. Леви]], ряд можно почленно интегрировать.

<tex> \int\limits_{A_0} \alpha(x) dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \cos^2(nx + \varphi_{n, x}) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \frac{1 + \cos(2nx + 2\varphi_{n, x})}{2} = </tex>

<tex> = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac12 r_n \left( \lambda A_0 + \int\limits_{A_0} \cos(2\varphi_{n,x}) \cos (2nx) - \int\limits_{A_0} \sin(2\varphi_{n,x}) \sin (2nx) \right) </tex>. Оба интеграла стремятся к нулю по лемме Римана-Лебега, следовательно, разность этих интегралов с некоторого номера больше <tex> -\frac12 \lambda A_0 </tex> , а значит, <tex> n </tex>-е слагаемое ряда больше <tex> \frac12 r_n \frac12 \lambda A_0 </tex>. Значит, из сходимости исходного ряда по признаку сравнения следует сходимость <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n </tex>.
}}

Таким образом, отождествили сходимость рядов <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> и <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex>.

Запишем условие абсолютной сходимости на языке наилучших приближений.

{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
|proof=
<tex> E_n^2(f)_2 = \pi \sum\limits_{k=n+1}^{\infty} (a_k^2 (f) + b_k^2 (f)) </tex>. Для абсолютной сходимости достаточно доказать, что <tex> \sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} < + \infty </tex> в условиях теоремы.

<tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} =</tex> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k = n}^{\infty} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} \le </tex> (используем [[Неравенства Гёльдера, Минковского#Теорема Гёльдера|неравенство Коши для сумм]])
<tex> \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty} \frac1{k^2} \right)^{\frac12} </tex>

<tex> \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} </tex> равно <tex> E_{n-1}(f)_2 </tex>

<tex> \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k}\frac1{k-1} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k-1} - \frac1k \right)^{\frac12} \le \frac{1}{\sqrt{n-1}} </tex>

Таким образом, получили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} \le \sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{cE_{n-1}(f)_{L_2}}{\sqrt{n-1}} < + \infty </tex>, таким образом, ряд из <tex> r_n </tex> сходится.
}}

== См. также ==
[http://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2%80%93Luzin_theorem Denjoy-Luzin_theorem]

[[L_2-теория рядов Фурье|<<]][[Теорема Джексона|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теорема Лузина-Данжуа

2012-06-25T21:14:54Z

Dmitriy D.:

[[L_2-теория рядов Фурье|<<]][[Теорема Джексона|>>]]

Рассмотрим произвольный тригонометрический ряд:

<tex> \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex>

<tex> |a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le |a_n| + |b_n| </tex>

Если <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex> сходится, то тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся.

Обратное в общем случае неверно, тригонометрический ряд может абсолютно сходиться в бесконечном числе точек, но при этом числовой будет расходиться.

Рассмотрим, например, <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin (\pi n! x), x_k = \frac{\pi}{k!} </tex>, тогда при <tex> n \ge k: \sin(\pi n! x_k) = \sin(\pi n (n - 1) \dots (k + 1)) = 0 </tex>, то есть, ряд абсолютно сходится. Однако, <tex> b_{n!} = 1 </tex>, и ряд из коэффициентов расходится.

Однако, есть важная теорема:

<tex> a_n \cos nx + b_n \sin nx = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \cos (nx + \varphi_n) </tex>

<tex> \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \le |a_n| + |b_n| \le \sqrt 2 \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex>, следовательно, ряды <tex> \sum\limits_1^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex> и <tex> \sum\limits_1^{\infty} \sqrt{a_n^2 + b_n^2}) </tex> равносходятся.

{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
|proof=
<tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n |\cos (nx + \varphi_n)| </tex> — сходится для любого <tex> x </tex> в <tex> A </tex> по условию теоремы, где <tex> \lambda A > 0 </tex>.

Пусть <tex> \alpha(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \cos^2(nx + \varphi_n) </tex>. <tex> \alpha(x) </tex> измерима и конечна на <tex> A </tex>, так как <tex> r_n \cos^2(nx + \varphi_n) \le r_n |\cos(nx + \varphi_n)| </tex>.

Тогда <tex> \exists A_0 \subset A: \lambda A_0 > 0, \alpha(x) </tex> — ограничена на <tex> A_0 </tex>. <tex> A = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} A(0 \le \alpha(x) \le n), \lambda A > 0 \Rightarrow \lambda A_n \to \lambda A \Rightarrow \exists n_0 : \lambda A_{n_0} > 0 </tex>, обозначим такой <tex>A_{n_0} </tex> за <tex> A_0 </tex>.

На <tex> A_0 </tex> <tex> \alpha </tex> — суммируема, по [[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега#Теорема Леви|теореме Б. Леви]], ряд можно почленно интегрировать.

<tex> \int\limits_{A_0} \alpha(x) dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \cos^2(nx + \varphi_{n, x}) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \frac{1 + \cos(2nx + 2\varphi_{n, x})}{2} = </tex>

<tex> = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac12 r_n \left( \lambda A_0 + \int\limits_{A_0} \cos(2\varphi_{n,x}) \cos (2nx) - \int\limits_{A_0} \sin(2\varphi_{n,x}) \sin (2nx) \right) </tex>. Оба интеграла стремятся к нулю по лемме Римана-Лебега, следовательно, разность этих интегралов с некоторого номера больше <tex> -\frac12 \lambda A_0 </tex> , а значит, <tex> n </tex>-е слагаемое ряда больше <tex> \frac12 r_n \frac12 \lambda A_0 </tex>. Значит, из сходимости исходного ряда по признаку сравнения следует сходимость <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n </tex>.
}}

Таким образом, отождествили сходимость рядов <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> и <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex>.

Запишем условие абсолютной сходимости на языке наилучших приближений.

{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
|proof=
<tex> E_n^2(f)_2 = \pi \sum\limits_{k=n+1}^{\infty} (a_k^2 (f) + b_k^2 (f)) </tex>. Для абсолютной сходимости достаточно доказать, что <tex> \sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} < + \infty </tex> в условиях теоремы.

<tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} =</tex> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k = n}^{\infty} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} \le </tex> (используем [[Неравенства Гёльдера, Минковского#Теорема Гёльдера|неравенство Коши для сумм]])
<tex> \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty} \frac1{k^2} \right)^{\frac12} </tex>

<tex> \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} </tex> равно <tex> E_{n-1}(f)_2 </tex>

<tex> \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k}\frac1{k-1} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k-1} - \frac1k \right)^{\frac12} \le \frac{1}{\sqrt{n-1}} </tex>

Таким образом, получили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} \le \sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{cE_{n-1}(f)_{L_2}}{\sqrt{n-1}} < + \infty </tex>, таким образом, ряд из <tex> r_n </tex> сходится.
}}

== См. также ==
[http://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2%80%93Luzin_theorem Denjoy-Luzin_theorem]

[[L_2-теория рядов Фурье|<<]][[Теорема Джексона|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Обсуждение:L 2-теория рядов Фурье

2012-06-25T20:58:39Z

Dmitriy D.:

* Забавно, ведь "теорема пифагора" у нас уже [[Нормированные_пространства|была]]. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 23:07, 25 июня 2012 (GST)

* Не понятно как получается неравенство Бесселя из экстремального свойства. Но зато хорошо понятно, как оно получалось раньше во 2ом семестре. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 00:58, 26 июня 2012 (GST)

Обсуждение:L 2-теория рядов Фурье

2012-06-25T20:58:19Z

Dmitriy D.:

Забавно, ведь "теорема пифагора" у нас уже [[Нормированные_пространства|была]]. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 23:07, 25 июня 2012 (GST)

Не понятно как получается неравенство Бесселя из экстремального свойства. Но зато хорошо понятно, как оно получалось раньше во 2ом семестре. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 00:58, 26 июня 2012 (GST)

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-25T20:38:55Z

Dmitriy D.: /* 26 Ряды Фурье в L_2 : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя */ квадраты..

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{Теорема
|author=
Фробениус
|statement=
<tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (с.а) <tex> \Rightarrow </tex> <tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (А).
}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{Теорема
|author=
Харди
|statement=
<tex>\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S</tex>(с.а.)
Тогда, если существует такое <tex> M > 0 </tex>, что <tex> \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n </tex>, то <tex> \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S</tex>.
}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{Теорема
|statement=
Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>.

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{Определение
|definition=
[[Отображения|Функция]] <tex>\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+</tex> называется модулем непрерывности, если:
# <tex>\omega (0) = 0 = \lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t)</tex>
# <tex>\omega (t)</tex> неубывает
# <tex>\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)</tex> (полуаддитивность)
}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 36 Ядро Джексона =
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}

= 37 Теорема Джексона =
{{Теорема
|author=
Джексон
|statement=
<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex>
}}

= 38 Следствия для C^r =
<tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p - const </tex>.

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =

<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>

{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T_n(x)|</tex>. Константу <tex>n</tex> уменьшить нельзя
}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>E_n(f) \le \frac{A}{n^2} \Rightarrow \exists f'</tex>
}}

= 41 Явление Гиббса =
{{Определение
|definition=''Явление Гиббса'' {{---}} некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции.
}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
Положим для <tex>\delta>0</tex>

<tex>\omega_f(t,\delta)=\sup\limits_{s: |s-t|\leqslant \delta}|f(t)-f(s)|</tex>.

(модуль непрерывности функции <tex>f</tex> в точке <tex>t</tex>).

Если функция <tex>f</tex> удовлетворяет условию

<tex>\int\limits_{0+}\limits\frac{\omega_f(t,\delta)\,d\delta}{\delta} <+\infty </tex>,

то её ряд Фурье в точке <tex>t</tex> сходится к <tex>f(t)</tex> .

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

L 2-теория рядов Фурье

2012-06-25T20:38:16Z

Dmitriy D.: /* Теорема Рисса-Фишера */ Вроде разница не принципиальна, но он диктовал именно с квадратами.

[[О почленном интегрировании ряда Фурье|<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]]
{{В разработке}}

В теории интеграла Лебега мы доказали, что любое пространство <tex>L_p</tex> — полное. С другой стороны, в
пространстве <tex>L_2</tex> можно определить скалярное произведение:

<tex>\langle f, g \rangle = \int\limits_Q f\cdot g</tex>

Этот интеграл конечен в силу неравенства Гёльдера, так как <tex>\int\limits_Q |fg| \le \sqrt{\int\limits_Q f^2} + \sqrt{\int\limits_Q g^2}</tex>

Эта операция обладает свойствами скалярного произведения:
* <tex>\langle f; f \rangle \ge 0</tex> и <tex>\langle f; f\rangle = 0 \iff f = 0</tex> почти всюду
* Линейность. <tex>\langle \alpha f_1 + \beta f_2 , g \rangle = \alpha\langle f_1, g \rangle + \beta \langle f_2, g\rangle</tex>
* Симметричность. <tex>\langle f, g\rangle = \langle g, f \rangle</tex>

Введём норму <tex>\|f\| = \sqrt{\langle f, f\rangle} = \sqrt{\int\limits_Q f^2}</tex>

В силу того, что пространство полное и норма порождает скалярное произведение, это пространство Гильберта.

''<tex>L_2</tex>-теория рядов Фурье'' {{---}} теория, исследуются свойства рядов Фурье как элементов данного Гильбертова пространства.

Центральную роль в <tex>L_2</tex>-теории играет ''ортонормированная система точек''(ОНС).

{{Определение
|definition=<tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС <tex>\iff</tex> <tex>\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}</tex>
}}

Если в качестве модели взять <tex>L_2</tex> и рассмотреть стандартную тригонометрическую систему функций <tex>1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \ldots, \sin nx, \cos nx</tex>, то окажется, что она {{---}} ортогональная.

Попарная ортогональность:
<tex>\int\limits_Q \cos^2 nx dx = \pi</tex>, <tex>\int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi</tex>, <tex>\int\limits_Q 1 = 2\pi</tex>.

Тогда ОНС будет:
<tex>\frac1{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt\pi}, \frac{\cos x}{\sqrt\pi}, \ldots, \frac{\sin nx}{\sqrt\pi}, \frac{\cos nx}{\sqrt\pi}</tex>

По ортонормированной системе можно составлять формальные ряды в <tex>\mathcal{H}</tex>.

<tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_je_j</tex> в <tex>\mathcal{H}</tex> ортогональна: <tex>i\ne j \Rightarrow \langle \alpha_1 e_i, \alpha_2 e_j \rangle</tex> = 0

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> {{---}} ортогональный ряд. Он сходится тогда и только тогда, когда <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex> сходится. Если <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j = a</tex>, то <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2 = \|a\|^2 </tex>.
|proof=
Возьмём <tex>A_n = \sum\limits_{j=1}^n a_j</tex>. По определению, сходимость ряда <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j</tex> равносильна существованию предела <tex>A_n</tex>. Так как пространство {{---}} Гильбертово, то есть полное, значит сходимость равносильна сходимости в себе. Значит,
<tex>\lim\limits_{n, m \to \infty} A_n - A_m = 0</tex>, что равносильно <tex> \|A_n - A_m\| \to 0 </tex>.

Пусть <tex> m > n </tex>. <tex>A_m - A_n = \sum\limits_{j=n+1}^m a_j</tex>.

<tex>\|A_m - A_n\|^2 = \left\langle \sum\limits_{i=n+1}^m a_i, \sum\limits_{j=n+1}^m a_j \right\rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{i, j = n+1}^m \langle a_i, a_j\rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{j=n+1}^m \langle a_j, a_j \rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2</tex>

По критерию Коши сходимости числовых рядов <tex>\sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2 \to 0 \iff \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2 < \infty</tex>

Итак, мы установили, что сходимость ортогонального ряда <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex>.

<tex>a = \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \Rightarrow \langle a, a \rangle = \langle \sum\limits_{j=1}^\infty a_j, \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \rangle \Rightarrow \| a \|^2 = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2</tex>

}}

Возвращаясь к ряду по ортогональной системе <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, получаем, что он сходится <tex>\iff</tex> сходится <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j^2</tex>.

На базе рядов по ортогональной системе вводится понятие абстрактного ряда Фурье.

Пусть <tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, тогда, по непрерывности скалярного произведения, можно записать:
<tex>\langle x, e_k\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j\langle e_j, e_k\rangle = \alpha_k</tex>

То есть, если <tex>x</tex> разлагается по ортогональной системе, то необходимо <tex>\alpha_j = \langle x, e_j\rangle</tex> {{---}} коэффициент Фурье.

Центральную роль играет изучение ортогональных рядов вида <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>x \in \mathcal{H}</tex>. Такие ряды называются '''абстрактными рядами Фурье'''.

В применении к <tex>L_2</tex>: <tex>f \in L_2</tex>, <tex>\langle f, \frac1{\sqrt\pi} \cos nx\rangle =\int\limits_Q f(x) \frac{1}{\sqrt \pi} \cos nx dx = \sqrt\pi \left(\frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx\right) = \sqrt\pi a_n(f)</tex>

Аналогично, для синусов: <tex>\langle f, \frac1\pi \sin nx\rangle = \sqrt\pi b_n(f)</tex>

<tex>\langle f, \frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle = \sqrt{\frac\pi2} a_0(f)</tex>

Тогда, получается: <tex>\sum\limits_{j=0}^\infty \langle f, e_j\rangle e_j = </tex> (из того, что <tex>L_2</tex>) <tex>\sqrt{\frac\pi2} a_0(f) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} + \sum\limits_{n=1}^\infty(\sqrt\pi a_n(f)\cdot \frac{\cos nx }{\sqrt \pi} + \sqrt\pi b_n(f) \cdot \frac{\sin nx}{\sqrt \pi} ) </tex> <tex> = \frac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_0(f) \cos nx + b_0(f) \sin nx</tex>, то есть, абстрактный ряд Фурье совпадает с классическим.

Применим то, что было сказано выше: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle f, e_j \rangle = \alpha_j</tex> будет сходиться в <tex>L_2</tex> <tex>\iff</tex> сходится ояд <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex> (забиваем на множитель и одно слагаемое).

== Теорема Рисса-Фишера ==
{{Теорема
|author=
Рисс, Фишер
|statement=
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>.
Тогда существует <tex>x \in \mathcal{H}: \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n = x</tex> , то есть, точка разложится в ряд Фурье.
|proof=
Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>

Поэтому просто положим <tex>x</tex> равным <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>.
}}

Легко установить экстремальное свойство частичных сумм: пусть

<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty c_j e_j</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> (причем он может быть расходящимся), <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>

тогда: <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex> {{---}} '''экстремальное свойство частичных сумм'''.

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

Раз ряд состоит из квадратов коэффициентов Фурье, то он всегда сходится. В любом случае, ряд Фурье будет сходиться в <tex>\mathcal{H}</tex>.

Возникает вопрос: ''к чему же?''

{{Утверждение
|statement=
Если <tex>y = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, из этого не следует <tex>x = y</tex>.
|proof=
Рассмотрим в <tex>\mathbb{R}^3</tex> ОНС <tex>\{e_1, e_2\}</tex>.

<tex>x = e_3</tex>, <tex>\langle x, e_1\rangle = \langle x, e_2\rangle = 0</tex>

<tex>\langle x, e_1\rangle e_1 + \langle x, e_2\rangle e_2 = 0</tex>

<tex>\alpha e_1 + \beta e_2 \in \mathcal{L}(e_1, e_2)</tex>

Сумма ряда Фурье <tex>=0</tex>, что <tex>\ne e_3</tex>
}}

Таким образом, ряд Фурье всегда сходится, но не всегда к тому, к чему хотелось бы.

Для того, чтобы сгладить последствия этого, используют только ОНС со следующими дополнительными свойствами:
# ОНС {{---}} замкнута: <tex>\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0 \Rightarrow x = 0</tex>.
# ОНС {{---}} полная: <tex>\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n) = \mathcal{H}</tex> (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством).

{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть ОНС {{---}} полная

<tex>x \in \mathcal{H}</tex>, <tex>\forall j: \langle x, e_j\rangle = 0</tex>. В силу полноты системы, <tex>\forall \varepsilon > 0 : \exists \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k : \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| < \varepsilon</tex>

Но частичная сумма ряда Фурье обладает экстремальным свойством:

<tex>\|x-s_n\| \le \|\sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k-x\|<\varepsilon</tex>.

<tex>\|x - s_{n+p}(x)\| \le \|x - s_n(x)\| \le \varepsilon</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье.

А раз у <tex>x</tex> все коэффициенты нулевые, то сумма ряда {{---}} 0.

Значит, из полноты вытекает замкнутость.

<tex>\Leftarrow</tex> Пусть система замкнута
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : \sum\limits_{n=1}^\infty |\langle x, e_n\rangle|^2 < +\infty</tex>. По теореме Рисса-Фишера, <tex>\exists y = \sum\limits_{k=1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k</tex>.

По свойствам ортогональных рядов, <tex>\langle y, e_k\rangle = \langle x, e_k\rangle</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle y - x, e_k\rangle =0</tex>.

Но система замкнута <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y - x = 0</tex>, то есть, <tex>x = y</tex>.

Значит, <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x = \lim\limits_{n\to\infty} s_n(x)</tex>, что и означает полноту системы.
}}

Собирая всё это вместе, приходим к финальному результату

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>e_1, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, замкнутая(или полная). Тогда ряд Фурье любой точки <tex>x \in \mathcal{H}</tex> совпадает с <tex> x </tex>.
}}

{{Теорема
|statement=<tex>f \in L_2</tex> <tex>\Rightarrow</tex> функция <tex>f</tex> разлагается в ряд Фурье по метрике <tex>L_2</tex>.
}}

<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|x\|^2 = \sum\limits_{j=1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex> {{---}} уравнение замкнутости.

Оно так называется потому, что если оно выполняется для любого <tex>x</tex>, то соответствующая ОНС {{---}} замкнутая.

Возьмём вторую точку <tex>y = \sum \langle y, e_k\rangle e_k</tex>

{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

Прикладывая всё это к <tex>L_2</tex> и вспоминая связь коэффициентов Фурье с коэффициентами в <tex>L_2</tex>-теории, приходим к равенству Персеваля:

<tex>\int\limits_Q fg = \frac{a_0(f)a_0(g)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n(f)a_n(g) + b_n(f)b_n(g))</tex>

В частности, <tex>\int\limits_Q f^2 = \frac{a_0^2(x)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex>

Далее, в замкнутых системах, <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \|\sum\limits_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k\|^2 = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>

С другой стороны, экстремальное свойство частичных сумм показывает, что:

<tex>\|x-s_n(x)\| = E_n^2(x)_n</tex>

Итого: <tex>E_n^2(x)_n = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>

В <tex>L_2</tex>: <tex>E_n^2(x)_n = \pi\sum\limits_{k=n+1}^\infty (a_k^2(f) + b_k^2(f)) </tex>.

Финально: последнее равенство показывает исключительный характер <tex>L_2</tex>: в нём наилучшее приближение вычисляется точно с указанием экстремального полинома.

[[О почленном интегрировании ряда Фурье|<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Обсуждение:Определение ряда Фурье

2012-06-25T20:02:55Z

Dmitriy D.:

Или так: например, первое равно <tex>\int \cos nx \sin mx dx = -\frac{n sin(nx) sin(mx) + m cos(nx) cos(mx)}{m^2 - n^2}</tex>, остальные аналогичны
: Анонимус-анонимус, ты бы расписал уж тогда взятие интеграла, раз вставил его сюда. Мне вот, например, неочевидно, откуда это получается. Надо довести до нормального состояния или удалить, в общем. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:57, 25 июня 2012 (GST)
:: Поддерживаю удаление. Про конкретно этот интеграл проще сказать, что подынтегральная функция нечетная и всё. А для остальных искать первообразную (или, хуже {{---}} держать ее в голове и затем подтверждать ее правильность дифференцированем) сложнее, чем просто считать опредленный интеграл по частям. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 00:02, 26 июня 2012 (GST)

L 2-теория рядов Фурье

2012-06-25T19:30:12Z

Dmitriy D.:

[[О почленном интегрировании ряда Фурье|<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]]
{{В разработке}}

В теории интеграла Лебега мы доказали, что любое пространство <tex>L_p</tex> — полное. С другой стороны, в
пространстве <tex>L_2</tex> можно определить скалярное произведение:

<tex>\langle f, g \rangle = \int\limits_Q f\cdot g</tex>

Этот интеграл конечен в силу неравенства Гёльдера, так как <tex>\int\limits_Q |fg| \le \sqrt{\int\limits_Q f^2} + \sqrt{\int\limits_Q g^2}</tex>

Эта операция обладает свойствами скалярного произведения:
* <tex>\langle f; f \rangle \le 0</tex> и <tex>\langle f; f\rangle = 0 \iff f = 0</tex> почти всюду
* Линейность. <tex>\langle \alpha f_1 + \beta f_2 , g \rangle = \alpha\langle f_1, g \rangle + \beta \langle f_2, g\rangle</tex>
* Симметричность. <tex>\langle f, g\rangle = \langle g, f \rangle</tex>

Введём норму <tex>\|f\| = \sqrt{\langle f, f\rangle} = \sqrt{\int\limits_Q f^2}</tex>

В силу того, что пространство полное и норма порождает скалярное произведение, это пространство Гильберта.

''<tex>L_2</tex>-теория рядов Фурье'' {{---}} теория, исследуются свойства рядов Фурье как элементов данного Гильбертова пространства.

Центральную роль в <tex>L_2</tex>-теории играет ''ортонормированная система точек''(ОНС).

{{Определение
|definition=<tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС <tex>\iff</tex> <tex>\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}</tex>
}}

Если в качестве модели взять <tex>L_2</tex> и рассмотреть стандартную тригонометрическую систему функций <tex>1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \ldots, \sin nx, \cos nx</tex>, то окажется, что она {{---}} ортогональная.

Попарная ортогональность:
<tex>\int\limits_Q \cos^2 nx dx = \pi</tex>, <tex>\int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi</tex>, <tex>\int\limits_Q 1 = 2\pi</tex>.

Тогда ОНС будет:
<tex>\frac1{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt\pi}, \frac{\cos x}{\sqrt\pi}, \ldots, \frac{\sin nx}{\sqrt\pi}, \frac{\cos nx}{\sqrt\pi}</tex>

По ортонормированной системе можно составлять формальные ряды в <tex>\mathcal{H}</tex>.

<tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_je_j</tex> в <tex>\mathcal{H}</tex> ортогональна: <tex>i\ne j \Rightarrow \langle \alpha_1 e_i, \alpha_2 e_j \rangle</tex> = 0

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> {{---}} ортогональный ряд. Он сходится тогда и только тогда, когда <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex> сходится. Если <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j = a</tex>, то <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2 = \|a\|^2 </tex>.
|proof=
Возьмём <tex>A_n = \sum\limits_{j=1}^n a_j</tex>. По определению, сходимость ряда <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j</tex> равносильна существованию предела <tex>A_n</tex>. Так как пространство {{---}} Гильбертово, то есть полное, значит сходимость равносильна сходимости в себе. Значит,
<tex>\lim\limits_{n, m \to \infty} A_n - A_m = 0</tex>, что равносильно <tex> \|A_n - A_m\| \to 0 </tex>.

Пусть <tex> m > n </tex>. <tex>A_m - A_n = \sum\limits_{j=n+1}^m a_j</tex>.

<tex>\|A_m - A_n\|^2 = \left\langle \sum\limits_{i=n+1}^m a_i, \sum\limits_{j=n+1}^m a_j \right\rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{i, j = n+1}^m \langle a_i, a_j\rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{j=n+1}^m \langle a_j, a_j \rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2</tex>

По критерию Коши сходимости числовых рядов <tex>\sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2 \to 0 \iff \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2 < \infty</tex>

Итак, мы установили, что сходимость ортогонального ряда <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex>.

<tex>a = \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \Rightarrow \langle a, a \rangle = \langle \sum\limits_{j=1}^\infty a_j, \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \rangle \Rightarrow \| a \|^2 = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2</tex>

}}

Возвращаясь к ряду по ортогональной системе <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, получаем, что он сходится <tex>\iff</tex> сходится <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j^2</tex>.

На базе рядов по ортогональной системе вводится понятие абстрактного ряда Фурье.

Пусть <tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, тогда, по непрерывности скалярного произведения, можно записать:
<tex>\langle x, e_k\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j\langle e_j, e_k\rangle = \alpha_k</tex>

То есть, если <tex>x</tex> разлагается по ортогональной системе, то необходимо <tex>\alpha_j = \langle x, e_j\rangle</tex> {{---}} коэффициент Фурье.

Центральную роль играет изучение ортогональных рядов вида <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>x \in \mathcal{H}</tex>. Такие ряды называются '''абстрактными рядами Фурье'''.

В применении к <tex>L_2</tex>: <tex>f \in L_2</tex>, <tex>\langle f, \frac1{\sqrt\pi} \cos nx\rangle =\int\limits_Q f(x) \frac{1}{\sqrt \pi} \cos nx dx = \sqrt\pi \left(\frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx\right) = \sqrt\pi a_n(f)</tex>

Аналогично, для синусов: <tex>\langle f, \frac1\pi \sin nx\rangle = \sqrt\pi b_n(f)</tex>

<tex>\langle f, \frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle = \sqrt{\frac\pi2} a_0(f)</tex>

Тогда, получается: <tex>\sum\limits_{j=0}^\infty \langle f, e_j\rangle e_j = </tex> (из того, что <tex>L_2</tex>) <tex>\sqrt{\frac\pi2} a_0(f) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} + \sum\limits_{n=1}^\infty(\sqrt\pi a_n(f)\cdot \frac{\cos nx }{\sqrt \pi} + \sqrt\pi b_n(f) \cdot \frac{\sin nx}{\sqrt \pi} ) </tex> <tex> = \frac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_0(f) \cos nx + b_0(f) \sin nx</tex>, то есть, абстрактный ряд Фурье совпадает с классическим.

Применим то, что было сказано выше: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle f, e_j \rangle = \alpha_j</tex> будет сходиться в <tex>L_2</tex> <tex>\iff</tex> сходится ояд <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex> (забиваем на множитель и одно слагаемое).

== Теорема Рисса-Фишера ==
{{Теорема
|author=
Рисс, Фишер
|statement=
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>.
Тогда существует <tex>x \in \mathcal{H}: \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n = x</tex> , то есть, точка разложится в ряд Фурье.
|proof=
Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>

Поэтому просто положим <tex>x</tex> равным <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>.
}}

Легко установить экстремальное свойство частичных сумм:

<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

Раз ряд состоит из квадратов коэффициентов Фурье, то он всегда сходится. В любом случае, ряд Фурье будет сходиться в <tex>\mathcal{H}</tex>.

Возникает вопрос: ''к чему же?''

{{Утверждение
|statement=
Если <tex>y = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, из этого не следует <tex>x = y</tex>.
|proof=
Рассмотрим в <tex>\mathbb{R}^3</tex> ОНС <tex>\{e_1, e_2\}</tex>.

<tex>x = e_3</tex>, <tex>\langle x, e_1\rangle = \langle x, e_2\rangle = 0</tex>

<tex>\langle x, e_1\rangle e_1 + \langle x, e_2\rangle e_2 = 0</tex>

<tex>\alpha e_1 + \beta e_2 \in \mathcal{L}(e_1, e_2)</tex>

Сумма ряда Фурье <tex>=0</tex>, что <tex>\ne e_3</tex>
}}

Таким образом, ряд Фурье всегда сходится, но не всегда к тому, к чему хотелось бы.

Для того, чтобы сгладить последствия этого, используют только ОНС со следующими дополнительными свойствами:
# ОНС {{---}} замкнута: <tex>\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0 \Rightarrow x = 0</tex>.
# ОНС {{---}} полная: <tex>\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n) = \mathcal{H}</tex> (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством).

{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть ОНС {{---}} полная

<tex>x \in \mathcal{H}</tex>, <tex>\forall j: \langle x, e_j\rangle = 0</tex>. В силу полноты системы, <tex>\forall \varepsilon > 0 : \exists \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k : \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| < \varepsilon</tex>

Но частичная сумма ряда Фурье обладает экстремальным свойством:

<tex>\|x-s_n\| \le \|\sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k-x\|<\varepsilon</tex>.

<tex>\|x - s_{n+p}(x)\| \le \|x - s_n(x)\| \le \varepsilon</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье.

А раз у <tex>x</tex> все коэффициенты нулевые, то сумма ряда {{---}} 0.

Значит, из полноты вытекает замкнутость.

<tex>\Leftarrow</tex> Пусть система замкнута
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : \sum\limits_{n=1}^\infty |\langle x, e_n\rangle|^2 < +\infty</tex>. По теореме Рисса-Фишера, <tex>\exists y = \sum\limits_{k=1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k</tex>.

По свойствам ортогональных рядов, <tex>\langle y, e_k\rangle = \langle x, e_k\rangle</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle y - x, e_k\rangle =0</tex>.

Но система замкнута <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y - x = 0</tex>, то есть, <tex>x = y</tex>.

Значит, <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x = \lim\limits_{n\to\infty} s_n(x)</tex>, что и означает полноту системы.
}}

Собирая всё это вместе, приходим к финальному результату

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>e_1, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, замкнутая(или полная). Тогда ряд Фурье любой точки <tex>x \in \mathcal{H}</tex> совпадает с <tex> x </tex>.
}}

{{Теорема
|statement=<tex>f \in L_2</tex> <tex>\Rightarrow</tex> функция <tex>f</tex> разлагается в ряд Фурье по метрике <tex>L_2</tex>.
}}

<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|x\|^2 = \sum\limits_{j=1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex> {{---}} уравнение замкнутости.

Оно так называется потому, что если оно выполняется для любого <tex>x</tex>, то соответствующая ОНС {{---}} замкнутая.

Возьмём вторую точку <tex>y = \sum \langle y, e_k\rangle e_k</tex>

{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

Прикладывая всё это к <tex>L_2</tex> и вспоминая связь коэффициентов Фурье с коэффициентами в <tex>L_2</tex>-теории, приходим к равенству Персеваля:

<tex>\int\limits_Q fg = \frac{a_0(f)a_0(g)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n(f)a_n(g) + b_n(f)b_n(g))</tex>

В частности, <tex>\int\limits_Q f^2 = \frac{a_0^2(x)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex>

Далее, в замкнутых системах, <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \|\sum\limits_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k\|^2 = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>

С другой стороны, экстремальное свойство частичных сумм показывает, что:

<tex>\|x-s_n(x)\| = E_n^2(x)_n</tex>

Итого: <tex>E_n^2(x)_n = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>

В <tex>L_2</tex>: <tex>E_n^2(x)_n = \pi\sum\limits_{k=n+1}^\infty (a_k^2(f) + b_k^2(f)) </tex>.

Финально: последнее равенство показывает исключительный характер <tex>L_2</tex>: в нём наилучшее приближение вычисляется точно с указанием экстремального полинома.

[[О почленном интегрировании ряда Фурье|<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

L 2-теория рядов Фурье

2012-06-25T19:25:24Z

Dmitriy D.:

[[О почленном интегрировании ряда Фурье|<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]]
{{В разработке}}

В теории интеграла Лебега мы доказали, что любое пространство <tex>L_p</tex> — полное. С другой стороны, в
пространстве <tex>L_2</tex> можно определить скалярное произведение:

<tex>\langle f, g \rangle = \int\limits_Q f\cdot g</tex>

Этот интеграл конечен в силу неравенства Гёльдера, так как <tex>\int\limits_Q |fg| \le \sqrt{\int\limits_Q f^2} + \sqrt{\int\limits_Q g^2}</tex>

Эта операция обладает свойствами скалярного произведения:
* <tex>\langle f; f \rangle \le 0</tex> и <tex>\langle f; f\rangle = 0 \iff f = 0</tex> почти всюду
* Линейность. <tex>\langle \alpha f_1 + \beta f_2 , g \rangle = \alpha\langle f_1, g \rangle + \beta \langle f_2, g\rangle</tex>
* Симметричность. <tex>\langle f, g\rangle = \langle g, f \rangle</tex>

Введём норму <tex>\|f\| = \sqrt{\langle f, f\rangle} = \sqrt{\int\limits_Q f^2}</tex>

В силу того, что пространство полное и норма порождает скалярное произведение, это пространство Гильберта.

''<tex>L_2</tex>-теория рядов Фурье'' {{---}} теория, исследуются свойства рядов Фурье как элементов данного Гильбертова пространства.

Центральную роль в <tex>L_2</tex>-теории играет ''ортонормированная система точек''(ОНС).

{{Определение
|definition=<tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС <tex>\iff</tex> <tex>\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}</tex>
}}

Если в качестве модели взять <tex>L_2</tex> и рассмотреть стандартную тригонометрическую систему функций <tex>1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \ldots, \sin nx, \cos nx</tex>, то окажется, что она {{---}} ортогональная.

Попарная ортогональность:
<tex>\int\limits_Q \cos^2 nx dx = \pi</tex>, <tex>\int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi</tex>, <tex>\int\limits_Q 1 = 2\pi</tex>.

Тогда ОНС будет:
<tex>\frac1{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt\pi}, \frac{\cos x}{\sqrt\pi}, \ldots, \frac{\sin nx}{\sqrt\pi}, \frac{\cos nx}{\sqrt\pi}</tex>

По ортонормированной системе можно составлять формальные ряды в <tex>\mathcal{H}</tex>.

<tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_je_j</tex> в <tex>\mathcal{H}</tex> ортогональна: <tex>i\ne j \Rightarrow \langle \alpha_1 e_i, \alpha_2 e_j \rangle</tex> = 0

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> {{---}} ортогональный ряд. Он сходится тогда и только тогда, когда <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex> сходится. Если <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j = a</tex>, то <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2 = \|a\|^2 </tex>.
|proof=
Возьмём <tex>A_n = \sum\limits_{j=1}^n a_j</tex>. По определению, сходимость ряда <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j</tex> равносильна существованию предела <tex>A_n</tex>. Так как пространство {{---}} Гильбертово, то есть полное, значит сходимость равносильна сходимости в себе. Значит,
<tex>\lim\limits_{n, m \to \infty} A_n - A_m = 0</tex>, что равносильно <tex> \|A_n - A_m\| \to 0 </tex>.

Пусть <tex> m > n </tex>. <tex>A_m - A_n = \sum\limits_{j=n+1}^m a_j</tex>.

<tex>\|A_m - A_n\|^2 = \left\langle \sum\limits_{i=n+1}^m a_i, \sum\limits_{j=n+1}^m a_j \right\rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{i, j = n+1}^m \langle a_i, a_j\rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{j=n+1}^m \langle a_j, a_j \rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2</tex>

По критерию Коши сходимости числовых рядов <tex>\sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2 \to 0 \iff \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2 < \infty</tex>

Итак, мы установили, что сходимость ортогонального ряда <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex>.

<tex>a = \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \Rightarrow \langle a, a \rangle = \langle \sum\limits_{j=1}^\infty a_j, \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \rangle \Rightarrow \| a \|^2 = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2</tex>

}}

Возвращаясь к ряду по ортогональной системе <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, получаем, что он сходится <tex>\iff</tex> сходится <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j^2</tex>.

На базе рядов по ортогональной системе вводится понятие абстрактного ряда Фурье.

Пусть <tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, тогда, по непрерывности скалярного произведения, можно записать:
<tex>\langle x, e_k\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j\langle e_j, e_k\rangle = \alpha_k</tex>

То есть, если <tex>x</tex> разлагается по ортогональной системе, то необходимо <tex>\alpha_j = \langle x, e_j\rangle</tex> {{---}} коэффициент Фурье.

Центральную роль играет изучение ортогональных рядов вида <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>x \in \mathcal{H}</tex>

В применении к <tex>L_2</tex>: <tex>f \in L_2</tex>, <tex>\langle f, \frac1{\sqrt\pi} \cos nx\rangle =\int\limits_Q f(x) \frac{1}{\sqrt \pi} \cos nx dx = \sqrt\pi \left(\frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx\right) = \sqrt\pi a_n(f)</tex>

Аналогично, для синусов: <tex>\langle f, \frac1\pi \sin nx\rangle = \sqrt\pi b_n(f)</tex>

<tex>\langle f, \frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle = \sqrt{\frac\pi2} a_0(f)</tex>

Тогда, получается: <tex>\sum\limits_{j=0}^\infty \langle f, e_j\rangle e_j = </tex> (из того, что <tex>L_2</tex>) <tex>\sqrt{\frac\pi2} a_0(f) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} + \sum\limits_{n=1}^\infty(\sqrt\pi a_n(f)\cdot \frac{\cos nx }{\sqrt \pi} + \sqrt\pi b_n(f) \cdot \frac{\sin nx}{\sqrt \pi} ) </tex> <tex> = \frac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_0(f) \cos nx + b_0(f) \sin nx</tex>, то есть, абстрактный ряд Фурье совпадает с классическим.

Применим то, что было сказано выше: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle f, e_j \rangle = \alpha_j</tex> будет сходиться в <tex>L_2</tex> <tex>\iff</tex> сходится ояд <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex> (забиваем на множитель и одно слагаемое).

== Теорема Рисса-Фишера ==
{{Теорема
|author=
Рисс, Фишер
|statement=
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>.
Тогда существует <tex>x \in \mathcal{H}: \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n = x</tex> , то есть, точка разложится в ряд Фурье.
|proof=
Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>

Поэтому просто положим <tex>x</tex> равным <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>.
}}

Легко установить экстремальное свойство частичных сумм:

<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

Раз ряд состоит из квадратов коэффициентов Фурье, то он всегда сходится. В любом случае, ряд Фурье будет сходиться в <tex>\mathcal{H}</tex>.

Возникает вопрос: ''к чему же?''

{{Утверждение
|statement=
Если <tex>y = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, из этого не следует <tex>x = y</tex>.
|proof=
Рассмотрим в <tex>\mathbb{R}^3</tex> ОНС <tex>\{e_1, e_2\}</tex>.

<tex>x = e_3</tex>, <tex>\langle x, e_1\rangle = \langle x, e_2\rangle = 0</tex>

<tex>\langle x, e_1\rangle e_1 + \langle x, e_2\rangle e_2 = 0</tex>

<tex>\alpha e_1 + \beta e_2 \in \mathcal{L}(e_1, e_2)</tex>

Сумма ряда Фурье <tex>=0</tex>, что <tex>\ne e_3</tex>
}}

Таким образом, ряд Фурье всегда сходится, но не всегда к тому, к чему хотелось бы.

Для того, чтобы сгладить последствия этого, используют только ОНС со следующими дополнительными свойствами:
# ОНС {{---}} замкнута: <tex>\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0 \Rightarrow x = 0</tex>.
# ОНС {{---}} полная: <tex>\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n) = \mathcal{H}</tex> (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством).

{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть ОНС {{---}} полная

<tex>x \in \mathcal{H}</tex>, <tex>\forall j: \langle x, e_j\rangle = 0</tex>. В силу полноты системы, <tex>\forall \varepsilon > 0 : \exists \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k : \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| < \varepsilon</tex>

Но частичная сумма ряда Фурье обладает экстремальным свойством:

<tex>\|x-s_n\| \le \|\sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k-x\|<\varepsilon</tex>.

<tex>\|x - s_{n+p}(x)\| \le \|x - s_n(x)\| \le \varepsilon</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье.

А раз у <tex>x</tex> все коэффициенты нулевые, то сумма ряда {{---}} 0.

Значит, из полноты вытекает замкнутость.

<tex>\Leftarrow</tex> Пусть система замкнута
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : \sum\limits_{n=1}^\infty |\langle x, e_n\rangle|^2 < +\infty</tex>. По теореме Рисса-Фишера, <tex>\exists y = \sum\limits_{k=1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k</tex>.

По свойствам ортогональных рядов, <tex>\langle y, e_k\rangle = \langle x, e_k\rangle</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle y - x, e_k\rangle =0</tex>.

Но система замкнута <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y - x = 0</tex>, то есть, <tex>x = y</tex>.

Значит, <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x = \lim\limits_{n\to\infty} s_n(x)</tex>, что и означает полноту системы.
}}

Собирая всё это вместе, приходим к финальному результату

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>e_1, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, замкнутая(или полная). Тогда ряд Фурье любой точки <tex>x \in \mathcal{H}</tex> совпадает с <tex> x </tex>.
}}

{{Теорема
|statement=<tex>f \in L_2</tex> <tex>\Rightarrow</tex> функция <tex>f</tex> разлагается в ряд Фурье по метрике <tex>L_2</tex>.
}}

<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|x\|^2 = \sum\limits_{j=1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex> {{---}} уравнение замкнутости.

Оно так называется потому, что если оно выполняется для любого <tex>x</tex>, то соответствующая ОНС {{---}} замкнутая.

Возьмём вторую точку <tex>y = \sum \langle y, e_k\rangle e_k</tex>

{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

Прикладывая всё это к <tex>L_2</tex> и вспоминая связь коэффициентов Фурье с коэффициентами в <tex>L_2</tex>-теории, приходим к равенству Персеваля:

<tex>\int\limits_Q fg = \frac{a_0(f)a_0(g)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n(f)a_n(g) + b_n(f)b_n(g))</tex>

В частности, <tex>\int\limits_Q f^2 = \frac{a_0^2(x)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex>

Далее, в замкнутых системах, <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \|\sum\limits_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k\|^2 = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>

С другой стороны, экстремальное свойство частичных сумм показывает, что:

<tex>\|x-s_n(x)\| = E_n^2(x)_n</tex>

Итого: <tex>E_n^2(x)_n = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>

В <tex>L_2</tex>: <tex>E_n^2(x)_n = \pi\sum\limits_{k=n+1}^\infty (a_k^2(f) + b_k^2(f)) </tex>.

Финально: последнее равенство показывает исключительный характер <tex>L_2</tex>: в нём наилучшее приближение вычисляется точно с указанием экстремального полинома.

[[О почленном интегрировании ряда Фурье|<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

L 2-теория рядов Фурье

2012-06-25T19:23:25Z

Dmitriy D.:

[[О почленном интегрировании ряда Фурье|<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]]
{{В разработке}}

В теории интеграла Лебега мы доказали, что любое пространство <tex>L_p</tex> — полное. С другой стороны, в
пространстве <tex>L_2</tex> можно определить скалярное произведение:

<tex>\langle f, g \rangle = \int\limits_Q f\cdot g</tex>

Этот интеграл конечен в силу неравенства Гёльдера, так как <tex>\int\limits_Q |fg| \le \sqrt{\int\limits_Q f^2} + \sqrt{\int\limits_Q g^2}</tex>

Эта операция обладает свойствами скалярного произведения:
* <tex>\langle f; f \rangle \le 0</tex> и <tex>\langle f; f\rangle = 0 \iff f = 0</tex> почти всюду
* Линейность. <tex>\langle \alpha f_1 + \beta f_2 , g \rangle = \alpha\langle f_1, g \rangle + \beta \langle f_2, g\rangle</tex>
* Симметричность. <tex>\langle f, g\rangle = \langle g, f \rangle</tex>

Введём норму <tex>\|f\| = \sqrt{\langle f, f\rangle} = \sqrt{\int\limits_Q f^2}</tex>

В силу того, что пространство полное и норма порождает скалярное произведение, это пространство Гильберта.

''<tex>L_2</tex>-теория рядов Фурье'' {{---}} теория, исследуются свойства рядов Фурье как элементов данного Гильбертова пространства.

Центральную роль в <tex>L_2</tex>-теории играет ''ортонормированная система точек''(ОНС).

{{Определение
|definition=<tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС <tex>\iff</tex> <tex>\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}</tex>
}}

Если в качестве модели взять <tex>L_2</tex> и рассмотреть стандартную тригонометрическую систему функций <tex>1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \ldots, \sin nx, \cos nx</tex>, то окажется, что она {{---}} ортогональная.

Попарная ортогональность:
<tex>\int\limits_Q \cos^2 nx dx = \pi</tex>, <tex>\int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi</tex>, <tex>\int\limits_Q 1 = 2\pi</tex>.

Тогда ОНС будет:
<tex>\frac1{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt\pi}, \frac{\cos x}{\sqrt\pi}, \ldots, \frac{\sin nx}{\sqrt\pi}, \frac{\cos nx}{\sqrt\pi}</tex>

По ортонормированной системе можно составлять формальные ряды в <tex>\mathcal{H}</tex>.

<tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_je_j</tex> в <tex>\mathcal{H}</tex> ортогональна: <tex>i\ne j \Rightarrow \langle \alpha_1 e_i, \alpha_2 e_j \rangle</tex> = 0

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> {{---}} ортогональный ряд. Он сходится тогда и только тогда, когда <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex> сходится. Если <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j = a</tex>, то <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2 = \|a\|^2 </tex>.
|proof=
Возьмём <tex>A_n = \sum\limits_{j=1}^n a_j</tex>. По определению, сходимость ряда <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j</tex> равносильна существованию предела <tex>A_n</tex>. Так как пространство {{---}} Гильбертово, то есть полное, значит сходимость равносильна сходимости в себе. Значит,
<tex>\lim\limits_{n, m \to \infty} A_n - A_m = 0</tex>, что равносильно <tex> \|A_n - A_m\| \to 0 </tex>.

Пусть <tex> m > n </tex>. <tex>A_m - A_n = \sum\limits_{j=n+1}^m a_j</tex>.

<tex>\|A_m - A_n\|^2 = \left\langle \sum\limits_{i=n+1}^m a_i, \sum\limits_{j=n+1}^m a_j \right\rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{i, j = n+1}^m \langle a_i, a_j\rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{j=n+1}^m \langle a_j, a_j \rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2</tex>

По критерию Коши сходимости числовых рядов <tex>\sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2 \to 0 \iff \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2 < \infty</tex>

Итак, мы установили, что сходимость ортогонального ряда <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex>.

<tex>a = \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \Rightarrow \langle a, a \rangle = \langle \sum\limits_{j=1}^\infty a_j, \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \rangle \Rightarrow \| a \| = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|</tex>

}}

Возвращаясь к ряду по ортогональной системе <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, получаем, что он сходится <tex>\iff</tex> сходится <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j^2</tex>.

На базе рядов по ортогональной системе вводится понятие абстрактного ряда Фурье.

Пусть <tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, тогда, по непрерывности скалярного произведения, можно записать:
<tex>\langle x, e_k\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j\langle e_j, e_k\rangle = \alpha_k</tex>

То есть, если <tex>x</tex> разлагается по ортогональной системе, то необходимо <tex>\alpha_j = \langle x, e_j\rangle</tex> {{---}} коэффициент Фурье.

Центральную роль играет изучение ортогональных рядов вида <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>x \in \mathcal{H}</tex>

В применении к <tex>L_2</tex>: <tex>f \in L_2</tex>, <tex>\langle f, \frac1{\sqrt\pi} \cos nx\rangle =\int\limits_Q f(x) \frac{1}{\sqrt \pi} \cos nx dx = \sqrt\pi \left(\frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx\right) = \sqrt\pi a_n(f)</tex>

Аналогично, для синусов: <tex>\langle f, \frac1\pi \sin nx\rangle = \sqrt\pi b_n(f)</tex>

<tex>\langle f, \frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle = \sqrt{\frac\pi2} a_0(f)</tex>

Тогда, получается: <tex>\sum\limits_{j=0}^\infty \langle f, e_j\rangle e_j = </tex> (из того, что <tex>L_2</tex>) <tex>\sqrt{\frac\pi2} a_0(f) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} + \sum\limits_{n=1}^\infty(\sqrt\pi a_n(f)\cdot \frac{\cos nx }{\sqrt \pi} + \sqrt\pi b_n(f) \cdot \frac{\sin nx}{\sqrt \pi} ) </tex> <tex> = \frac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_0(f) \cos nx + b_0(f) \sin nx</tex>, то есть, абстрактный ряд Фурье совпадает с классическим.

Применим то, что было сказано выше: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle f, e_j \rangle = \alpha_j</tex> будет сходиться в <tex>L_2</tex> <tex>\iff</tex> сходится ояд <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex> (забиваем на множитель и одно слагаемое).

== Теорема Рисса-Фишера ==
{{Теорема
|author=
Рисс, Фишер
|statement=
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>.
Тогда существует <tex>x \in \mathcal{H}: \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n = x</tex> , то есть, точка разложится в ряд Фурье.
|proof=
Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>

Поэтому просто положим <tex>x</tex> равным <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>.
}}

Легко установить экстремальное свойство частичных сумм:

<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

Раз ряд состоит из квадратов коэффициентов Фурье, то он всегда сходится. В любом случае, ряд Фурье будет сходиться в <tex>\mathcal{H}</tex>.

Возникает вопрос: ''к чему же?''

{{Утверждение
|statement=
Если <tex>y = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, из этого не следует <tex>x = y</tex>.
|proof=
Рассмотрим в <tex>\mathbb{R}^3</tex> ОНС <tex>\{e_1, e_2\}</tex>.

<tex>x = e_3</tex>, <tex>\langle x, e_1\rangle = \langle x, e_2\rangle = 0</tex>

<tex>\langle x, e_1\rangle e_1 + \langle x, e_2\rangle e_2 = 0</tex>

<tex>\alpha e_1 + \beta e_2 \in \mathcal{L}(e_1, e_2)</tex>

Сумма ряда Фурье <tex>=0</tex>, что <tex>\ne e_3</tex>
}}

Таким образом, ряд Фурье всегда сходится, но не всегда к тому, к чему хотелось бы.

Для того, чтобы сгладить последствия этого, используют только ОНС со следующими дополнительными свойствами:
# ОНС {{---}} замкнута: <tex>\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0 \Rightarrow x = 0</tex>.
# ОНС {{---}} полная: <tex>\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n) = \mathcal{H}</tex> (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством).

{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть ОНС {{---}} полная

<tex>x \in \mathcal{H}</tex>, <tex>\forall j: \langle x, e_j\rangle = 0</tex>. В силу полноты системы, <tex>\forall \varepsilon > 0 : \exists \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k : \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| < \varepsilon</tex>

Но частичная сумма ряда Фурье обладает экстремальным свойством:

<tex>\|x-s_n\| \le \|\sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k-x\|<\varepsilon</tex>.

<tex>\|x - s_{n+p}(x)\| \le \|x - s_n(x)\| \le \varepsilon</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье.

А раз у <tex>x</tex> все коэффициенты нулевые, то сумма ряда {{---}} 0.

Значит, из полноты вытекает замкнутость.

<tex>\Leftarrow</tex> Пусть система замкнута
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : \sum\limits_{n=1}^\infty |\langle x, e_n\rangle|^2 < +\infty</tex>. По теореме Рисса-Фишера, <tex>\exists y = \sum\limits_{k=1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k</tex>.

По свойствам ортогональных рядов, <tex>\langle y, e_k\rangle = \langle x, e_k\rangle</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle y - x, e_k\rangle =0</tex>.

Но система замкнута <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y - x = 0</tex>, то есть, <tex>x = y</tex>.

Значит, <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x = \lim\limits_{n\to\infty} s_n(x)</tex>, что и означает полноту системы.
}}

Собирая всё это вместе, приходим к финальному результату

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>e_1, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, замкнутая(или полная). Тогда ряд Фурье любой точки <tex>x \in \mathcal{H}</tex> совпадает с <tex> x </tex>.
}}

{{Теорема
|statement=<tex>f \in L_2</tex> <tex>\Rightarrow</tex> функция <tex>f</tex> разлагается в ряд Фурье по метрике <tex>L_2</tex>.
}}

<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|x\|^2 = \sum\limits_{j=1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex> {{---}} уравнение замкнутости.

Оно так называется потому, что если оно выполняется для любого <tex>x</tex>, то соответствующая ОНС {{---}} замкнутая.

Возьмём вторую точку <tex>y = \sum \langle y, e_k\rangle e_k</tex>

{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

Прикладывая всё это к <tex>L_2</tex> и вспоминая связь коэффициентов Фурье с коэффициентами в <tex>L_2</tex>-теории, приходим к равенству Персеваля:

<tex>\int\limits_Q fg = \frac{a_0(f)a_0(g)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n(f)a_n(g) + b_n(f)b_n(g))</tex>

В частности, <tex>\int\limits_Q f^2 = \frac{a_0^2(x)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex>

Далее, в замкнутых системах, <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \|\sum\limits_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k\|^2 = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>

С другой стороны, экстремальное свойство частичных сумм показывает, что:

<tex>\|x-s_n(x)\| = E_n^2(x)_n</tex>

Итого: <tex>E_n^2(x)_n = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>

В <tex>L_2</tex>: <tex>E_n^2(x)_n = \pi\sum\limits_{k=n+1}^\infty (a_k^2(f) + b_k^2(f)) </tex>.

Финально: последнее равенство показывает исключительный характер <tex>L_2</tex>: в нём наилучшее приближение вычисляется точно с указанием экстремального полинома.

[[О почленном интегрировании ряда Фурье|<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Обсуждение:L 2-теория рядов Фурье

2012-06-25T19:07:59Z

Dmitriy D.: Новая страница: «Забавно, ведь "теорема пифагора" у нас уже была. --~~~~»

Забавно, ведь "теорема пифагора" у нас уже [[Нормированные_пространства|была]]. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 23:07, 25 июня 2012 (GST)

О почленном интегрировании ряда Фурье

2012-06-25T18:20:04Z

Dmitriy D.:

[[Теорема Жордана|<<]][[L_2-теория рядов Фурье|>>]]
{{В разработке}}

Здесь будем рассматривать <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</tex>

Пусть <tex>F(x) = \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt</tex>.

Докажем, что <tex> F(x) \in \bigvee </tex>:

1) '''Органиченность вариации'''

<tex>|F(x_{k+1}) - F(x_k)| \stackrel{x_k < x_{k+1}}{\le} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a_0}2\right| dt</tex>

Создадим разбиение нашего промежутка: <tex> -\pi = x_0 < \dots < x_p = \pi </tex>. Тогда вариация

<tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi (F, \tau) </tex>
<tex>\le \sum\limits_{k=0}^{p-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a}2 \right| dt = </tex>
<tex>\int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| dt < +\infty</tex>.

Так как это выполняется для любого разбиения, <tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi(F) \le \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| < +\infty</tex>. Итак, <tex>F</tex> имеет ограниченную вариацию на <tex>Q</tex>.

2) '''Периодичность'''

<tex>F(x + 2\pi) = \int\limits_0^{x+2\pi} = \int\limits_0^x + \int\limits_x^{x+2\pi}</tex>

Под знаком интеграла <tex>2\pi</tex>-периодическая функция, значит,
<tex>\int\limits_x^{x+2\pi} = \int\limits_{-\pi}^\pi \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt </tex>
<tex>= \int\limits_{-\pi}^\pi f - \pi a_0</tex> = [по определению <tex>a_0</tex>] <tex>\pi a_0 - \pi a_0 = 0</tex>

<tex>\int\limits_0^x = F(x) \Rightarrow F(x + 2\pi) = F(x)</tex>

Итак, <tex>F \in \bigvee</tex>. Значит,по [[теорема Жордана|теореме Жордана]], в каждой точке ряд Фурье этой функции сходится,
<tex>\sigma(F, x) = \frac{F(x - 0) +F(x+0)}2</tex>

В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, легко понять, что <tex>F</tex> {{---}} непрерывна и <tex>F \in CV</tex>,
а также, <tex>\sigma(F, x) = F(x)</tex>

Теперь вычислим коэффициенты Фурье <tex>F</tex>. <tex>a_0(F)</tex> считать пока не будем. Также предположим (докажем это позже), что <tex>F</tex> для почти всех <tex>x</tex> дифференцируема по верхнему пределу интегрирования, и значение производной равно <tex>f(x)</tex>.

<tex>a_n(F) = \frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi F(x) \cos nx dx = \frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi F(x) d(\sin nx) = </tex>
<tex> \frac1{\pi n} (F(x) \sin x) \bigl |^\pi_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) ) = </tex>
<tex> \frac1{\pi n} (0 - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x)) = -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) =</tex>
<tex> -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx = -\frac{b_n \pi}{\pi n} = -\frac{b_n}{n} </tex>

Значит, <tex>a_n(F) = \frac{-b_n(f)}{n}</tex>. Аналогично, <tex>b_n(F) = \frac{a_n(f)}{n}</tex>. В силу сказанного выше,

<tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx)</tex>

Подставим <tex>0</tex> и убедимся, что <tex>\frac{a_0(F)}2 = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n</tex>

Получился неожиданный факт. Ряд Фурье может расходиться почти всюду, но <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n</tex>
всегда сходится.

Это позволяет приводить примеры сходящихся тригонометрических рядов, которые не являются рядами Фурье.

Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{\sin nx}{\ln n}</tex>. Очевидно, <tex>\frac1{\ln n} \to 0</tex>.

При <tex>x = 0</tex> ряд сходится. При <tex>x \ne 0</tex>, <tex>\left|\sum\limits_{n=2}^\infty \sin nx \right| \le \frac{M(x)}{\sin x/2}</tex>, то есть, ограничен.

По признаку Абеля-Дирихле, ряд сходится. Мы имеем ряд, сходящийся в каждой точке (но не может сходиться равномерно на Q, так как, иначе, он был бы рядом Фурье:

Предположим, что это ряд Фурье. Тогда <tex>b_n(f) = \frac1{\ln n}</tex> и ряд <tex>\sum \frac1{n\ln n}</tex> должен был бы сходиться. Но по интегральному признаку Коши:
<tex>\sum \frac1{n\ln n} \sim \int \frac{dx}{x\ln x} = \ln \ln x \big|^\infty = +\infty</tex>.

Значит, это не ряд Фурье.

Вернёмся ещё раз к формуле <tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx\right)</tex>. Рассмотрим <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>, при <tex>(n \ge 1)</tex>, и <tex>A_0(f, x) = \frac{a_0}{2}</tex>.

<tex>\int\limits_0^x A_n(f, t) dt = \frac{a_n(f)}n \sin nt \big|^x_0 - \frac{b_n(f)}n \cos nt \big|^x_0</tex>
<tex>=\frac{a_n(f)}n \sin nx - \frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{b_n(f)}n</tex>

Значит, если составить ряд из интегралов <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, x) dx</tex>
<tex>= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n + \sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n\sin nx \right) = </tex>

<tex>= \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2 \right) dt = \int\limits_0^x f(t) dt - \int\limits_0^x A_0(f, t) dt</tex>.

Получаем, <tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>.

Ряд Фурье всегда можно интегрировать, несмотря на то, что сам ряд может расходиться в каждой точке. Но ряд из интегралов обязательно сойдётся.

[[Теорема Жордана|<<]][[L_2-теория рядов Фурье|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

О почленном интегрировании ряда Фурье

2012-06-25T18:10:02Z

Dmitriy D.:

[[Теорема Жордана|<<]][[L_2-теория рядов Фурье|>>]]
{{В разработке}}

Здесь будем рассматривать <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</tex>

Пусть <tex>F(x) = \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt</tex>.

Докажем, что <tex> F(x) \in \bigvee </tex>:

1) '''Органиченность вариации'''

<tex>|F(x_{k+1}) - F(x_k)| \stackrel{x_k < x_{k+1}}{\le} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a_0}2\right| dt</tex>

Создадим разбиение нашего промежутка: <tex> -\pi = x_0 < \dots < x_p = \pi </tex>. Тогда вариация

<tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi (F, \tau) </tex>
<tex>\le \sum\limits_{k=0}^{p-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a}2 \right| dt = </tex>
<tex>\int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| dt < +\infty</tex>.

Так как это выполняется для любого разбиения, <tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi(F) \le \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| < +\infty</tex>. Итак, <tex>F</tex> имеет ограниченную вариацию на <tex>Q</tex>.

2) '''Периодичность'''

<tex>F(x + 2\pi) = \int\limits_0^{x+2\pi} = \int\limits_0^x + \int\limits_x^{x+2\pi}</tex>

Под знаком интеграла <tex>2\pi</tex>-периодическая функция, значит,
<tex>\int\limits_x^{x+2\pi} = \int\limits_{-\pi}^\pi \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt </tex>
<tex>= \int\limits_{-\pi}^\pi f - \pi a_0</tex> = [по определению <tex>a_0</tex>] <tex>\pi a_0 - \pi a_0 = 0</tex>

<tex>\int\limits_0^x = F(x) \Rightarrow F(x + 2\pi) = F(x)</tex>

Итак, <tex>F \in \bigvee</tex>. Значит,по [[теорема Жордана|теореме Жордана]], в каждой точке ряд Фурье этой функции сходится,
<tex>\sigma(F, x) = \frac{F(x - 0) +F(x+0)}2</tex>

В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, легко понять, что <tex>F</tex> {{---}} непрерывна и <tex>F \in CV</tex>,
а также, <tex>\sigma(F, x) = F(x)</tex>

Теперь вычислим коэффициенты Фурье <tex>F</tex>. <tex>a_0(F)</tex> считать пока не будем. Также предположим (докажем это позже), что <tex>F</tex> для почти всех <tex>x</tex> дифференцируема по верхнему пределу интегрирования, и значение производной равно <tex>f(x)</tex>.

<tex>a_n(F) = \frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi F(x) \cos nx dx = \frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi F(x) d(\sin nx) = </tex>
<tex> \frac1{\pi n} (F(x) \sin x) \bigl |^\pi_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) ) = </tex>
<tex> \frac1{\pi n} (0 - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x)) = -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) =</tex>
<tex> -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx = -\frac{b_n \pi}{\pi n} = -\frac{b_n}{n} </tex>

Значит, <tex>a_n(F) = \frac{-b_n(f)}{n}</tex>. Аналогично, <tex>b_n(F) = \frac{a_n(f)}{n}</tex>. В силу сказанного выше,

<tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx)</tex>

Подставим <tex>0</tex> и убедимся, что <tex>\frac{a_0(F)}2 = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n</tex>

Получился неожиданный факт. Ряд Фурье может расходиться почти всюду, но <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n</tex>
всегда сходится.

Это позволяет приводить примеры сходящихся тригонометрических рядов, которые не являются рядами Фурье.

Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{\sin nx}{\ln n}</tex>. Очевидно, <tex>\frac1{\ln n} \to 0</tex>.

При <tex>x = 0</tex> ряд сходится. При <tex>x \ne 0</tex>, <tex>\left|\sum\limits_{n=2}^\infty \sin nx \right| \le \frac{M(x)}{\sin x/2}</tex>, то есть, ограничен.

По признаку Абеля-Дирихле, ряд сходится. Мы имеем ряд, сходящийся в каждой точке (но не может сходиться равномерно на Q, так как, иначе, он был бы рядом Фурье:

Предположим, что это ряд Фурье. Тогда <tex>b_n(f) = \frac1{\ln n}</tex> и ряд <tex>\sum \frac1{n\ln n}</tex> должен был бы сходиться. Но по интегральному признаку Коши:
<tex>\sum \frac1{n\ln n} \sim \int \frac{dx}{x\ln x} = \ln \ln x \big|^\infty = +\infty</tex>.

Значит, это не ряд Фурье.

Вернёмся ещё раз к формуле <tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx\right)</tex>. Рассмотрим <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

<tex>\int\limits_0^x A_n(f, t) dt = \frac{a_n(f)}n \sin nt \big|^x_0 - \frac{b_n(f)}n \cos nt \big|^x_0</tex>
<tex>=\frac{a_n(f)}n \sin nx - \frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{b_n(f)}n</tex>

Значит, если составить ряд из интегралов <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, x) dx</tex>
<tex>= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n + \sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n\sin nx \right) = </tex>

<tex>= \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2 \right) dt = \int\limits_0^x f(t) dt - \int\limits_0^x A_0(f, t) dt</tex>.

Получаем, <tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>.

Ряд Фурье всегда можно интегрировать, несмотря на то, что сам ряд может расходиться в каждой точке. Но ряд из интегралов обязательно сойдётся.

[[Теорема Жордана|<<]][[L_2-теория рядов Фурье|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

О почленном интегрировании ряда Фурье

2012-06-25T18:02:35Z

Dmitriy D.:

[[Теорема Жордана|<<]][[L_2-теория рядов Фурье|>>]]
{{В разработке}}

Здесь будем рассматривать <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</tex>

Пусть <tex>F(x) = \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt</tex>.

Докажем, что <tex> F(x) \in \bigvee </tex>:

1) '''Органиченность вариации'''

<tex>|F(x_{k+1}) - F(x_k)| \stackrel{x_k < x_{k+1}}{\le} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a_0}2\right| dt</tex>

Создадим разбиение нашего промежутка: <tex> -\pi = x_0 < \dots < x_p = \pi </tex>. Тогда вариация

<tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi (F, \tau) </tex>
<tex>\le \sum\limits_{k=0}^{p-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a}2 \right| dt = </tex>
<tex>\int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| dt < +\infty</tex>.

Так как это выполняется для любого разбиения, <tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi(F) \le \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| < +\infty</tex>. Итак, <tex>F</tex> имеет ограниченную вариацию на <tex>Q</tex>.

2) '''Периодичность'''

<tex>F(x + 2\pi) = \int\limits_0^{x+2\pi} = \int\limits_0^x + \int\limits_x^{x+2\pi}</tex>

Под знаком интеграла <tex>2\pi</tex>-периодическая функция, значит,
<tex>\int\limits_x^{x+2\pi} = \int\limits_{-\pi}^\pi \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt </tex>
<tex>= \int\limits_{-\pi}^\pi f - \pi a_0</tex> = [по определению <tex>a_0</tex>] <tex>\pi a_0 - \pi a_0 = 0</tex>

<tex>\int\limits_0^x = F(x) \Rightarrow F(x + 2\pi) = F(x)</tex>

Итак, <tex>F \in \bigvee</tex>. Значит,по [[теорема Жордана|теореме Жордана]], в каждой точке ряд Фурье этой функции сходится,
<tex>\sigma(F, x) = \frac{F(x - 0) +F(x+0)}2</tex>

В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, легко понять, что <tex>F</tex> {{---}} непрерывна и <tex>F \in CV</tex>,
а также, <tex>\sigma(F, x) = F(x)</tex>

Теперь вычислим коэффициенты Фурье <tex>F</tex>. <tex>a_0(F)</tex> считать пока не будем. Также предположим (докажем это позже), что <tex>F</tex> для почти всех <tex>x</tex> дифференцируема по верхнему пределу интегрирования, и значение производной равно <tex>f(x)</tex>.

<tex>a_n(F) = \frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi F(x) \cos nx dx = \frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi F(x) d(\sin nx) = </tex>
<tex> \frac1{\pi n} (F(x) \sin x) \bigl |^\pi_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) ) = </tex>
<tex> \frac1{\pi n} (0 - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x)) = -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) =</tex>
<tex> -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx = -\frac{b_n \pi}{\pi n} = -\frac{b_n}{n} </tex>

Значит, <tex>a_n(F) = \frac{-b_n(f)}{n}</tex>. Аналогично, <tex>b_n(F) = \frac{a_n(f)}{n}</tex>. В силу сказанного выше,

<tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx)</tex>

Подставим <tex>0</tex> и убедимся, что <tex>\frac{a_0(F)}2 = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n</tex>

Получился неожиданный факт. Ряд Фурье может расходиться почти всюду, но <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n</tex>
всегда сходится.

Это позволяет приводить примеры сходящихся тригонометрических рядов, которые не являются рядами Фурье.

Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{\sin nx}{\ln n}</tex>. Очевидно, <tex>\frac1{\ln n} \to 0</tex>.

При <tex>x = 0</tex> ряд сходится. При <tex>x \ne 0</tex>, <tex>\left|\sum\limits_{n=2}^\infty \sin nx \right| \le \frac{M(x)}{\sin x/2}</tex>, то есть, ограничен.

По признаку Абеля-Дирихле, ряд сходится. Мы имеем ряд, сходящийся в каждой точке (но не может сходиться равномерно на Q, так как, иначе, он был бы рядом Фурье:

Предположим, что это ряд Фурье. Тогда <tex>b_n(f) = \frac1{\ln n}</tex> и ряд <tex>\sum \frac1{n\ln n}</tex> должен был бы сходиться. Но по интегральному признаку Коши:
<tex>\sum \frac1{n\ln n} \sim \int \frac{dx}{x\ln x} = \ln \ln x \big|^\infty = +\infty</tex>.

Значит, это не ряд Фурье.

Вернёмся ещё раз к формуле <tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx\right)</tex>. Рассмотрим <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

<tex>\int\limits_0^x A_n(f, t) dt = \frac{a_n(f)}n \sin nt \big|^x_0 - \frac{b_n(f)}n \cos nt \big|^x_0</tex>
<tex>=\frac{a_n(f)}n \sin nx - \frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{b_n(f)}n</tex>

Значит, если составить ряд из интегралов <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, x) dx</tex>
<tex>= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n + \sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n\sin nx \right) = </tex>

<tex>= \int\limits_0^x \left(f(x) - \frac{a_0}2 \right) dt = \int\limits_0^x f(t) dt - \int\limits_0^x A_0(f, t) dt</tex>.

Получаем, <tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>.

Ряд Фурье всегда можно интегрировать, несмотря на то, что сам ряд может расходиться в каждой точке. Но ряд из интегралов обязательно сойдётся.

[[Теорема Жордана|<<]][[L_2-теория рядов Фурье|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

О почленном интегрировании ряда Фурье

2012-06-25T17:41:23Z

Dmitriy D.:

[[Теорема Жордана|<<]][[L_2-теория рядов Фурье|>>]]
{{В разработке}}

Здесь будем рассматривать <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</tex>

Пусть <tex>F(x) = \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt</tex>.

Докажем, что <tex> F(x) \in \bigvee </tex>:

1) '''Органиченность вариации'''

<tex>|F(x_{k+1}) - F(x_k)| \stackrel{x_k < x_{k+1}}{\le} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a_0}2\right| dt</tex>

Создадим разбиение нашего промежутка: <tex> -\pi = x_0 < \dots < x_p = \pi </tex>. Тогда вариация

<tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi (F, \tau) </tex>
<tex>\le \sum\limits_{k=0}^{p-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a}2 \right| dt = </tex>
<tex>\int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| dt < +\infty</tex>.

Так как это выполняется для любого разбиения, <tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi(F) \le \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| < +\infty</tex>. Итак, <tex>F</tex> имеет ограниченную вариацию на <tex>Q</tex>.

2) '''Периодичность'''

<tex>F(x + 2\pi) = \int\limits_0^{x+2\pi} = \int\limits_0^x + \int\limits_x^{x+2\pi}</tex>

Под знаком интеграла <tex>2\pi</tex>-периодическая функция, значит,
<tex>\int\limits_x^{x+2\pi} = \int\limits_{-\pi}^\pi \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt </tex>
<tex>= \int\limits_{-\pi}^\pi f - \pi a_0</tex> = [по определению <tex>a_0</tex>] <tex>\pi a_0 - \pi a_0 = 0</tex>

<tex>\int\limits_0^x = F(x) \Rightarrow F(x + 2\pi) = F(x)</tex>

Итак, <tex>F \in \bigvee</tex>. Значит,по [[теорема Жордана|теореме Жордана]], в каждой точке ряд Фурье этой функции сходится,
<tex>\sigma(F, x) = \frac{F(x - 0) +F(x+0)}2</tex>

В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, легко понять, что <tex>F</tex> {{---}} непрерывна и <tex>F \in CV</tex>,
а также, <tex>\sigma(F, x) = F(x)</tex>

Теперь вычислим коэффициенты Фурье <tex>F</tex>. <tex>a_0(F)</tex> считать пока не будем. Также предположим (докажем это позже), что <tex>F</tex> для почти всех <tex>x</tex> дифференцируема по верхнему пределу интегрирования, и значение производной равно <tex>f(x)</tex>.

<tex>a_n(F) = \frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi F(x) \cos nx dx = \frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi F(x) d(\sin nx) = </tex>
<tex> \frac1{\pi n} (F(x) \sin x) \bigl |^\pi_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) ) = </tex>
<tex> \frac1{\pi n} (0 - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x)) = -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) =</tex>
<tex> -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx = -\frac{b_n \pi}{\pi n} = -\frac{b_n}{n} </tex>

Значит, <tex>a_n(F) = \frac{-b_n(f)}{n}</tex>. Аналогично, <tex>b_n(F) = \frac{a_n(f)}{n}</tex>. В силу сказанного выше,

<tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx)</tex>

Подставим <tex>0</tex> и убедимся, что <tex>\frac{a_0(F)}2 = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n</tex>

Получился неожиданный факт. Ряд Фурье может расходиться почти всюду, но <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n</tex>
всегда сходится.

Это позволяет приводить примеры сходящихся тригонометрических рядов, которые не являются рядами Фурье.

Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{\sin nx}{\ln n}</tex>. Очевидно, <tex>\frac1{\ln n} \to 0</tex>.

При <tex>x = 0</tex> ряд сходится. При <tex>x \ne 0</tex>, <tex>\left|\sum\limits_{n=2}^\infty \sin nx \right| \le \frac{M(x)}{\sin x/2}</tex>, то есть, ограничен.

По признаку Абеля-Дирихле, ряд сходится. Мы имеем ряд, сходящийся в каждой точке (но не может сходиться равномерно на Q, так как, иначе, он был бы рядом Фурье:

Предположим, что это ряд Фурье. Тогда <tex>b_n(f) = \frac1{\ln n}</tex> и ряд <tex>\sum \frac1{n\ln n}</tex> должен был бы сходиться. Но по интегральному признаку Коши:
<tex>\sum \frac1{n\ln n} \sim \int \frac{dx}{n\ln n} = \ln \ln x \big|^\infty_0 = +\infty</tex>.

Значит, это не ряд Фурье.

Вернёмся ещё раз к формуле <tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx\right)</tex>. Рассмотрим <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

<tex>\int\limits_0^x A_n(f, t) dt = \frac{a_n(f)}n \sin nt \big|^x_0 - \frac{b_n(f)}n \cos nt \big|^x_0</tex>
<tex>=\frac{a_n(f)}n \sin nx - \frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{b_n(f)}n</tex>

Значит, если составить ряд из интегралов <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, x) dx</tex>
<tex>= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n + \sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n\sin nx \right) = </tex>

<tex>= \int\limits_0^x \left(f(x) - \frac{a_0}2 \right) dt = \int\limits_0^x f(t) dt - \int\limits_0^x A_0(f, t) dt</tex>.

Получаем, <tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>.

Ряд Фурье всегда можно интегрировать, несмотря на то, что сам ряд может расходиться в каждой точке. Но ряд из интегралов обязательно сойдётся.

[[Теорема Жордана|<<]][[L_2-теория рядов Фурье|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теорема Жордана

2012-06-24T21:59:33Z

Dmitriy D.:

[[Интеграл Римана-Стилтьеса|<<]][[О почленном интегрировании ряда Фурье|>>]]

{{В разработке}}

{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>E_n(f)_C\ln n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>. Тогда <tex>\sigma(f)</tex> равномерно сходится к <tex>f</tex>.
|proof=
Если <tex>f\in C</tex>, то по [[теорема Фейера|теореме Фейера]], суммы Фейера <tex>\sigma_n(f) \rightrightarrows f</tex>.
Другими словами, ряд Фурье будет сходиться к <tex>f</tex> равномерно в смысле средних арифметических.

Теперь рассмотрим случай <tex> f \notin C </tex>. Пусть <tex>T_n(x)</tex> {{---}} полином степени не выше <tex>n</tex> наилучшего приближения <tex> f </tex> в <tex>C</tex>, то:

<tex>E_n(f)_C = \|f - T_n\|_C</tex>, <tex>s_n(T_n, x) = T_n(x)</tex>

Значит, <tex>s_n(f, x) - f(x) = (s_n(f,x)-T_n(x)) + (T_n(x) - f_n(x))</tex>
<tex>= s_n(f - T_n, x) + T_n(x) - f(x) = </tex> (применяя интеграл Дирихле)
<tex>= \int\limits_Q (f(x + t) - T(x + t))D_n(t) dt + T_n(x) - f(x)</tex>.

Поэтому, <tex>|s_n(f, x) - f(x)| \le \int\limits_Q |f(x+t) - T_n(x+t)| \cdot |f_n(t)| dt + |T_n(x) - f(x)|</tex>

Итого: <tex>\|s_n(t) - f\|_C \le \int\limits_Q |D_n(t)| dt \|f-T_n\| + \|f-T_n\|_C = \left(\int\limits_Q \|D_n(t)\| dt + 1\right) E(f)_C</tex>

Пусть <tex> \int\limits_Q \|D_n(t)\| dt = l_n </tex>.

Тогда <tex>\|s_n(f)-f\|_C \le (l_n + 1) E_n(f)_C</tex>, <tex>E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex> (по теореме Вейерштрасса)

Если <tex>l_n E_n(f)_C \to 0</tex>, то <tex>\|S_n(x) - f\|_C \to 0 </tex> <tex>\iff</tex>
<tex>f_n(t) \rightrightarrows f </tex> на <tex>\mathbb{R}</tex>.

Так как <tex>l_n \sim \ln n</tex>, получаем искомый результат.
}}

{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
|proof=
Пусть <tex>\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos n\alpha + b_n \sin n\alpha)</tex>.

Можно представить <tex>a_n \cos nx + b_n\sin nx </tex> как <tex> r_n \cos(nx + \phi_n)</tex>, где <tex>r_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}</tex>.

Тогда <tex>|a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le r_n</tex>.

Cогласно [[Суммирование_расходящихся_рядов#теорема Харди|теореме Харди]], учитывая последнее неравенство, если <tex>\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2 \le \frac Mn</tex>,
то <tex>s_n(f) \rightrightarrows f</tex>, то есть, ряд Фурье будет равномерно сходиться к функции <tex>f</tex>.

Рассмотрим функцию <tex>f \in \bigvee</tex>, <tex>f</tex> {{---}} разность двух возрастающих, значит, каждая её точка
регулярна. По следствию из теоремы Фейера, <tex>\sigma_n(f, x) \to \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}</tex>.

[[Интеграл Римана-Стилтьеса#Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации|С другой стороны]], для таких функций <tex>|a_n(t)|, |b_n(t)| \le \frac Mn</tex>, то есть <tex>r_n^2 \le \frac {M_1}{n^2}</tex>.

Значит, <tex>\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2</tex>
<tex>\le \sum\limits_{k=n}^\infty \frac{M_1}{k^2}</tex>
<tex>< M_1 \sum\limits_{k=n}^\infty \frac1{k(k-1)}</tex>
<tex>= M_1 \sum\limits_{k=n}^\infty (\frac1{k-1} - \frac1k)</tex>
<tex>= \frac{M_1}{n - 1}</tex>

Получилось условие теоремы Харди, в силу которой начнёт сходиться ряд Фурье в точке <tex>x</tex>.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
|proof=
Мы оцениваем <tex>\sum r_n^2</tex>, которое не зависит от <tex>x</tex>. Соединим прошлые результаты параграфа с
ограниченной вариацией.
{{TODO|t=Типа, вот оно и было?}}
{{TODO|t=эм, надо как-то прокомментировать, чтоли}}
{{TODO|t=Похоже, Николай Юрьевич забил на доказательство этой теоремы.}}
}}

==Примеры==
Приведём некоторые примеры на эту тему.

===Пример===
<tex>
f(x) = \begin{cases}
-1 &, x\in\langle-\pi; 0\rangle\\
1 &, x \in\langle0; \pi\rangle\\
\end{cases}
</tex>, <tex>2\pi</tex>-периодично продолженная.

<tex>\langle\rangle</tex> можно ставить, так как
<tex>a_1(t) = \frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx </tex> {{---}} интеграл Лебега, на множестве нулевой меры
его можно менять как душе угодно.

Функция нечётная <tex>\Rightarrow</tex> коэффициенты при косинусах нулевые.

<tex>b_n(f) = \frac2\pi \int\limits_0^\pi \sin nx dx </tex>
<tex>=-\frac2\pi \cos nx \big|_0^\pi</tex>
<tex>=\frac2{\pi n} (1 - (-1)^n)</tex>
<tex>= \begin{cases}
0 &, n = 2k, k \in \mathbb{Z}\\
\frac{4}{\pi n} &, n = 2k+1, k \in \mathbb{Z}\\
\end{cases}</tex>

Составим ряд Фурье: <tex>\sigma(f, x)= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin (2m+1)x</tex>

Хотим найти сумму. Очевидно, <tex>f \in \bigvee</tex>

В любом случае, <tex>\sigma(f, x) = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
<tex>=\begin{cases}
0 &, x = 0\\
-1 &, x < 0\\
1 &, x > 0
\end{cases}</tex>

Значение в нуле:
<tex>\sigma(f, 0) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin 0 = 0</tex>

Значение в <tex>\frac\pi2</tex>:
<tex>\sigma(f, \frac\pi2) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin \frac{(2m+1)\pi}{2}</tex>
<tex>= \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^m \frac1{2m+1}</tex>
<tex>= \frac{\pi}{4}</tex>

===Пример===
<tex>f(x) = |x|</tex>, <tex>x \in \langle-\pi; \pi\rangle</tex>, <tex>2\pi</tex>-периодически продолженная.

Получаем функцию из класса <tex>CV</tex>, ряд Фурье равномерно сходится к ней.

Функция чётная, значит, будут только слагаемые с косинусами:

<tex>a_n(f) = \frac2\pi \int\limits_Q x \cos nx dx</tex>
<tex>= \frac{2}{\pi n}\int\limits_Q x d(\sin nx) </tex>
<tex>= \frac2{\pi n}\left(x\sin x \big|_0^\pi - \int\limits_0^\pi \sin nx dx \right)</tex>
<tex>= \frac2{\pi n^2} \cos nx \big|_0^\pi</tex>
<tex>= \frac2{\pi n^2} ((-1)^n - 1)</tex>
<tex>= \begin{cases}
0 &, n = 2m, m \in \mathbb{Z}\\
-\frac{4}{\pi n^2} &, n = 2m+1, m \in \mathbb{Z}\\
\end{cases}
</tex>; <tex>a_0 = \frac2\pi \int\limits_0^\pi x dx = \pi</tex>

На <tex>\langle-\pi; \pi\rangle</tex>, <tex>|x| = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\cos(2m+1)x}{(2m+1)^2}</tex>

<tex>x = 0: \sum\limits_{m=0}^\infty \frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8</tex>

[[Интеграл Римана-Стилтьеса|<<]][[О почленном интегрировании ряда Фурье|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]