Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Пересечение прямоугольника с множеством непересекающихся отрезков (segment tree)

2014-01-16T14:50:54Z

Bobrov:

== Задача ==
Есть множество непересекающихся отрезков в <tex>\mathbb{R}^2</tex>, нужно уметь отвечать на запросы, какие из них пересекают границу данного axis-aligned (стороны параллельны осям координат) прямоугольника.

== Дерево отрезков ==
[[Файл:Segment_tree_1.png|200px|thumb|right|Пример дерева отрезков]]
Для решения задачи потребуется структура данных, которая называется дерево отрезков (segment tree). NB: по-русски этими словами принято обозначать несколько [[Дерево_отрезков._Построение | другую]] структуру данных, здесь не о ней.

Пусть <tex>I = \{[x_1 : x_{1}'], [x_2 : x_{2}'], ..., [x_n : x_{n}']\}</tex> — множество отрезков на вещественной оси. Возьмем концы этих отрезков и отсортируем их, получим точки <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Назовем множеством ''элементарных интервалов'' <tex>E = \{ (-\infty : p_1), [p_1 : p_1], (p_1 : p_2), ..., (p_m : +\infty) \}</tex>.

Построим сбалансированное бинарное дерево, листам которого будут соответствовать элементарные интервалы, а внутренним вершинам — объединения интервалов в потомках.
Будем обозначать интервал, соответствующий вершине <tex>v</tex>, <tex>Int(v)</tex>.
В каждой вершине будем хранить соответствующий ей интервал и множество отрезков <tex>I(v)</tex>, таких что <tex>I(v) \subset I</tex> и <tex>\forall [x : x'] \in I(v) : Int(v) \subset [x : x'], Int(parent(v)) \not\subset [x : x']</tex>. По-человечески это значит, что интервал вершины должен полностью лежать внутри отрезка и выше таких вершин нет. По картинке должно быть понятно.

{{Лемма
|about=
Оценка на память
|statement=
Дерево отрезков занимает <tex>O(n \log n)</tex> памяти.
|proof=
Всего элементарных интервалов не больше <tex>4n+1</tex> (в случае, когда все отрезки не пересекаются: для каждого отрезок левее <tex>x</tex>, <tex>[x : x]</tex>, <tex>(x : x')</tex>, <tex>[x' : x']</tex> и еще один <tex>(p_m : +\infty)</tex>). Так как дерево сбалансированное, его глубина <tex>O(\log n)</tex>.

Утверждается, что один отрезок на одной глубине встречается не более двух раз. Пусть это не так, возьмем три упорядоченные вершины <tex>v_1, v_2, v_3</tex>, содержащие этот отрезок. Очевидно, что сосед <tex>v_2</tex> тоже содержит этот отрезок (см. картинку). Тогда этот отрезок должен содержаться в <tex>parent(v_2)</tex>. Противоречие.

[[Файл:Segment_tree_proof.png]]

Глубина <tex>O(\log n)</tex>, всего отрезков <tex>n</tex>, на каждом уровне отрезок встречается <tex>O(1)</tex> раз — победа.
}}

=== Построение дерева ===
Сначала сортируем концы отрезков из <tex>I</tex> за <tex>O(n \log n)</tex>. За <tex>O(n)</tex> собираем сбалансированное дерево (просто поднимаясь от листьев к корню и объединяя интервалы). Осталось найти <tex>I(v)</tex> для вершин дерева. Для этого вставим туда каждый отрезок по такому алгоритму:
def '''InsertSegment'''(v, [x : x']):
if <tex>Int(v) \subset [x : x']</tex>:
v.Add([x : x'])
else:
if <tex>Int(v.Left) \cap [x : x ] \neq \emptyset</tex>:
InsertSegment(v.Left, [x : x'])
if <tex>Int(v.Right) \cap [x : x ] \neq \emptyset</tex>:
InsertSegment(v.Right, [x : x'])
Это работает за <tex>O(\log n)</tex>, потому что на каждом уровне есть не более двух вершин, в которые отрезок нужно вставить и еще не более двух вершин, содержащих его концы. Таким образом, на каждом уровне нужно обработать не более четырех вершин. Итого для всех отрезков получаем <tex>O(n \log n)</tex>.

=== Запрос ===
Теперь научимся отвечать на запрос, какие отрезки содержат заданную точку.
def '''Query'''(v, p, S):
S = S <tex>\cup</tex> I(v)
if !v.IsLeaf:
if <tex>p \in Int(v.Left)</tex>:
Query(v.Left, p)
else
Query(v.Right, p)
Query(root, p, <tex>\emptyset</tex>)
Запрос работает за <tex>O(\log n + k)</tex>, где <tex>k</tex> — размер ответа.

== Алгоритм ==
Чтобы решить исходную задачу, нужно уметь находить, какие отрезки из <tex>I</tex> пересекают axis-aligned отрезок <tex>s</tex>. Рассмотрим случай, когда <tex>s</tex> параллелен оси <tex>y</tex>, для <tex>x</tex> все делается аналогично.

В дереве отрезков будем хранить их проекции на ось <tex>x</tex>. Это позволит найти, какие отрезки пересекают бесконечную вертикальную линию. Осталось найти, какие из них пересекают заданный отрезок.

Используем то, что отрезки не пересекаются, и <tex>[x : x'] \in I(v) \Rightarrow Int(v) \subset [x : x']</tex>: это значит, что отрезки внутри элементарного интервала могут быть вертикально упорядочены. В <tex>I(v)</tex> вместо списка теперь будем хранить дерево поиска.

При запросе будем выдавать только те отрезки, для которых верхняя граница запроса выше точки пересечения с вертикальной линией, а нижняя — ниже (то есть все, что находится между lower_bound и upper_bound в дереве, проверяем выше/ниже поворотом).

Таким образом, обработка одной вершины занимает <tex>O(\log n + k_v)</tex> времени, где <tex>k_v</tex> — количество отрезков в ответе, полученных из вершины <tex>v</tex>, всего посещенных вершин <tex>O(\log n)</tex>, итого <tex>O({\log}^2 n + k)</tex>. Препроцессинг выполняется за <tex>O(n {\log}^2 n)</tex> из-за вставки в дерево поиска.

== Ссылки ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Segment_tree Английская википедия]
* de Berg, van Kreveld, Overmars, Schwarzkopf "Computational Geometry Algorithms and Applications", p. 231

Пересечение прямоугольника с множеством непересекающихся отрезков (segment tree)

2014-01-16T14:49:50Z

Bobrov:

== Задача ==
Есть множество непересекающихся отрезков в <tex>\mathbb{R}^2</tex>, нужно уметь отвечать на запросы, какие из них пересекают границу данного axis-aligned (стороны параллельны осям координат) прямоугольника.

== Дерево отрезков ==
[[Файл:Segment_tree_1.png|200px|thumb|right|Пример дерева отрезков]]
Для решения задачи потребуется структура данных, которая называется дерево отрезков (segment tree). NB: по-русски этими словами принято обозначать несколько [[Дерево_отрезков._Построение | другую]] структуру данных, здесь не о ней.

Пусть <tex>I = \{[x_1 : x_{1}'], [x_2 : x_{2}'], ..., [x_n : x_{n}']\}</tex> — множество отрезков на вещественной оси. Возьмем концы этих отрезков и отсортируем их, получим точки <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Назовем множеством ''элементарных интервалов'' <tex>E = \{ (-\infty : p_1), [p_1 : p_1], (p_1 : p_2), ..., (p_m : +\infty) \}</tex>.

Построим сбалансированное бинарное дерево, листам которого будут соответствовать элементарные интервалы, а внутренним вершинам — объединения интервалов в потомках.
Будем обозначать интервал, соответствующий вершине <tex>v</tex>, <tex>Int(v)</tex>.
В каждой вершине будем хранить соответствующий ей интервал и множество отрезков <tex>I(v)</tex>, таких что <tex>I(v) \subset I</tex> и <tex>\forall [x : x'] \in I(v) : Int(v) \subset [x : x'], Int(parent(v)) \not\subset [x : x']</tex>. По-человечески это значит, что интервал вершины должен полностью лежать внутри отрезка и выше таких вершин нет. По картинке должно быть понятно.

{{Лемма
|about=
Оценка на память
|statement=
Дерево отрезков занимает <tex>O(n \log n)</tex> памяти.
|proof=
Всего элементарных интервалов не больше <tex>4n+1</tex> (в случае, когда все отрезки не пересекаются: для каждого отрезок левее <tex>x</tex>, <tex>[x : x]</tex>, <tex>(x : x')</tex>, <tex>[x' : x']</tex> и еще один <tex>(p_m : +\infty)</tex>). Так как дерево сбалансированное, его глубина <tex>O(\log n)</tex>.

Утверждается, что один отрезок на одной глубине встречается не более двух раз. Пусть это не так, возьмем три упорядоченные вершины <tex>v_1, v_2, v_3</tex>, содержащие этот отрезок. Очевидно, что сосед <tex>v_2</tex> тоже содержит этот отрезок (см. картинку). Тогда этот отрезок должен содержаться в <tex>parent(v_2)</tex>. Противоречие.

[[Файл:Segment_tree_proof.png]]

Глубина <tex>O(\log n)</tex>, всего отрезков <tex>n</tex>, на каждом уровне отрезок встречается <tex>O(1)</tex> раз — победа.
}}

== Построение дерева ==
Сначала сортируем концы отрезков из <tex>I</tex> за <tex>O(n \log n)</tex>. За <tex>O(n)</tex> собираем сбалансированное дерево (просто поднимаясь от листьев к корню и объединяя интервалы). Осталось найти <tex>I(v)</tex> для вершин дерева. Для этого вставим туда каждый отрезок по такому алгоритму:
def '''InsertSegment'''(v, [x : x']):
if <tex>Int(v) \subset [x : x']</tex>:
v.Add([x : x'])
else:
if <tex>Int(v.Left) \cap [x : x ] \neq \emptyset</tex>:
InsertSegment(v.Left, [x : x'])
if <tex>Int(v.Right) \cap [x : x ] \neq \emptyset</tex>:
InsertSegment(v.Right, [x : x'])
Это работает за <tex>O(\log n)</tex>, потому что на каждом уровне есть не более двух вершин, в которые отрезок нужно вставить и еще не более двух вершин, содержащих его концы. Таким образом, на каждом уровне нужно обработать не более четырех вершин. Итого для всех отрезков получаем <tex>O(n \log n)</tex>.

=== Запрос ===
Теперь научимся отвечать на запрос, какие отрезки содержат заданную точку.
def '''Query'''(v, p, S):
S = S <tex>\cup</tex> I(v)
if !v.IsLeaf:
if <tex>p \in Int(v.Left)</tex>:
Query(v.Left, p)
else
Query(v.Right, p)
Query(root, p, <tex>\emptyset</tex>)
Запрос работает за <tex>O(\log n + k)</tex>, где <tex>k</tex> — размер ответа.

== Алгоритм ==
Чтобы решить исходную задачу, нужно уметь находить, какие отрезки из <tex>I</tex> пересекают axis-aligned отрезок <tex>s</tex>. Рассмотрим случай, когда <tex>s</tex> параллелен оси <tex>y</tex>, для <tex>x</tex> все делается аналогично.

В дереве отрезков будем хранить их проекции на ось <tex>x</tex>. Это позволит найти, какие отрезки пересекают бесконечную вертикальную линию. Осталось найти, какие из них пересекают заданный отрезок.

Используем то, что отрезки не пересекаются, и <tex>[x : x'] \in I(v) \Rightarrow Int(v) \subset [x : x']</tex>: это значит, что отрезки внутри элементарного интервала могут быть вертикально упорядочены. В <tex>I(v)</tex> вместо списка теперь будем хранить дерево поиска.

При запросе будем выдавать только те отрезки, для которых верхняя граница запроса выше точки пересечения с вертикальной линией, а нижняя — ниже (то есть все, что находится между lower_bound и upper_bound в дереве, проверяем выше/ниже поворотом).

Таким образом, обработка одной вершины занимает <tex>O(\log n + k_v)</tex> времени, где <tex>k_v</tex> — количество отрезков в ответе, полученных из вершины <tex>v</tex>, всего посещенных вершин <tex>O(\log n)</tex>, итого <tex>O({\log}^2 n + k)</tex>. Препроцессинг выполняется за <tex>O(n {\log}^2 n)</tex> из-за вставки в дерево поиска.

== Ссылки ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Segment_tree Английская википедия]
* de Berg, van Kreveld, Overmars, Schwarzkopf "Computational Geometry Algorithms and Applications", p. 231

Пересечение прямоугольника с множеством непересекающихся отрезков (segment tree)

2014-01-16T14:34:33Z

Bobrov: /* Дерево отрезков */

== Задача ==
Есть множество непересекающихся отрезков в <tex>\mathbb{R}^2</tex>, нужно уметь отвечать на запросы, какие из них пересекают границу данного axis-aligned (стороны параллельны осям координат) прямоугольника.

== Дерево отрезков ==
[[Файл:Segment_tree_1.png|200px|thumb|right|Пример дерева отрезков]]
Для решения задачи потребуется структура данных, которая называется дерево отрезков (segment tree). NB: по-русски этими словами принято обозначать несколько [[Дерево_отрезков._Построение | другую]] структуру данных, здесь не о ней.

Пусть <tex>I = \{[x_1 : x_{1}'], [x_2 : x_{2}'], ..., [x_n : x_{n}']\}</tex> — множество отрезков на вещественной оси. Возьмем концы этих отрезков и отсортируем их, получим точки <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Назовем множеством ''элементарных интервалов'' <tex>E = \{ (-\infty : p_1), [p_1 : p_1], (p_1 : p_2), ..., (p_m : +\infty) \}</tex>.

Построим сбалансированное бинарное дерево, листам которого будут соответствовать элементарные интервалы, а внутренним вершинам — объединения интервалов в потомках.
Будем обозначать интервал, соответствующий вершине <tex>v</tex>, <tex>Int(v)</tex>.
В каждой вершине будем хранить соответствующий ей интервал и множество отрезков <tex>I(v)</tex>, таких что <tex>I(v) \subset I</tex> и <tex>\forall [x : x'] \in I(v) : Int(v) \subset [x : x'], Int(parent(v)) \not\subset [x : x']</tex>. По-человечески это значит, что интервал вершины должен полностью лежать внутри отрезка и выше таких вершин нет. По картинке должно быть понятно.

{{Лемма
|about=
Оценка на память
|statement=
Дерево отрезков занимает <tex>O(n \log n)</tex> памяти.
|proof=
Всего элементарных интервалов не больше <tex>4n+1</tex> (в случае, когда все отрезки не пересекаются: для каждого отрезок левее <tex>x</tex>, <tex>[x : x]</tex>, <tex>(x : x')</tex>, <tex>[x' : x']</tex> и еще один <tex>(p_m : +\infty)</tex>). Так как дерево сбалансированное, его глубина <tex>O(\log n)</tex>.

Утверждается, что один отрезок на одной глубине встречается не более двух раз. Пусть это не так, возьмем три упорядоченные вершины <tex>v_1, v_2, v_3</tex>, содержащие этот отрезок. Очевидно, что сосед <tex>v_2</tex> тоже содержит этот отрезок (см. картинку). Тогда этот отрезок должен содержаться в <tex>parent(v_2)</tex>. Противоречие.

[[Файл:Segment_tree_proof.png]]

Глубина <tex>O(\log n)</tex>, всего отрезков <tex>n</tex>, на каждом уровне отрезок встречается <tex>O(1)</tex> раз — победа.
}}

== Построение дерева ==
Сначала сортируем концы отрезков из <tex>I</tex> за <tex>O(n \log n)</tex>. За <tex>O(n)</tex> собираем сбалансированное дерево (просто поднимаясь от листьев к корню и объединяя интервалы). Осталось найти <tex>I(v)</tex> для вершин дерева. Для этого вставим туда каждый отрезок по такому алгоритму:
def '''InsertSegment'''(v, [x : x']):
if <tex>Int(v) \subset [x : x']</tex>:
v.Add([x : x'])
else:
if <tex>Int(v.Left) \cap [x : x ] \neq \emptyset</tex>:
InsertSegment(v.Left, [x : x'])
if <tex>Int(v.Right) \cap [x : x ] \neq \emptyset</tex>:
InsertSegment(v.Right, [x : x'])
Это работает за <tex>O(\log n)</tex>, потому что на каждом уровне есть не более двух вершин, в которые отрезок нужно вставить и еще не более двух вершин, содержащих его концы. Таким образом, на каждом уровне нужно обработать не более четырех вершин. Итого для всех отрезков получаем <tex>O(n \log n)</tex>.

=== Запрос ===
Теперь научимся отвечать на запрос, какие отрезки содержат заданную точку.
def '''Query'''(v, p, S):
S = S <tex>\cup</tex> I(v)
if !v.IsLeaf:
if <tex>p \in Int(v.Left)</tex>:
Query(v.Left, p)
else
Query(v.Right, p)
Query(root, p, <tex>\emptyset</tex>)
Запрос работает за <tex>O(\log n + k)</tex>, где <tex>k</tex> — размер ответа.

== Алгоритм ==
Чтобы решить исходную задачу, нужно уметь находить, какие отрезки из <tex>I</tex> пересекают axis-aligned отрезок <tex>s</tex>. Рассмотрим случай, когда <tex>s</tex> параллелен оси <tex>y</tex>, для <tex>x</tex> все делается аналогично.

В дереве отрезков будем хранить их проекции на ось <tex>x</tex>. Это позволит найти, какие отрезки пересекают бесконечную вертикальную линию. Осталось найти, какие из них пересекают заданный отрезок.

Используем то, что отрезки не пересекаются, и <tex>[x : x'] \in I(v) \Rightarrow Int(v) \subset [x : x']</tex>: это значит, что отрезки внутри элементарного интервала могут быть вертикально упорядочены. В <tex>I(v)</tex> вместо списка теперь будем хранить дерево поиска.

При запросе будем выдавать только те отрезки, для которых верхняя граница запроса выше точки пересечения с вертикальной линией, а нижняя — ниже (то есть все, что находится между lower_bound и upper_bound в дереве, проверяем выше/ниже поворотом).

Таким образом, обработка одной вершины занимает <tex>O(\log n + k_v)</tex> времени, где <tex>k_v</tex> — количество отрезков в ответе, полученных из вершины <tex>v</tex>, всего посещенных вершин <tex>O(\log n)</tex>, итого <tex>O({\log}^2 n + k)</tex>. Препроцессинг выполняется за <tex>O(n {\log}^2 n)</tex> из-за вставки в дерево поиска.

Файл:Segment tree proof.png

2014-01-16T14:26:47Z

Bobrov:

Пересечение прямоугольника с множеством непересекающихся отрезков (segment tree)

2014-01-16T14:22:31Z

Bobrov: Новая страница: «== Задача == Есть множество непересекающихся отрезков в <tex>\mathbb{R}^2</tex>, нужно уметь отвечат...»

== Задача ==
Есть множество непересекающихся отрезков в <tex>\mathbb{R}^2</tex>, нужно уметь отвечать на запросы, какие из них пересекают границу данного axis-aligned (стороны параллельны осям координат) прямоугольника.

== Дерево отрезков ==
[[Файл:Segment_tree_1.png|200px|thumb|right|Пример дерева отрезков]]
Для решения задачи потребуется структура данных, которая называется дерево отрезков (segment tree). NB: по-русски этими словами принято обозначать несколько [[Дерево_отрезков._Построение | другую]] структуру данных, здесь не о ней.

Пусть <tex>I = \{[x_1 : x_{1}'], [x_2 : x_{2}'], ..., [x_n : x_{n}']\}</tex> — множество отрезков на вещественной оси. Возьмем концы этих отрезков и отсортируем их, получим точки <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Назовем множеством ''элементарных интервалов'' <tex>E = \{ (-\infty : p_1), [p_1 : p_1], (p_1 : p_2), ..., (p_m : +\infty) \}</tex>.

Построим сбалансированное бинарное дерево, листам которого будут соответствовать элементарные интервалы, а внутренним вершинам — объединения интервалов в потомках.
Будем обозначать интервал, соответствующий вершине <tex>v</tex>, <tex>Int(v)</tex>.
В каждой вершине будем хранить соответствующий ей интервал и множество отрезков <tex>I(v)</tex>, таких что <tex>I(v) \subset I</tex> и <tex>\forall [x : x'] \in I(v) : Int(v) \subset [x : x'], Int(parent(v)) \not\subset [x : x']</tex>. По-человечески это значит, что интервал вершины должен полностью лежать внутри отрезка и выше таких вершин нет. По картинке должно быть понятно.

{{Лемма
|about=
Оценка на память
|statement=
Дерево отрезков занимает <tex>O(n \log n)</tex> памяти.
|proof=
Всего элементарных интервалов не больше <tex>4n+1</tex> (в случае, когда все отрезки не пересекаются: для каждого отрезок левее <tex>x</tex>, <tex>[x : x]</tex>, <tex>(x : x')</tex>, <tex>[x' : x']</tex> и еще один <tex>(p_m : +\infty)</tex>). Так как дерево сбалансированное, его глубина <tex>O(\log n)</tex>.

Утверждается, что один отрезок на одной глубине встречается не более двух раз. Пусть это не так, возьмем из любых трех вершин, содержащих этот отрезок, среднюю. Ее сосед тоже содержится в этом отрезке, тогда он содержится и в родителе этих вершин. Противоречие.

Глубина <tex>O(\log n)</tex>, всего отрезков <tex>n</tex>, на каждом уровне отрезок встречается <tex>O(1)</tex> раз — победа.
}}

== Построение дерева ==
Сначала сортируем концы отрезков из <tex>I</tex> за <tex>O(n \log n)</tex>. За <tex>O(n)</tex> собираем сбалансированное дерево (просто поднимаясь от листьев к корню и объединяя интервалы). Осталось найти <tex>I(v)</tex> для вершин дерева. Для этого вставим туда каждый отрезок по такому алгоритму:
def '''InsertSegment'''(v, [x : x']):
if <tex>Int(v) \subset [x : x']</tex>:
v.Add([x : x'])
else:
if <tex>Int(v.Left) \cap [x : x ] \neq \emptyset</tex>:
InsertSegment(v.Left, [x : x'])
if <tex>Int(v.Right) \cap [x : x ] \neq \emptyset</tex>:
InsertSegment(v.Right, [x : x'])
Это работает за <tex>O(\log n)</tex>, потому что на каждом уровне есть не более двух вершин, в которые отрезок нужно вставить и еще не более двух вершин, содержащих его концы. Таким образом, на каждом уровне нужно обработать не более четырех вершин. Итого для всех отрезков получаем <tex>O(n \log n)</tex>.

=== Запрос ===
Теперь научимся отвечать на запрос, какие отрезки содержат заданную точку.
def '''Query'''(v, p, S):
S = S <tex>\cup</tex> I(v)
if !v.IsLeaf:
if <tex>p \in Int(v.Left)</tex>:
Query(v.Left, p)
else
Query(v.Right, p)
Query(root, p, <tex>\emptyset</tex>)
Запрос работает за <tex>O(\log n + k)</tex>, где <tex>k</tex> — размер ответа.

== Алгоритм ==
Чтобы решить исходную задачу, нужно уметь находить, какие отрезки из <tex>I</tex> пересекают axis-aligned отрезок <tex>s</tex>. Рассмотрим случай, когда <tex>s</tex> параллелен оси <tex>y</tex>, для <tex>x</tex> все делается аналогично.

В дереве отрезков будем хранить их проекции на ось <tex>x</tex>. Это позволит найти, какие отрезки пересекают бесконечную вертикальную линию. Осталось найти, какие из них пересекают заданный отрезок.

Используем то, что отрезки не пересекаются, и <tex>[x : x'] \in I(v) \Rightarrow Int(v) \subset [x : x']</tex>: это значит, что отрезки внутри элементарного интервала могут быть вертикально упорядочены. В <tex>I(v)</tex> вместо списка теперь будем хранить дерево поиска.

При запросе будем выдавать только те отрезки, для которых верхняя граница запроса выше точки пересечения с вертикальной линией, а нижняя — ниже (то есть все, что находится между lower_bound и upper_bound в дереве, проверяем выше/ниже поворотом).

Таким образом, обработка одной вершины занимает <tex>O(\log n + k_v)</tex> времени, где <tex>k_v</tex> — количество отрезков в ответе, полученных из вершины <tex>v</tex>, всего посещенных вершин <tex>O(\log n)</tex>, итого <tex>O({\log}^2 n + k)</tex>. Препроцессинг выполняется за <tex>O(n {\log}^2 n)</tex> из-за вставки в дерево поиска.

Файл:Segment tree 1.png

2014-01-16T13:03:26Z

Bobrov:

Определения и формулировки, 3 семестр, Кохась К.П.

2013-03-31T10:03:31Z

Bobrov: /* Объем */

'''* - ТРЕБУЕТ ДОРАБОТКИ'''

'''ЕСЛИ НАХОДИТЕ ОШИБКИ ИСПРАВЛЯЙТЕ'''

== Определения ==
===Жорданово множество===
===Объем жорданова множества===
===1- и 2-формы===
===Дифференциальная 1- или 2-форма в $\mathbb R^n$===
===Внешнее произведение форм===
===Внутреннее произведение===
===Интеграл 1-формы по ориентированной кривой===
===Ориентированная область в $\mathbb R^2$===
===Правоориентированная область===
===Дифференциал дифференциальной формы===
===Перенос формы при гладком отображении===
===Интеграл от 2-формы по ориентированной области в $\mathbb R^2$===
===Полукольцо===
===Алгебра===
===Сигма-алгебра===
===Объем===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu : P \rightarrow \overline{\mathbb R}</tex> — объем, если:
# <tex>\mu(\varnothing) = 0</tex>
# <tex>\forall A, A_1 ... A_n \in P : A = \underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}{A_i} \Rightarrow \mu A = \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}{A_i}</tex>
# <tex>\forall A: \mu A \ge 0</tex>

Если <tex>\forall A : \mu A \neq +\infty</tex>, то объем называется конечным.
}}

===Мера===
===Сигма-конечная мера===
===Борелевская оболочка системы множеств===
===Борелевская сигма-алгебра в $\mathbb R^m$===
===Мера Лебега===
===Теорема о Лебеговском продолжении меры===
===Полная мера===
===Теорема о мерах, инвариантных относительно сдвига===
===Мера Лебега--Стилтьеса, мера Бореля--Стилтьеса===
===Степенчатая функция===
===Разбиение, допустимое для ступенчатеой функции===
===Измеримая функция===
===Свойство, выполняющееся почти везде===
===Сходимость почти везде===
===Сходимость по мере===
===Эквивалентные функции===

== Формулировки ==
===Характеризация жордановых множеств с помощью параллелепипедов===
===Аддитивность интеграла по жорданову множеству. Усиленная аддитивность===
===Теорема Фубини===
===Свойства переноса 1-форм (внешнее произведение, диффернциал, вычисление на векторе)===
===Свойства объема: усиленная монотонность, конечная полуаддитивность, "субтрактивность"===
===Теорема об эквивалентности счетной аддитивности и счетной полуаддитивности===
===Теорема о непрерывности снизу===
===Теорема о непрерывности сверху===
===Счетная аддитивность классического объема===
===Регулярность меры Лебега===
===Лемма о переносе меры с помощью отображения===
===Лемма о сохранении измеримости===
===Теорема о сохранении измеримости при гладком отображении===
===Сохранение меры Лебега при ортогональных преобразованиях===
===Лемма "о структуре компактного оператора"===
===Теорема о преобразовании меры Лебега при линейном отображении===
===Теорема об измеримости пределов и супремумов===
===Характеризация измеримых функций с помощью ступенчатых===
===Измеримость монотонной функции===
===Теорема Лебега о сходимости почти везде и сходимости по мере===
===Теорема Рисса о сходимости по мере и сходимости почти везде===

CMake Tutorial

2013-03-29T20:21:07Z

Bobrov: /* Как создать библиотеку в поддиректории и слинковать ее с основной программой */

{{В разработке}}

= Что это и зачем нужно =
CMake — кроссплатформенная автоматизированная система сборки проектов.
Непосредственно сборкой она не занимается, а только генерирует Makefile, который потом будет выполнен утилитой make.

CMake может проверять наличие необходимых библиотек и подключать их, собирать проекты под разными компиляторами и операционными системами. Т.е. у вас есть куча кода и файлик, содержащий информацию для cmake, и чтобы скомпилить
это дело где-нибудь еще, вам нужно просто запустить там cmake, который сделает всё сам. Удобно, полезно, просто.
Дисклеймер: Никита все еще считает, что cmake не нужен, но Никита извращенец и просто дурак.

= Старт =
Предполагается, что найти и скачать сам cmake ты, %username%, в состоянии. //а если нет?

Предположим, у Вас есть исходничек "test.cpp".
Для начала нужно создать файлик для cmake, который обычно называют "CMakeLists.txt", и написать туда вот это:

add_executable(test test.cpp)

Теперь запускаем (из консоли) в этой папке команду "cmake CMakeLists.txt" (аргументом можно передавать не только файл, но и директорию, в которой он лежит, тогда cmake найдет его сам).

cmake будет использовать переданный (или найденный) файл проекта (тот самый CMakeLists.txt), и в '''текущей''' директории будет создавать проект.
Проект - это много-много файлов и директорий (примечание: поэтому лучше запускать cmake из другой директории, чтобы можно было, например, быстро удалить все бинарники), из которых нас больше всего интересует Makefile.

Makefile - это файл, нужный для утилиты make.
Именно она запускает компиляторы, линковщики и прочие радости. Запускаем make в '''каталоге сборки''' (т.е. там же, где Вы запускали cmake).
В консоли вылезет примерно такой текст:

Scanning dependencies of target test
[100%] Building CXX object CMakeFiles/test.dir/test.cpp.o
Linking CXX executable test
[100%] Built target test

А у Вас в папочке появится исполняемый файл "test". Запустите, убедитесь, что это действительно то, что ожидается от компилляции файла "test.cpp".

= We need to go deeper =

Поразбираемся с различными возможностями cmake.

=== Указание необходимой версии cmake ===

cmake_minimum_required(VERSION 2.6)

Если используемая версия cmake меньше 2.6, он не захочет работать. Писать эту команду всегда - хороший стиль.

=== Название проекта ===

project(visualization)

Тут все понятно. Тоже хороший стиль.

=== Переменные ===

В cmake можно создавать текстовые переменные. Команда

set(VARIABLE The variable's value)

запишет в переменную "VARIABLE" значение "The variable's value".
Чтобы где-либо использовать значение этой переменной, нужно написать ${VARIABLE}.

Чтобы добавить к переменной некий текст, можно сделать так:

set(VARIABLE "${VARIABLE} new text")

Как видите, использовать значение можно и внутри кавычек.
Переменные активно используются различными библиотеками - для установки флагов, параметров сборки/линковки и прочих вкусностей, об этом чуть-чуть попозже.

Пример коше'гного проекта со списком сорцов в отдельной переменной:

cmake_minimum_required(VERSION 2.6)

set(SOURCES test.cpp lib1.cpp lib2.cpp)

add_executable(test ${SOURCES})

=== Устанавливаем команды компилятору ===

add_definitions(-std=c++11 -Wall)

Компилятору при компиляции добавляются соответствующие опции.
Кто не знает: "-std=c++11" включает в gcc поддержку стандарта c++11, "-Wall" говорит gcc выводить все предупреждения.
Сказать флаги для с++ можно и через переменные:

set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -std=c++11 -Wall")

Если ваша версия GCC меньше, чем 4.7.0, вместо -std=c++11 нужно использовать -std=c++0x.

В GCC 4.8.0 появился флаг -std=c++1y, в котором начинают реализовывать фичи следующего стандарта.

=== Папка с хедерами ===

Допустим, Вы хотите, чтобы хедеры (файлики, подключаемые через #include) искались еще и в каталогах "headers/" и "more_headers/":

include_directories("headers/" "more_headers/")

Надеюсь, и это понятно.

=== Самое важное - подключение библиотек ===

Научимся искать и подключать библиотеки при помощи cmake на примере Boost.
Для начала установим переменные для буста:

set(Boost_USE_STATIC_LIBS OFF)
set(Boost_USE_MULTITHREADED ON)

Первое - мы не хотим, чтобы буст подключался к нам статически (т.е. хотим динамическую линковку). Если ты, %username%, не знаешь, что это, пока просто забей и используй этот флаг так, как написано. Но в ближайшее время узнай, о чем речь.
Второй флаг разрешает бусту внутри своих магических реализации использовать треды для распараллеливания и прочих радостей.

Итак, мы установили флаги. Давайте найдем буст!

Допустим, нам нужны компоненты буста под названием chrono (библиотека для работы со временем) и filesystem (библиотека для работы с файловой системой):

find_package(Boost COMPONENTS chrono filesystem REQUIRED)

Win, будут искаться только нужные библиотеки, и их расположение будет записано в переменную Boost_LIBRARIES.

Опция "REQUIRED" говорит о том, что библиотека необходима проекту.
Без нее cmake решит, что отсутствие данной библиотеки - не так уж и страшно, и будет собирать дальше.

Итак, осталось найденные библиотеки подключить к исполняемому файлу.

target_link_libraries(test ${Boost_LIBRARIES})

В качестве библиотек нужно указать пути к необходимым собранным библиотекам. cmake нашел указанные нами библиотеки и записал в переменную, чем мы и пользуемся.

=== Пример хорошего CMakeLists.txt и где он будет лежать ===

Итак, полный пример использования всего этого. У нас есть некая директория (отныне считаем ее "/sources"), и в ней лежат исходники

/sources/lib1/main.cpp
/sources/lib2/main.cpp
/sources/main.cpp

В корне "/" лежит файл "/CMakeLists.txt":

cmake_minimum_required(VERSION 2.8)
project_name(cmake-example)

set(Boost_USE_STATIC_LIBS OFF)
set(Boost_USE_MULTITHREADED ON)
find_package(Boost COMPONENTS chrono filesystem REQUIRED)

set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -std=c++11 -Wall")

set(SRC_LIST lib1/main.cpp /lib2/main.cpp main.cpp)

add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST})
target_link_libraries(${PROJECT_NAME} ${Boost_LIBRARIES})

Если Вам что-то в нём не понятно - перечитайте соответствующую информацию выше.

Создаем директорию "/build" ('''не''' "/sources/build"), переходим в нее, запускаем в ней "cmake ..".
".." - метка родительской директории.
cmake возьмет из нее наш CMakeLists.txt и по нему создаст проект в папке "/build".
Чтобы проект собрать, запускаем "make" в той же папке "/build".

Таким образом, в корне у нас есть:

* CMakeLists.txt
* директория с исходниками
* каталог сборки

Все разделено, автоматизировано и удобно.

=== Как создать библиотеку в поддиректории и слинковать ее с основной программой ===

Пусть в ./ лежит основной проект, а в ./subdir мы хотим сделать либу, а в ./build построить проект.

./subdir/CMakeLists.txt
project(MegaLibrary)
set(SOURCES "lib.cpp")
set(HEADERS "lib.h")
add_library(lib ${SOURCES} ${HEADERS})

./CMakeLists.txt
project(MainProject)
# Other stuff
include_directories(subdir)
add_executable(main ${MAIN_PROJECT_SRC_LIST})
add_subdirectory(subdir)
target_link_libraries(main lib)

Теперь можно в файлах основного проекта делать #include "lib.h"

В ./build запускаем "cmake .. && make" и получаем собранный проект.

= Как использовать CMake в связке с QtCreator =

Интеграция с cmake у QtCreator не очень тесная, тем не менее, работать с ним можно.

Создаем новый проект без использования Qt, выбираем "Проект на С++ с использованием CMake". Создастся дефолтный файл сборки, который просто добавляет все исходники в директории проекта и компилирует их в один бинарник.

=== Как добавить header в проект, чтобы его было видно в списке файлов ===

Если вы создали файл header.h в директорию проекта, просто строчку "add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST})" измените на add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST} "header.h")

CMake Tutorial

2013-03-29T20:18:03Z

Bobrov: /* We need to go deeper */

{{В разработке}}

= Что это и зачем нужно =
CMake — кроссплатформенная автоматизированная система сборки проектов.
Непосредственно сборкой она не занимается, а только генерирует Makefile, который потом будет выполнен утилитой make.

CMake может проверять наличие необходимых библиотек и подключать их, собирать проекты под разными компиляторами и операционными системами. Т.е. у вас есть куча кода и файлик, содержащий информацию для cmake, и чтобы скомпилить
это дело где-нибудь еще, вам нужно просто запустить там cmake, который сделает всё сам. Удобно, полезно, просто.
Дисклеймер: Никита все еще считает, что cmake не нужен, но Никита извращенец и просто дурак.

= Старт =
Предполагается, что найти и скачать сам cmake ты, %username%, в состоянии. //а если нет?

Предположим, у Вас есть исходничек "test.cpp".
Для начала нужно создать файлик для cmake, который обычно называют "CMakeLists.txt", и написать туда вот это:

add_executable(test test.cpp)

Теперь запускаем (из консоли) в этой папке команду "cmake CMakeLists.txt" (аргументом можно передавать не только файл, но и директорию, в которой он лежит, тогда cmake найдет его сам).

cmake будет использовать переданный (или найденный) файл проекта (тот самый CMakeLists.txt), и в '''текущей''' директории будет создавать проект.
Проект - это много-много файлов и директорий (примечание: поэтому лучше запускать cmake из другой директории, чтобы можно было, например, быстро удалить все бинарники), из которых нас больше всего интересует Makefile.

Makefile - это файл, нужный для утилиты make.
Именно она запускает компиляторы, линковщики и прочие радости. Запускаем make в '''каталоге сборки''' (т.е. там же, где Вы запускали cmake).
В консоли вылезет примерно такой текст:

Scanning dependencies of target test
[100%] Building CXX object CMakeFiles/test.dir/test.cpp.o
Linking CXX executable test
[100%] Built target test

А у Вас в папочке появится исполняемый файл "test". Запустите, убедитесь, что это действительно то, что ожидается от компилляции файла "test.cpp".

= We need to go deeper =

Поразбираемся с различными возможностями cmake.

=== Указание необходимой версии cmake ===

cmake_minimum_required(VERSION 2.6)

Если используемая версия cmake меньше 2.6, он не захочет работать. Писать эту команду всегда - хороший стиль.

=== Название проекта ===

project(visualization)

Тут все понятно. Тоже хороший стиль.

=== Переменные ===

В cmake можно создавать текстовые переменные. Команда

set(VARIABLE The variable's value)

запишет в переменную "VARIABLE" значение "The variable's value".
Чтобы где-либо использовать значение этой переменной, нужно написать ${VARIABLE}.

Чтобы добавить к переменной некий текст, можно сделать так:

set(VARIABLE "${VARIABLE} new text")

Как видите, использовать значение можно и внутри кавычек.
Переменные активно используются различными библиотеками - для установки флагов, параметров сборки/линковки и прочих вкусностей, об этом чуть-чуть попозже.

Пример коше'гного проекта со списком сорцов в отдельной переменной:

cmake_minimum_required(VERSION 2.6)

set(SOURCES test.cpp lib1.cpp lib2.cpp)

add_executable(test ${SOURCES})

=== Устанавливаем команды компилятору ===

add_definitions(-std=c++11 -Wall)

Компилятору при компиляции добавляются соответствующие опции.
Кто не знает: "-std=c++11" включает в gcc поддержку стандарта c++11, "-Wall" говорит gcc выводить все предупреждения.
Сказать флаги для с++ можно и через переменные:

set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -std=c++11 -Wall")

Если ваша версия GCC меньше, чем 4.7.0, вместо -std=c++11 нужно использовать -std=c++0x.

В GCC 4.8.0 появился флаг -std=c++1y, в котором начинают реализовывать фичи следующего стандарта.

=== Папка с хедерами ===

Допустим, Вы хотите, чтобы хедеры (файлики, подключаемые через #include) искались еще и в каталогах "headers/" и "more_headers/":

include_directories("headers/" "more_headers/")

Надеюсь, и это понятно.

=== Самое важное - подключение библиотек ===

Научимся искать и подключать библиотеки при помощи cmake на примере Boost.
Для начала установим переменные для буста:

set(Boost_USE_STATIC_LIBS OFF)
set(Boost_USE_MULTITHREADED ON)

Первое - мы не хотим, чтобы буст подключался к нам статически (т.е. хотим динамическую линковку). Если ты, %username%, не знаешь, что это, пока просто забей и используй этот флаг так, как написано. Но в ближайшее время узнай, о чем речь.
Второй флаг разрешает бусту внутри своих магических реализации использовать треды для распараллеливания и прочих радостей.

Итак, мы установили флаги. Давайте найдем буст!

Допустим, нам нужны компоненты буста под названием chrono (библиотека для работы со временем) и filesystem (библиотека для работы с файловой системой):

find_package(Boost COMPONENTS chrono filesystem REQUIRED)

Win, будут искаться только нужные библиотеки, и их расположение будет записано в переменную Boost_LIBRARIES.

Опция "REQUIRED" говорит о том, что библиотека необходима проекту.
Без нее cmake решит, что отсутствие данной библиотеки - не так уж и страшно, и будет собирать дальше.

Итак, осталось найденные библиотеки подключить к исполняемому файлу.

target_link_libraries(test ${Boost_LIBRARIES})

В качестве библиотек нужно указать пути к необходимым собранным библиотекам. cmake нашел указанные нами библиотеки и записал в переменную, чем мы и пользуемся.

=== Пример хорошего CMakeLists.txt и где он будет лежать ===

Итак, полный пример использования всего этого. У нас есть некая директория (отныне считаем ее "/sources"), и в ней лежат исходники

/sources/lib1/main.cpp
/sources/lib2/main.cpp
/sources/main.cpp

В корне "/" лежит файл "/CMakeLists.txt":

cmake_minimum_required(VERSION 2.8)
project_name(cmake-example)

set(Boost_USE_STATIC_LIBS OFF)
set(Boost_USE_MULTITHREADED ON)
find_package(Boost COMPONENTS chrono filesystem REQUIRED)

set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -std=c++11 -Wall")

set(SRC_LIST lib1/main.cpp /lib2/main.cpp main.cpp)

add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST})
target_link_libraries(${PROJECT_NAME} ${Boost_LIBRARIES})

Если Вам что-то в нём не понятно - перечитайте соответствующую информацию выше.

Создаем директорию "/build" ('''не''' "/sources/build"), переходим в нее, запускаем в ней "cmake ..".
".." - метка родительской директории.
cmake возьмет из нее наш CMakeLists.txt и по нему создаст проект в папке "/build".
Чтобы проект собрать, запускаем "make" в той же папке "/build".

Таким образом, в корне у нас есть:

* CMakeLists.txt
* директория с исходниками
* каталог сборки

Все разделено, автоматизировано и удобно.

=== Как создать библиотеку в поддиректории и слинковать ее с основной программой ===

Пусть в ./ лежит основной проект, а в ./subdir мы хотим сделать либу, а в ./build построить проект.

./subdir/CMakeLists.txt
project(MegaLibrary)
set(SOURCES "lib.cpp")
set(HEADERS "lib.h")
add_library(lib ${SOURCES} ${HEADERS})

./CMakeLists.txt
project(MainProject)
# Other stuff
include_directories(subdir)
add_executable(main ${MAIN_PROJECT_SRC_LIST})
add_subdirectory(subdir)
target_link_libraries(main lib)

Теперь можно в файлах основного проекта делать #include "lib.h"

= Как использовать CMake в связке с QtCreator =

Интеграция с cmake у QtCreator не очень тесная, тем не менее, работать с ним можно.

Создаем новый проект без использования Qt, выбираем "Проект на С++ с использованием CMake". Создастся дефолтный файл сборки, который просто добавляет все исходники в директории проекта и компилирует их в один бинарник.

=== Как добавить header в проект, чтобы его было видно в списке файлов ===

Если вы создали файл header.h в директорию проекта, просто строчку "add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST})" измените на add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST} "header.h")

CMake Tutorial

2013-03-29T19:43:30Z

Bobrov: /* Устанавливаем команды компилятору */

{{В разработке}}

= Что это и зачем нужно =
CMake — кроссплатформенная автоматизированная система сборки проектов.
Непосредственно сборкой она не занимается, а только генерирует Makefile, который потом будет выполнен утилитой make.

CMake может проверять наличие необходимых библиотек и подключать их, собирать проекты под разными компиляторами и операционными системами. Т.е. у вас есть куча кода и файлик, содержащий информацию для cmake, и чтобы скомпилить
это дело где-нибудь еще, вам нужно просто запустить там cmake, который сделает всё сам. Удобно, полезно, просто.
Дисклеймер: Никита все еще считает, что cmake не нужен, но Никита извращенец и просто дурак.

= Старт =
Предполагается, что найти и скачать сам cmake ты, %username%, в состоянии. //а если нет?

Предположим, у Вас есть исходничек "test.cpp".
Для начала нужно создать файлик для cmake, который обычно называют "CMakeLists.txt", и написать туда вот это:

add_executable(test test.cpp)

Теперь запускаем (из консоли) в этой папке команду "cmake CMakeLists.txt" (аргументом можно передавать не только файл, но и директорию, в которой он лежит, тогда cmake найдет его сам).

cmake будет использовать переданный (или найденный) файл проекта (тот самый CMakeLists.txt), и в '''текущей''' директории будет создавать проект.
Проект - это много-много файлов и директорий (примечание: поэтому лучше запускать cmake из другой директории, чтобы можно было, например, быстро удалить все бинарники), из которых нас больше всего интересует Makefile.

Makefile - это файл, нужный для утилиты make.
Именно она запускает компиляторы, линковщики и прочие радости. Запускаем make в '''каталоге сборки''' (т.е. там же, где Вы запускали cmake).
В консоли вылезет примерно такой текст:

Scanning dependencies of target test
[100%] Building CXX object CMakeFiles/test.dir/test.cpp.o
Linking CXX executable test
[100%] Built target test

А у Вас в папочке появится исполняемый файл "test". Запустите, убедитесь, что это действительно то, что ожидается от компилляции файла "test.cpp".

= We need to go deeper =

Поразбираемся с различными возможностями cmake.

=== Указание необходимой версии cmake ===

cmake_minimum_required(VERSION 2.6)

Если используемая версия cmake меньше 2.6, он не захочет работать. Писать эту команду всегда - хороший стиль.

=== Название проекта ===

project(visualization)

Тут все понятно. Тоже хороший стиль.

=== Переменные ===

В cmake можно создавать текстовые переменные. Команда

set(VARIABLE The variable's value)

запишет в переменную "VARIABLE" значение "The variable's value".
Чтобы где-либо использовать значение этой переменной, нужно написать ${VARIABLE}.

Чтобы добавить к переменной некий текст, можно сделать так:

set(VARIABLE "${VARIABLE} new text")

Как видите, использовать значение можно и внутри кавычек.
Переменные активно используются различными библиотеками - для установки флагов, параметров сборки/линковки и прочих вкусностей, об этом чуть-чуть попозже.

Пример коше'гного проекта со списком сорцов в отдельной переменной:

cmake_minimum_required(VERSION 2.6)

set(SOURCES test.cpp lib1.cpp lib2.cpp)

add_executable(test ${SOURCES})

=== Устанавливаем команды компилятору ===

add_definitions(-std=c++11 -Wall)

Компилятору при компиляции добавляются соответствующие опции.
Кто не знает: "-std=c++11" включает в gcc поддержку стандарта c++11, "-Wall" говорит gcc выводить все предупреждения.
Сказать флаги для с++ можно и через переменные:

set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -std=c++11 -Wall")

Если ваша версия GCC меньше, чем 4.7.0, вместо -std=c++11 нужно использовать -std=c++0x.

В GCC 4.8.0 появился флаг -std=c++1y, в котором начинают реализовывать фичи следующего стандарта.

=== Папка с хедерами ===

Допустим, Вы хотите, чтобы хедеры (файлики, подключаемые через #include) искались еще и в каталогах "headers/" и "more_headers/":

include_directories("headers/" "more_headers/")

Надеюсь, и это понятно.

=== Самое важное - подключение библиотек ===

Научимся искать и подключать библиотеки при помощи cmake на примере Boost.
Для начала установим переменные для буста:

set(Boost_USE_STATIC_LIBS OFF)
set(Boost_USE_MULTITHREADED ON)

Первое - мы не хотим, чтобы буст подключался к нам статически (т.е. хотим динамическую линковку). Если ты, %username%, не знаешь, что это, пока просто забей и используй этот флаг так, как написано. Но в ближайшее время узнай, о чем речь.
Второй флаг разрешает бусту внутри своих магических реализации использовать треды для распараллеливания и прочих радостей.

Итак, мы установили флаги. Давайте найдем буст!

Допустим, нам нужны компоненты буста под названием chrono (библиотека для работы со временем) и filesystem (библиотека для работы с файловой системой):

find_package(Boost COMPONENTS chrono filesystem REQUIRED)

Win, будут искаться только нужные библиотеки, и их расположение будет записано в переменную Boost_LIBRARIES.

Опция "REQUIRED" говорит о том, что библиотека необходима проекту.
Без нее cmake решит, что отсутствие данной библиотеки - не так уж и страшно, и будет собирать дальше.

Итак, осталось найденные библиотеки подключить к исполняемому файлу.

target_link_libraries(test ${Boost_LIBRARIES})

В качестве библиотек нужно указать пути к необходимым собранным библиотекам. cmake нашел указанные нами библиотеки и записал в переменную, чем мы и пользуемся.

=== Пример хорошего CMakeLists.txt и где он будет лежать ===

Итак, полный пример использования всего этого. У нас есть некая директория (отныне считаем ее "/sources"), и в ней лежат исходники

/sources/lib1/main.cpp
/sources/lib2/main.cpp
/sources/main.cpp

В корне "/" лежит файл "/CMakeLists.txt":

cmake_minimum_required(VERSION 2.8)
project_name(cmake-example)

set(Boost_USE_STATIC_LIBS OFF)
set(Boost_USE_MULTITHREADED ON)
find_package(Boost COMPONENTS chrono filesystem REQUIRED)

set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -std=c++11 -Wall")

set(SRC_LIST lib1/main.cpp /lib2/main.cpp main.cpp)

add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST})
target_link_libraries(${PROJECT_NAME} ${Boost_LIBRARIES})

Если Вам что-то в нём не понятно - перечитайте соответствующую информацию выше.

Создаем директорию "/build" ('''не''' "/sources/build"), переходим в нее, запускаем в ней "cmake ..".
".." - метка родительской директории.
cmake возьмет из нее наш CMakeLists.txt и по нему создаст проект в папке "/build".
Чтобы проект собрать, запускаем "make" в той же папке "/build".

Таким образом, в корне у нас есть:

* CMakeLists.txt
* директория с исходниками
* каталог сборки

Все разделено, автоматизировано и удобно.

= Как использовать CMake в связке с QtCreator =

Интеграция с cmake у QtCreator не очень тесная, тем не менее, работать с ним можно.

Создаем новый проект без использования Qt, выбираем "Проект на С++ с использованием CMake". Создастся дефолтный файл сборки, который просто добавляет все исходники в директории проекта и компилирует их в один бинарник.

=== Как добавить header в проект, чтобы его было видно в списке файлов ===

Если вы создали файл header.h в директорию проекта, просто строчку "add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST})" измените на add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST} "header.h")

CMake Tutorial

2013-03-29T19:43:12Z

Bobrov: /* Устанавливаем команды компилятору */

{{В разработке}}

= Что это и зачем нужно =
CMake — кроссплатформенная автоматизированная система сборки проектов.
Непосредственно сборкой она не занимается, а только генерирует Makefile, который потом будет выполнен утилитой make.

CMake может проверять наличие необходимых библиотек и подключать их, собирать проекты под разными компиляторами и операционными системами. Т.е. у вас есть куча кода и файлик, содержащий информацию для cmake, и чтобы скомпилить
это дело где-нибудь еще, вам нужно просто запустить там cmake, который сделает всё сам. Удобно, полезно, просто.
Дисклеймер: Никита все еще считает, что cmake не нужен, но Никита извращенец и просто дурак.

= Старт =
Предполагается, что найти и скачать сам cmake ты, %username%, в состоянии. //а если нет?

Предположим, у Вас есть исходничек "test.cpp".
Для начала нужно создать файлик для cmake, который обычно называют "CMakeLists.txt", и написать туда вот это:

add_executable(test test.cpp)

Теперь запускаем (из консоли) в этой папке команду "cmake CMakeLists.txt" (аргументом можно передавать не только файл, но и директорию, в которой он лежит, тогда cmake найдет его сам).

cmake будет использовать переданный (или найденный) файл проекта (тот самый CMakeLists.txt), и в '''текущей''' директории будет создавать проект.
Проект - это много-много файлов и директорий (примечание: поэтому лучше запускать cmake из другой директории, чтобы можно было, например, быстро удалить все бинарники), из которых нас больше всего интересует Makefile.

Makefile - это файл, нужный для утилиты make.
Именно она запускает компиляторы, линковщики и прочие радости. Запускаем make в '''каталоге сборки''' (т.е. там же, где Вы запускали cmake).
В консоли вылезет примерно такой текст:

Scanning dependencies of target test
[100%] Building CXX object CMakeFiles/test.dir/test.cpp.o
Linking CXX executable test
[100%] Built target test

А у Вас в папочке появится исполняемый файл "test". Запустите, убедитесь, что это действительно то, что ожидается от компилляции файла "test.cpp".

= We need to go deeper =

Поразбираемся с различными возможностями cmake.

=== Указание необходимой версии cmake ===

cmake_minimum_required(VERSION 2.6)

Если используемая версия cmake меньше 2.6, он не захочет работать. Писать эту команду всегда - хороший стиль.

=== Название проекта ===

project(visualization)

Тут все понятно. Тоже хороший стиль.

=== Переменные ===

В cmake можно создавать текстовые переменные. Команда

set(VARIABLE The variable's value)

запишет в переменную "VARIABLE" значение "The variable's value".
Чтобы где-либо использовать значение этой переменной, нужно написать ${VARIABLE}.

Чтобы добавить к переменной некий текст, можно сделать так:

set(VARIABLE "${VARIABLE} new text")

Как видите, использовать значение можно и внутри кавычек.
Переменные активно используются различными библиотеками - для установки флагов, параметров сборки/линковки и прочих вкусностей, об этом чуть-чуть попозже.

Пример коше'гного проекта со списком сорцов в отдельной переменной:

cmake_minimum_required(VERSION 2.6)

set(SOURCES test.cpp lib1.cpp lib2.cpp)

add_executable(test ${SOURCES})

=== Устанавливаем команды компилятору ===

add_definitions(-std=c++11 -Wall)

Компилятору при компиляции добавляются соответствующие опции.
Кто не знает: "-std=c++11" включает в gcc поддержку стандарта c++11, "-Wall" говорит gcc выводить все предупреждения.
Сказать флаги для с++ можно и через переменные:

set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -std=c++11 -Wall")

Если ваша версия GCC меньше, чем 4.7.0, вместо -std=c++11 нужно использовать -std=c++0x.
В GCC 4.8.0 появился флаг -std=c++1y, в котором начинают реализовывать фичи следующего стандарта.

=== Папка с хедерами ===

Допустим, Вы хотите, чтобы хедеры (файлики, подключаемые через #include) искались еще и в каталогах "headers/" и "more_headers/":

include_directories("headers/" "more_headers/")

Надеюсь, и это понятно.

=== Самое важное - подключение библиотек ===

Научимся искать и подключать библиотеки при помощи cmake на примере Boost.
Для начала установим переменные для буста:

set(Boost_USE_STATIC_LIBS OFF)
set(Boost_USE_MULTITHREADED ON)

Первое - мы не хотим, чтобы буст подключался к нам статически (т.е. хотим динамическую линковку). Если ты, %username%, не знаешь, что это, пока просто забей и используй этот флаг так, как написано. Но в ближайшее время узнай, о чем речь.
Второй флаг разрешает бусту внутри своих магических реализации использовать треды для распараллеливания и прочих радостей.

Итак, мы установили флаги. Давайте найдем буст!

Допустим, нам нужны компоненты буста под названием chrono (библиотека для работы со временем) и filesystem (библиотека для работы с файловой системой):

find_package(Boost COMPONENTS chrono filesystem REQUIRED)

Win, будут искаться только нужные библиотеки, и их расположение будет записано в переменную Boost_LIBRARIES.

Опция "REQUIRED" говорит о том, что библиотека необходима проекту.
Без нее cmake решит, что отсутствие данной библиотеки - не так уж и страшно, и будет собирать дальше.

Итак, осталось найденные библиотеки подключить к исполняемому файлу.

target_link_libraries(test ${Boost_LIBRARIES})

В качестве библиотек нужно указать пути к необходимым собранным библиотекам. cmake нашел указанные нами библиотеки и записал в переменную, чем мы и пользуемся.

=== Пример хорошего CMakeLists.txt и где он будет лежать ===

Итак, полный пример использования всего этого. У нас есть некая директория (отныне считаем ее "/sources"), и в ней лежат исходники

/sources/lib1/main.cpp
/sources/lib2/main.cpp
/sources/main.cpp

В корне "/" лежит файл "/CMakeLists.txt":

cmake_minimum_required(VERSION 2.8)
project_name(cmake-example)

set(Boost_USE_STATIC_LIBS OFF)
set(Boost_USE_MULTITHREADED ON)
find_package(Boost COMPONENTS chrono filesystem REQUIRED)

set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -std=c++11 -Wall")

set(SRC_LIST lib1/main.cpp /lib2/main.cpp main.cpp)

add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST})
target_link_libraries(${PROJECT_NAME} ${Boost_LIBRARIES})

Если Вам что-то в нём не понятно - перечитайте соответствующую информацию выше.

Создаем директорию "/build" ('''не''' "/sources/build"), переходим в нее, запускаем в ней "cmake ..".
".." - метка родительской директории.
cmake возьмет из нее наш CMakeLists.txt и по нему создаст проект в папке "/build".
Чтобы проект собрать, запускаем "make" в той же папке "/build".

Таким образом, в корне у нас есть:

* CMakeLists.txt
* директория с исходниками
* каталог сборки

Все разделено, автоматизировано и удобно.

= Как использовать CMake в связке с QtCreator =

Интеграция с cmake у QtCreator не очень тесная, тем не менее, работать с ним можно.

Создаем новый проект без использования Qt, выбираем "Проект на С++ с использованием CMake". Создастся дефолтный файл сборки, который просто добавляет все исходники в директории проекта и компилирует их в один бинарник.

=== Как добавить header в проект, чтобы его было видно в списке файлов ===

Если вы создали файл header.h в директорию проекта, просто строчку "add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST})" измените на add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST} "header.h")

CMake Tutorial

2013-03-29T19:37:28Z

Bobrov:

{{В разработке}}

= Что это и зачем нужно =
CMake — кроссплатформенная автоматизированная система сборки проектов.
Непосредственно сборкой она не занимается, а только генерирует Makefile, который потом будет выполнен утилитой make.

CMake может проверять наличие необходимых библиотек и подключать их, собирать проекты под разными компиляторами и операционными системами. Т.е. у вас есть куча кода и файлик, содержащий информацию для cmake, и чтобы скомпилить
это дело где-нибудь еще, вам нужно просто запустить там cmake, который сделает всё сам. Удобно, полезно, просто.
Дисклеймер: Никита все еще считает, что cmake не нужен, но Никита извращенец и просто дурак.

= Старт =
Предполагается, что найти и скачать сам cmake ты, %username%, в состоянии. //а если нет?

Предположим, у Вас есть исходничек "test.cpp".
Для начала нужно создать файлик для cmake, который обычно называют "CMakeLists.txt", и написать туда вот это:

add_executable(test test.cpp)

Теперь запускаем (из консоли) в этой папке команду "cmake CMakeLists.txt" (аргументом можно передавать не только файл, но и директорию, в которой он лежит, тогда cmake найдет его сам).

cmake будет использовать переданный (или найденный) файл проекта (тот самый CMakeLists.txt), и в '''текущей''' директории будет создавать проект.
Проект - это много-много файлов и директорий, из которых нас больше всего интересует Makefile.

Makefile - это файл, нужный для утилиты make.
Именно она запускает компиляторы, линковщики и прочие радости. Запускаем make в '''каталоге сборки''' (т.е. там же, где Вы запускали cmake).
В консоли вылезет примерно такой текст:

Scanning dependencies of target test
[100%] Building CXX object CMakeFiles/test.dir/test.cpp.o
Linking CXX executable test
[100%] Built target test

А у Вас в папочке появится исполняемый файл "test". Запустите, убедитесь, что это действительно то, что ожидается от компилляции файла "test.cpp".

= We need to go deeper =

Поразбираемся с различными возможностями cmake.

=== Указание необходимой версии cmake ===

cmake_minimum_required(VERSION 2.6)

Если используемая версия cmake меньше 2.6, он не захочет работать. Писать эту команду всегда - хороший стиль.

=== Название проекта ===

project(visualization)

Тут все понятно. Тоже хороший стиль.

=== Переменные ===

В cmake можно создавать текстовые переменные. Команда

set(VARIABLE The variable's value)

запишет в переменную "VARIABLE" значение "The variable's value".
Чтобы где-либо использовать значение этой переменной, нужно написать ${VARIABLE}.

Чтобы добавить к переменной некий текст, можно сделать так:

set(VARIABLE "${VARIABLE} new text")

Как видите, использовать значение можно и внутри кавычек.
Переменные активно используются различными библиотеками - для установки флагов, параметров сборки/линковки и прочих вкусностей, об этом чуть-чуть попозже.

Пример коше'гного проекта со списком сорцов в отдельной переменной:

cmake_minimum_required(VERSION 2.6)

set(SOURCES test.cpp lib1.cpp lib2.cpp)

add_executable(test ${SOURCES})

=== Устанавливаем команды компилятору ===

add_definitions(-std=c++11 -Wall)

Компилятору при компиляции добавляются соответствующие опции.
Кто не знает: "-std=c++11" включает в gcc поддержку стандарта c++11, "-Wall" говорит gcc выводить все предупреждения.
Сказать флаги для с++ можно и через переменные:

set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -std=c++11 -Wall")

=== Папка с хедерами ===

Допустим, Вы хотите, чтобы хедеры (файлики, подключаемые через #include) искались еще и в каталогах "headers/" и "more_headers/":

include_directories("headers/" "more_headers/")

Надеюсь, и это понятно.

=== Самое важное - подключение библиотек ===

Научимся искать и подключать библиотеки при помощи cmake на примере Boost.
Для начала установим переменные для буста:

set(Boost_USE_STATIC_LIBS OFF)
set(Boost_USE_MULTITHREADED ON)

Первое - мы не хотим, чтобы буст подключался к нам статически (т.е. хотим динамическую линковку). Если ты, %username%, не знаешь, что это, пока просто забей и используй этот флаг так, как написано. Но в ближайшее время узнай, о чем речь.
Второй флаг разрешает бусту внутри своих магических реализации использовать треды для распараллеливания и прочих радостей.

Итак, мы установили флаги. Давайте найдем буст!

Допустим, нам нужны компоненты буста под названием chrono (библиотека для работы со временем) и filesystem (библиотека для работы с файловой системой):

find_package(Boost COMPONENTS chrono filesystem REQUIRED)

Win, будут искаться только нужные библиотеки, и их расположение будет записано в переменную Boost_LIBRARIES.

Опция "REQUIRED" говорит о том, что библиотека необходима проекту.
Без нее cmake решит, что отсутствие данной библиотеки - не так уж и страшно, и будет собирать дальше.

Итак, осталось найденные библиотеки подключить к исполняемому файлу.

target_link_libraries(test ${Boost_LIBRARIES})

В качестве библиотек нужно указать пути к необходимым собранным библиотекам. cmake нашел указанные нами библиотеки и записал в переменную, чем мы и пользуемся.

=== Пример хорошего CMakeLists.txt и где он будет лежать ===

Итак, полный пример использования всего этого. У нас есть некая директория (отныне считаем ее "/sources"), и в ней лежат исходники

/sources/lib1/main.cpp
/sources/lib2/main.cpp
/sources/main.cpp

В корне "/" лежит файл "/CMakeLists.txt":

cmake_minimum_required(VERSION 2.8)
project_name(cmake-example)

set(Boost_USE_STATIC_LIBS OFF)
set(Boost_USE_MULTITHREADED ON)
find_package(Boost COMPONENTS chrono filesystem REQUIRED)

set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -std=c++11 -Wall")

set(SRC_LIST lib1/main.cpp /lib2/main.cpp main.cpp)

add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST})
target_link_libraries(${PROJECT_NAME} ${Boost_LIBRARIES})

Если Вам что-то в нём не понятно - перечитайте соответствующую информацию выше.

Создаем директорию "/build" ('''не''' "/sources/build"), переходим в нее, запускаем в ней "cmake ..".
".." - метка родительской директории.
cmake возьмет из нее наш CMakeLists.txt и по нему создаст проект в папке "/build".
Чтобы проект собрать, запускаем "make" в той же папке "/build".

Таким образом, в корне у нас есть:

* CMakeLists.txt
* директория с исходниками
* каталог сборки

Все разделено, автоматизировано и удобно.

= Как использовать CMake в связке с QtCreator =

Интеграция с cmake у QtCreator не очень тесная, тем не менее, работать с ним можно.

Создаем новый проект без использования Qt, выбираем "Проект на С++ с использованием CMake". Создастся дефолтный файл сборки, который просто добавляет все исходники в директории проекта и компилирует их в один бинарник.

=== Как добавить header в проект, чтобы его было видно в списке файлов ===

Если вы создали файл header.h в директорию проекта, просто строчку "add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST})" измените на add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST} "header.h")

CMake Tutorial

2013-03-29T19:37:15Z

Bobrov:

{{В разработке}}

// Тут скоро будет туториал по CMake.

= Что это и зачем нужно =
CMake — кроссплатформенная автоматизированная система сборки проектов.
Непосредственно сборкой она не занимается, а только генерирует Makefile, который потом будет выполнен утилитой make.

CMake может проверять наличие необходимых библиотек и подключать их, собирать проекты под разными компиляторами и операционными системами. Т.е. у вас есть куча кода и файлик, содержащий информацию для cmake, и чтобы скомпилить
это дело где-нибудь еще, вам нужно просто запустить там cmake, который сделает всё сам. Удобно, полезно, просто.
Дисклеймер: Никита все еще считает, что cmake не нужен, но Никита извращенец и просто дурак.

= Старт =
Предполагается, что найти и скачать сам cmake ты, %username%, в состоянии. //а если нет?

Предположим, у Вас есть исходничек "test.cpp".
Для начала нужно создать файлик для cmake, который обычно называют "CMakeLists.txt", и написать туда вот это:

add_executable(test test.cpp)

Теперь запускаем (из консоли) в этой папке команду "cmake CMakeLists.txt" (аргументом можно передавать не только файл, но и директорию, в которой он лежит, тогда cmake найдет его сам).

cmake будет использовать переданный (или найденный) файл проекта (тот самый CMakeLists.txt), и в '''текущей''' директории будет создавать проект.
Проект - это много-много файлов и директорий, из которых нас больше всего интересует Makefile.

Makefile - это файл, нужный для утилиты make.
Именно она запускает компиляторы, линковщики и прочие радости. Запускаем make в '''каталоге сборки''' (т.е. там же, где Вы запускали cmake).
В консоли вылезет примерно такой текст:

Scanning dependencies of target test
[100%] Building CXX object CMakeFiles/test.dir/test.cpp.o
Linking CXX executable test
[100%] Built target test

А у Вас в папочке появится исполняемый файл "test". Запустите, убедитесь, что это действительно то, что ожидается от компилляции файла "test.cpp".

= We need to go deeper =

Поразбираемся с различными возможностями cmake.

=== Указание необходимой версии cmake ===

cmake_minimum_required(VERSION 2.6)

Если используемая версия cmake меньше 2.6, он не захочет работать. Писать эту команду всегда - хороший стиль.

=== Название проекта ===

project(visualization)

Тут все понятно. Тоже хороший стиль.

=== Переменные ===

В cmake можно создавать текстовые переменные. Команда

set(VARIABLE The variable's value)

запишет в переменную "VARIABLE" значение "The variable's value".
Чтобы где-либо использовать значение этой переменной, нужно написать ${VARIABLE}.

Чтобы добавить к переменной некий текст, можно сделать так:

set(VARIABLE "${VARIABLE} new text")

Как видите, использовать значение можно и внутри кавычек.
Переменные активно используются различными библиотеками - для установки флагов, параметров сборки/линковки и прочих вкусностей, об этом чуть-чуть попозже.

Пример коше'гного проекта со списком сорцов в отдельной переменной:

cmake_minimum_required(VERSION 2.6)

set(SOURCES test.cpp lib1.cpp lib2.cpp)

add_executable(test ${SOURCES})

=== Устанавливаем команды компилятору ===

add_definitions(-std=c++11 -Wall)

Компилятору при компиляции добавляются соответствующие опции.
Кто не знает: "-std=c++11" включает в gcc поддержку стандарта c++11, "-Wall" говорит gcc выводить все предупреждения.
Сказать флаги для с++ можно и через переменные:

set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -std=c++11 -Wall")

=== Папка с хедерами ===

Допустим, Вы хотите, чтобы хедеры (файлики, подключаемые через #include) искались еще и в каталогах "headers/" и "more_headers/":

include_directories("headers/" "more_headers/")

Надеюсь, и это понятно.

=== Самое важное - подключение библиотек ===

Научимся искать и подключать библиотеки при помощи cmake на примере Boost.
Для начала установим переменные для буста:

set(Boost_USE_STATIC_LIBS OFF)
set(Boost_USE_MULTITHREADED ON)

Первое - мы не хотим, чтобы буст подключался к нам статически (т.е. хотим динамическую линковку). Если ты, %username%, не знаешь, что это, пока просто забей и используй этот флаг так, как написано. Но в ближайшее время узнай, о чем речь.
Второй флаг разрешает бусту внутри своих магических реализации использовать треды для распараллеливания и прочих радостей.

Итак, мы установили флаги. Давайте найдем буст!

Допустим, нам нужны компоненты буста под названием chrono (библиотека для работы со временем) и filesystem (библиотека для работы с файловой системой):

find_package(Boost COMPONENTS chrono filesystem REQUIRED)

Win, будут искаться только нужные библиотеки, и их расположение будет записано в переменную Boost_LIBRARIES.

Опция "REQUIRED" говорит о том, что библиотека необходима проекту.
Без нее cmake решит, что отсутствие данной библиотеки - не так уж и страшно, и будет собирать дальше.

Итак, осталось найденные библиотеки подключить к исполняемому файлу.

target_link_libraries(test ${Boost_LIBRARIES})

В качестве библиотек нужно указать пути к необходимым собранным библиотекам. cmake нашел указанные нами библиотеки и записал в переменную, чем мы и пользуемся.

=== Пример хорошего CMakeLists.txt и где он будет лежать ===

Итак, полный пример использования всего этого. У нас есть некая директория (отныне считаем ее "/sources"), и в ней лежат исходники

/sources/lib1/main.cpp
/sources/lib2/main.cpp
/sources/main.cpp

В корне "/" лежит файл "/CMakeLists.txt":

cmake_minimum_required(VERSION 2.8)
project_name(cmake-example)

set(Boost_USE_STATIC_LIBS OFF)
set(Boost_USE_MULTITHREADED ON)
find_package(Boost COMPONENTS chrono filesystem REQUIRED)

set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -std=c++11 -Wall")

set(SRC_LIST lib1/main.cpp /lib2/main.cpp main.cpp)

add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST})
target_link_libraries(${PROJECT_NAME} ${Boost_LIBRARIES})

Если Вам что-то в нём не понятно - перечитайте соответствующую информацию выше.

Создаем директорию "/build" ('''не''' "/sources/build"), переходим в нее, запускаем в ней "cmake ..".
".." - метка родительской директории.
cmake возьмет из нее наш CMakeLists.txt и по нему создаст проект в папке "/build".
Чтобы проект собрать, запускаем "make" в той же папке "/build".

Таким образом, в корне у нас есть:

* CMakeLists.txt
* директория с исходниками
* каталог сборки

Все разделено, автоматизировано и удобно.

= Как использовать CMake в связке с QtCreator =

Интеграция с cmake у QtCreator не очень тесная, тем не менее, работать с ним можно.

Создаем новый проект без использования Qt, выбираем "Проект на С++ с использованием CMake". Создастся дефолтный файл сборки, который просто добавляет все исходники в директории проекта и компилирует их в один бинарник.

=== Как добавить header в проект, чтобы его было видно в списке файлов ===

Если вы создали файл header.h в директорию проекта, просто строчку "add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST})" измените на add_executable(${PROJECT_NAME} ${SRC_LIST} "header.h")

CMake Tutorial

2013-03-29T19:19:55Z

Bobrov:

CMake Tutorial

2013-03-29T19:00:25Z

Bobrov:

CMake Tutorial

2013-03-29T18:41:12Z

Bobrov:

CMake Tutorial

2013-03-29T18:25:22Z

Bobrov:

CMake Tutorial

2013-03-29T17:55:12Z

Bobrov:

CMake Tutorial

2013-03-29T16:20:14Z

Bobrov:

{{В разработке}}

// Тут скоро будет туториал по CMake.

Участник:Qwerty787788/плюсы3сем

2013-01-26T11:27:23Z

Bobrov: /* ranges */

== binding arguments of functions ==
http://www.dreamincode.net/forums/topic/264061-c11-fun-with-functions/ - четкая статья, обо всем написано
//осилили

Поправьте, если я не прав (вполне возможно)
Суть в том¸ что если у нас есть функция, а мы хотим, например(?), уменьшить количество ее аргументов, то мы можем их забиндить! Т.е. если у нас есть функция

foo(double x, string y) {},
и мы сделаем
std::function<int(std::string)> foo_str = std::bind(&foo, 5.0, std::placeholders::_1);
то у нас появится новая функция foo_str с одним параметром стринг, второй параметр будет установлен как 5.0 (можно тутда записать переменную, тогда значение будет копироваться)

Анонимные функции
Это функции без имени, с которыми надо быть очень аккуратным. & по ссылке передает, = по значению
int arr[] = {1,2,3,4,5,6,7};
int sum = 0;
std::for_each(std::begin(arr), std::end(arr), [&sum] (int x) {sum += x;});
std::for_each(std::begin(arr), std::end(arr), [] (int x) {std::cout << x <<' ';});

=== зачем это надо ===
=== function objects ===
=== function object binder (aka {boost,std}::bind) ===
=== C++11 anonymous functions ===

== type erasure ==
http://prograholic.blogspot.ru/2011/11/type-erasure.html

Поправьте, если я не прав!
type erasure это нешаблонный объект, который позволяет в себе хранить объекты любого типа, которые удовлетворяют заданному интерфейсу.

#include <gtest/gtest.h>
#include <boost/function.hpp>
#include "type_erasure.h"

typedef boost::function<int ()> sample_signature;

TEST(TypeErasure, DeclareInterface)
{
type_erasure t;
sample_signature s(t);
}

any_iterator – подобие boost::function, но для итераторов. Позволяет одному итератору етерироваться по разным типам данных
typedef adobe::any_iterator<int, std::bidirectional_iterator_tag> any_iterator_to_int;
А потом в любом случае если нужно итерироваться по интам мы можем использовать его.
=== polymorphic function wrapper (aka {boost,std}::function) ===
=== any_iterator ===
http://thbecker.net/free_software_utilities/type_erasure_for_cpp_iterators/any_iterator.html

=== boost::any ===
http://learningcppisfun.blogspot.ru/2007/09/boostany.html

== signals (aka listeners aka observers) ==
что-то где-то произошло - вызывается какая-то функция обработчик
=== зачем это нужно ===
чтобы обеспечить связь между различными объектами. например кнопочку реализовать - по нажатию какое-то действие

=== примеры почему наивная реализация не всегда хорошо работает ===
Видимо наивная реализация - это колбеки (могу ошибаться)
Обратный вызов имеет два основных недостатка. Во-первых, он не является типобезопасным. Мы никогда не можем быть уверены что функция делает обратный вызов с корректными аргументами.
Можно передавать function<> тогда будет типобезопасно. Во-вторых, обратный вызов жестко связан с вызывающей его функцией, так как эта функция должна точно знать какой обратный вызов надо делать.
Также могут возникнуть проблемы, если в процессе обработки одного из коллбэков список подписавшихся на сигнал изменился. Если это вектор, это может привести, к примеру, к выполнению одного коллбэка дважды или пропуску одного из них. Для решения можно сделать из подписавшихся хороший двусвязный список.
Также надо иметь в виду, что до обработки сигнала может быть возможно дойти прямо в процессе его же обработки, и нужно соблюсти reentrancy для обработчика.

=== понятие reentrancy ===
http://en.wikipedia.org/wiki/Reentrancy_(computing)

=== пару слов про существующие реализации (boost::signals, boost::signals2, Qt Signals) ===
signals2 - thread-safe реализация signals
http://habrahabr.ru/post/50812/
http://www.rsdn.ru/article/cpp/signals2.xml

== exception safety ==
some link: [http://www.stroustrup.com/except.pdf] - слишком много
=== зачем это нужно ===
очевидно - чтоб прога не вылетала, память не ликалась, ниче не затиралось, данные не терялись

=== RAII ===
http://habrahabr.ru/post/157315/

=== ошибки и как их можно обрабатывать (propagation to caller, assertion, logging, precess termination) ===
propogation to caller - может быть реализован двумя методами: возвратом функцией кода ошибки или бросанием функцией исключения (и его отловом в вызывающем). Такое допускается для ошибок, не связанных с правильностью программы; чаще используется для перехвата обработки неправильных входных данных или ошибки с устройствами ввода/вывода. Срабатывание таких ошибок в программе считается нормальным, предполагается, что такая ошибка может быть корректно обработана.

Assertion - "контрольные точки" в коде, срабатывание ассерта в программе обычно свидетельствует об ошибке в ее логике, правильности алгоритма. В идеале, такие ситуации в релизной версии не должны возникать вообще, поскольку описание ассерта имеет больше смысла именно для разработчика. В релизной версии лучше использовать лог-файл, а не грузить пользователя вещами, которых он, скорее всего, не знает.

http://habrahabr.ru/post/141080/

logging или журналирование - оптимальный для выпущенной программы способ обработки ошибок в логике кода - записать все мыслимые и немыслимые детали о ней в логфайл (или поток вроде stderr). Сам лог, в свою очередь, предлагается отправить разработчику для изучения. Может также быть использован самим же разработчиком для изучения особо безумных ошибок, непонятно от чего возникающих, для этого в лог можно писать все значимые действия программы.

Precess termination - крайний выход, свалить программу к чертям. Лучше избегать, если иное может, к примеру, нанести вред аппаратуре. Для отладки не годится, поскольку не дает деталей об ошибке сам по себе.

На практике обычно используются комбинации.

* Исключения, при разматывании стека целиком, приводят к аварийному завершению. Иногда производится печать в лог пути, пройденного исключением при разматывании стека.
* Виндовский синий экран, предполагается, является этаким ассертом для выявления ошибки, после него снимается лог (иногда с дампом памяти), и происходит аварийное завершение.
* Для случаев, когда произошедшая ошибка делает дальнейшую работу программы быссмысленной, сгодится ассертоподобное сообщение об ошибке и завершение программы.

== UNIX-signals (это не тоже самое что signals из пункта 3), hardware interrupts ==
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 - hardware interrupts

Главное отличие сигналов от других средств взаимодействия между процессами заключается в том, что их обработка программой обычно происходит сразу же после поступления сигнала (или не происходит вообще), независимо от того, что программа делает в данный момент. Сигнал прерывает нормальный порядок выполнения инструкций в программе и передает управление специальной функции – обработчику сигнала. Если обработка сигнала не приводит к завершению процесса, то по выходе из функции-обработчика выполнение процесса возобновляется с той точки, в которой оно было прервано. У программ также есть возможность приостановить обработку поступающих сигналов временно, на период выполнения какой-либо важной операции. В традиционной терминологии приостановка получения определенных сигналов называется блокированием. Если для поступившего сигнала было установлено блокирование, сигнал будет передан программе, как только она разблокирует данный тип сигналов. Этим блокирование отличается от игнорирования сигнала, при котором сигналы соответствующего типа никогда не передаются программе. Следует помнить, что не все сигналы могут быть проигнорированы. Например, при получении программой сигнала принудительного завершения SIGKILL система ничего не сообщает программе, а просто прекращает ее работу. Таким образом, преимущество сигналов перед другими средствами взаимодействия с программой заключается в том, что посылать программе сигналы можно в любой момент ее работы, не дожидаясь наступления каких-то особых условий. Источником сигналов может быть как сам операционная система, так и другие программы пользователя. Если вам показалось, что сигналы похожи на прерывания, то вы совершенно правы. Для реализации сигналов действительно используются программные прерывания.

=== зачем это нужно ===
=== reentrancy ===
Для функций, обрабатывающих потоки, существует и еще одно важное требование – реентерабильность. Поскольку обработчик сигнала может быть вызван в любой точке выполнения программы (а при не кототорых условиях во время обработки одного сигнала может быть вызван другой обработчик сигнала) в обработчиках додлжны использоваться функции, которые удовлетворяют требованию реентерабельности, то есть, могут быть вызваны в то время, когда они уже вызваны где-то в другой точке программы. Фактически, требование реентерабельности сводится к тому, чтобы функция не использовала никаких глобальных ресурсов, не позаботившись о синхронизации доступа к этим ресурсам. Некоторые функции ввода-вывода, в том числе, функция printf(), которую мы (и не только мы) используем в примерах обработчиков сигналов, реентерабельными не являются. Это значит, что выводу одной функции printf() может помешать вывод другой функции. В приложении приводится список реентерабельных функций, которые безопасно вызвать из обработчиков сигналов.

== multithreading ==
=== зачем это нужно ===
Ну вроде бы очевидно: увеличить скорость выполнения программы. Однако, стоит понимать, что иногда скорость может даже уменьшиться (в интернете есть куча примеров).

Более подробно - это способ задействовать больше аппаратуры для выполнения алгоритма в современных компьютерах, которые хвастаются многоядерностью/многопроцессорностью - так достигается увеличение скорости выполнения. Есть множество задач, которые хорошо делятся на несколько независимых друг от друга. Например, quicksort - после разделения элементов на группы, каждую из них можно сортировать независимо. Но тут важно не переборщить с его использованием, поскольку создание отдельного потока (thread, треда) тоже требует некоторых ресурсов, и сортировать в отдельном треде группы, скажем, по 2 элемента уже очень нерационально, это может как раз замедлить сортировку.

=== понятие race condition ===
Стандартный пример, как не нужно использовать multithreading. Пусть есть некоторые общие данные, а два потоки одновременно пытаются выполнить с ними какие-то операции. Например, есть переменная x = 0, два потока пытаются увеличить ее на 1. В итоге может получится как 1, так и 2 (так и вообще непонятно что, см. [http://en.wikipedia.org/wiki/Race_condition]). Вывод: нужно lock'ать данные перед тем, как их использовать.
=== atomic operations ===
В 11х плюсах, чтобы не получались "race condition" есть atomic operations библиотека. Например, можно писать такой код:

atomic<int> counter(0);

++counter // используется одновременно в нескольких потоках

Эта конструкция является thread-safe, т. е. не нужно делать lock на counter.

=== mutexes (mutex, recuirsive_mutex, shared_mutex) ===
mutex - объект, который используется для определения, делает ли с некоторым объектом что-то другой поток.

Пример использования. Пусть есть map и треды, которые одновременно в него что-то пишут. Тогда создадим mutex и будем его lock'ать перед тем как использовать map:

std::map<std::string, std::string> some_map;
std::mutex some_mutex;
void write_to_map(std::string key, std::string value) {
some_mutex.lock();
some_map[key]=value;
some_mutex.unlock();
}

recursive_mutex позволяет треду lock'ать его несколько раз. Пример:

void f1() {
_mutex.lock();
// some code
_mutex.unlock();
}

void f2() {
_mutex.lock();
f1(); // deadlock here!
_mutex.unlock();
}

Если в данном коде использовать обычный mutex, то программа зависнет (получит deadlock), так как f1 не сможет взять lock и будет ждать. При использовании recursive_mutex все будет нормально (поскольку к объекту обращаются с одного и того же треда, f1 сможет взять lock). Снимать lock нужно столько же раз, сколько и брать, иначе другие потоки не смогут работать с данными.

shared_mutex - boost'овая хрень. Читать тут: [http://stackoverflow.com/questions/989795/example-for-boost-shared-mutex-multiple-reads-one-write/4820461#4820461]. Видимо смысл в том, что в обычных мютексах мы не могли читать одновременно из двух потоков, т.к. нужно было взять lock (вдруг кто-то третий начнет изменять данные). А тут можно.

=== condition_variable ===
Пусть есть тред t1, который что-то делает. Пусть другие треды должны ждать, пока t1 не закончит выполнение. Чтобы это сделать используются conditional_variable. Пример:

std::condition_variable cond_var;
std::mutex m;
int sum;
bool done = false;

std::thread th1([&]() {
std::unique_lock<std::mutex> lock(m);
for (int i = 0; i < 5; ++i) {
sum++;
}
done = true;
cond_var.notify_one();
});

std::thread th2([&]() {
std::unique_lock<std::mutex> lock(m);
if (!done)
cond_var.wait(m);
std::cout << sum;
});

int main() {
th1.join();
th2.join();
}

Важно, что второй тред уже взял lock на m. Т. е. cond_var.wait(m) делает следующие: отдает lock, ждет, когда кто-то сделает cond_var.notify_one() или cond_var.notify_all(), забирает lock обратно, продолжает работу программы. notify_all отличается от notify_one тем, что он будит сразу все треды, которые ждут, а не только один (случайный?).

=== понятие dead lock ===
Первый тред взял lock на A, второй на B. Первый хочет что-то сделать с B, второй с A. Оба ждут.

=== futures ===
Если тред бросает исключение, но не ловит его, скорее всего, вся программа упадет. Чтобы такого не случилось, можно использовать futures/promises. А вообще future используется для получение некоторого значения, которое должен вернуть тред. Пример:

auto promise = std::promise<std::string>();

auto producer = std::thread([&] {
promise.set_value("Hello World");
});

auto future = promise.get_future();

auto consumer = std::thread([&] {
std::cout << future.get();
});

producer.join();
consumer.join();

Из примера вроде понятно, что происходит. future_get() ждет, пока другой тред не вернет какое-нибудь значение. Если что-то случилось, то можно в promise положить ошибку:

promise.set_exception(runtime_error(“message”));

и нормально ее обработать в другом треде.

=== TLS (thread local storage) ===
Если хочется иметь для каждого треда свои отдельные данные, то в 11х плюсах есть THL. Пример:

thread_local int n;
void f() {
std::cout<< ++n << " ";
}
int main {
std::thread t1(f);
std::thread t2(f);

t1.join();
t2.join();
}

Программа выведет "1 1 " в любом случае.

== asynchronous operations ==
=== зачем это нужно ===
Чаще всего - запросы в сеть, в файловую систему или к устройствам ввода/вывода. Иногда необходимо дать возможность пользователю как-то влиять на выполнение такого задания, или отображать его подробности - к примеру, отменить запрос в сеть (сберечь трафик или освободить компьютер от ожидания таймаута, когда интернета нет) или показывать прогресс (загрузки файла, к примеру).

Пример. Если в главном треде приложения обрабатывается интерфейс пользователя, выполнение запроса к БД (на удалённом сервере) прямо в этом же треде может привести к зависанию всего интерфейса. Если во время этого запроса программа ничего больше не должна делать в принципе - это допустимо (но плохо, потому что интерфейс перестаёт реагировать на любые действия, пользователь или ОС могут посчитать программу зависшей), но встречаются более сложные интерфейсы, в которых во время такого запроса можно делать что-то ещё - подкручивать настройки, например. В этом случае запрос необходимо делать асинхронно.

=== как это работает ===
1) можно периодически спрашивать процесс на закончился ли он?
2) можно всякие прерывания юзать
3) ну и главное с помощью многопоточности

=== механизмы предоставляемые ОС (select, poll, epoll, kqueue, IOCP) ===
http://en.wikipedia.org/wiki/Asynchronous_I/O#Select.28.2Fpoll.29_loops
http://en.wikipedia.org/wiki/IOCP

== remote procedure call ==
=== зачем это нужно ===
общаться между процессами, и даже вызывать с одного компа процессы на другом компе

=== apartment threading model ===
http://www.rsdn.ru/article/com/apartmnt.xml
http://www.introligator.org/articles/3/84 - понятнее
=== reentrancy ===
ну в free threaded сам заботься, а apartment сам все сделает

=== достоинства/недостатки apartment threading model ===
Главным достоинством апартамента STA является то, что разработка объекта COM и клиентской части проста в том смысле, что нет нужды заботиться о синхронизации вызовов методов и их выполнения: следующий метод начнет выполняться только после того, как закончится выполнение предыдущего. Аналогично не нужно заботиться о синхронизации доступа к данным объекта.

Главным недостатком апартамента STA является его неэффективность. Даже если синхронизация вызовов методов и не нужна, она все равно выполняется.

=== free threaded threading model ===
http://www.rsdn.ru/article/com/apartmnt.xml
http://www.introligator.org/articles/3/84 - понятнее(тоже самое)

=== достоинства/недостатки free threaded threading model ===
Основным достоинством MTA апартамента является потенциально высокая производительность сервера, вследствие чего он более доступен для клиентов. Вместе с тем разработка объектов такого сервера намного сложнее, так как требуется синхронизировать не только вызовы методов, но и обращение к локальным данным объектов.

=== пару слов про реализации (COM, CORBA, D-Bus) ===

== fibers ==
это просто реализация концепции сопрограмм
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/windows/desktop/ms682661(v=vs.85).aspx

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0 - короче это просто реализация этого принципа. Была нить ее разхреначили на волокна и идут сначала по одному - потом переключились на другой, поделали чето там, вернулись и продолжили идти по первому, например.
=== зачем это нужно ===
Фиберы - это мануально переключаемые потоки. Всегда, когда удобнее вместо синхронизации использовать ручное переключение, применяются фиберы. Также, если потоков много и они однотипны, то целесообразно создавать фиберы, ибо они значительно экономят ресурсы.

=== coroutines ===
http://www.crystalclearsoftware.com/soc/coroutine/

=== generators ===
Подпрограмма возвращает значение только однажды, возврат нескольких значений требует использовать в качестве возвращаемого значения коллекции. Если в некоторых языках это приемлемо, например Forth и Перл, то другие языки, например Си, поддерживают только одно возвращаемое значение, и поэтому необходимо возвращать ссылку на коллекцию. В противовес, сопрограмма может возвращать результат несколько раз, возвращение множества значений требует только вызова сопрограммы несколько раз. Сопрограммы, которые возвращают множество значений, часто называют генераторами.

=== как это работает ===
возвращение множества значений требует только вызова сопрограммы несколько раз.

=== FLS (fiber local storage) ===
у каждого фибера есть ствой локал сторадж
ФИБЕР МОГУТ ВЫПОЛНЯТЬ РАЗНЫЕ ПОТОКИ

== С++11 ==
=== см. http://gcc.gnu.org/projects/cxx0x.html и http://www.stroustrup.com/C++11FAQ.html ===

RUS:http://sergeyteplyakov.blogspot.ru/2012/05/c-11-faq.html#auto // круто

=== про каждую фичу надо говорить, зачем это нужно, как это работает ===

== C++1y and beyond ==
=== static_if ===
http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2012/n3329.pdf
template <unsigned long n>
struct factorial {
static if (n <= 1) {
enum : unsigned long { value = 1 };
} else {
enum : unsigned long {
value = factorial<n - 1>::value * n
};
}
Можно так же смотреть 64 битный ли у нас компилятор. Эти примеры вроде есть в пдфке.

=== modules ===
http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2012/n3347.pdf

=== concepts ===
Это описание свойств типа, необходимых для работы в шаблоне. Компилятор на основе этих данных может производить дополнительные оптимизации, а программист может указывать, что ему нужно от типа, который дают шаблону. В сущности, это нововведение лишь даёт мизерный прирост к скорости и делает более понятными некоторые сообщения компилятора об ошибках.

auto concept LessThanComparable<typename T> {
requires SomeConcept<T>;
bool operator<(T, T);
}

* Ключевое слово auto указывает, что проверять на совместимость с концептом надо любые типы. Всё, что подошло по условию, концептом поддерживается.
* concept - ключевое слово "это концепт". С уважением, капитан Очевидность.
* LessThanComparable - собственно, название концепта, а в угловых скобках - аналогично объявлению шаблона, удовлетворяющие ему типы. Далее в фигурных скобках идёт описание концепта.
* requires - ключевое слово, которое можно применить и при объявлении шаблона - требует выполнения типом T этого концепта другого концепта SomeConcept. Именно типом T, поскольку их может быть несколько.
* Объявление функции - обязывает претендента на совместимость с концептом такую функцию иметь в ближайшем доступе - будь то где-то снаружи или внутри класса.

Применить его можно так:

template<LessThanComparable T>
const T& min(const T &x, const T &y) {
return (y < x) ? y : x;
}

Или так:

template<typename T> requires LessThanComparable<T>
const T& min(const T &x, const T &y) {
return (y < x) ? y : x;
}

Последний способ лучше тем, что позволяет указать для типа несколько требований одновременно без необходимости создавать новый концепт, содержащий их все. К слову, концепты можно и наследовать, хотя это и аналогично применению requires.

Концепты были убраны из чернового стандарта C++11 в июле 2009 года. Однако опенсорс подхватил идею и реализовал её в ConceptGCC, форке GNU C++ compiler.

Остальное можете почитать здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Concepts_(C%2B%2B)

== ranges ==
http://www.boost.org/doc/libs/1_52_0/libs/range/doc/html/index.html -- а может это и не оно, хз

[http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2012/n3350.html#classstd_1_1range] — думаю, все же это.
=== зачем это нужно ===
Наверное, чтобы было удобно писать всякие обобщенные алгоритмы. Ranges позволяют взять какую-то часть содержимого произвольного контейнера и применять к ней какие-то операции с одинаковым интерфейсом.
=== как это работает ===

== encodings ==
=== понятие code unit, понятие code point, combining characters ===
Code unit — минимальная(по длине) битовая комбинация, которая может представлять символ. Для UTF-8 code unit равен 8, символы могут представляться одним или несколькими 8-битными последовательностями. В UTF-16 и UTF-32 code unit по 16 и 32 бита соответственно. [http://www.coderanch.com/t/416952/java/java/Unicode-code-unit-Unicode-code]

Code point — любое значение, которое может представлять символ юникода(0x0–0x10FFFF) [http://www.unicode.org/glossary/#code_point]

Combining characters — символы, которые в комбинации с другими дают новые символы (всякие крышечки, точечки, ударения, которые можно нарисовать над буквами).

=== UTF-8, overlong sequence ===
Смотрим, как преставляются символы в UTF-8: [http://en.wikipedia.org/wiki/UTF-8#Description]

Очевидно, что один и тот же символ может представляться разными последовательностями байт. Но по стандарту представление должно использовать минимальное число байт. Все остальные преставления называются overlong sequences.

Утверждают, что это даже бывает полезно. Например, в Modified UTF-8 символ NUL(U+0000) представляют двумя байтами C0 80, чтобы оставить 00 под символ конца строки. <del>Так делает Java для сериализации объектов, добавления строковых констант в .class-файлы и JNI.</del>

=== UTF-16, surrogate pair ===
В UTF-16 можно закодировать символы от 0 до 0xD7FF и от 0xE000 до 0x10FFFF, причем 4-байтные символы представляются как есть, а более длинные — с помощью суррогатных пар, для которых и вырезан диапазон 0xD800–0xDFFF.

В суррогатных парах старшие 10 бит значения идут в лидирующее (первое) слово, а младшие 10 бит — в последующее (второе). При этом в обоих словах старшие 6 бит используются для обозначения суррогата. Биты с 11 по 15 имеют значения 11011, а десятый бит содержит 0 у лидирующего слова и 1 — у последующего.

=== UTF-32 ===
UTF-32 использует ровно 4 байта на каждый символ. Это хорошо, потому что очень просто, и очень плохо, потому что неэффективно по памяти.
=== byte order mark ===
=== endianness, UTF-16BE, UTF-16LE, UTF-32BE, UTF-32LE ===
Два байта, входящие в code unit, при записи можно размещать по-разному. x86 использует little-endian(младшие сначала), а SPARC, ARM и другие — big endian. Чтобы различать их, в начало текста записывают byte order mark(BOM) — U+FEFF. Если считалось FFFE, то порядок little-endian, если FEFF — big. Дополнительный профит BOM — возможность отличить UTF-8 от UTF-16, потому что в UTF-8 FE и FF не используются, а BOM выглядит как EF BB BF(но ни на что не влияет, а просто является меткой). Также можно явно указывать порядок байт в кодировке(UTF-??BE или UTF-??LE), тогда BOM становится не нужен.

Участник:Qwerty787788/плюсы3сем

2013-01-26T10:53:09Z

Bobrov: /* encodings */

== binding arguments of functions ==
http://www.dreamincode.net/forums/topic/264061-c11-fun-with-functions/ - четкая статья, обо всем написано
//осилили

Поправьте, если я не прав (вполне возможно)
Суть в том¸ что если у нас есть функция, а мы хотим, например(?), уменьшить количество ее аргументов, то мы можем их забиндить! Т.е. если у нас есть функция

foo(double x, string y) {},
и мы сделаем
std::function<int(std::string)> foo_str = std::bind(&foo, 5.0, std::placeholders::_1);
то у нас появится новая функция foo_str с одним параметром стринг, второй параметр будет установлен как 5.0 (можно тутда записать переменную, тогда значение будет копироваться)

Анонимные функции
Это функции без имени, с которыми надо быть очень аккуратным. & по ссылке передает, = по значению
int arr[] = {1,2,3,4,5,6,7};
int sum = 0;
std::for_each(std::begin(arr), std::end(arr), [&sum] (int x) {sum += x;});
std::for_each(std::begin(arr), std::end(arr), [] (int x) {std::cout << x <<' ';});

=== зачем это надо ===
=== function objects ===
=== function object binder (aka {boost,std}::bind) ===
=== C++11 anonymous functions ===

== type erasure ==
http://prograholic.blogspot.ru/2011/11/type-erasure.html

Поправьте, если я не прав!
type erasure это нешаблонный объект, который позволяет в себе хранить объекты любого типа, которые удовлетворяют заданному интерфейсу.

#include <gtest/gtest.h>
#include <boost/function.hpp>
#include "type_erasure.h"

typedef boost::function<int ()> sample_signature;

TEST(TypeErasure, DeclareInterface)
{
type_erasure t;
sample_signature s(t);
}

any_iterator – подобие boost::function, но для итераторов. Позволяет одному итератору етерироваться по разным типам данных
typedef adobe::any_iterator<int, std::bidirectional_iterator_tag> any_iterator_to_int;
А потом в любом случае если нужно итерироваться по интам мы можем использовать его.
=== polymorphic function wrapper (aka {boost,std}::function) ===
=== any_iterator ===
http://thbecker.net/free_software_utilities/type_erasure_for_cpp_iterators/any_iterator.html

=== boost::any ===
http://learningcppisfun.blogspot.ru/2007/09/boostany.html

== signals (aka listeners aka observers) ==
что-то где-то произошло - вызывается какая-то функция обработчик
=== зачем это нужно ===
чтобы обеспечить связь между различными объектами. например кнопочку реализовать - по нажатию какое-то действие

=== примеры почему наивная реализация не всегда хорошо работает ===
Видимо наивная реализация - это колбеки (могу ошибаться)
Обратный вызов имеет два основных недостатка. Во-первых, он не является типобезопасным. Мы никогда не можем быть уверены что функция делает обратный вызов с корректными аргументами.
Можно передавать function<> тогда будет типобезопасно. Во-вторых, обратный вызов жестко связан с вызывающей его функцией, так как эта функция должна точно знать какой обратный вызов надо делать.
Также могут возникнуть проблемы, если в процессе обработки одного из коллбэков список подписавшихся на сигнал изменился. Если это вектор, это может привести, к примеру, к выполнению одного коллбэка дважды или пропуску одного из них. Для решения можно сделать из подписавшихся хороший двусвязный список.
Также надо иметь в виду, что до обработки сигнала может быть возможно дойти прямо в процессе его же обработки, и нужно соблюсти reentrancy для обработчика.

=== понятие reentrancy ===
http://en.wikipedia.org/wiki/Reentrancy_(computing)

=== пару слов про существующие реализации (boost::signals, boost::signals2, Qt Signals) ===
signals2 - thread-safe реализация signals
http://habrahabr.ru/post/50812/
http://www.rsdn.ru/article/cpp/signals2.xml

== exception safety ==
some link: [http://www.stroustrup.com/except.pdf] - слишком много
=== зачем это нужно ===
очевидно - чтоб прога не вылетала, память не ликалась, ниче не затиралось, данные не терялись

=== RAII ===
http://habrahabr.ru/post/157315/

=== ошибки и как их можно обрабатывать (propagation to caller, assertion, logging, precess termination) ===
propogation to caller - может быть реализован двумя методами: возвратом функцией кода ошибки или бросанием функцией исключения (и его отловом в вызывающем). Такое допускается для ошибок, не связанных с правильностью программы; чаще используется для перехвата обработки неправильных входных данных или ошибки с устройствами ввода/вывода. Срабатывание таких ошибок в программе считается нормальным, предполагается, что такая ошибка может быть корректно обработана.

Assertion - "контрольные точки" в коде, срабатывание ассерта в программе обычно свидетельствует об ошибке в ее логике, правильности алгоритма. В идеале, такие ситуации в релизной версии не должны возникать вообще, поскольку описание ассерта имеет больше смысла именно для разработчика. В релизной версии лучше использовать лог-файл, а не грузить пользователя вещами, которых он, скорее всего, не знает.

http://habrahabr.ru/post/141080/

logging или журналирование - оптимальный для выпущенной программы способ обработки ошибок в логике кода - записать все мыслимые и немыслимые детали о ней в логфайл (или поток вроде stderr). Сам лог, в свою очередь, предлагается отправить разработчику для изучения. Может также быть использован самим же разработчиком для изучения особо безумных ошибок, непонятно от чего возникающих, для этого в лог можно писать все значимые действия программы.

Precess termination - крайний выход, свалить программу к чертям. Лучше избегать, если иное может, к примеру, нанести вред аппаратуре. Для отладки не годится, поскольку не дает деталей об ошибке сам по себе.

На практике обычно используются комбинации.

* Исключения, при разматывании стека целиком, приводят к аварийному завершению. Иногда производится печать в лог пути, пройденного исключением при разматывании стека.
* Виндовский синий экран, предполагается, является этаким ассертом для выявления ошибки, после него снимается лог (иногда с дампом памяти), и происходит аварийное завершение.
* Для случаев, когда произошедшая ошибка делает дальнейшую работу программы быссмысленной, сгодится ассертоподобное сообщение об ошибке и завершение программы.

== UNIX-signals (это не тоже самое что signals из пункта 3), hardware interrupts ==
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 - hardware interrupts

Главное отличие сигналов от других средств взаимодействия между процессами заключается в том, что их обработка программой обычно происходит сразу же после поступления сигнала (или не происходит вообще), независимо от того, что программа делает в данный момент. Сигнал прерывает нормальный порядок выполнения инструкций в программе и передает управление специальной функции – обработчику сигнала. Если обработка сигнала не приводит к завершению процесса, то по выходе из функции-обработчика выполнение процесса возобновляется с той точки, в которой оно было прервано. У программ также есть возможность приостановить обработку поступающих сигналов временно, на период выполнения какой-либо важной операции. В традиционной терминологии приостановка получения определенных сигналов называется блокированием. Если для поступившего сигнала было установлено блокирование, сигнал будет передан программе, как только она разблокирует данный тип сигналов. Этим блокирование отличается от игнорирования сигнала, при котором сигналы соответствующего типа никогда не передаются программе. Следует помнить, что не все сигналы могут быть проигнорированы. Например, при получении программой сигнала принудительного завершения SIGKILL система ничего не сообщает программе, а просто прекращает ее работу. Таким образом, преимущество сигналов перед другими средствами взаимодействия с программой заключается в том, что посылать программе сигналы можно в любой момент ее работы, не дожидаясь наступления каких-то особых условий. Источником сигналов может быть как сам операционная система, так и другие программы пользователя. Если вам показалось, что сигналы похожи на прерывания, то вы совершенно правы. Для реализации сигналов действительно используются программные прерывания.

=== зачем это нужно ===
=== reentrancy ===
Для функций, обрабатывающих потоки, существует и еще одно важное требование – реентерабильность. Поскольку обработчик сигнала может быть вызван в любой точке выполнения программы (а при не кототорых условиях во время обработки одного сигнала может быть вызван другой обработчик сигнала) в обработчиках додлжны использоваться функции, которые удовлетворяют требованию реентерабельности, то есть, могут быть вызваны в то время, когда они уже вызваны где-то в другой точке программы. Фактически, требование реентерабельности сводится к тому, чтобы функция не использовала никаких глобальных ресурсов, не позаботившись о синхронизации доступа к этим ресурсам. Некоторые функции ввода-вывода, в том числе, функция printf(), которую мы (и не только мы) используем в примерах обработчиков сигналов, реентерабельными не являются. Это значит, что выводу одной функции printf() может помешать вывод другой функции. В приложении приводится список реентерабельных функций, которые безопасно вызвать из обработчиков сигналов.

== multithreading ==
=== зачем это нужно ===
Ну вроде бы очевидно: увеличить скорость выполнения программы. Однако, стоит понимать, что иногда скорость может даже уменьшиться (в интернете есть куча примеров).

Более подробно - это способ задействовать больше аппаратуры для выполнения алгоритма в современных компьютерах, которые хвастаются многоядерностью/многопроцессорностью - так достигается увеличение скорости выполнения. Есть множество задач, которые хорошо делятся на несколько независимых друг от друга. Например, quicksort - после разделения элементов на группы, каждую из них можно сортировать независимо. Но тут важно не переборщить с его использованием, поскольку создание отдельного потока (thread, треда) тоже требует некоторых ресурсов, и сортировать в отдельном треде группы, скажем, по 2 элемента уже очень нерационально, это может как раз замедлить сортировку.

=== понятие race condition ===
Стандартный пример, как не нужно использовать multithreading. Пусть есть некоторые общие данные, а два потоки одновременно пытаются выполнить с ними какие-то операции. Например, есть переменная x = 0, два потока пытаются увеличить ее на 1. В итоге может получится как 1, так и 2 (так и вообще непонятно что, см. [http://en.wikipedia.org/wiki/Race_condition]). Вывод: нужно lock'ать данные перед тем, как их использовать.
=== atomic operations ===
В 11х плюсах, чтобы не получались "race condition" есть atomic operations библиотека. Например, можно писать такой код:

atomic<int> counter(0);

++counter // используется одновременно в нескольких потоках

Эта конструкция является thread-safe, т. е. не нужно делать lock на counter.

=== mutexes (mutex, recuirsive_mutex, shared_mutex) ===
mutex - объект, который используется для определения, делает ли с некоторым объектом что-то другой поток.

Пример использования. Пусть есть map и треды, которые одновременно в него что-то пишут. Тогда создадим mutex и будем его lock'ать перед тем как использовать map:

std::map<std::string, std::string> some_map;
std::mutex some_mutex;
void write_to_map(std::string key, std::string value) {
some_mutex.lock();
some_map[key]=value;
some_mutex.unlock();
}

recursive_mutex позволяет треду lock'ать его несколько раз. Пример:

void f1() {
_mutex.lock();
// some code
_mutex.unlock();
}

void f2() {
_mutex.lock();
f1(); // deadlock here!
_mutex.unlock();
}

Если в данном коде использовать обычный mutex, то программа зависнет (получит deadlock), так как f1 не сможет взять lock и будет ждать. При использовании recursive_mutex все будет нормально (поскольку к объекту обращаются с одного и того же треда, f1 сможет взять lock). Снимать lock нужно столько же раз, сколько и брать, иначе другие потоки не смогут работать с данными.

shared_mutex - boost'овая хрень. Читать тут: [http://stackoverflow.com/questions/989795/example-for-boost-shared-mutex-multiple-reads-one-write/4820461#4820461]. Видимо смысл в том, что в обычных мютексах мы не могли читать одновременно из двух потоков, т.к. нужно было взять lock (вдруг кто-то третий начнет изменять данные). А тут можно.

=== condition_variable ===
Пусть есть тред t1, который что-то делает. Пусть другие треды должны ждать, пока t1 не закончит выполнение. Чтобы это сделать используются conditional_variable. Пример:

std::condition_variable cond_var;
std::mutex m;
int sum;
bool done = false;

std::thread th1([&]() {
std::unique_lock<std::mutex> lock(m);
for (int i = 0; i < 5; ++i) {
sum++;
}
done = true;
cond_var.notify_one();
});

std::thread th2([&]() {
std::unique_lock<std::mutex> lock(m);
if (!done)
cond_var.wait(m);
std::cout << sum;
});

int main() {
th1.join();
th2.join();
}

Важно, что второй тред уже взял lock на m. Т. е. cond_var.wait(m) делает следующие: отдает lock, ждет, когда кто-то сделает cond_var.notify_one() или cond_var.notify_all(), забирает lock обратно, продолжает работу программы. notify_all отличается от notify_one тем, что он будит сразу все треды, которые ждут, а не только один (случайный?).

=== понятие dead lock ===
Первый тред взял lock на A, второй на B. Первый хочет что-то сделать с B, второй с A. Оба ждут.

=== futures ===
Если тред бросает исключение, но не ловит его, скорее всего, вся программа упадет. Чтобы такого не случилось, можно использовать futures/promises. А вообще future используется для получение некоторого значения, которое должен вернуть тред. Пример:

auto promise = std::promise<std::string>();

auto producer = std::thread([&] {
promise.set_value("Hello World");
});

auto future = promise.get_future();

auto consumer = std::thread([&] {
std::cout << future.get();
});

producer.join();
consumer.join();

Из примера вроде понятно, что происходит. future_get() ждет, пока другой тред не вернет какое-нибудь значение. Если что-то случилось, то можно в promise положить ошибку:

promise.set_exception(runtime_error(“message”));

и нормально ее обработать в другом треде.

=== TLS (thread local storage) ===
Если хочется иметь для каждого треда свои отдельные данные, то в 11х плюсах есть THL. Пример:

thread_local int n;
void f() {
std::cout<< ++n << " ";
}
int main {
std::thread t1(f);
std::thread t2(f);

t1.join();
t2.join();
}

Программа выведет "1 1 " в любом случае.

== asynchronous operations ==
=== зачем это нужно ===
Чаще всего - запросы в сеть, в файловую систему или к устройствам ввода/вывода. Иногда необходимо дать возможность пользователю как-то влиять на выполнение такого задания, или отображать его подробности - к примеру, отменить запрос в сеть (сберечь трафик или освободить компьютер от ожидания таймаута, когда интернета нет) или показывать прогресс (загрузки файла, к примеру).

Пример. Если в главном треде приложения обрабатывается интерфейс пользователя, выполнение запроса к БД (на удалённом сервере) прямо в этом же треде может привести к зависанию всего интерфейса. Если во время этого запроса программа ничего больше не должна делать в принципе - это допустимо (но плохо, потому что интерфейс перестаёт реагировать на любые действия, пользователь или ОС могут посчитать программу зависшей), но встречаются более сложные интерфейсы, в которых во время такого запроса можно делать что-то ещё - подкручивать настройки, например. В этом случае запрос необходимо делать асинхронно.

=== как это работает ===
1) можно периодически спрашивать процесс на закончился ли он?
2) можно всякие прерывания юзать
3) ну и главное с помощью многопоточности

=== механизмы предоставляемые ОС (select, poll, epoll, kqueue, IOCP) ===
http://en.wikipedia.org/wiki/Asynchronous_I/O#Select.28.2Fpoll.29_loops
http://en.wikipedia.org/wiki/IOCP

== remote procedure call ==
=== зачем это нужно ===
общаться между процессами, и даже вызывать с одного компа процессы на другом компе

=== apartment threading model ===
http://www.rsdn.ru/article/com/apartmnt.xml
http://www.introligator.org/articles/3/84 - понятнее
=== reentrancy ===
ну в free threaded сам заботься, а apartment сам все сделает

=== достоинства/недостатки apartment threading model ===
Главным достоинством апартамента STA является то, что разработка объекта COM и клиентской части проста в том смысле, что нет нужды заботиться о синхронизации вызовов методов и их выполнения: следующий метод начнет выполняться только после того, как закончится выполнение предыдущего. Аналогично не нужно заботиться о синхронизации доступа к данным объекта.

Главным недостатком апартамента STA является его неэффективность. Даже если синхронизация вызовов методов и не нужна, она все равно выполняется.

=== free threaded threading model ===
http://www.rsdn.ru/article/com/apartmnt.xml
http://www.introligator.org/articles/3/84 - понятнее(тоже самое)

=== достоинства/недостатки free threaded threading model ===
Основным достоинством MTA апартамента является потенциально высокая производительность сервера, вследствие чего он более доступен для клиентов. Вместе с тем разработка объектов такого сервера намного сложнее, так как требуется синхронизировать не только вызовы методов, но и обращение к локальным данным объектов.

=== пару слов про реализации (COM, CORBA, D-Bus) ===

== fibers ==
это просто реализация концепции сопрограмм
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/windows/desktop/ms682661(v=vs.85).aspx

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0 - короче это просто реализация этого принципа. Была нить ее разхреначили на волокна и идут сначала по одному - потом переключились на другой, поделали чето там, вернулись и продолжили идти по первому, например.
=== зачем это нужно ===
Фиберы - это мануально переключаемые потоки. Всегда, когда удобнее вместо синхронизации использовать ручное переключение, применяются фиберы. Также, если потоков много и они однотипны, то целесообразно создавать фиберы, ибо они значительно экономят ресурсы.

=== coroutines ===
http://www.crystalclearsoftware.com/soc/coroutine/

=== generators ===
Подпрограмма возвращает значение только однажды, возврат нескольких значений требует использовать в качестве возвращаемого значения коллекции. Если в некоторых языках это приемлемо, например Forth и Перл, то другие языки, например Си, поддерживают только одно возвращаемое значение, и поэтому необходимо возвращать ссылку на коллекцию. В противовес, сопрограмма может возвращать результат несколько раз, возвращение множества значений требует только вызова сопрограммы несколько раз. Сопрограммы, которые возвращают множество значений, часто называют генераторами.

=== как это работает ===
возвращение множества значений требует только вызова сопрограммы несколько раз.

=== FLS (fiber local storage) ===
у каждого фибера есть ствой локал сторадж
ФИБЕР МОГУТ ВЫПОЛНЯТЬ РАЗНЫЕ ПОТОКИ

== С++11 ==
=== см. http://gcc.gnu.org/projects/cxx0x.html и http://www.stroustrup.com/C++11FAQ.html ===

RUS:http://sergeyteplyakov.blogspot.ru/2012/05/c-11-faq.html#auto // круто

=== про каждую фичу надо говорить, зачем это нужно, как это работает ===

== C++1y and beyond ==
=== static_if ===
http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2012/n3329.pdf
template <unsigned long n>
struct factorial {
static if (n <= 1) {
enum : unsigned long { value = 1 };
} else {
enum : unsigned long {
value = factorial<n - 1>::value * n
};
}
Можно так же смотреть 64 битный ли у нас компилятор. Эти примеры вроде есть в пдфке.

=== modules ===
http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2012/n3347.pdf

=== concepts ===
Это описание свойств типа, необходимых для работы в шаблоне. Компилятор на основе этих данных может производить дополнительные оптимизации, а программист может указывать, что ему нужно от типа, который дают шаблону. В сущности, это нововведение лишь даёт мизерный прирост к скорости и делает более понятными некоторые сообщения компилятора об ошибках.

auto concept LessThanComparable<typename T> {
requires SomeConcept<T>;
bool operator<(T, T);
}

* Ключевое слово auto указывает, что проверять на совместимость с концептом надо любые типы. Всё, что подошло по условию, концептом поддерживается.
* concept - ключевое слово "это концепт". С уважением, капитан Очевидность.
* LessThanComparable - собственно, название концепта, а в угловых скобках - аналогично объявлению шаблона, удовлетворяющие ему типы. Далее в фигурных скобках идёт описание концепта.
* requires - ключевое слово, которое можно применить и при объявлении шаблона - требует выполнения типом T этого концепта другого концепта SomeConcept. Именно типом T, поскольку их может быть несколько.
* Объявление функции - обязывает претендента на совместимость с концептом такую функцию иметь в ближайшем доступе - будь то где-то снаружи или внутри класса.

Применить его можно так:

template<LessThanComparable T>
const T& min(const T &x, const T &y) {
return (y < x) ? y : x;
}

Или так:

template<typename T> requires LessThanComparable<T>
const T& min(const T &x, const T &y) {
return (y < x) ? y : x;
}

Последний способ лучше тем, что позволяет указать для типа несколько требований одновременно без необходимости создавать новый концепт, содержащий их все. К слову, концепты можно и наследовать, хотя это и аналогично применению requires.

Концепты были убраны из чернового стандарта C++11 в июле 2009 года. Однако опенсорс подхватил идею и реализовал её в ConceptGCC, форке GNU C++ compiler.

Остальное можете почитать здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Concepts_(C%2B%2B)

== ranges ==
http://www.boost.org/doc/libs/1_52_0/libs/range/doc/html/index.html -- а может это и не оно, хз
=== зачем это нужно ===
=== как это работает ===

== encodings ==
=== понятие code unit, понятие code point, combining characters ===
Code unit — минимальная(по длине) битовая комбинация, которая может представлять символ. Для UTF-8 code unit равен 8, символы могут представляться одним или несколькими 8-битными последовательностями. В UTF-16 и UTF-32 code unit по 16 и 32 бита соответственно. [http://www.coderanch.com/t/416952/java/java/Unicode-code-unit-Unicode-code]

Code point — любое значение, которое может представлять символ юникода(0x0–0x10FFFF) [http://www.unicode.org/glossary/#code_point]

Combining characters — символы, которые в комбинации с другими дают новые символы (всякие крышечки, точечки, ударения, которые можно нарисовать над буквами).

=== UTF-8, overlong sequence ===
Смотрим, как преставляются символы в UTF-8: [http://en.wikipedia.org/wiki/UTF-8#Description]

Очевидно, что один и тот же символ может представляться разными последовательностями байт. Но по стандарту представление должно использовать минимальное число байт. Все остальные преставления называются overlong sequences.

Утверждают, что это даже бывает полезно. Например, в Modified UTF-8 символ NUL(U+0000) представляют двумя байтами C0 80, чтобы оставить 00 под символ конца строки. <del>Так делает Java для сериализации объектов, добавления строковых констант в .class-файлы и JNI.</del>

=== UTF-16, surrogate pair ===
В UTF-16 можно закодировать символы от 0 до 0xD7FF и от 0xE000 до 0x10FFFF, причем 4-байтные символы представляются как есть, а более длинные — с помощью суррогатных пар, для которых и вырезан диапазон 0xD800–0xDFFF.

В суррогатных парах старшие 10 бит значения идут в лидирующее (первое) слово, а младшие 10 бит — в последующее (второе). При этом в обоих словах старшие 6 бит используются для обозначения суррогата. Биты с 11 по 15 имеют значения 11011, а десятый бит содержит 0 у лидирующего слова и 1 — у последующего.

=== UTF-32 ===
UTF-32 использует ровно 4 байта на каждый символ. Это хорошо, потому что очень просто, и очень плохо, потому что неэффективно по памяти.
=== byte order mark ===
=== endianness, UTF-16BE, UTF-16LE, UTF-32BE, UTF-32LE ===
Два байта, входящие в code unit, при записи можно размещать по-разному. x86 использует little-endian(младшие сначала), а SPARC, ARM и другие — big endian. Чтобы различать их, в начало текста записывают byte order mark(BOM) — U+FEFF. Если считалось FFFE, то порядок little-endian, если FEFF — big. Дополнительный профит BOM — возможность отличить UTF-8 от UTF-16, потому что в UTF-8 FE и FF не используются, а BOM выглядит как EF BB BF(но ни на что не влияет, а просто является меткой). Также можно явно указывать порядок байт в кодировке(UTF-??BE или UTF-??LE), тогда BOM становится не нужен.

Участник:Qwerty787788/плюсы3сем

2013-01-26T10:00:36Z

Bobrov: /* encodings */

== binding arguments of functions ==
http://www.dreamincode.net/forums/topic/264061-c11-fun-with-functions/ - четкая статья, обо всем написано
//осилили

Поправьте, если я не прав (вполне возможно)
Суть в том¸ что если у нас есть функция, а мы хотим, например(?), уменьшить количество ее аргументов, то мы можем их забиндить! Т.е. если у нас есть функция

foo(double x, string y) {},
и мы сделаем
std::function<int(std::string)> foo_str = std::bind(&foo, 5.0, std::placeholders::_1);
то у нас появится новая функция foo_str с одним параметром стринг, второй параметр будет установлен как 5.0 (можно тутда записать переменную, тогда значение будет копироваться)

Анонимные функции
Это функции без имени, с которыми надо быть очень аккуратным. & по ссылке передает, = по значению
int arr[] = {1,2,3,4,5,6,7};
int sum = 0;
std::for_each(std::begin(arr), std::end(arr), [&sum] (int x) {sum += x;});
std::for_each(std::begin(arr), std::end(arr), [] (int x) {std::cout << x <<' ';});

=== зачем это надо ===
=== function objects ===
=== function object binder (aka {boost,std}::bind) ===
=== C++11 anonymous functions ===

== type erasure ==
http://prograholic.blogspot.ru/2011/11/type-erasure.html

Поправьте, если я не прав!
type erasure это нешаблонный объект, который позволяет в себе хранить объекты любого типа, которые удовлетворяют заданному интерфейсу.

#include <gtest/gtest.h>
#include <boost/function.hpp>
#include "type_erasure.h"

typedef boost::function<int ()> sample_signature;

TEST(TypeErasure, DeclareInterface)
{
type_erasure t;
sample_signature s(t);
}

any_iterator – подобие boost::function, но для итераторов. Позволяет одному итератору етерироваться по разным типам данных
typedef adobe::any_iterator<int, std::bidirectional_iterator_tag> any_iterator_to_int;
А потом в любом случае если нужно итерироваться по интам мы можем использовать его.
=== polymorphic function wrapper (aka {boost,std}::function) ===
=== any_iterator ===
http://thbecker.net/free_software_utilities/type_erasure_for_cpp_iterators/any_iterator.html

=== boost::any ===
http://learningcppisfun.blogspot.ru/2007/09/boostany.html

== signals (aka listeners aka observers) ==
что-то где-то произошло - вызывается какая-то функция обработчик
=== зачем это нужно ===
чтобы обеспечить связь между различными объектами. например кнопочку реализовать - по нажатию какое-то действие

=== примеры почему наивная реализация не всегда хорошо работает ===
Видимо наивная реализация - это колбеки (могу ошибаться)
Обратный вызов имеет два основных недостатка. Во-первых, он не является типобезопасным. Мы никогда не можем быть уверены что функция делает обратный вызов с корректными аргументами.
Можно передавать function<> тогда будет типобезопасно. Во-вторых, обратный вызов жестко связан с вызывающей его функцией, так как эта функция должна точно знать какой обратный вызов надо делать.
Также могут возникнуть проблемы, если в процессе обработки одного из коллбэков список подписавшихся на сигнал изменился. Если это вектор, это может привести, к примеру, к выполнению одного коллбэка дважды или пропуску одного из них. Для решения можно сделать из подписавшихся хороший двусвязный список.
Также надо иметь в виду, что до обработки сигнала может быть возможно дойти прямо в процессе его же обработки, и нужно соблюсти reentrancy для обработчика.

=== понятие reentrancy ===
http://en.wikipedia.org/wiki/Reentrancy_(computing)

=== пару слов про существующие реализации (boost::signals, boost::signals2, Qt Signals) ===
signals2 - thread-safe реализация signals
http://habrahabr.ru/post/50812/
http://www.rsdn.ru/article/cpp/signals2.xml

== exception safety ==
some link: [http://www.stroustrup.com/except.pdf] - слишком много
=== зачем это нужно ===
очевидно - чтоб прога не вылетала, память не ликалась, ниче не затиралось, данные не терялись

=== RAII ===
http://habrahabr.ru/post/157315/

=== ошибки и как их можно обрабатывать (propagation to caller, assertion, logging, precess termination) ===
propogation to caller - может быть реализован двумя методами: возвратом функцией кода ошибки или бросанием функцией исключения (и его отловом в вызывающем). Такое допускается для ошибок, не связанных с правильностью программы; чаще используется для перехвата обработки неправильных входных данных или ошибки с устройствами ввода/вывода. Срабатывание таких ошибок в программе считается нормальным, предполагается, что такая ошибка может быть корректно обработана.

Assertion - "контрольные точки" в коде, срабатывание ассерта в программе обычно свидетельствует об ошибке в ее логике, правильности алгоритма. В идеале, такие ситуации в релизной версии не должны возникать вообще, поскольку описание ассерта имеет больше смысла именно для разработчика. В релизной версии лучше использовать лог-файл, а не грузить пользователя вещами, которых он, скорее всего, не знает.

http://habrahabr.ru/post/141080/

logging или журналирование - оптимальный для выпущенной программы способ обработки ошибок в логике кода - записать все мыслимые и немыслимые детали о ней в логфайл (или поток вроде stderr). Сам лог, в свою очередь, предлагается отправить разработчику для изучения. Может также быть использован самим же разработчиком для изучения особо безумных ошибок, непонятно от чего возникающих, для этого в лог можно писать все значимые действия программы.

Precess termination - крайний выход, свалить программу к чертям. Лучше избегать, если иное может, к примеру, нанести вред аппаратуре. Для отладки не годится, поскольку не дает деталей об ошибке сам по себе.

На практике обычно используются комбинации.

* Исключения, при разматывании стека целиком, приводят к аварийному завершению. Иногда производится печать в лог пути, пройденного исключением при разматывании стека.
* Виндовский синий экран, предполагается, является этаким ассертом для выявления ошибки, после него снимается лог (иногда с дампом памяти), и происходит аварийное завершение.
* Для случаев, когда произошедшая ошибка делает дальнейшую работу программы быссмысленной, сгодится ассертоподобное сообщение об ошибке и завершение программы.

== UNIX-signals (это не тоже самое что signals из пункта 3), hardware interrupts ==
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 - hardware interrupts

Главное отличие сигналов от других средств взаимодействия между процессами заключается в том, что их обработка программой обычно происходит сразу же после поступления сигнала (или не происходит вообще), независимо от того, что программа делает в данный момент. Сигнал прерывает нормальный порядок выполнения инструкций в программе и передает управление специальной функции – обработчику сигнала. Если обработка сигнала не приводит к завершению процесса, то по выходе из функции-обработчика выполнение процесса возобновляется с той точки, в которой оно было прервано. У программ также есть возможность приостановить обработку поступающих сигналов временно, на период выполнения какой-либо важной операции. В традиционной терминологии приостановка получения определенных сигналов называется блокированием. Если для поступившего сигнала было установлено блокирование, сигнал будет передан программе, как только она разблокирует данный тип сигналов. Этим блокирование отличается от игнорирования сигнала, при котором сигналы соответствующего типа никогда не передаются программе. Следует помнить, что не все сигналы могут быть проигнорированы. Например, при получении программой сигнала принудительного завершения SIGKILL система ничего не сообщает программе, а просто прекращает ее работу. Таким образом, преимущество сигналов перед другими средствами взаимодействия с программой заключается в том, что посылать программе сигналы можно в любой момент ее работы, не дожидаясь наступления каких-то особых условий. Источником сигналов может быть как сам операционная система, так и другие программы пользователя. Если вам показалось, что сигналы похожи на прерывания, то вы совершенно правы. Для реализации сигналов действительно используются программные прерывания.

=== зачем это нужно ===
=== reentrancy ===
Для функций, обрабатывающих потоки, существует и еще одно важное требование – реентерабильность. Поскольку обработчик сигнала может быть вызван в любой точке выполнения программы (а при не кототорых условиях во время обработки одного сигнала может быть вызван другой обработчик сигнала) в обработчиках додлжны использоваться функции, которые удовлетворяют требованию реентерабельности, то есть, могут быть вызваны в то время, когда они уже вызваны где-то в другой точке программы. Фактически, требование реентерабельности сводится к тому, чтобы функция не использовала никаких глобальных ресурсов, не позаботившись о синхронизации доступа к этим ресурсам. Некоторые функции ввода-вывода, в том числе, функция printf(), которую мы (и не только мы) используем в примерах обработчиков сигналов, реентерабельными не являются. Это значит, что выводу одной функции printf() может помешать вывод другой функции. В приложении приводится список реентерабельных функций, которые безопасно вызвать из обработчиков сигналов.

== multithreading ==
=== зачем это нужно ===
Ну вроде бы очевидно: увеличить скорость выполнения программы. Однако, стоит понимать, что иногда скорость может даже уменьшиться (в интернете есть куча примеров).

Более подробно - это способ задействовать больше аппаратуры для выполнения алгоритма в современных компьютерах, которые хвастаются многоядерностью/многопроцессорностью - так достигается увеличение скорости выполнения. Есть множество задач, которые хорошо делятся на несколько независимых друг от друга. Например, quicksort - после разделения элементов на группы, каждую из них можно сортировать независимо. Но тут важно не переборщить с его использованием, поскольку создание отдельного потока (thread, треда) тоже требует некоторых ресурсов, и сортировать в отдельном треде группы, скажем, по 2 элемента уже очень нерационально, это может как раз замедлить сортировку.

=== понятие race condition ===
Стандартный пример, как не нужно использовать multithreading. Пусть есть некоторые общие данные, а два потоки одновременно пытаются выполнить с ними какие-то операции. Например, есть переменная x = 0, два потока пытаются увеличить ее на 1. В итоге может получится как 1, так и 2 (так и вообще непонятно что, см. [http://en.wikipedia.org/wiki/Race_condition]). Вывод: нужно lock'ать данные перед тем, как их использовать.
=== atomic operations ===
В 11х плюсах, чтобы не получались "race condition" есть atomic operations библиотека. Например, можно писать такой код:

atomic<int> counter(0);

++counter // используется одновременно в нескольких потоках

Эта конструкция является thread-safe, т. е. не нужно делать lock на counter.

=== mutexes (mutex, recuirsive_mutex, shared_mutex) ===
mutex - объект, который используется для определения, делает ли с некоторым объектом что-то другой поток.

Пример использования. Пусть есть map и треды, которые одновременно в него что-то пишут. Тогда создадим mutex и будем его lock'ать перед тем как использовать map:

std::map<std::string, std::string> some_map;
std::mutex some_mutex;
void write_to_map(std::string key, std::string value) {
some_mutex.lock();
some_map[key]=value;
some_mutex.unlock();
}

recursive_mutex позволяет треду lock'ать его несколько раз. Пример:

void f1() {
_mutex.lock();
// some code
_mutex.unlock();
}

void f2() {
_mutex.lock();
f1(); // deadlock here!
_mutex.unlock();
}

Если в данном коде использовать обычный mutex, то программа зависнет (получит deadlock), так как f1 не сможет взять lock и будет ждать. При использовании recursive_mutex все будет нормально (поскольку к объекту обращаются с одного и того же треда, f1 сможет взять lock). Снимать lock нужно столько же раз, сколько и брать, иначе другие потоки не смогут работать с данными.

shared_mutex - boost'овая хрень. Читать тут: [http://stackoverflow.com/questions/989795/example-for-boost-shared-mutex-multiple-reads-one-write/4820461#4820461]. Видимо смысл в том, что в обычных мютексах мы не могли читать одновременно из двух потоков, т.к. нужно было взять lock (вдруг кто-то третий начнет изменять данные). А тут можно.

=== condition_variable ===
Пусть есть тред t1, который что-то делает. Пусть другие треды должны ждать, пока t1 не закончит выполнение. Чтобы это сделать используются conditional_variable. Пример:

std::condition_variable cond_var;
std::mutex m;
int sum;
bool done = false;

std::thread th1([&]() {
std::unique_lock<std::mutex> lock(m);
for (int i = 0; i < 5; ++i) {
sum++;
}
done = true;
cond_var.notify_one();
});

std::thread th2([&]() {
std::unique_lock<std::mutex> lock(m);
if (!done)
cond_var.wait(m);
std::cout << sum;
});

int main() {
th1.join();
th2.join();
}

Важно, что второй тред уже взял lock на m. Т. е. cond_var.wait(m) делает следующие: отдает lock, ждет, когда кто-то сделает cond_var.notify_one() или cond_var.notify_all(), забирает lock обратно, продолжает работу программы. notify_all отличается от notify_one тем, что он будит сразу все треды, которые ждут, а не только один (случайный?).

=== понятие dead lock ===
Первый тред взял lock на A, второй на B. Первый хочет что-то сделать с B, второй с A. Оба ждут.

=== futures ===
Если тред бросает исключение, но не ловит его, скорее всего, вся программа упадет. Чтобы такого не случилось, можно использовать futures/promises. А вообще future используется для получение некоторого значения, которое должен вернуть тред. Пример:

auto promise = std::promise<std::string>();

auto producer = std::thread([&] {
promise.set_value("Hello World");
});

auto future = promise.get_future();

auto consumer = std::thread([&] {
std::cout << future.get();
});

producer.join();
consumer.join();

Из примера вроде понятно, что происходит. future_get() ждет, пока другой тред не вернет какое-нибудь значение. Если что-то случилось, то можно в promise положить ошибку:

promise.set_exception(runtime_error(“message”));

и нормально ее обработать в другом треде.

=== TLS (thread local storage) ===
Если хочется иметь для каждого треда свои отдельные данные, то в 11х плюсах есть THL. Пример:

thread_local int n;
void f() {
std::cout<< ++n << " ";
}
int main {
std::thread t1(f);
std::thread t2(f);

t1.join();
t2.join();
}

Программа выведет "1 1 " в любом случае.

== asynchronous operations ==
=== зачем это нужно ===
Чаще всего - запросы в сеть, в файловую систему или к устройствам ввода/вывода. Иногда необходимо дать возможность пользователю как-то влиять на выполнение такого задания, или отображать его подробности - к примеру, отменить запрос в сеть (сберечь трафик или освободить компьютер от ожидания таймаута, когда интернета нет) или показывать прогресс (загрузки файла, к примеру).

Пример. Если в главном треде приложения обрабатывается интерфейс пользователя, выполнение запроса к БД (на удалённом сервере) прямо в этом же треде может привести к зависанию всего интерфейса. Если во время этого запроса программа ничего больше не должна делать в принципе - это допустимо (но плохо, потому что интерфейс перестаёт реагировать на любые действия, пользователь или ОС могут посчитать программу зависшей), но встречаются более сложные интерфейсы, в которых во время такого запроса можно делать что-то ещё - подкручивать настройки, например. В этом случае запрос необходимо делать асинхронно.

=== как это работает ===
1) можно периодически спрашивать процесс на закончился ли он?
2) можно всякие прерывания юзать
3) ну и главное с помощью многопоточности

=== механизмы предоставляемые ОС (select, poll, epoll, kqueue, IOCP) ===
http://en.wikipedia.org/wiki/Asynchronous_I/O#Select.28.2Fpoll.29_loops
http://en.wikipedia.org/wiki/IOCP

== remote procedure call ==
=== зачем это нужно ===
общаться между процессами, и даже вызывать с одного компа процессы на другом компе

=== apartment threading model ===
http://www.rsdn.ru/article/com/apartmnt.xml
http://www.introligator.org/articles/3/84 - понятнее
=== reentrancy ===
ну в free threaded сам заботься, а apartment сам все сделает

=== достоинства/недостатки apartment threading model ===
Главным достоинством апартамента STA является то, что разработка объекта COM и клиентской части проста в том смысле, что нет нужды заботиться о синхронизации вызовов методов и их выполнения: следующий метод начнет выполняться только после того, как закончится выполнение предыдущего. Аналогично не нужно заботиться о синхронизации доступа к данным объекта.

Главным недостатком апартамента STA является его неэффективность. Даже если синхронизация вызовов методов и не нужна, она все равно выполняется.

=== free threaded threading model ===
http://www.rsdn.ru/article/com/apartmnt.xml
http://www.introligator.org/articles/3/84 - понятнее(тоже самое)

=== достоинства/недостатки free threaded threading model ===
Основным достоинством MTA апартамента является потенциально высокая производительность сервера, вследствие чего он более доступен для клиентов. Вместе с тем разработка объектов такого сервера намного сложнее, так как требуется синхронизировать не только вызовы методов, но и обращение к локальным данным объектов.

=== пару слов про реализации (COM, CORBA, D-Bus) ===

== fibers ==
это просто реализация концепции сопрограмм
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/windows/desktop/ms682661(v=vs.85).aspx

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0 - короче это просто реализация этого принципа. Была нить ее разхреначили на волокна и идут сначала по одному - потом переключились на другой, поделали чето там, вернулись и продолжили идти по первому, например.
=== зачем это нужно ===
Фиберы - это мануально переключаемые потоки. Всегда, когда удобнее вместо синхронизации использовать ручное переключение, применяются фиберы. Также, если потоков много и они однотипны, то целесообразно создавать фиберы, ибо они значительно экономят ресурсы.

=== coroutines ===
http://www.crystalclearsoftware.com/soc/coroutine/

=== generators ===
Подпрограмма возвращает значение только однажды, возврат нескольких значений требует использовать в качестве возвращаемого значения коллекции. Если в некоторых языках это приемлемо, например Forth и Перл, то другие языки, например Си, поддерживают только одно возвращаемое значение, и поэтому необходимо возвращать ссылку на коллекцию. В противовес, сопрограмма может возвращать результат несколько раз, возвращение множества значений требует только вызова сопрограммы несколько раз. Сопрограммы, которые возвращают множество значений, часто называют генераторами.

=== как это работает ===
возвращение множества значений требует только вызова сопрограммы несколько раз.

=== FLS (fiber local storage) ===
у каждого фибера есть ствой локал сторадж
ФИБЕР МОГУТ ВЫПОЛНЯТЬ РАЗНЫЕ ПОТОКИ

== С++11 ==
=== см. http://gcc.gnu.org/projects/cxx0x.html и http://www.stroustrup.com/C++11FAQ.html ===

RUS:http://sergeyteplyakov.blogspot.ru/2012/05/c-11-faq.html#auto // круто

=== про каждую фичу надо говорить, зачем это нужно, как это работает ===

== C++1y and beyond ==
=== static_if ===
http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2012/n3329.pdf
template <unsigned long n>
struct factorial {
static if (n <= 1) {
enum : unsigned long { value = 1 };
} else {
enum : unsigned long {
value = factorial<n - 1>::value * n
};
}
Можно так же смотреть 64 битный ли у нас компилятор. Эти примеры вроде есть в пдфке.

=== modules ===
http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2012/n3347.pdf

=== concepts ===
Это описание свойств типа, необходимых для работы в шаблоне. Компилятор на основе этих данных может производить дополнительные оптимизации, а программист может указывать, что ему нужно от типа, который дают шаблону. В сущности, это нововведение лишь даёт мизерный прирост к скорости и делает более понятными некоторые сообщения компилятора об ошибках.

auto concept LessThanComparable<typename T> {
requires SomeConcept<T>;
bool operator<(T, T);
}

* Ключевое слово auto указывает, что проверять на совместимость с концептом надо любые типы. Всё, что подошло по условию, концептом поддерживается.
* concept - ключевое слово "это концепт". С уважением, капитан Очевидность.
* LessThanComparable - собственно, название концепта, а в угловых скобках - аналогично объявлению шаблона, удовлетворяющие ему типы. Далее в фигурных скобках идёт описание концепта.
* requires - ключевое слово, которое можно применить и при объявлении шаблона - требует выполнения типом T этого концепта другого концепта SomeConcept. Именно типом T, поскольку их может быть несколько.
* Объявление функции - обязывает претендента на совместимость с концептом такую функцию иметь в ближайшем доступе - будь то где-то снаружи или внутри класса.

Применить его можно так:

template<LessThanComparable T>
const T& min(const T &x, const T &y) {
return (y < x) ? y : x;
}

Или так:

template<typename T> requires LessThanComparable<T>
const T& min(const T &x, const T &y) {
return (y < x) ? y : x;
}

Последний способ лучше тем, что позволяет указать для типа несколько требований одновременно без необходимости создавать новый концепт, содержащий их все. К слову, концепты можно и наследовать, хотя это и аналогично применению requires.

Концепты были убраны из чернового стандарта C++11 в июле 2009 года. Однако опенсорс подхватил идею и реализовал её в ConceptGCC, форке GNU C++ compiler.

Остальное можете почитать здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Concepts_(C%2B%2B)

== ranges ==
http://www.boost.org/doc/libs/1_52_0/libs/range/doc/html/index.html -- а может это и не оно, хз
=== зачем это нужно ===
=== как это работает ===

== encodings ==
=== понятие code unit, понятие code point, combining characters ===
Code unit — минимальная(по длине) битовая комбинация, которая может представлять символ. Для UTF-8 code unit равен 8, символы могут представляться одним или несколькими 8-битными последовательностями. В UTF-16 и UTF-32 code unit по 16 и 32 бита соответственно. [http://www.coderanch.com/t/416952/java/java/Unicode-code-unit-Unicode-code]

Code point — любое значение, которое может представлять символ юникода(0x0–0x10FFFF) [http://www.unicode.org/glossary/#code_point]

Combining characters — символы, которые в комбинации с другими дают новые символы (всякие крышечки, точечки, ударения, которые можно нарисовать над буквами).

=== UTF-8, overlong sequence ===
Смотрим, как преставляются символы в UTF-8: [http://en.wikipedia.org/wiki/UTF-8#Description]

Очевидно, что один и тот же символ может представляться разными последовательностями байт. Но по стандарту представление должно использовать минимальное число байт. Все остальные преставления называются overlong sequences.

Утверждают, что это даже бывает полезно. Например, в Modified UTF-8 символ NUL(U+0000) представляют двумя байтами C0 80, чтобы оставить 00 под символ конца строки. <del>Так делает Java для сериализации объектов, добавления строковых констант в .class-файлы и JNI.</del>

=== UTF-16, surrogate pair ===
=== UTF-32 ===
=== byte order mark ===
=== endianness, UTF-16BE, UTF-16LE, UTF-32BE, UTF-32LE ===

Участник:Qwerty787788/плюсы3сем

2013-01-26T09:52:58Z

Bobrov: /* encodings */

== binding arguments of functions ==
http://www.dreamincode.net/forums/topic/264061-c11-fun-with-functions/ - четкая статья, обо всем написано
//осилили

Поправьте, если я не прав (вполне возможно)
Суть в том¸ что если у нас есть функция, а мы хотим, например(?), уменьшить количество ее аргументов, то мы можем их забиндить! Т.е. если у нас есть функция

foo(double x, string y) {},
и мы сделаем
std::function<int(std::string)> foo_str = std::bind(&foo, 5.0, std::placeholders::_1);
то у нас появится новая функция foo_str с одним параметром стринг, второй параметр будет установлен как 5.0 (можно тутда записать переменную, тогда значение будет копироваться)

Анонимные функции
Это функции без имени, с которыми надо быть очень аккуратным. & по ссылке передает, = по значению
int arr[] = {1,2,3,4,5,6,7};
int sum = 0;
std::for_each(std::begin(arr), std::end(arr), [&sum] (int x) {sum += x;});
std::for_each(std::begin(arr), std::end(arr), [] (int x) {std::cout << x <<' ';});

=== зачем это надо ===
=== function objects ===
=== function object binder (aka {boost,std}::bind) ===
=== C++11 anonymous functions ===

== type erasure ==
http://prograholic.blogspot.ru/2011/11/type-erasure.html

Поправьте, если я не прав!
type erasure это нешаблонный объект, который позволяет в себе хранить объекты любого типа, которые удовлетворяют заданному интерфейсу.

#include <gtest/gtest.h>
#include <boost/function.hpp>
#include "type_erasure.h"

typedef boost::function<int ()> sample_signature;

TEST(TypeErasure, DeclareInterface)
{
type_erasure t;
sample_signature s(t);
}

any_iterator – подобие boost::function, но для итераторов. Позволяет одному итератору етерироваться по разным типам данных
typedef adobe::any_iterator<int, std::bidirectional_iterator_tag> any_iterator_to_int;
А потом в любом случае если нужно итерироваться по интам мы можем использовать его.
=== polymorphic function wrapper (aka {boost,std}::function) ===
=== any_iterator ===
http://thbecker.net/free_software_utilities/type_erasure_for_cpp_iterators/any_iterator.html

=== boost::any ===
http://learningcppisfun.blogspot.ru/2007/09/boostany.html

== signals (aka listeners aka observers) ==
что-то где-то произошло - вызывается какая-то функция обработчик
=== зачем это нужно ===
чтобы обеспечить связь между различными объектами. например кнопочку реализовать - по нажатию какое-то действие

=== примеры почему наивная реализация не всегда хорошо работает ===
Видимо наивная реализация - это колбеки (могу ошибаться)
Обратный вызов имеет два основных недостатка. Во-первых, он не является типобезопасным. Мы никогда не можем быть уверены что функция делает обратный вызов с корректными аргументами.
Можно передавать function<> тогда будет типобезопасно. Во-вторых, обратный вызов жестко связан с вызывающей его функцией, так как эта функция должна точно знать какой обратный вызов надо делать.
Также могут возникнуть проблемы, если в процессе обработки одного из коллбэков список подписавшихся на сигнал изменился. Если это вектор, это может привести, к примеру, к выполнению одного коллбэка дважды или пропуску одного из них. Для решения можно сделать из подписавшихся хороший двусвязный список.
Также надо иметь в виду, что до обработки сигнала может быть возможно дойти прямо в процессе его же обработки, и нужно соблюсти reentrancy для обработчика.

=== понятие reentrancy ===
http://en.wikipedia.org/wiki/Reentrancy_(computing)

=== пару слов про существующие реализации (boost::signals, boost::signals2, Qt Signals) ===
signals2 - thread-safe реализация signals
http://habrahabr.ru/post/50812/
http://www.rsdn.ru/article/cpp/signals2.xml

== exception safety ==
some link: [http://www.stroustrup.com/except.pdf] - слишком много
=== зачем это нужно ===
очевидно - чтоб прога не вылетала, память не ликалась, ниче не затиралось, данные не терялись

=== RAII ===
http://habrahabr.ru/post/157315/

=== ошибки и как их можно обрабатывать (propagation to caller, assertion, logging, precess termination) ===
propogation to caller - может быть реализован двумя методами: возвратом функцией кода ошибки или бросанием функцией исключения (и его отловом в вызывающем). Такое допускается для ошибок, не связанных с правильностью программы; чаще используется для перехвата обработки неправильных входных данных или ошибки с устройствами ввода/вывода. Срабатывание таких ошибок в программе считается нормальным, предполагается, что такая ошибка может быть корректно обработана.

Assertion - "контрольные точки" в коде, срабатывание ассерта в программе обычно свидетельствует об ошибке в ее логике, правильности алгоритма. В идеале, такие ситуации в релизной версии не должны возникать вообще, поскольку описание ассерта имеет больше смысла именно для разработчика. В релизной версии лучше использовать лог-файл, а не грузить пользователя вещами, которых он, скорее всего, не знает.

http://habrahabr.ru/post/141080/

logging или журналирование - оптимальный для выпущенной программы способ обработки ошибок в логике кода - записать все мыслимые и немыслимые детали о ней в логфайл (или поток вроде stderr). Сам лог, в свою очередь, предлагается отправить разработчику для изучения. Может также быть использован самим же разработчиком для изучения особо безумных ошибок, непонятно от чего возникающих, для этого в лог можно писать все значимые действия программы.

Precess termination - крайний выход, свалить программу к чертям. Лучше избегать, если иное может, к примеру, нанести вред аппаратуре. Для отладки не годится, поскольку не дает деталей об ошибке сам по себе.

На практике обычно используются комбинации.

* Исключения, при разматывании стека целиком, приводят к аварийному завершению. Иногда производится печать в лог пути, пройденного исключением при разматывании стека.
* Виндовский синий экран, предполагается, является этаким ассертом для выявления ошибки, после него снимается лог (иногда с дампом памяти), и происходит аварийное завершение.
* Для случаев, когда произошедшая ошибка делает дальнейшую работу программы быссмысленной, сгодится ассертоподобное сообщение об ошибке и завершение программы.

== UNIX-signals (это не тоже самое что signals из пункта 3), hardware interrupts ==
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 - hardware interrupts

Главное отличие сигналов от других средств взаимодействия между процессами заключается в том, что их обработка программой обычно происходит сразу же после поступления сигнала (или не происходит вообще), независимо от того, что программа делает в данный момент. Сигнал прерывает нормальный порядок выполнения инструкций в программе и передает управление специальной функции – обработчику сигнала. Если обработка сигнала не приводит к завершению процесса, то по выходе из функции-обработчика выполнение процесса возобновляется с той точки, в которой оно было прервано. У программ также есть возможность приостановить обработку поступающих сигналов временно, на период выполнения какой-либо важной операции. В традиционной терминологии приостановка получения определенных сигналов называется блокированием. Если для поступившего сигнала было установлено блокирование, сигнал будет передан программе, как только она разблокирует данный тип сигналов. Этим блокирование отличается от игнорирования сигнала, при котором сигналы соответствующего типа никогда не передаются программе. Следует помнить, что не все сигналы могут быть проигнорированы. Например, при получении программой сигнала принудительного завершения SIGKILL система ничего не сообщает программе, а просто прекращает ее работу. Таким образом, преимущество сигналов перед другими средствами взаимодействия с программой заключается в том, что посылать программе сигналы можно в любой момент ее работы, не дожидаясь наступления каких-то особых условий. Источником сигналов может быть как сам операционная система, так и другие программы пользователя. Если вам показалось, что сигналы похожи на прерывания, то вы совершенно правы. Для реализации сигналов действительно используются программные прерывания.

=== зачем это нужно ===
=== reentrancy ===
Для функций, обрабатывающих потоки, существует и еще одно важное требование – реентерабильность. Поскольку обработчик сигнала может быть вызван в любой точке выполнения программы (а при не кототорых условиях во время обработки одного сигнала может быть вызван другой обработчик сигнала) в обработчиках додлжны использоваться функции, которые удовлетворяют требованию реентерабельности, то есть, могут быть вызваны в то время, когда они уже вызваны где-то в другой точке программы. Фактически, требование реентерабельности сводится к тому, чтобы функция не использовала никаких глобальных ресурсов, не позаботившись о синхронизации доступа к этим ресурсам. Некоторые функции ввода-вывода, в том числе, функция printf(), которую мы (и не только мы) используем в примерах обработчиков сигналов, реентерабельными не являются. Это значит, что выводу одной функции printf() может помешать вывод другой функции. В приложении приводится список реентерабельных функций, которые безопасно вызвать из обработчиков сигналов.

== multithreading ==
=== зачем это нужно ===
Ну вроде бы очевидно: увеличить скорость выполнения программы. Однако, стоит понимать, что иногда скорость может даже уменьшиться (в интернете есть куча примеров).

Более подробно - это способ задействовать больше аппаратуры для выполнения алгоритма в современных компьютерах, которые хвастаются многоядерностью/многопроцессорностью - так достигается увеличение скорости выполнения. Есть множество задач, которые хорошо делятся на несколько независимых друг от друга. Например, quicksort - после разделения элементов на группы, каждую из них можно сортировать независимо. Но тут важно не переборщить с его использованием, поскольку создание отдельного потока (thread, треда) тоже требует некоторых ресурсов, и сортировать в отдельном треде группы, скажем, по 2 элемента уже очень нерационально, это может как раз замедлить сортировку.

=== понятие race condition ===
Стандартный пример, как не нужно использовать multithreading. Пусть есть некоторые общие данные, а два потоки одновременно пытаются выполнить с ними какие-то операции. Например, есть переменная x = 0, два потока пытаются увеличить ее на 1. В итоге может получится как 1, так и 2 (так и вообще непонятно что, см. [http://en.wikipedia.org/wiki/Race_condition]). Вывод: нужно lock'ать данные перед тем, как их использовать.
=== atomic operations ===
В 11х плюсах, чтобы не получались "race condition" есть atomic operations библиотека. Например, можно писать такой код:

atomic<int> counter(0);

++counter // используется одновременно в нескольких потоках

Эта конструкция является thread-safe, т. е. не нужно делать lock на counter.

=== mutexes (mutex, recuirsive_mutex, shared_mutex) ===
mutex - объект, который используется для определения, делает ли с некоторым объектом что-то другой поток.

Пример использования. Пусть есть map и треды, которые одновременно в него что-то пишут. Тогда создадим mutex и будем его lock'ать перед тем как использовать map:

std::map<std::string, std::string> some_map;
std::mutex some_mutex;
void write_to_map(std::string key, std::string value) {
some_mutex.lock();
some_map[key]=value;
some_mutex.unlock();
}

recursive_mutex позволяет треду lock'ать его несколько раз. Пример:

void f1() {
_mutex.lock();
// some code
_mutex.unlock();
}

void f2() {
_mutex.lock();
f1(); // deadlock here!
_mutex.unlock();
}

Если в данном коде использовать обычный mutex, то программа зависнет (получит deadlock), так как f1 не сможет взять lock и будет ждать. При использовании recursive_mutex все будет нормально (поскольку к объекту обращаются с одного и того же треда, f1 сможет взять lock). Снимать lock нужно столько же раз, сколько и брать, иначе другие потоки не смогут работать с данными.

shared_mutex - boost'овая хрень. Читать тут: [http://stackoverflow.com/questions/989795/example-for-boost-shared-mutex-multiple-reads-one-write/4820461#4820461]. Видимо смысл в том, что в обычных мютексах мы не могли читать одновременно из двух потоков, т.к. нужно было взять lock (вдруг кто-то третий начнет изменять данные). А тут можно.

=== condition_variable ===
Пусть есть тред t1, который что-то делает. Пусть другие треды должны ждать, пока t1 не закончит выполнение. Чтобы это сделать используются conditional_variable. Пример:

std::condition_variable cond_var;
std::mutex m;
int sum;
bool done = false;

std::thread th1([&]() {
std::unique_lock<std::mutex> lock(m);
for (int i = 0; i < 5; ++i) {
sum++;
}
done = true;
cond_var.notify_one();
});

std::thread th2([&]() {
std::unique_lock<std::mutex> lock(m);
if (!done)
cond_var.wait(m);
std::cout << sum;
});

int main() {
th1.join();
th2.join();
}

Важно, что второй тред уже взял lock на m. Т. е. cond_var.wait(m) делает следующие: отдает lock, ждет, когда кто-то сделает cond_var.notify_one() или cond_var.notify_all(), забирает lock обратно, продолжает работу программы. notify_all отличается от notify_one тем, что он будит сразу все треды, которые ждут, а не только один (случайный?).

=== понятие dead lock ===
Первый тред взял lock на A, второй на B. Первый хочет что-то сделать с B, второй с A. Оба ждут.

=== futures ===
Если тред бросает исключение, но не ловит его, скорее всего, вся программа упадет. Чтобы такого не случилось, можно использовать futures/promises. А вообще future используется для получение некоторого значения, которое должен вернуть тред. Пример:

auto promise = std::promise<std::string>();

auto producer = std::thread([&] {
promise.set_value("Hello World");
});

auto future = promise.get_future();

auto consumer = std::thread([&] {
std::cout << future.get();
});

producer.join();
consumer.join();

Из примера вроде понятно, что происходит. future_get() ждет, пока другой тред не вернет какое-нибудь значение. Если что-то случилось, то можно в promise положить ошибку:

promise.set_exception(runtime_error(“message”));

и нормально ее обработать в другом треде.

=== TLS (thread local storage) ===
Если хочется иметь для каждого треда свои отдельные данные, то в 11х плюсах есть THL. Пример:

thread_local int n;
void f() {
std::cout<< ++n << " ";
}
int main {
std::thread t1(f);
std::thread t2(f);

t1.join();
t2.join();
}

Программа выведет "1 1 " в любом случае.

== asynchronous operations ==
=== зачем это нужно ===
Чаще всего - запросы в сеть, в файловую систему или к устройствам ввода/вывода. Иногда необходимо дать возможность пользователю как-то влиять на выполнение такого задания, или отображать его подробности - к примеру, отменить запрос в сеть (сберечь трафик или освободить компьютер от ожидания таймаута, когда интернета нет) или показывать прогресс (загрузки файла, к примеру).

Пример. Если в главном треде приложения обрабатывается интерфейс пользователя, выполнение запроса к БД (на удалённом сервере) прямо в этом же треде может привести к зависанию всего интерфейса. Если во время этого запроса программа ничего больше не должна делать в принципе - это допустимо (но плохо, потому что интерфейс перестаёт реагировать на любые действия, пользователь или ОС могут посчитать программу зависшей), но встречаются более сложные интерфейсы, в которых во время такого запроса можно делать что-то ещё - подкручивать настройки, например. В этом случае запрос необходимо делать асинхронно.

=== как это работает ===
1) можно периодически спрашивать процесс на закончился ли он?
2) можно всякие прерывания юзать
3) ну и главное с помощью многопоточности

=== механизмы предоставляемые ОС (select, poll, epoll, kqueue, IOCP) ===
http://en.wikipedia.org/wiki/Asynchronous_I/O#Select.28.2Fpoll.29_loops
http://en.wikipedia.org/wiki/IOCP

== remote procedure call ==
=== зачем это нужно ===
общаться между процессами, и даже вызывать с одного компа процессы на другом компе

=== apartment threading model ===
http://www.rsdn.ru/article/com/apartmnt.xml
http://www.introligator.org/articles/3/84 - понятнее
=== reentrancy ===
ну в free threaded сам заботься, а apartment сам все сделает

=== достоинства/недостатки apartment threading model ===
Главным достоинством апартамента STA является то, что разработка объекта COM и клиентской части проста в том смысле, что нет нужды заботиться о синхронизации вызовов методов и их выполнения: следующий метод начнет выполняться только после того, как закончится выполнение предыдущего. Аналогично не нужно заботиться о синхронизации доступа к данным объекта.

Главным недостатком апартамента STA является его неэффективность. Даже если синхронизация вызовов методов и не нужна, она все равно выполняется.

=== free threaded threading model ===
http://www.rsdn.ru/article/com/apartmnt.xml
http://www.introligator.org/articles/3/84 - понятнее(тоже самое)

=== достоинства/недостатки free threaded threading model ===
Основным достоинством MTA апартамента является потенциально высокая производительность сервера, вследствие чего он более доступен для клиентов. Вместе с тем разработка объектов такого сервера намного сложнее, так как требуется синхронизировать не только вызовы методов, но и обращение к локальным данным объектов.

=== пару слов про реализации (COM, CORBA, D-Bus) ===

== fibers ==
это просто реализация концепции сопрограмм
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/windows/desktop/ms682661(v=vs.85).aspx

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0 - короче это просто реализация этого принципа. Была нить ее разхреначили на волокна и идут сначала по одному - потом переключились на другой, поделали чето там, вернулись и продолжили идти по первому, например.
=== зачем это нужно ===
Фиберы - это мануально переключаемые потоки. Всегда, когда удобнее вместо синхронизации использовать ручное переключение, применяются фиберы. Также, если потоков много и они однотипны, то целесообразно создавать фиберы, ибо они значительно экономят ресурсы.

=== coroutines ===
http://www.crystalclearsoftware.com/soc/coroutine/

=== generators ===
Подпрограмма возвращает значение только однажды, возврат нескольких значений требует использовать в качестве возвращаемого значения коллекции. Если в некоторых языках это приемлемо, например Forth и Перл, то другие языки, например Си, поддерживают только одно возвращаемое значение, и поэтому необходимо возвращать ссылку на коллекцию. В противовес, сопрограмма может возвращать результат несколько раз, возвращение множества значений требует только вызова сопрограммы несколько раз. Сопрограммы, которые возвращают множество значений, часто называют генераторами.

=== как это работает ===
возвращение множества значений требует только вызова сопрограммы несколько раз.

=== FLS (fiber local storage) ===
у каждого фибера есть ствой локал сторадж
ФИБЕР МОГУТ ВЫПОЛНЯТЬ РАЗНЫЕ ПОТОКИ

== С++11 ==
=== см. http://gcc.gnu.org/projects/cxx0x.html и http://www.stroustrup.com/C++11FAQ.html ===

RUS:http://sergeyteplyakov.blogspot.ru/2012/05/c-11-faq.html#auto // круто

=== про каждую фичу надо говорить, зачем это нужно, как это работает ===

== C++1y and beyond ==
=== static_if ===
http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2012/n3329.pdf
template <unsigned long n>
struct factorial {
static if (n <= 1) {
enum : unsigned long { value = 1 };
} else {
enum : unsigned long {
value = factorial<n - 1>::value * n
};
}
Можно так же смотреть 64 битный ли у нас компилятор. Эти примеры вроде есть в пдфке.

=== modules ===
http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2012/n3347.pdf

=== concepts ===
Это описание свойств типа, необходимых для работы в шаблоне. Компилятор на основе этих данных может производить дополнительные оптимизации, а программист может указывать, что ему нужно от типа, который дают шаблону. В сущности, это нововведение лишь даёт мизерный прирост к скорости и делает более понятными некоторые сообщения компилятора об ошибках.

auto concept LessThanComparable<typename T> {
requires SomeConcept<T>;
bool operator<(T, T);
}

* Ключевое слово auto указывает, что проверять на совместимость с концептом надо любые типы. Всё, что подошло по условию, концептом поддерживается.
* concept - ключевое слово "это концепт". С уважением, капитан Очевидность.
* LessThanComparable - собственно, название концепта, а в угловых скобках - аналогично объявлению шаблона, удовлетворяющие ему типы. Далее в фигурных скобках идёт описание концепта.
* requires - ключевое слово, которое можно применить и при объявлении шаблона - требует выполнения типом T этого концепта другого концепта SomeConcept. Именно типом T, поскольку их может быть несколько.
* Объявление функции - обязывает претендента на совместимость с концептом такую функцию иметь в ближайшем доступе - будь то где-то снаружи или внутри класса.

Применить его можно так:

template<LessThanComparable T>
const T& min(const T &x, const T &y) {
return (y < x) ? y : x;
}

Или так:

template<typename T> requires LessThanComparable<T>
const T& min(const T &x, const T &y) {
return (y < x) ? y : x;
}

Последний способ лучше тем, что позволяет указать для типа несколько требований одновременно без необходимости создавать новый концепт, содержащий их все. К слову, концепты можно и наследовать, хотя это и аналогично применению requires.

Концепты были убраны из чернового стандарта C++11 в июле 2009 года. Однако опенсорс подхватил идею и реализовал её в ConceptGCC, форке GNU C++ compiler.

Остальное можете почитать здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Concepts_(C%2B%2B)

== ranges ==
http://www.boost.org/doc/libs/1_52_0/libs/range/doc/html/index.html -- а может это и не оно, хз
=== зачем это нужно ===
=== как это работает ===

== encodings ==
=== понятие code unit, понятие code point, combining characters ===
Code unit — минимальная(по длине) битовая комбинация, которая может представлять символ. Для UTF-8 code unit равен 8, символы могут представляться одним или несколькими 8-битными последовательностями. В UTF-16 и UTF-32 code unit по 16 и 32 бита соответственно. [http://www.coderanch.com/t/416952/java/java/Unicode-code-unit-Unicode-code]

Code point — любое значение, которое может представлять символ юникода(0x0–0x10FFFF) [http://www.unicode.org/glossary/#code_point]

Combining characters — символы, которые в комбинации с другими дают новые символы (всякие крышечки, точечки, ударения, которые можно нарисовать над буквами).

=== UTF-8, overlong sequence ===
Смотрим, как преставляются символы в UTF-8: [http://en.wikipedia.org/wiki/UTF-8#Description]

Очевидно, что один и тот же символ может представляться разными последовательностями байт. Но по стандарту представление должно использовать минимальное число байт. Все остальные преставления называются overlong sequences.

=== UTF-16, surrogate pair ===
=== UTF-32 ===
=== byte order mark ===
=== endianness, UTF-16BE, UTF-16LE, UTF-32BE, UTF-32LE ===

Участник:Yulya3102/Матан3сем

2013-01-15T04:09:50Z

Bobrov: /* Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов */

== Основные вопросы ==
=== Список теорем ===
==== Теоремы без доказательств ====
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда|Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда]]

=== Признак Вейерштрасса ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.

Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.
|proof=
<tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le
sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0
</tex>
}}

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.
|proof=
1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex>

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
}}

=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.

Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>

<tex> * </tex>
1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.
2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.
|proof=
<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>

Сделаем предельный переход по <tex>N</tex>

<tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>
}}

=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>

2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex>

Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
|proof=
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>

* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>

* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.

<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
}}

=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
{{
Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>.

1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex>

2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex>

Тогда

1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится

2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел

* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>

<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>

Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти

<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>

<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>

Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>

<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>

Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]

<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
}}

=== Теорема о перестановке пределов ===
(<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>)

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>]

1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>

2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex>

Тогда

1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex>

2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>

Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>

Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>

<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>

Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)

<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>

2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>

<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex>

<tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex>

при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный

<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex>

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>

<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>

<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
}}

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>

Возможны три случая:

1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится

2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>

3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при

<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится

<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость

<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>

* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>

1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится

при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)

3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>

<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}

=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:

1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>

2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]

<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>

<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>

<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.

<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>

(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>

В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}

=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>

(уравнения Коши-Римана)

|proof=
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}

=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>

Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>

Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>

<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

<tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}

=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>

1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>

1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>

1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>

{{Теорема
|statement=
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
|proof=
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>

<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>

<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
}}

* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>

2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>

2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>

2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>

2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>

2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>

<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>

<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>

<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>

2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>

<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>

2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>

<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>

-----
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>

<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>

<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>

=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>

Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].

<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}

=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>

<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа

// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка

<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>

<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>

<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}

=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально

<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>

<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>

<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>

<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>

<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}

=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>

<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>

<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;

<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>

Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
|proof=
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>

<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>

<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>

<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>

1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>

<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>

<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>

<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>

<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>

<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
}}

=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:

1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>

2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>

(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>

<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>

<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.

<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>

Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>

<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>

Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>

<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>

<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>

// Если ехать быстро и криво

<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>

<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>

// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
}}

=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>

<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление

Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.

Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>

// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
}}

=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>

<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

Тогда эти две частные производные равны.
|proof=
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>

фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>

<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки

<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>

<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
}}
* Замечание 1:

Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

* Замечание 2:

Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>

Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>

и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка

Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>

=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>

<tex> r = 1 </tex>

<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>

<tex> r = r + 1 </tex>

<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>

<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m + 1}} = </tex>

<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;

<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс

<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1

<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>

* Замечание 2

<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>

<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>

=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}

=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=

<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>

<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>

Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

}}

Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.

Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}

=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть

<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>

<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>

<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>

<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>

1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>

2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]

3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>

<tex>(2)</tex>

<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>

<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>

Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
}}

=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:

1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;

2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;

3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=

Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>

Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>

Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)

Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>

Само доказательство:

<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).

<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}

=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:

<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>

<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>

<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>

? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>

<tex> II \Rightarrow I </tex>

<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>

<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>

<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>

Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}

=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>.

Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)

|proof=
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>.

Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
|proof=
Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно.
Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}

=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
{{Утверждение
|statement=
1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> 
2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
|proof=
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>

(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>)

<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>

<tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex>

<tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex>

2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.)

<tex> x = 0 : \text{triv} </tex>

<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
}}

=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).

2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).

3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.

4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>

Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>

<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>

Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума

<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>

<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>

<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>

<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}

=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>

<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>

<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>

<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>

2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>

<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>

// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}

=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.

* Замечание

1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное

2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?

<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>

при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>

<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>

Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>

Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>

<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>

<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>

В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.

На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>

<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]

<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>

<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}

=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.

Тогда:

1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
|proof=

1) <tex> r = 1 </tex>

<tex>F(O) = O' </tex> — открытое

Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>

Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.

* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>

<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>

* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.

Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>

<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>

Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>

<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>

<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>

<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>

2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}

=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>

Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
|proof=
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима

[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.

<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>

<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>

<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>

<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>

<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>

<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание

<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.

<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле

=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

'''Раньше тут был забыт минус!'''
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>

|proof=

Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.

<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>

<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.

<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>

По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.

Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.

Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}

=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.

Эквивалентные утверждения:

1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие

2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия:

2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>

2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>

<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>

<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях

<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.

<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>

<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>

<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>

<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>

<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>

<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>

<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>

<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}

=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.

По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>

<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация

<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.

<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.

<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>

При таком <tex> \lambda : </tex>

<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
}}

=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}

=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex>

<tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex>

<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex>

3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex>

Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]
\end{cases} </tex>

то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)

<tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex>

<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>

<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>

5) Оценка интеграла:
{{
Теорема
|statement=
<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}

=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий.

Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
|proof=
1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути

\\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex>

\\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex>

2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий

<tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>
}}

=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
Теорема
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в <tex> O </tex>

2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)

3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]

<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно

<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>

<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>

<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно

<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>

Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?

Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)

Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>

<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>

<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>

<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>

<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
}}

=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
|proof=
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>

<tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>

<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>

<tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex>

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела.
}}

=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>
|proof=
<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>

<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
}}

=== Лемма о гусенице ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
|proof=
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>

<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>

<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие

Можно считать <tex> \forall i \ \exists s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>

<tex> s_1 < s_2 ... < s_n </tex>
}}

=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>

<tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>

Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex>

в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д.

<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex>

<tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex>
}}
* Замечание

<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex>

=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex>

<tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>

<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>

<tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex>

<tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex>

<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей
}}

=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
|proof=
<tex> \Gamma </tex> — гомотопия. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>

<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная

<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)

<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна.

<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
}}

=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
|proof=
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>

По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
}}

Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.

=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{2}{n}} \int\limits_0^{+\inf} e^{-t^2} dt </tex>
|proof=

Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи:

1) <tex>\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{n^{-\frac{1}{3}}} \cos^{n}x dx</tex>

Доказывается заменой <tex>\cos^n{x} = e^{n\ln{\cos{x}}}</tex> и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143)

2) Доказываем, что x — точка максимума для <tex>\ln{\cos{x}}</tex>, вместе с этим заменяем по формуле Тейлора <tex>n\ln{\cos{x}}</tex> на <tex>-\frac{nx^2}{2}+o(x^2)</tex> и показываем, что это <tex>o(x^2)</tex> не мешает подставить замену в интеграл.

3) Делаем замену <tex>t=\sqrt{\frac{n}{2}}x, dx = \sqrt{\frac{2}{n}}dt</tex>, получаем интеграл из условия.

}}

=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
|proof=
<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>

<tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем
}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(t) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(a)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.

|proof=

* В доказательстве используется прием: при <tex>q > 1, p > 0, A > 0, s > 0</tex> в интеграле <tex>\int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt</tex>

* вводим замену <tex>u = At^p, t = (\frac{u}{A})^{1/p}, dt = \frac{u^{1/p-1}}{pA^{1/p}}</tex>.

* Тогда он превращается в <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}} \int\limits_0^{As^p} u^{\frac{q+1}{p} - 1}e^{-u}du</tex>, который при <tex>A\to{+\infty}</tex> стремится к <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma({\frac{q+1}{p}})</tex>

'''Утверждения:'''

1) <tex>\forall{c\in(a, b)}\ \forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}\ \int\limits_a^c{fe^{A\varphi}} \le \int\limits_a^b{fe^{A\varphi}} \le (1 + \varepsilon)\int\limits_a^c{fe^{A\varphi}}</tex> (следствие из теоремы о локализации)

2) <tex>\forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}</tex>

<tex>(1-\varepsilon)\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p}) \le \int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt \le \frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p})</tex> (следствие из приема выше. Да, читается ужасно)

'''Доказательство'''

Выбираем окрестность точки <tex>a: [a; a+s]</tex> и <tex>\varepsilon</tex> такое, что

<tex>1-\varepsilon < \frac{f(t)}{L(t-a)^q} < 1+\varepsilon</tex>

<tex>1-\varepsilon < \frac{\varphi(a) - \varphi(t)}{c(t-a)^p} < 1+\varepsilon</tex>

Для <tex>A > A_0</tex>, удовлетворяющих двум утверждениям выше, выполняется:

<tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \le (1+\varepsilon)\int\limits_a^{a+s}L(t-a)^q \cdot e^{A\varphi(a)} \cdot e^{-A(\varphi(a)-\varphi(t)} dt \le</tex>

<tex>\le (1+\varepsilon)Le^{A\varphi(a)}\int\limits_0^s{\tau^q}e^{-Ae^{c(1-\varepsilon)\tau^p}}d\tau</tex>

По утверждению 2 это меньше или равно <tex>\frac{1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>. В квадратных скобках то, что нам нужно.

Используя другие части неравенства, находим, что <tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \ge \frac{1-\varepsilon}{(1+\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>.

Вроде доказали.

}}

=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
|proof=
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>

<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>

Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>

<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>

<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>

<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>

<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>

<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
}}
* Замечание

<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>

=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>

// <tex> \varphi(u) = -(u - \ln u) </tex>

// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{u}); u = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>

// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{u^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>

<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
}}

== Определения и факты ==
=== Равномерно сходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}

=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:

1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.

=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}

=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}

=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>

<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>

<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
}}

=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}

=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}

=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}

=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}

=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}

=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}

=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}

=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.

Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона''' или '''оператором Набла'''.
}}

=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}

=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}

=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.

=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:

<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>

С остатком в интегральной форме:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>

Формула в дифференциалах:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>

Формула в координатах:

<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>

=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:

<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>

<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>

<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>

<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}

=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| </tex>.
}}

=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:

<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;

<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.

Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}

=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. 

1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. 

2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. 

3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. 

4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}

=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}

=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.

<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>

<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>

Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}

=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}

=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}

Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}

=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:

1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;

2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;

3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;

4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}

=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное

<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)

<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}

=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля

<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>

Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}

=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}

=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}

=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}

=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}

=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}

=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}

=== Односвязная область ===
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}

== Примеры ==
=== Производная линейного отображения ===
<tex>L'(x) = L</tex>

По определению:

<tex>L(x + h) - L(x) = L(h)</tex>
=== Правило цепочки: запись в координатах ===
=== n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность ===
Равносторонний <tex>n</tex>-угольник.

[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].

Нормальное доказательство:

Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))</tex>. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна <tex>2\pi</tex>) и будем максимизировать следующую функцию от <tex>n-1</tex> переменной: <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))</tex>.

Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:

<tex>
\begin{cases}
cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\
... \\
cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
\end{cases}
</tex>

Откуда получаем <tex>a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}</tex>. Поскольку все углы лежат в пределах <tex>(0..\pi)</tex>, то из первого уравнения <tex>a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}</tex> находим <tex>a_1 = 2\pi / n</tex>. То, что это решение и есть максимум очевидно.

=== Непотенциальное векторное поле ===
Любое отображение, для которого <tex>\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_j}} \neq \frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}</tex> для каких-нибудь i и j.
Например, <tex>F(x, y, z) = (xy, xz, yz)</tex>: <tex>\frac{\partial{F_1}}{\partial{y}} = x; \frac{\partial{F_2}}{\partial{x}} = z</tex>

=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.

Участник:Yulya3102/Матан3сем

2013-01-15T02:53:03Z

Bobrov: Список теорем без доказательств

== Основные вопросы ==
=== Список теорем ===
==== Теоремы без доказательств ====
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда|Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда]]

=== Признак Вейерштрасса ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.

Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.
|proof=
<tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le
sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0
</tex>
}}

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.
|proof=
1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex>

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
}}

=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.

Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>

<tex> * </tex>
1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.
2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.
|proof=
<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>

Сделаем предельный переход по <tex>N</tex>

<tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>
}}

=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>

2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex>

Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
|proof=
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>

* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>

* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.

<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
}}

=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
{{
Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>.

1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex>

2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex>

Тогда

1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится

2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел

* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>

<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>

Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти

<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>

<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>

Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>

<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>

Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]

<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
}}

=== Теорема о перестановке пределов ===
(<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>)

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>]

1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>

2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex>

Тогда

1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex>

2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>

Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>

Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>

<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>

Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)

<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>

2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>

<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex>

<tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex>

при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный

<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex>

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>

<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>

<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
}}

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>

Возможны три случая:

1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится

2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>

3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при

<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится

<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость

<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>

* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>

1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится

при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)

3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>

<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}

=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:

1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>

2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]

<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>

<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>

<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.

<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>

(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>

В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}

=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>

(уравнения Коши-Римана)

|proof=
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}

=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>

Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>

Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>

<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

<tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}

=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>

1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>

1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>

1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>

{{Теорема
|statement=
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
|proof=
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>

<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>

<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
}}

* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>

2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>

2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>

2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>

2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>

2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>

<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>

<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>

<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>

2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>

<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>

2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>

<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>

-----
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>

<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>

<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>

=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>

Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].

<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}

=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>

<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа

// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка

<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>

<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>

<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}

=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально

<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>

<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>

<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>

<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>

<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}

=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>

<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>

<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;

<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>

Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
|proof=
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>

<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>

<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>

<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>

1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>

<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>

<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>

<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>

<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>

<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
}}

=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:

1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>

2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>

(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>

<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>

<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.

<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>

Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>

<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>

Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>

<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>

<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>

// Если ехать быстро и криво

<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>

<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>

// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
}}

=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>

<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление

Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.

Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>

// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
}}

=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>

<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

Тогда эти две частные производные равны.
|proof=
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>

фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>

<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки

<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>

<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
}}
* Замечание 1:

Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

* Замечание 2:

Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>

Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>

и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка

Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>

=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>

<tex> r = 1 </tex>

<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>

<tex> r = r + 1 </tex>

<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>

<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m + 1}} = </tex>

<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;

<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс

<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1

<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>

* Замечание 2

<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>

<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>

=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}

=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=

<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>

<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>

Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

}}

Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.

Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}

=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть

<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>

<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>

<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>

<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>

1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>

2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]

3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>

<tex>(2)</tex>

<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>

<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>

Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
}}

=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:

1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;

2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;

3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=

Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>

Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>

Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)

Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>

Само доказательство:

<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).

<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}

=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:

<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>

<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>

<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>

? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>

<tex> II \Rightarrow I </tex>

<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>

<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>

<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>

Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}

=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>.

Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)

|proof=
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>.

Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
|proof=
Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно.
Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}

=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
{{Утверждение
|statement=
1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> 
2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
|proof=
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>

(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>)

<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>

<tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex>

<tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex>

2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.)

<tex> x = 0 : \text{triv} </tex>

<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
}}

=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).

2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).

3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.

4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>

Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>

<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>

Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума

<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>

<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>

<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>

<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}

=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>

<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>

<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>

<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>

2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>

<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>

// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}

=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.

* Замечание

1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное

2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?

<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>

при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>

<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>

Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>

Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>

<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>

<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>

В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.

На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>

<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]

<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>

<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}

=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.

Тогда:

1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
|proof=

1) <tex> r = 1 </tex>

<tex>F(O) = O' </tex> — открытое

Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>

Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.

* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>

<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>

* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.

Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>

<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>

Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>

<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>

<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>

<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>

2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}

=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>

Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
|proof=
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима

[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.

<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>

<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>

<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>

<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>

<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>

<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание

<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.

<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле

=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

'''Раньше тут был забыт минус!'''
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>

|proof=

Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.

<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>

<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.

<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>

По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.

Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.

Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}

=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.

Эквивалентные утверждения:

1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие

2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия:

2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>

2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>

<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>

<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях

<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.

<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>

<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>

<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>

<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>

<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>

<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>

<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>

<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}

=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.

По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>

<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация

<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.

<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.

<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>

При таком <tex> \lambda : </tex>

<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
}}

=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}

=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex>

<tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex>

<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex>

3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex>

Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]
\end{cases} </tex>

то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)

<tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex>

<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>

<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>

5) Оценка интеграла:
{{
Теорема
|statement=
<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}

=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий.

Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
|proof=
1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути

\\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex>

\\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex>

2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий

<tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>
}}

=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
Теорема
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в <tex> O </tex>

2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)

3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]

<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно

<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>

<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>

<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно

<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>

Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?

Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)

Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>

<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>

<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>

<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>

<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
}}

=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
|proof=
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>

<tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>

<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>

<tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex>

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела.
}}

=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>
|proof=
<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>

<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
}}

=== Лемма о гусенице ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
|proof=
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>

<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>

<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие

Можно считать <tex> \forall i \ \exists s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>

<tex> s_1 < s_2 ... < s_n </tex>
}}

=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>

<tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>

Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex>

в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д.

<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex>

<tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex>
}}
* Замечание

<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex>

=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex>

<tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>

<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>

<tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex>

<tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex>

<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей
}}

=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
|proof=
<tex> \Gamma </tex> — гомотопия. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>

<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная

<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)

<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна.

<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
}}

=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
|proof=
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>

По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
}}

Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.

=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{2}{n}} \int\limits_0^{+\inf} e^{-t^2} dt </tex>
|proof=

Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи:

1) <tex>\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{n^{-\frac{1}{3}}} \cos^{n}x dx</tex>

Доказывается заменой <tex>\cos^n{x} = e^{n\ln{\cos{x}}}</tex> и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143)

2) Доказываем, что x — точка максимума для <tex>\ln{\cos{x}}</tex>, вместе с этим заменяем по формуле Тейлора <tex>n\ln{\cos{x}}</tex> на <tex>-\frac{nx^2}{2}+o(x^2)</tex> и показываем, что это <tex>o(x^2)</tex> не мешает подставить замену в интеграл.

3) Делаем замену <tex>t=\sqrt{\frac{n}{2}}x, dx = \sqrt{\frac{2}{n}}dt</tex>, получаем интеграл из условия.

}}

=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
|proof=
<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>

<tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем
}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.

|proof=

* В доказательстве используется прием: при <tex>q > 1, p > 0, A > 0, s > 0</tex> в интеграле <tex>\int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt</tex>

* вводим замену <tex>u = At^p, t = (\frac{u}{A})^{1/p}, dt = \frac{u^{1/p-1}}{pA^{1/p}}</tex>.

* Тогда он превращается в <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}} \int\limits_0^{As^p} u^{\frac{q+1}{p} - 1}e^{-u}du</tex>, который при <tex>A\to{+\infty}</tex> стремится к <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma({\frac{q+1}{p}})</tex>

'''Утверждения:'''

1) <tex>\forall{c\in(a, b)}\ \forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}\ \int\limits_a^c{fe^{A\varphi}} \le \int\limits_a^b{fe^{A\varphi}} \le (1 + \varepsilon)\int\limits_a^c{fe^{A\varphi}}</tex> (следствие из теоремы о локализации)

2) <tex>\forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}</tex>

<tex>(1-\varepsilon)\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p}) \le \int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt \le \frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p})</tex> (следствие из приема выше. Да, читается ужасно)

'''Доказательство'''

Выбираем окрестность точки <tex>a: [a; a+s]</tex> и <tex>\varepsilon</tex> такое, что

<tex>1-\varepsilon < \frac{f(t)}{L(t-a)^q} < 1+\varepsilon</tex>

<tex>1-\varepsilon < \frac{\varphi(a) - \varphi(t)}{c(t-a)^p} < 1+\varepsilon</tex>

Для <tex>A > A_0</tex>, удовлетворяющих двум утверждениям выше, выполняется:

<tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \le (1+\varepsilon)\int\limits_a^{a+s}L(t-a)^q \cdot e^{A\varphi(a)} \cdot e^{-A(\varphi(a)-\varphi(t)} dt \le</tex>

<tex>\le (1+\varepsilon)Le^{A\varphi(a)}\int\limits_0^s{\tau^q}e^{-Ae^{c(1-\varepsilon)\tau^p}}d\tau</tex>

По утверждению 2 это меньше или равно <tex>\frac{1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>. В квадратных скобках то, что нам нужно.

Используя другие части неравенства, находим, что <tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \ge \frac{1-\varepsilon}{(1+\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>.

Вроде доказали.

}}

=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
|proof=
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>

<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>

Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>

<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>

<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>

<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>

<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>

<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
}}
* Замечание

<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>

=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>

// <tex> \varphi(u) = -(u - \ln u) </tex>

// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{u}); u = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>

// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{u^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>

<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
}}

== Определения и факты ==
=== Равномерно сходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}

=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:

1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.

=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}

=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}

=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>

<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>

<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
}}

=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}

=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}

=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}

=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}

=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}

=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}

=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}

=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.

Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона''' или '''оператором Набла'''.
}}

=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}

=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}

=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.

=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:

<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>

С остатком в интегральной форме:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>

Формула в дифференциалах:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>

Формула в координатах:

<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>

=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:

<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>

<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>

<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>

<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}

=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| </tex>.
}}

=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:

<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;

<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.

Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}

=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. 

1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. 

2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. 

3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. 

4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}

=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}

=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.

<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>

<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>

Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}

=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}

=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}

Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}

=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:

1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;

2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;

3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;

4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}

=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное

<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)

<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}

=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля

<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>

Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}

=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}

=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}

=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}

=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}

=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}

=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}

=== Односвязная область ===
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}

== Примеры ==
=== Производная линейного отображения ===
<tex>L'(x) = L</tex>

По определению:

<tex>L(x + h) - L(x) = L(h)</tex>
=== Правило цепочки: запись в координатах ===
=== n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность ===
Равносторонний <tex>n</tex>-угольник.

[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].

Нормальное доказательство:

Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))</tex>. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна <tex>2\pi</tex>) и будем максимизировать следующую функцию от <tex>n-1</tex> переменной: <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))</tex>.

Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:

<tex>
\begin{cases}
cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\
... \\
cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
\end{cases}
</tex>

Откуда получаем <tex>a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}</tex>. Поскольку все углы лежат в пределах <tex>(0..\pi)</tex>, то из первого уравнения <tex>a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}</tex> находим <tex>a_1 = 2\pi / n</tex>. То, что это решение и есть максимум очевидно.

=== Непотенциальное векторное поле ===
Любое отображение, для которого <tex>\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_j}} \neq \frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}</tex> для каких-нибудь i и j.
Например, <tex>F(x, y, z) = (xy, xz, yz)</tex>: <tex>\frac{\partial{F_1}}{\partial{y}} = x; \frac{\partial{F_2}}{\partial{x}} = z</tex>

=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.

Участник:Yulya3102/Матан3сем

2013-01-15T01:56:10Z

Bobrov: /* Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов */

== Основные вопросы ==
=== Список теорем ===
==== Теоремы без доказательств ====
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда|Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда]]

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)|Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)]] — уже есть все идеи доказательства, осталось его выписать, если кому-то не лень.

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о неявном отображении|Теорема о неявном отображении]] Доказательство появилось

Асимптотика интеграла <tex>\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx, n\to+\infty</tex> — много писать =(

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов|Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов]] — много писать =(

=== Признак Вейерштрасса ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.

Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.
|proof=
<tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le
sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0
</tex>
}}

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.
|proof=
1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex>

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
}}

=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.

Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>

<tex> * </tex>
1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.
2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.
|proof=
<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>

Сделаем предельный переход по <tex>N</tex>

<tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>
}}

=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>

2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex>

Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
|proof=
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>

* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>

* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.

<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
}}

=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
{{
Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>.

1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex>

2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex>

Тогда

1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится

2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел

* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>

<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>

Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти

<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>

<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>

Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>

<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>

Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]

<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
}}

=== Теорема о перестановке пределов ===
(<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>)

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>]

1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>

2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex>

Тогда

1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex>

2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>

Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>

Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>

<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>

Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)

<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>

2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>

<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex>

<tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex>

при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный

<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex>

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>

<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>

<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
}}

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>

Возможны три случая:

1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится

2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>

3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при

<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится

<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость

<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>

* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>

1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится

при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)

3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>

<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}

=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:

1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>

2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]

<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>

<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>

<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.

<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>

(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>

В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}

=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>

(уравнения Коши-Римана)

|proof=
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}

=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>

Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>

Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>

<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

<tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}

=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>

1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>

1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>

1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>

{{Теорема
|statement=
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
|proof=
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>

<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>

<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
}}

* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>

2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>

2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>

2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>

2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>

2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>

<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>

<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>

<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>

2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>

<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>

2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>

<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>

-----
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>

<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>

<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>

=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>

Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].

<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}

=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>

<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа

// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка

<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>

<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>

<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}

=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально

<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>

<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>

<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>

<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>

<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}

=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>

<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>

<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;

<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>

Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
|proof=
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>

<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>

<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>

<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>

1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>

<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>

<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>

<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>

<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>

<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
}}

=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:

1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>

2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>

(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>

<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>

<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.

<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>

Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>

<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>

Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>

<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>

<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>

// Если ехать быстро и криво

<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>

<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>

// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
}}

=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>

<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление

Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.

Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>

// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
}}

=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>

<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

Тогда эти две частные производные равны.
|proof=
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>

фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>

<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки

<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>

<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
}}
* Замечание 1:

Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

* Замечание 2:

Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>

Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>

и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка

Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>

=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>

<tex> r = 1 </tex>

<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>

<tex> r = r + 1 </tex>

<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>

<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m + 1}} = </tex>

<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;

<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс

<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1

<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>

* Замечание 2

<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>

<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>

=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}

=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=

<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>

<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>

Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

}}

Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.

Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}

=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть

<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>

<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>

<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>

<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>

1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>

2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]

3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>

<tex>(2)</tex>

<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>

<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>

Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
}}

=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:

1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;

2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;

3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=

Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>

Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>

Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)

Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>

Само доказательство:

<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).

<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}

=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:

<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>

<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>

<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>

? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>

<tex> II \Rightarrow I </tex>

<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>

<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>

<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>

Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}

=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>.

Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)

|proof=
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>.

Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
|proof=
Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно.
Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}

=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
{{Утверждение
|statement=
1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> 
2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
|proof=
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>

(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>)

<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>

<tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex>

<tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex>

2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.)

<tex> x = 0 : \text{triv} </tex>

<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
}}

=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).

2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).

3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.

4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>

Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>

<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>

Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума

<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>

<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>

<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>

<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}

=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>

<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>

<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>

<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>

2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>

<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>

// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}

=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.

* Замечание

1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное

2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?

<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>

при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>

<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>

Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>

Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>

<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>

<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>

В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.

На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>

<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]

<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>

<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}

=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.

Тогда:

1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
|proof=

1) <tex> r = 1 </tex>

<tex>F(O) = O' </tex> — открытое

Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>

Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.

* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>

<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>

* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.

Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>

<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>

Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>

<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>

<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>

<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>

2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}

=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>

Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
|proof=
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима

[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.

<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>

<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>

<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>

<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>

<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>

<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание

<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.

<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле

=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

'''Раньше тут был забыт минус!'''
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>

|proof=

Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.

<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>

<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.

<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>

По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.

Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.

Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}

=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.

Эквивалентные утверждения:

1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие

2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия:

2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>

2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>

<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>

<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях

<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.

<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>

<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>

<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>

<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>

<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>

<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>

<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>

<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}

=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.

По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>

<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация

<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.

<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.

<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>

При таком <tex> \lambda : </tex>

<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
}}

=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}

=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex>

<tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex>

<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex>

3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex>

Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]
\end{cases} </tex>

то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)

<tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex>

<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>

<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>

5) Оценка интеграла:
{{
Теорема
|statement=
<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}

=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий.

Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
|proof=
1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути

\\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex>

\\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex>

2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий

<tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>
}}

=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
Теорема
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в <tex> O </tex>

2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)

3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]

<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно

<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>

<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>

<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно

<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>

Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?

Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)

Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>

<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>

<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>

<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>

<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
}}

=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
|proof=
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>

<tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>

<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>

<tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex>

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела.
}}

=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>
|proof=
<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>

<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
}}

=== Лемма о гусенице ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
|proof=
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>

<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>

<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие

Можно считать <tex> \forall i \ \exists s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>

<tex> s_1 < s_2 ... < s_n </tex>
}}

=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>

<tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>

Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex>

в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д.

<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex>

<tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex>
}}
* Замечание

<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex>

=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex>

<tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>

<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>

<tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex>

<tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex>

<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей
}}

=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
|proof=
<tex> \Gamma </tex> — гомотопия. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>

<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная

<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)

<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна.

<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
}}

=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
|proof=
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>

По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
}}

Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.

=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{2}{n}} \int\limits_0^{+\inf} e^{-t^2} dt </tex>
|proof=

Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи:

1) <tex>\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{n^{-\frac{1}{3}}} \cos^{n}x dx</tex>

Доказывается заменой <tex>\cos^n{x} = e^{n\ln{\cos{x}}}</tex> и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143)

2) Доказываем, что x — точка максимума для <tex>\ln{\cos{x}}</tex>, вместе с этим заменяем по формуле Тейлора <tex>n\ln{\cos{x}}</tex> на <tex>-\frac{nx^2}{2}+o(x^2)</tex> и показываем, что это <tex>o(x^2)</tex> не мешает подставить замену в интеграл.

3) Делаем замену <tex>t=\sqrt{\frac{n}{2}}x, dx = \sqrt{\frac{2}{n}}dt</tex>, получаем интеграл из условия.

}}

=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
|proof=
<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>

<tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем
}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.

|proof=

* В доказательстве используется прием: при <tex>q > 1, p > 0, A > 0, s > 0</tex> в интеграле <tex>\int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt</tex>

* вводим замену <tex>u = At^p, t = (\frac{u}{A})^{1/p}, dt = \frac{u^{1/p-1}}{pA^{1/p}}</tex>.

* Тогда он превращается в <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}} \int\limits_0^{As^p} u^{\frac{q+1}{p} - 1}e^{-u}du</tex>, который при <tex>A\to{+\infty}</tex> стремится к <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma({\frac{q+1}{p}})</tex>

'''Утверждения:'''

1) <tex>\forall{c\in(a, b)}\ \forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}\ \int\limits_a^c{fe^{A\varphi}} \le \int\limits_a^b{fe^{A\varphi}} \le (1 + \varepsilon)\int\limits_a^c{fe^{A\varphi}}</tex> (следствие из теоремы о локализации)

2) <tex>\forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}</tex>

<tex>(1-\varepsilon)\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p}) \le \int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt \le \frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p})</tex> (следствие из приема выше. Да, читается ужасно)

'''Доказательство'''

Выбираем окрестность точки <tex>a: [a; a+s]</tex> и <tex>\varepsilon</tex> такое, что

<tex>1-\varepsilon < \frac{f(t)}{L(t-a)^q} < 1+\varepsilon</tex>

<tex>1-\varepsilon < \frac{\varphi(a) - \varphi(t)}{c(t-a)^p} < 1+\varepsilon</tex>

Для <tex>A > A_0</tex>, удовлетворяющих двум утверждениям выше, выполняется:

<tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \le (1+\varepsilon)\int\limits_a^{a+s}L(t-a)^q \cdot e^{A\varphi(a)} \cdot e^{-A(\varphi(a)-\varphi(t)} dt \le</tex>

<tex>\le (1+\varepsilon)Le^{A\varphi(a)}\int\limits_0^s{\tau^q}e^{-Ae^{c(1-\varepsilon)\tau^p}}d\tau</tex>

По утверждению 2 это меньше или равно <tex>\frac{1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>. В квадратных скобках то, что нам нужно.

Используя другие части неравенства, находим, что <tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \ge \frac{1-\varepsilon}{(1+\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>.

Вроде доказали.

}}

=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
|proof=
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>

<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>

Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>

<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>

<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>

<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>

<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>

<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
}}
* Замечание

<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>

=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>

// <tex> \varphi(u) = -(u - \ln u) </tex>

// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{u}); u = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>

// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{u^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>

<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
}}

== Определения и факты ==
=== Равномерно сходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}

=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:

1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.

=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}

=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}

=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>

<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>

<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
}}

=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}

=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}

=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}

=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}

=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}

=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}

=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}

=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.

Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона''' или '''оператором Набла'''.
}}

=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}

=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}

=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.

=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:

<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>

С остатком в интегральной форме:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>

Формула в дифференциалах:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>

Формула в координатах:

<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>

=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:

<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>

<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>

<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>

<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}

=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| </tex>.
}}

=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:

<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;

<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.

Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}

=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. 

1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. 

2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. 

3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. 

4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}

=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}

=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.

<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>

<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>

Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}

=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}

=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}

Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}

=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:

1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;

2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;

3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;

4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}

=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное

<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)

<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}

=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля

<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>

Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}

=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}

=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}

=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}

=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}

=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}

=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}

=== Односвязная область ===
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}

== Примеры ==
=== Производная линейного отображения ===
<tex>L'(x) = L</tex>

По определению:

<tex>L(x + h) - L(x) = L(h)</tex>
=== Правило цепочки: запись в координатах ===
=== n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность ===
Равносторонний <tex>n</tex>-угольник.

[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].

Нормальное доказательство:

Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))</tex>. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна <tex>2\pi</tex>) и будем максимизировать следующую функцию от <tex>n-1</tex> переменной: <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))</tex>.

Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:

<tex>
\begin{cases}
cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\
... \\
cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
\end{cases}
</tex>

Откуда получаем <tex>a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}</tex>. Поскольку все углы лежат в пределах <tex>(0..\pi)</tex>, то из первого уравнения <tex>a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}</tex> находим <tex>a_1 = 2\pi / n</tex>. То, что это решение и есть максимум очевидно.

=== Непотенциальное векторное поле ===
Любое отображение, для которого <tex>\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_j}} \neq \frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}</tex> для каких-нибудь i и j.
Например, <tex>F(x, y, z) = (xy, xz, yz)</tex>: <tex>\frac{\partial{F_1}}{\partial{y}} = x; \frac{\partial{F_2}}{\partial{x}} = z</tex>

=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.

Участник:Yulya3102/Матан3сем

2013-01-15T01:04:59Z

Bobrov: /* Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов */ Это еще не все

== Основные вопросы ==
=== Список теорем ===
==== Теоремы без доказательств ====
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда|Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда]]

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)|Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)]] — уже есть все идеи доказательства, осталось его выписать, если кому-то не лень.

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о неявном отображении|Теорема о неявном отображении]] Доказательство появилось

Асимптотика интеграла <tex>\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx, n\to+\infty</tex> — много писать =(

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов|Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов]] — много писать =(

=== Признак Вейерштрасса ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.

Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.
|proof=
<tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le
sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0
</tex>
}}

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.
|proof=
1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex>

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
}}

=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.

Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>

<tex> * </tex>
1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.
2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.
|proof=
<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>

Сделаем предельный переход по <tex>N</tex>

<tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>
}}

=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>

2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex>

Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
|proof=
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>

* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>

* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.

<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
}}

=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
{{
Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>.

1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex>

2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex>

Тогда

1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится

2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел

* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>

<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>

Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти

<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>

<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>

Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>

<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>

Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]

<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
}}

=== Теорема о перестановке пределов ===
(<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>)

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>]

1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>

2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex>

Тогда

1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex>

2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>

Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>

Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>

<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>

Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)

<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>

2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>

<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex>

<tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex>

при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный

<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex>

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>

<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>

<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
}}

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>

Возможны три случая:

1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится

2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>

3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при

<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится

<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость

<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>

* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>

1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится

при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)

3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>

<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}

=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:

1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>

2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]

<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>

<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>

<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.

<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>

(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>

В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}

=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>

(уравнения Коши-Римана)

|proof=
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}

=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>

Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>

Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>

<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

<tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}

=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>

1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>

1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>

1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>

{{Теорема
|statement=
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
|proof=
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>

<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>

<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
}}

* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>

2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>

2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>

2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>

2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>

2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>

<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>

<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>

<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>

2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>

<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>

2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>

<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>

-----
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>

<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>

<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>

=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>

Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].

<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}

=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>

<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа

// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка

<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>

<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>

<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}

=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально

<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>

<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>

<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>

<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>

<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}

=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>

<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>

<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;

<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>

Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
|proof=
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>

<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>

<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>

<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>

1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>

<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>

<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>

<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>

<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>

<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
}}

=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:

1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>

2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>

(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>

<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>

<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.

<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>

Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>

<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>

Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>

<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>

<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>

// Если ехать быстро и криво

<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>

<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>

// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
}}

=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>

<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление

Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.

Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>

// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
}}

=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>

<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

Тогда эти две частные производные равны.
|proof=
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>

фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>

<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки

<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>

<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
}}
* Замечание 1:

Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

* Замечание 2:

Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>

Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>

и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка

Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>

=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>

<tex> r = 1 </tex>

<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>

<tex> r = r + 1 </tex>

<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>

<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m + 1}} = </tex>

<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;

<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс

<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1

<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>

* Замечание 2

<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>

<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>

=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}

=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=

<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>

<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>

Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

}}

Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.

Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}

=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть

<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>

<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>

<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>

<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>

1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>

2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]

3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>

<tex>(2)</tex>

<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>

<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>

Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
}}

=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:

1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;

2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;

3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=

Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>

Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>

Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)

Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>

Само доказательство:

<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).

<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}

=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:

<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>

<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>

<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>

? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>

<tex> II \Rightarrow I </tex>

<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>

<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>

<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>

Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}

=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>.

Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)

|proof=
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>.

Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
|proof=
Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно.
Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}

=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
{{Утверждение
|statement=
1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> 
2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
|proof=
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>

(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>)

<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>

<tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex>

<tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex>

2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.)

<tex> x = 0 : \text{triv} </tex>

<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
}}

=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).

2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).

3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.

4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>

Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>

<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>

Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума

<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>

<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>

<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>

<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}

=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>

<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>

<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>

<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>

2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>

<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>

// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}

=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.

* Замечание

1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное

2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?

<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>

при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>

<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>

Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>

Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>

<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>

<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>

В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.

На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>

<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]

<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>

<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}

=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.

Тогда:

1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
|proof=

1) <tex> r = 1 </tex>

<tex>F(O) = O' </tex> — открытое

Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>

Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.

* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>

<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>

* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.

Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>

<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>

Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>

<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>

<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>

<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>

2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}

=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>

Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
|proof=
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима

[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.

<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>

<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>

<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>

<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>

<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>

<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание

<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.

<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле

=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

'''Раньше тут был забыт минус!'''
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>

|proof=

Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.

<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>

<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.

<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>

По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.

Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.

Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}

=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.

Эквивалентные утверждения:

1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие

2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия:

2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>

2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>

<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>

<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях

<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.

<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>

<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>

<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>

<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>

<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>

<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>

<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>

<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}

=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.

По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>

<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация

<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.

<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.

<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>

При таком <tex> \lambda : </tex>

<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
}}

=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}

=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex>

<tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex>

<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex>

3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex>

Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]
\end{cases} </tex>

то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)

<tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex>

<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>

<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>

5) Оценка интеграла:
{{
Теорема
|statement=
<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}

=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий.

Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
|proof=
1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути

\\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex>

\\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex>

2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий

<tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>
}}

=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
Теорема
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в <tex> O </tex>

2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)

3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]

<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно

<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>

<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>

<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно

<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>

Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?

Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)

Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>

<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>

<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>

<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>

<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
}}

=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
|proof=
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>

<tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>

<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>

<tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex>

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела.
}}

=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>
|proof=
<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>

<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
}}

=== Лемма о гусенице ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
|proof=
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>

<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>

<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие

Можно считать <tex> \forall i \ \exists s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>

<tex> s_1 < s_2 ... < s_n </tex>
}}

=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>

<tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>

Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex>

в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д.

<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex>

<tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex>
}}
* Замечание

<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex>

=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex>

<tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>

<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>

<tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex>

<tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex>

<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей
}}

=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
|proof=
<tex> \Gamma </tex> — гомотопия. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>

<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная

<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)

<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна.

<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
}}

=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
|proof=
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>

По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
}}

Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.

=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{2}{n}} \int\limits_0^{+\inf} e^{-t^2} dt </tex>
|proof=

Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи:

1) <tex>\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{n^{-\frac{1}{3}}} \cos^{n}x dx</tex>

Доказывается заменой <tex>\cos^n{x} = e^{n\ln{\cos{x}}}</tex> и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143)

2) Доказываем, что x — точка максимума для <tex>\ln{\cos{x}}</tex>, вместе с этим заменяем по формуле Тейлора <tex>n\ln{\cos{x}}</tex> на <tex>-\frac{nx^2}{2}+o(x^2)</tex> и показываем, что это <tex>o(x^2)</tex> не мешает подставить замену в интеграл.

3) Делаем замену <tex>t=\sqrt{\frac{n}{2}}x, dx = \sqrt{\frac{2}{n}}dt</tex>, получаем интеграл из условия.

}}

=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
|proof=
<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>

<tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем
}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.

|proof=

* В доказательстве используется прием: при <tex>q > 1, p > 0, A > 0, s > 0</tex> в интеграле <tex>\int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt</tex>

* вводим замену <tex>u = At^p, t = (\frac{u}{A})^{1/p}, dt = \frac{u^{1/p-1}}{pA^{1/p}}</tex>.

* Тогда он превращается в <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}} \int\limits_0^{As^p} u^{\frac{q+1}{p} - 1}e^{-u}du</tex>, который при <tex>A\to{+\infty}</tex> стремится к <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma{\frac{q+1}{p}}</tex>

'''Утверждения:'''

1) <tex>\forall{c\in(a, b)}\ \forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}\ \int\limits_a^c{fe^{A\varphi}} \le \int\limits_a^b{fe^{A\varphi}} \le (1 + \varepsilon)\int\limits_a^c{fe^{A\varphi}}</tex> (следствие из теоремы о локализации)

2) <tex>\forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}</tex>
<tex>(1-\varepsilon)\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p}) \le \int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt \le \frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p})</tex> (следствие из приема выше. Да, читается ужасно)

'''Доказательство'''

Выбираем окрестность точки <tex>a: [a; a+s]</tex> и <tex>\varepsilon</tex> такое, что

<tex>1-\varepsilon < \frac{f(t)}{L(t-a)^q} < 1+\varepsilon</tex>

<tex>1-\varepsilon < \frac{\varphi(a) - \varphi(t)}{c(t-a)^p} < 1+\varepsilon</tex>

Для <tex>A > A_0</tex>, удовлетворяющих двум утверждениям выше, выполняется:

<tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \le (1+\varepsilon)\int\limits_a^{a+s}L(t-a)^q \cdot e^{A\varphi(a)} \cdot e^{-A(\varphi(a)-\varphi(t)} dt</tex>
}}

=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
|proof=
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>

<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>

Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>

<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>

<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>

<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>

<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>

<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
}}
* Замечание

<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>

=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>

// <tex> \varphi(u) = -(u - \ln u) </tex>

// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{u}); u = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>

// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{u^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>

<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
}}

== Определения и факты ==
=== Равномерно сходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}

=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:

1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.

=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}

=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}

=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>

<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>

<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
}}

=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}

=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}

=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}

=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}

=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}

=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}

=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}

=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.

Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона''' или '''оператором Набла'''.
}}

=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}

=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}

=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.

=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:

<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>

С остатком в интегральной форме:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>

Формула в дифференциалах:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>

Формула в координатах:

<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>

=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:

<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>

<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>

<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>

<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}

=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| </tex>.
}}

=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:

<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;

<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.

Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}

=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. 

1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. 

2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. 

3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. 

4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}

=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}

=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.

<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>

<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>

Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}

=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}

=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}

Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}

=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:

1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;

2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;

3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;

4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}

=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное

<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)

<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}

=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля

<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>

Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}

=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}

=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}

=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}

=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}

=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}

=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}

=== Односвязная область ===
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}

== Примеры ==
=== Производная линейного отображения ===
<tex>L'(x) = L</tex>

По определению:

<tex>L(x + h) - L(x) = L(h)</tex>
=== Правило цепочки: запись в координатах ===
=== n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность ===
Равносторонний <tex>n</tex>-угольник.

[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].

Нормальное доказательство:

Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))</tex>. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна <tex>2\pi</tex>) и будем максимизировать следующую функцию от <tex>n-1</tex> переменной: <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))</tex>.

Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:

<tex>
\begin{cases}
cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\
... \\
cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
\end{cases}
</tex>

Откуда получаем <tex>a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}</tex>. Поскольку все углы лежат в пределах <tex>(0..\pi)</tex>, то из первого уравнения <tex>a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}</tex> находим <tex>a_1 = 2\pi / n</tex>. То, что это решение и есть максимум очевидно.

=== Непотенциальное векторное поле ===
Любое отображение, для которого <tex>\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_j}} \neq \frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}</tex> для каких-нибудь i и j.
Например, <tex>F(x, y, z) = (xy, xz, yz)</tex>: <tex>\frac{\partial{F_1}}{\partial{y}} = x; \frac{\partial{F_2}}{\partial{x}} = z</tex>

=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.

Участник:Yulya3102/Матан3сем

2013-01-14T23:54:55Z

Bobrov: /* Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ */

== Основные вопросы ==
=== Список теорем ===
==== Теоремы без доказательств ====
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда|Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда]]

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)|Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)]] — уже есть все идеи доказательства, осталось его выписать, если кому-то не лень.

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о неявном отображении|Теорема о неявном отображении]] Доказательство появилось

Асимптотика интеграла <tex>\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx, n\to+\infty</tex> — много писать =(

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов|Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов]] — много писать =(

=== Признак Вейерштрасса ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.

Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.
|proof=
<tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le
sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0
</tex>
}}

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.
|proof=
1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex>

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
}}

=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.

Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>

<tex> * </tex>
1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.
2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.
|proof=
<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>

Сделаем предельный переход по <tex>N</tex>

<tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>
}}

=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>

2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex>

Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
|proof=
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>

* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>

* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.

<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
}}

=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
{{
Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>.

1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex>

2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex>

Тогда

1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится

2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел

* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>

<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>

Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти

<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>

<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>

Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>

<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>

Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]

<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
}}

=== Теорема о перестановке пределов ===
(<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>)

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>]

1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>

2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex>

Тогда

1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex>

2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>

Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>

Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>

<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>

Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)

<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>

2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>

<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex>

<tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex>

при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный

<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex>

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>

<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>

<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
}}

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>

Возможны три случая:

1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится

2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>

3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при

<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится

<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость

<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>

* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>

1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится

при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)

3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>

<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}

=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:

1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>

2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]

<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>

<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>

<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.

<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>

(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>

В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}

=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>

(уравнения Коши-Римана)

|proof=
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}

=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>

Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>

Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>

<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

<tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}

=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>

1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>

1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>

1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>

{{Теорема
|statement=
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
|proof=
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>

<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>

<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
}}

* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>

2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>

2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>

2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>

2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>

2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>

<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>

<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>

<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>

2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>

<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>

2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>

<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>

-----
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>

<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>

<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>

=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>

Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].

<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}

=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>

<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа

// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка

<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>

<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>

<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}

=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально

<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>

<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>

<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>

<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>

<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}

=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>

<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>

<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;

<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>

Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
|proof=
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>

<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>

<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>

<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>

1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>

<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>

<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>

<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>

<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>

<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
}}

=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:

1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>

2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>

(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>

<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>

<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.

<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>

Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>

<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>

Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>

<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>

<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>

// Если ехать быстро и криво

<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>

<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>

// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
}}

=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>

<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление

Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.

Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>

// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
}}

=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>

<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

Тогда эти две частные производные равны.
|proof=
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>

фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>

<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки

<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>

<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
}}
* Замечание 1:

Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

* Замечание 2:

Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>

Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>

и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка

Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>

=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>

<tex> r = 1 </tex>

<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>

<tex> r = r + 1 </tex>

<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>

<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m + 1}} = </tex>

<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;

<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс

<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1

<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>

* Замечание 2

<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>

<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>

=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}

=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=

<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>

<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>

Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

}}

Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.

Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}

=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть

<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>

<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>

<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>

<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>

1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>

2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]

3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>

<tex>(2)</tex>

<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>

<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>

Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
}}

=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:

1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;

2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;

3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=

Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>

Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>

Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)

Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>

Само доказательство:

<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).

<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}

=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:

<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>

<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>

<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>

? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>

<tex> II \Rightarrow I </tex>

<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>

<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>

<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>

Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}

=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>.

Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)

|proof=
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>.

Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
|proof=
Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно.
Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}

=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
{{Утверждение
|statement=
1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> 
2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
|proof=
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>

(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>)

<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>

<tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex>

<tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex>

2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.)

<tex> x = 0 : \text{triv} </tex>

<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
}}

=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).

2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).

3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.

4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>

Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>

<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>

Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума

<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>

<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>

<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>

<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}

=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>

<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>

<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>

<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>

2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>

<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>

// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}

=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.

* Замечание

1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное

2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?

<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>

при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>

<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>

Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>

Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>

<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>

<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>

В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.

На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>

<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]

<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>

<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}

=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.

Тогда:

1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
|proof=

1) <tex> r = 1 </tex>

<tex>F(O) = O' </tex> — открытое

Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>

Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.

* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>

<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>

* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.

Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>

<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>

Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>

<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>

<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>

<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>

2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}

=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>

Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
|proof=
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима

[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.

<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>

<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>

<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>

<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>

<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>

<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание

<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.

<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле

=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

'''Раньше тут был забыт минус!'''
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>

|proof=

Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.

<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>

<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.

<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>

По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.

Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.

Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}

=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.

Эквивалентные утверждения:

1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие

2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия:

2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>

2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>

<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>

<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях

<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.

<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>

<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>

<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>

<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>

<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>

<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>

<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>

<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}

=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.

По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>

<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация

<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.

<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.

<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>

При таком <tex> \lambda : </tex>

<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
}}

=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}

=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex>

<tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex>

<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex>

3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex>

Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]
\end{cases} </tex>

то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)

<tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex>

<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>

<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>

5) Оценка интеграла:
{{
Теорема
|statement=
<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}

=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий.

Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
|proof=
1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути

\\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex>

\\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex>

2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий

<tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>
}}

=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
Теорема
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в <tex> O </tex>

2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)

3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]

<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно

<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>

<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>

<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно

<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>

Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?

Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)

Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>

<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>

<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>

<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>

<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
}}

=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
|proof=
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>

<tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>

<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>

<tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex>

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела.
}}

=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>
|proof=
<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>

<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
}}

=== Лемма о гусенице ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
|proof=
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>

<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>

<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие

Можно считать <tex> \forall i \ \exists s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>

<tex> s_1 < s_2 ... < s_n </tex>
}}

=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>

<tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>

Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex>

в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д.

<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex>

<tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex>
}}
* Замечание

<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex>

=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex>

<tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>

<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>

<tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex>

<tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex>

<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей
}}

=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
|proof=
<tex> \Gamma </tex> — гомотопия. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>

<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная

<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)

<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна.

<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
}}

=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
|proof=
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>

По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
}}

Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.

=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{2}{n}} \int\limits_0^{+\inf} e^{-t^2} dt </tex>
|proof=

Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи:

1) <tex>\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{n^{-\frac{1}{3}}} \cos^{n}x dx</tex>

Доказывается заменой <tex>\cos^n{x} = e^{n\ln{\cos{x}}}</tex> и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143)

2) Доказываем, что x — точка максимума для <tex>\ln{\cos{x}}</tex>, вместе с этим заменяем по формуле Тейлора <tex>n\ln{\cos{x}}</tex> на <tex>-\frac{nx^2}{2}+o(x^2)</tex> и показываем, что это <tex>o(x^2)</tex> не мешает подставить замену в интеграл.

3) Делаем замену <tex>t=\sqrt{\frac{n}{2}}x, dx = \sqrt{\frac{2}{n}}dt</tex>, получаем интеграл из условия.

}}

=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
|proof=
<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>

<tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем
}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.
}}

=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
|proof=
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>

<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>

Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>

<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>

<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>

<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>

<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>

<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
}}
* Замечание

<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>

=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>

// <tex> \varphi(u) = -(u - \ln u) </tex>

// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{u}); u = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>

// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{u^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>

<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
}}

== Определения и факты ==
=== Равномерно сходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}

=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:

1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.

=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}

=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}

=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>

<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>

<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
}}

=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}

=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}

=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}

=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}

=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}

=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}

=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}

=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.

Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона''' или '''оператором Набла'''.
}}

=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}

=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}

=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.

=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:

<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>

С остатком в интегральной форме:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>

Формула в дифференциалах:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>

Формула в координатах:

<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>

=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:

<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>

<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>

<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>

<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}

=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| </tex>.
}}

=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:

<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;

<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.

Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}

=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. 

1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. 

2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. 

3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. 

4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}

=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}

=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.

<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>

<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>

Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}

=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}

=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}

Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}

=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:

1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;

2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;

3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;

4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}

=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное

<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)

<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}

=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля

<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>

Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}

=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}

=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}

=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}

=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}

=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}

=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}

=== Односвязная область ===
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}

== Примеры ==
=== Производная линейного отображения ===
<tex>L'(x) = L</tex>

По определению:

<tex>L(x + h) - L(x) = L(h)</tex>
=== Правило цепочки: запись в координатах ===
=== n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность ===
Равносторонний <tex>n</tex>-угольник.

[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].

Нормальное доказательство:

Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))</tex>. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна <tex>2\pi</tex>) и будем максимизировать следующую функцию от <tex>n-1</tex> переменной: <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))</tex>.

Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:

<tex>
\begin{cases}
cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\
... \\
cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
\end{cases}
</tex>

Откуда получаем <tex>a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}</tex>. Поскольку все углы лежат в пределах <tex>(0..\pi)</tex>, то из первого уравнения <tex>a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}</tex> находим <tex>a_1 = 2\pi / n</tex>. То, что это решение и есть максимум очевидно.

=== Непотенциальное векторное поле ===
Любое отображение, для которого <tex>\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_j}} \neq \frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}</tex> для каких-нибудь i и j.
Например, <tex>F(x, y, z) = (xy, xz, yz)</tex>: <tex>\frac{\partial{F_1}}{\partial{y}} = x; \frac{\partial{F_2}}{\partial{x}} = z</tex>

=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.

Участник:Yulya3102/Матан3сем

2013-01-14T22:54:57Z

Bobrov: /* Формула Стирлинга для Гамма-функции */

== Основные вопросы ==
=== Список теорем ===
==== Теоремы без доказательств ====
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда|Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда]]

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)|Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)]] — уже есть все идеи доказательства, осталось его выписать, если кому-то не лень.

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о неявном отображении|Теорема о неявном отображении]] Доказательство появилось

Асимптотика интеграла <tex>\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx, n\to+\infty</tex> — много писать =(

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов|Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов]] — много писать =(

=== Признак Вейерштрасса ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.

Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.
|proof=
<tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le
sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0
</tex>
}}

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.
|proof=
1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex>

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
}}

=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.

Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>

<tex> * </tex>
1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.
2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.
|proof=
<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>

Сделаем предельный переход по <tex>N</tex>

<tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>
}}

=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>

2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex>

Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
|proof=
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>

* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>

* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.

<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
}}

=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
{{
Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>.

1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex>

2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex>

Тогда

1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится

2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел

* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>

<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>

Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти

<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>

<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>

Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>

<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>

Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]

<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
}}

=== Теорема о перестановке пределов ===
(<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>)

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>]

1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>

2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex>

Тогда

1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex>

2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>

Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>

Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>

<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>

Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)

<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>

2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>

<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex>

<tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex>

при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный

<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex>

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>

<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>

<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
}}

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>

Возможны три случая:

1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится

2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>

3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при

<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится

<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость

<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>

* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>

1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится

при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)

3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>

<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}

=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:

1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>

2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]

<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>

<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>

<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.

<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>

(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>

В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}

=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>

(уравнения Коши-Римана)

|proof=
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}

=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>

Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>

Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>

<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

<tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}

=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>

1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>

1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>

1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>

{{Теорема
|statement=
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
|proof=
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>

<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>

<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
}}

* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>

2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>

2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>

2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>

2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>

2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>

<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>

<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>

<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>

2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>

<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>

2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>

<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>

-----
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>

<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>

<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>

=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>

Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].

<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}

=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>

<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа

// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка

<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>

<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>

<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}

=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально

<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>

<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>

<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>

<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>

<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}

=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>

<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>

<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;

<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>

Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
|proof=
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>

<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>

<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>

<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>

1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>

<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>

<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>

<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>

<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>

<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
}}

=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:

1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>

2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>

(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>

<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>

<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.

<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>

Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>

<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>

Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>

<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>

<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>

// Если ехать быстро и криво

<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>

<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>

// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
}}

=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>

<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление

Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.

Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>

// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
}}

=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>

<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

Тогда эти две частные производные равны.
|proof=
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>

фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>

<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки

<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>

<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
}}
* Замечание 1:

Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

* Замечание 2:

Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>

Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>

и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка

Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>

=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>

<tex> r = 1 </tex>

<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>

<tex> r = r + 1 </tex>

<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>

<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m + 1}} = </tex>

<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;

<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс

<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1

<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>

* Замечание 2

<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>

<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>

=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}

=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=

<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>

<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>

Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

}}

Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.

Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}

=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть

<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>

<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>

<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>

<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>

1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>

2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]

3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>

<tex>(2)</tex>

<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>

<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>

Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
}}

=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:

1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;

2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;

3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=

Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>

Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>

Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)

Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>

Само доказательство:

<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).

<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}

=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:

<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>

<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>

<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>

? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>

<tex> II \Rightarrow I </tex>

<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>

<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>

<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>

Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}

=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>.

Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)

|proof=
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>.

Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
|proof=
Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно.
Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}

=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
{{Утверждение
|statement=
1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> 
2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
|proof=
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>

(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>)

<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>

<tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex>

<tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex>

2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.)

<tex> x = 0 : \text{triv} </tex>

<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
}}

=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).

2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).

3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.

4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>

Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>

<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>

Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума

<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>

<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>

<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>

<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}

=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>

<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>

<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>

<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>

2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>

<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>

// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}

=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.

* Замечание

1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное

2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?

<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>

при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>

<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>

Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>

Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>

<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>

<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>

В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.

На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>

<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]

<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>

<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}

=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.

Тогда:

1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
|proof=

1) <tex> r = 1 </tex>

<tex>F(O) = O' </tex> — открытое

Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>

Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.

* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>

<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>

* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.

Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>

<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>

Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>

<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>

<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>

<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>

2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}

=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>

Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
|proof=
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима

[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.

<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>

<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>

<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>

<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>

<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>

<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание

<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.

<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле

=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

'''Раньше тут был забыт минус!'''
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>

|proof=

Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.

<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>

<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.

<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>

По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.

Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.

Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}

=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.

Эквивалентные утверждения:

1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие

2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия:

2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>

2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>

<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>

<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях

<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.

<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>

<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>

<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>

<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>

<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>

<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>

<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>

<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}

=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.

По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>

<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация

<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.

<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.

<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>

При таком <tex> \lambda : </tex>

<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
}}

=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}

=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex>

<tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex>

<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex>

3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex>

Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]
\end{cases} </tex>

то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)

<tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex>

<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>

<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>

5) Оценка интеграла:
{{
Теорема
|statement=
<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}

=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий.

Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
|proof=
1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути

\\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex>

\\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex>

2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий

<tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>
}}

=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
Теорема
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в <tex> O </tex>

2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)

3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]

<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно

<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>

<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>

<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно

<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>

Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?

Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)

Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>

<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>

<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>

<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>

<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
}}

=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
|proof=
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>

<tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>

<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>

<tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex>

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела.
}}

=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>
|proof=
<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>

<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
}}

=== Лемма о гусенице ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
|proof=
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>

<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>

<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие

Можно считать <tex> \forall i \ \exists s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>

<tex> s_1 < s_2 ... < s_n </tex>
}}

=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>

<tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>

Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex>

в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д.

<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex>

<tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex>
}}
* Замечание

<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex>

=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex>

<tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>

<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>

<tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex>

<tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex>

<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей
}}

=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
|proof=
<tex> \Gamma </tex> — гомотопия. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>

<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная

<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)

<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна.

<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
}}

=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
|proof=
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>

По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
}}

Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.

=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{1/\pi^{4/3}} \cos^n x dx </tex>
}}

=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
|proof=
<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>

<tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем
}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.
}}

=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
|proof=
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>

<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>

Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>

<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>

<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>

<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>

<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>

<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
}}
* Замечание

<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>

=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>

// <tex> \varphi(u) = -(u - \ln u) </tex>

// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{u}); u = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>

// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{u^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>

<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
}}

== Определения и факты ==
=== Равномерно сходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}

=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:

1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.

=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}

=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}

=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>

<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>

<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
}}

=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}

=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}

=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}

=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}

=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}

=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}

=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}

=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.

Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона''' или '''оператором Набла'''.
}}

=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}

=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}

=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.

=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:

<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>

С остатком в интегральной форме:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>

Формула в дифференциалах:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>

Формула в координатах:

<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>

=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:

<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>

<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>

<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>

<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}

=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| </tex>.
}}

=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:

<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;

<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.

Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}

=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. 

1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. 

2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. 

3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. 

4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}

=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}

=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.

<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>

<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>

Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}

=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}

=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}

Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}

=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:

1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;

2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;

3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;

4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}

=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное

<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)

<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}

=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля

<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>

Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}

=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}

=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}

=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}

=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}

=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}

=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}

=== Односвязная область ===
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}

== Примеры ==
=== Производная линейного отображения ===
<tex>L'(x) = L</tex>

По определению:

<tex>L(x + h) - L(x) = L(h)</tex>
=== Правило цепочки: запись в координатах ===
=== n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность ===
Равносторонний <tex>n</tex>-угольник.

[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].

Нормальное доказательство:

Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))</tex>. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна <tex>2\pi</tex>) и будем максимизировать следующую функцию от <tex>n-1</tex> переменной: <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))</tex>.

Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:

<tex>
\begin{cases}
cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\
... \\
cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
\end{cases}
</tex>

Откуда получаем <tex>a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}</tex>. Поскольку все углы лежат в пределах <tex>(0..\pi)</tex>, то из первого уравнения <tex>a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}</tex> находим <tex>a_1 = 2\pi / n</tex>. То, что это решение и есть максимум очевидно.

=== Непотенциальное векторное поле ===
Любое отображение, для которого <tex>\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_j}} \neq \frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}</tex> для каких-нибудь i и j.
Например, <tex>F(x, y, z) = (xy, xz, yz)</tex>: <tex>\frac{\partial{F_1}}{\partial{y}} = x; \frac{\partial{F_2}}{\partial{x}} = z</tex>

=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.

Участник:Yulya3102/Матан3сем

2013-01-14T22:26:22Z

Bobrov: /* n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность */ "прИдел" — убивать!

== Основные вопросы ==
=== Список теорем ===
==== Теоремы без доказательств ====
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда|Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда]]

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)|Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)]] — уже есть все идеи доказательства, осталось его выписать, если кому-то не лень.

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о неявном отображении|Теорема о неявном отображении]] Доказательство появилось

Асимптотика интеграла <tex>\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx, n\to+\infty</tex> — много писать =(

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов|Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов]] — много писать =(

=== Признак Вейерштрасса ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.

Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.
|proof=
<tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le
sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0
</tex>
}}

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.
|proof=
1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex>

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
}}

=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.

Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>

<tex> * </tex>
1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.
2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.
|proof=
<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>

Сделаем предельный переход по <tex>N</tex>

<tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>
}}

=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>

2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex>

Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
|proof=
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>

* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>

* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.

<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
}}

=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
{{
Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>.

1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex>

2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex>

Тогда

1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится

2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел

* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>

<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>

Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти

<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>

<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>

Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>

<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>

Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]

<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
}}

=== Теорема о перестановке пределов ===
(<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>)

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>]

1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>

2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex>

Тогда

1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex>

2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>

Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>

Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>

<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>

Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)

<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>

2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>

<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex>

<tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex>

при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный

<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex>

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>

<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>

<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
}}

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>

Возможны три случая:

1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится

2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>

3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при

<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится

<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость

<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>

* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>

1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится

при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)

3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>

<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}

=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:

1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>

2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]

<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>

<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>

<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.

<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>

(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>

В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}

=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>

(уравнения Коши-Римана)

|proof=
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}

=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>

Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>

Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>

<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

<tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}

=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>

1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>

1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>

1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>

{{Теорема
|statement=
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
|proof=
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>

<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>

<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
}}

* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>

2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>

2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>

2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>

2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>

2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>

<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>

<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>

<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>

2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>

<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>

2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>

<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>

-----
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>

<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>

<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>

=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>

Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].

<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}

=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>

<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа

// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка

<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>

<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>

<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}

=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально

<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>

<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>

<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>

<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>

<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}

=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>

<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>

<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;

<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>

Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
|proof=
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>

<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>

<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>

<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>

1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>

<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>

<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>

<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>

<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>

<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
}}

=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:

1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>

2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>

(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>

<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>

<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.

<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>

Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>

<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>

Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>

<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>

<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>

// Если ехать быстро и криво

<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>

<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>

// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
}}

=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>

<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление

Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.

Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>

// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
}}

=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>

<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

Тогда эти две частные производные равны.
|proof=
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>

фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>

<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки

<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>

<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
}}
* Замечание 1:

Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

* Замечание 2:

Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>

Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>

и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка

Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>

=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>

<tex> r = 1 </tex>

<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>

<tex> r = r + 1 </tex>

<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>

<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m + 1}} = </tex>

<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;

<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс

<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1

<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>

* Замечание 2

<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>

<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>

=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}

=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=

<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>

<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>

Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

}}

Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.

Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}

=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть

<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>

<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>

<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>

<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>

1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>

2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]

3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>

<tex>(2)</tex>

<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>

<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>

Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
}}

=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:

1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;

2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;

3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=

Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>

Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>

Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)

Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>

Само доказательство:

<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).

<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}

=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:

<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>

<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>

<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>

? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>

<tex> II \Rightarrow I </tex>

<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>

<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>

<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>

Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}

=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>.

Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)

|proof=
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>.

Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
|proof=
Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно.
Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}

=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
{{Утверждение
|statement=
1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> 
2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
|proof=
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>

(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>)

<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>

<tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex>

<tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex>

2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.)

<tex> x = 0 : \text{triv} </tex>

<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
}}

=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).

2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).

3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.

4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>

Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>

<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>

Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума

<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>

<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>

<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>

<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}

=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>

<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>

<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>

<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>

2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>

<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>

// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}

=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.

* Замечание

1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное

2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?

<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>

при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>

<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>

Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>

Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>

<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>

<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>

В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.

На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>

<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]

<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>

<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}

=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.

Тогда:

1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
|proof=

1) <tex> r = 1 </tex>

<tex>F(O) = O' </tex> — открытое

Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>

Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.

* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>

<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>

* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.

Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>

<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>

Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>

<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>

<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>

<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>

2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}

=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>

Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
|proof=
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима

[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.

<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>

<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>

<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>

<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>

<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>

<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание

<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.

<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле

=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

'''Раньше тут был забыт минус!'''
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>

|proof=

Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.

<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>

<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.

<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>

По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.

Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.

Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}

=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.

Эквивалентные утверждения:

1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие

2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия:

2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>

2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>

<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>

<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях

<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.

<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>

<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>

<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>

<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>

<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>

<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>

<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>

<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}

=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.

По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>

<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация

<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.

<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.

<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>

При таком <tex> \lambda : </tex>

<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
}}

=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}

=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex>

<tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex>

<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex>

3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex>

Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]
\end{cases} </tex>

то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)

<tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex>

<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>

<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>

5) Оценка интеграла:
{{
Теорема
|statement=
<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}

=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий.

Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
|proof=
1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути

\\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex>

\\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex>

2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий

<tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>
}}

=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
Теорема
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в <tex> O </tex>

2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)

3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]

<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно

<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>

<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>

<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно

<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>

Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?

Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)

Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>

<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>

<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>

<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>

<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
}}

=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
|proof=
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>

<tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>

<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>

<tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex>

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела.
}}

=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>
|proof=
<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>

<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
}}

=== Лемма о гусенице ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
|proof=
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>

<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>

<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие

Можно считать <tex> \forall i \ \exists s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>

<tex> s_1 < s_2 ... < s_n </tex>
}}

=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>

<tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>

Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex>

в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д.

<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex>

<tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex>
}}
* Замечание

<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex>

=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex>

<tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>

<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>

<tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex>

<tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex>

<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей
}}

=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
|proof=
<tex> \Gamma </tex> — гомотопия. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>

<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная

<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)

<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна.

<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
}}

=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
|proof=
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>

По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
}}

Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.

=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{1/\pi^{4/3}} \cos^n x dx </tex>
}}

=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
|proof=
<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>

<tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем
}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.
}}

=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
|proof=
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>

<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>

Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>

<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>

<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>

<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>

<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>

<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
}}
* Замечание

<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>

=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>

// <tex> \varphi(u) = -(n \ln u) </tex>

// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{n}); n = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>

// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{n^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>

<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
}}

== Определения и факты ==
=== Равномерно сходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}

=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:

1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.

=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}

=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}

=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>

<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>

<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
}}

=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}

=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}

=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}

=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}

=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}

=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}

=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}

=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.

Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона''' или '''оператором Набла'''.
}}

=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}

=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}

=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.

=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:

<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>

С остатком в интегральной форме:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>

Формула в дифференциалах:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>

Формула в координатах:

<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>

=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:

<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>

<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>

<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>

<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}

=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| </tex>.
}}

=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:

<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;

<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.

Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}

=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. 

1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. 

2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. 

3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. 

4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}

=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}

=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.

<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>

<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>

Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}

=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}

=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}

Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}

=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:

1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;

2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;

3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;

4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}

=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное

<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)

<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}

=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля

<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>

Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}

=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}

=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}

=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}

=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}

=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}

=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}

=== Односвязная область ===
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}

== Примеры ==
=== Производная линейного отображения ===
<tex>L'(x) = L</tex>

По определению:

<tex>L(x + h) - L(x) = L(h)</tex>
=== Правило цепочки: запись в координатах ===
=== n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность ===
Равносторонний <tex>n</tex>-угольник.

[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].

Нормальное доказательство:

Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))</tex>. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна <tex>2\pi</tex>) и будем максимизировать следующую функцию от <tex>n-1</tex> переменной: <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))</tex>.

Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:

<tex>
\begin{cases}
cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\
... \\
cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
\end{cases}
</tex>

Откуда получаем <tex>a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}</tex>. Поскольку все углы лежат в пределах <tex>(0..\pi)</tex>, то из первого уравнения <tex>a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}</tex> находим <tex>a_1 = 2\pi / n</tex>. То, что это решение и есть максимум очевидно.

=== Непотенциальное векторное поле ===
Любое отображение, для которого <tex>\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_j}} \neq \frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}</tex> для каких-нибудь i и j.
Например, <tex>F(x, y, z) = (xy, xz, yz)</tex>: <tex>\frac{\partial{F_1}}{\partial{y}} = x; \frac{\partial{F_2}}{\partial{x}} = z</tex>

=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.

Участник:Yulya3102/Матан3сем

2013-01-14T22:21:35Z

Bobrov: /* Равенство интегралов по гомотопным путям */

== Основные вопросы ==
=== Список теорем ===
==== Теоремы без доказательств ====
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда|Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда]]

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)|Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)]] — уже есть все идеи доказательства, осталось его выписать, если кому-то не лень.

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о неявном отображении|Теорема о неявном отображении]] Доказательство появилось

Асимптотика интеграла <tex>\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx, n\to+\infty</tex> — много писать =(

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов|Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов]] — много писать =(

=== Признак Вейерштрасса ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.

Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.
|proof=
<tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le
sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0
</tex>
}}

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.
|proof=
1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex>

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
}}

=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.

Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>

<tex> * </tex>
1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.
2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.
|proof=
<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>

Сделаем предельный переход по <tex>N</tex>

<tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>
}}

=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>

2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex>

Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
|proof=
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>

* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>

* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.

<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
}}

=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
{{
Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>.

1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex>

2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex>

Тогда

1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится

2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел

* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>

<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>

Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти

<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>

<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>

Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>

<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>

Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]

<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
}}

=== Теорема о перестановке пределов ===
(<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>)

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>]

1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>

2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex>

Тогда

1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex>

2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>

Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>

Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>

<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>

Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)

<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>

2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>

<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex>

<tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex>

при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный

<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex>

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>

<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>

<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
}}

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>

Возможны три случая:

1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится

2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>

3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при

<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится

<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость

<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>

* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>

1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится

при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)

3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>

<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}

=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:

1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>

2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]

<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>

<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>

<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.

<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>

(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>

В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}

=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>

(уравнения Коши-Римана)

|proof=
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}

=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>

Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>

Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>

<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

<tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}

=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>

1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>

1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>

1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>

{{Теорема
|statement=
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
|proof=
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>

<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>

<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
}}

* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>

2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>

2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>

2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>

2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>

2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>

<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>

<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>

<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>

2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>

<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>

2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>

<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>

-----
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>

<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>

<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>

=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>

Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].

<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}

=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>

<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа

// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка

<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>

<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>

<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}

=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально

<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>

<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>

<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>

<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>

<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}

=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>

<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>

<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;

<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>

Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
|proof=
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>

<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>

<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>

<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>

1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>

<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>

<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>

<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>

<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>

<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
}}

=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:

1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>

2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>

(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>

<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>

<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.

<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>

Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>

<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>

Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>

<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>

<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>

// Если ехать быстро и криво

<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>

<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>

// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
}}

=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>

<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление

Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.

Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>

// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
}}

=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>

<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

Тогда эти две частные производные равны.
|proof=
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>

фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>

<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки

<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>

<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
}}
* Замечание 1:

Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

* Замечание 2:

Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>

Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>

и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка

Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>

=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>

<tex> r = 1 </tex>

<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>

<tex> r = r + 1 </tex>

<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>

<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m + 1}} = </tex>

<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;

<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс

<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1

<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>

* Замечание 2

<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>

<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>

=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}

=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=

<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>

<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>

Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

}}

Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.

Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}

=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть

<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>

<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>

<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>

<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>

1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>

2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]

3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>

<tex>(2)</tex>

<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>

<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>

Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
}}

=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:

1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;

2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;

3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=

Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>

Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>

Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)

Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>

Само доказательство:

<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).

<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}

=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:

<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>

<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>

<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>

? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>

<tex> II \Rightarrow I </tex>

<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>

<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>

<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>

Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}

=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>.

Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)

|proof=
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>.

Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
|proof=
Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно.
Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}

=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
{{Утверждение
|statement=
1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> 
2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
|proof=
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>

(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>)

<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>

<tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex>

<tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex>

2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.)

<tex> x = 0 : \text{triv} </tex>

<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
}}

=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).

2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).

3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.

4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>

Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>

<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>

Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума

<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>

<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>

<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>

<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}

=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>

<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>

<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>

<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>

2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>

<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>

// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}

=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.

* Замечание

1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное

2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?

<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>

при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>

<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>

Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>

Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>

<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>

<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>

В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.

На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>

<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]

<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>

<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}

=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.

Тогда:

1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
|proof=

1) <tex> r = 1 </tex>

<tex>F(O) = O' </tex> — открытое

Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>

Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.

* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>

<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>

* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.

Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>

<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>

Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>

<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>

<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>

<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>

2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}

=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>

Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
|proof=
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима

[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.

<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>

<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>

<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>

<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>

<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>

<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание

<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.

<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле

=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

'''Раньше тут был забыт минус!'''
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>

|proof=

Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.

<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>

<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.

<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>

По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.

Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.

Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}

=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.

Эквивалентные утверждения:

1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие

2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия:

2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>

2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>

<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>

<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях

<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.

<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>

<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>

<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>

<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>

<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>

<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>

<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>

<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}

=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.

По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>

<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация

<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.

<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.

<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>

При таком <tex> \lambda : </tex>

<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
}}

=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}

=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex>

<tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex>

<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex>

3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex>

Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]
\end{cases} </tex>

то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)

<tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex>

<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>

<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>

5) Оценка интеграла:
{{
Теорема
|statement=
<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}

=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий.

Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
|proof=
1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути

\\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex>

\\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex>

2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий

<tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>
}}

=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
Теорема
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в <tex> O </tex>

2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)

3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]

<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно

<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>

<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>

<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно

<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>

Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?

Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)

Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>

<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>

<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>

<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>

<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
}}

=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
|proof=
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>

<tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>

<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>

<tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex>

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела.
}}

=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>
|proof=
<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>

<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
}}

=== Лемма о гусенице ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
|proof=
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>

<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>

<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие

Можно считать <tex> \forall i \ \exists s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>

<tex> s_1 < s_2 ... < s_n </tex>
}}

=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>

<tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>

Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex>

в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д.

<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex>

<tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex>
}}
* Замечание

<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex>

=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex>

<tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>

<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>

<tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex>

<tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex>

<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей
}}

=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
|proof=
<tex> \Gamma </tex> — гомотопия. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>

<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная

<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)

<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна.

<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
}}

=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
|proof=
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>

По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
}}

Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.

=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{1/\pi^{4/3}} \cos^n x dx </tex>
}}

=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
|proof=
<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>

<tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем
}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.
}}

=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
|proof=
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>

<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>

Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>

<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>

<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>

<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>

<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>

<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
}}
* Замечание

<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>

=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>

// <tex> \varphi(u) = -(n \ln u) </tex>

// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{n}); n = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>

// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{n^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>

<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
}}

== Определения и факты ==
=== Равномерно сходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}

=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:

1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.

=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}

=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}

=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>

<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>

<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
}}

=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}

=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}

=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}

=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}

=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}

=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}

=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}

=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.

Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона''' или '''оператором Набла'''.
}}

=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}

=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}

=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.

=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:

<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>

С остатком в интегральной форме:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>

Формула в дифференциалах:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>

Формула в координатах:

<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>

=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:

<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>

<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>

<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>

<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}

=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| </tex>.
}}

=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:

<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;

<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.

Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}

=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. 

1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. 

2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. 

3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. 

4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}

=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}

=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.

<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>

<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>

Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}

=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}

=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}

Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}

=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:

1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;

2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;

3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;

4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}

=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное

<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)

<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}

=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля

<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>

Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}

=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}

=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}

=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}

=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}

=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}

=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}

=== Односвязная область ===
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}

== Примеры ==
=== Производная линейного отображения ===
<tex>L'(x) = L</tex>

По определению:

<tex>L(x + h) - L(x) = L(h)</tex>
=== Правило цепочки: запись в координатах ===
=== n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность ===
Равносторонний <tex>n</tex>-угольник.

[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].

Нормальное доказательство:

Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))</tex>. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна <tex>2\pi</tex>) и будем максимизировать следующую функцию от <tex>n-1</tex> переменной: <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))</tex>.

Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:

<tex>
\begin{cases}
cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\
... \\
cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
\end{cases}
</tex>

Откуда получаем <tex>a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}</tex>. Поскольку все углы лежат в приделах <tex>(0..\pi)</tex>, то из первого уравнения <tex>a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}</tex> находим <tex>a_1 = 2\pi / n</tex>. То, что это решение и есть максимум очевидно.

=== Непотенциальное векторное поле ===
Любое отображение, для которого <tex>\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_j}} \neq \frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}</tex> для каких-нибудь i и j.
Например, <tex>F(x, y, z) = (xy, xz, yz)</tex>: <tex>\frac{\partial{F_1}}{\partial{y}} = x; \frac{\partial{F_2}}{\partial{x}} = z</tex>

=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.

Участник:Yulya3102/Матан3сем

2013-01-14T22:11:46Z

Bobrov: /* Лемма о гусенице */

== Основные вопросы ==
=== Список теорем ===
==== Теоремы без доказательств ====
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда|Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда]]

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)|Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)]] — уже есть все идеи доказательства, осталось его выписать, если кому-то не лень.

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о неявном отображении|Теорема о неявном отображении]] Доказательство появилось

Асимптотика интеграла <tex>\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx, n\to+\infty</tex> — много писать =(

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов|Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов]] — много писать =(

=== Признак Вейерштрасса ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.

Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.
|proof=
<tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le
sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0
</tex>
}}

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.
|proof=
1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex>

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
}}

=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.

Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>

<tex> * </tex>
1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.
2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.
|proof=
<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>

Сделаем предельный переход по <tex>N</tex>

<tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>
}}

=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>

2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex>

Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
|proof=
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>

* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>

* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.

<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
}}

=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
{{
Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>.

1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex>

2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex>

Тогда

1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится

2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел

* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>

<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>

Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти

<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>

<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>

Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>

<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>

Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]

<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
}}

=== Теорема о перестановке пределов ===
(<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>)

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>]

1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>

2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex>

Тогда

1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex>

2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>

Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>

Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>

<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>

Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)

<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>

2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>

<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex>

<tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex>

при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный

<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex>

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>

<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>

<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
}}

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>

Возможны три случая:

1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится

2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>

3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при

<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится

<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость

<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>

* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>

1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится

при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)

3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>

<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}

=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:

1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>

2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]

<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>

<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>

<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.

<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>

(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>

В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}

=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>

(уравнения Коши-Римана)

|proof=
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}

=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>

Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>

Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>

<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

<tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}

=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>

1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>

1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>

1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>

{{Теорема
|statement=
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
|proof=
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>

<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>

<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
}}

* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>

2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>

2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>

2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>

2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>

2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>

<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>

<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>

<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>

2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>

<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>

2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>

<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>

-----
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>

<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>

<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>

=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>

Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].

<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}

=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>

<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа

// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка

<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>

<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>

<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}

=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально

<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>

<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>

<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>

<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>

<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}

=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>

<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>

<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;

<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>

Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
|proof=
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>

<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>

<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>

<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>

1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>

<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>

<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>

<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>

<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>

<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
}}

=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:

1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>

2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>

(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>

<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>

<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.

<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>

Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>

<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>

Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>

<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>

<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>

// Если ехать быстро и криво

<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>

<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>

// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
}}

=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>

<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление

Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.

Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>

// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
}}

=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>

<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

Тогда эти две частные производные равны.
|proof=
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>

фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>

<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки

<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>

<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
}}
* Замечание 1:

Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

* Замечание 2:

Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>

Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>

и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка

Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>

=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>

<tex> r = 1 </tex>

<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>

<tex> r = r + 1 </tex>

<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>

<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m + 1}} = </tex>

<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;

<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс

<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1

<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>

* Замечание 2

<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>

<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>

=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}

=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=

<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>

<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>

Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

}}

Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.

Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}

=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть

<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>

<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>

<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>

<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>

1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>

2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]

3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>

<tex>(2)</tex>

<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>

<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>

Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
}}

=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:

1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;

2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;

3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=

Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>

Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>

Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)

Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>

Само доказательство:

<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).

<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}

=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:

<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>

<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>

<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>

? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>

<tex> II \Rightarrow I </tex>

<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>

<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>

<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>

Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}

=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>.

Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)

|proof=
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>.

Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
|proof=
Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно.
Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}

=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
{{Утверждение
|statement=
1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> 
2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
|proof=
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>

(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>)

<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>

<tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex>

<tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex>

2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.)

<tex> x = 0 : \text{triv} </tex>

<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
}}

=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).

2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).

3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.

4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>

Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>

<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>

Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума

<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>

<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>

<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>

<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}

=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>

<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>

<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>

<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>

2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>

<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>

// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}

=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.

* Замечание

1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное

2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?

<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>

при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>

<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>

Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>

Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>

<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>

<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>

В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.

На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>

<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]

<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>

<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}

=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.

Тогда:

1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
|proof=

1) <tex> r = 1 </tex>

<tex>F(O) = O' </tex> — открытое

Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>

Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.

* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>

<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>

* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.

Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>

<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>

Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>

<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>

<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>

<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>

2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}

=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>

Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
|proof=
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима

[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.

<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>

<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>

<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>

<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>

<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>

<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание

<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.

<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле

=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

'''Раньше тут был забыт минус!'''
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>

|proof=

Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.

<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>

<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.

<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>

По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.

Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.

Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}

=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.

Эквивалентные утверждения:

1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие

2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия:

2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>

2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>

<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>

<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях

<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.

<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>

<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>

<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>

<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>

<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>

<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>

<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>

<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}

=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.

По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>

<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация

<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.

<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.

<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>

При таком <tex> \lambda : </tex>

<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
}}

=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}

=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex>

<tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex>

<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex>

3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex>

Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]
\end{cases} </tex>

то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)

<tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex>

<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>

<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>

5) Оценка интеграла:
{{
Теорема
|statement=
<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}

=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий.

Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
|proof=
1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути

\\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex>

\\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex>

2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий

<tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>
}}

=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
Теорема
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в <tex> O </tex>

2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)

3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]

<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно

<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>

<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>

<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно

<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>

Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?

Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)

Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>

<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>

<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>

<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>

<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
}}

=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
|proof=
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>

<tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>

<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>

<tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex>

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела.
}}

=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>
|proof=
<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>

<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
}}

=== Лемма о гусенице ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
|proof=
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>

<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>

<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие

Можно считать <tex> \forall i \ \exists s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>

<tex> s_1 < s_2 ... < s_n </tex>
}}

=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>

<tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>

Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex>

в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д.

<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex>

<tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex>
}}
* Замечание

<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex>

=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex>

<tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>

<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>

<tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex>

<tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex>

<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей
}}

=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
|proof=
<tex> \Gamma </tex> — гомотопна. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>

<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная

<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)

<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна.

<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
}}

=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
|proof=
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>

По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
}}

Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.

=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{1/\pi^{4/3}} \cos^n x dx </tex>
}}

=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
|proof=
<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>

<tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем
}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.
}}

=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
|proof=
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>

<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>

Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>

<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>

<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>

<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>

<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>

<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
}}
* Замечание

<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>

=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>

// <tex> \varphi(u) = -(n \ln u) </tex>

// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{n}); n = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>

// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{n^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>

<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
}}

== Определения и факты ==
=== Равномерно сходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}

=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:

1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.

=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}

=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}

=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>

<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>

<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
}}

=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}

=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}

=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}

=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}

=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}

=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}

=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}

=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.

Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона''' или '''оператором Набла'''.
}}

=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}

=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}

=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.

=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:

<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>

С остатком в интегральной форме:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>

Формула в дифференциалах:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>

Формула в координатах:

<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>

=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:

<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>

<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>

<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>

<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}

=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| </tex>.
}}

=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:

<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;

<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.

Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}

=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. 

1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. 

2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. 

3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. 

4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}

=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}

=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.

<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>

<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>

Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}

=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}

=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}

Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}

=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:

1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;

2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;

3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;

4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}

=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное

<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)

<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}

=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля

<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>

Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}

=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}

=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}

=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}

=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}

=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}

=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}

=== Односвязная область ===
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}

== Примеры ==
=== Производная линейного отображения ===
<tex>L'(x) = L</tex>

По определению:

<tex>L(x + h) - L(x) = L(h)</tex>
=== Правило цепочки: запись в координатах ===
=== n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность ===
Равносторонний <tex>n</tex>-угольник.

[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].

Нормальное доказательство:

Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))</tex>. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна <tex>2\pi</tex>) и будем максимизировать следующую функцию от <tex>n-1</tex> переменной: <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))</tex>.

Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:

<tex>
\begin{cases}
cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\
... \\
cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
\end{cases}
</tex>

Откуда получаем <tex>a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}</tex>. Поскольку все углы лежат в приделах <tex>(0..\pi)</tex>, то из первого уравнения <tex>a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}</tex> находим <tex>a_1 = 2\pi / n</tex>. То, что это решение и есть максимум очевидно.

=== Непотенциальное векторное поле ===
Любое отображение, для которого <tex>\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_j}} \neq \frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}</tex> для каких-нибудь i и j.
Например, <tex>F(x, y, z) = (xy, xz, yz)</tex>: <tex>\frac{\partial{F_1}}{\partial{y}} = x; \frac{\partial{F_2}}{\partial{x}} = z</tex>

=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.

Участник:Yulya3102/Матан3сем

2013-01-14T22:07:09Z

Bobrov: /* Непотенциальное векторное поле */

== Основные вопросы ==
=== Список теорем ===
==== Теоремы без доказательств ====
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда|Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда]]

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)|Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)]] — уже есть все идеи доказательства, осталось его выписать, если кому-то не лень.

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о неявном отображении|Теорема о неявном отображении]] Доказательство появилось

Асимптотика интеграла <tex>\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx, n\to+\infty</tex> — много писать =(

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов|Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов]] — много писать =(

=== Признак Вейерштрасса ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.

Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.
|proof=
<tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le
sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0
</tex>
}}

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.
|proof=
1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex>

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
}}

=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.

Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>

<tex> * </tex>
1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.
2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.
|proof=
<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>

Сделаем предельный переход по <tex>N</tex>

<tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>
}}

=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>

2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex>

Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
|proof=
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>

* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>

* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.

<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
}}

=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
{{
Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>.

1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex>

2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex>

Тогда

1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится

2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел

* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>

<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>

Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти

<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>

<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>

Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>

<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>

Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]

<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
}}

=== Теорема о перестановке пределов ===
(<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>)

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>]

1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>

2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex>

Тогда

1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex>

2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>

Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>

Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>

<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>

Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)

<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>

2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>

<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex>

<tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex>

при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный

<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex>

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>

<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>

<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
}}

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>

Возможны три случая:

1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится

2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>

3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при

<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится

<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость

<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>

* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>

1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится

при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)

3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>

<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}

=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:

1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>

2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]

<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>

<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>

<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.

<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>

(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>

В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}

=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>

(уравнения Коши-Римана)

|proof=
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}

=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>

Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>

Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>

<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

<tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}

=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>

1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>

1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>

1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>

{{Теорема
|statement=
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
|proof=
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>

<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>

<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
}}

* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>

2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>

2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>

2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>

2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>

2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>

<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>

<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>

<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>

2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>

<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>

2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>

<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>

-----
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>

<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>

<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>

=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>

Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].

<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}

=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>

<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа

// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка

<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>

<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>

<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}

=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально

<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>

<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>

<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>

<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>

<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}

=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>

<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>

<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;

<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>

Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
|proof=
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>

<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>

<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>

<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>

1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>

<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>

<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>

<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>

<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>

<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
}}

=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:

1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>

2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>

(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>

<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>

<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.

<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>

Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>

<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>

Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>

<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>

<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>

// Если ехать быстро и криво

<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>

<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>

// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
}}

=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>

<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление

Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.

Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>

// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
}}

=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>

<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

Тогда эти две частные производные равны.
|proof=
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>

фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>

<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки

<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>

<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
}}
* Замечание 1:

Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

* Замечание 2:

Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>

Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>

и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка

Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>

=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>

<tex> r = 1 </tex>

<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>

<tex> r = r + 1 </tex>

<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>

<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m + 1}} = </tex>

<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;

<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс

<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1

<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>

* Замечание 2

<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>

<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>

=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}

=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=

<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>

<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>

Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

}}

Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.

Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}

=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть

<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>

<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>

<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>

<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>

1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>

2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]

3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>

<tex>(2)</tex>

<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>

<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>

Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
}}

=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:

1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;

2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;

3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=

Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>

Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>

Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)

Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>

Само доказательство:

<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).

<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}

=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:

<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>

<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>

<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>

? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>

<tex> II \Rightarrow I </tex>

<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>

<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>

<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>

Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}

=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>.

Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)

|proof=
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>.

Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
|proof=
Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно.
Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}

=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
{{Утверждение
|statement=
1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> 
2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
|proof=
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>

(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>)

<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>

<tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex>

<tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex>

2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.)

<tex> x = 0 : \text{triv} </tex>

<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
}}

=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).

2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).

3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.

4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>

Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>

<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>

Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума

<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>

<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>

<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>

<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}

=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>

<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>

<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>

<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>

2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>

<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>

// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}

=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.

* Замечание

1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное

2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?

<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>

при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>

<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>

Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>

Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>

<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>

<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>

В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.

На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>

<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]

<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>

<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}

=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.

Тогда:

1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
|proof=

1) <tex> r = 1 </tex>

<tex>F(O) = O' </tex> — открытое

Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>

Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.

* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>

<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>

* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.

Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>

<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>

Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>

<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>

<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>

<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>

2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}

=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>

Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
|proof=
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима

[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.

<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>

<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>

<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>

<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>

<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>

<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание

<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.

<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле

=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

'''Раньше тут был забыт минус!'''
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>

|proof=

Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.

<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>

<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.

<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>

По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.

Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.

Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}

=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.

Эквивалентные утверждения:

1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие

2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия:

2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>

2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>

<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>

<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях

<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.

<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>

<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>

<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>

<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>

<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>

<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>

<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>

<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}

=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.

По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>

<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация

<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.

<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.

<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>

При таком <tex> \lambda : </tex>

<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
}}

=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}

=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex>

<tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex>

<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex>

3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex>

Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]
\end{cases} </tex>

то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)

<tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex>

<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>

<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>

5) Оценка интеграла:
{{
Теорема
|statement=
<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}

=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий.

Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
|proof=
1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути

\\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex>

\\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex>

2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий

<tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>
}}

=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
Теорема
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в <tex> O </tex>

2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)

3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]

<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно

<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>

<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>

<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно

<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>

Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?

Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)

Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>

<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>

<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>

<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>

<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
}}

=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
|proof=
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>

<tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>

<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>

<tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex>

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела.
}}

=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>
|proof=
<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>

<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
}}

=== Лемма о гусенице ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
|proof=
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>

<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>

<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие

Можно считать <tex> \forall i \ \exists S_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>

<tex> S_1 \subset S_2 ... \subset S_n </tex>
}}

=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>

<tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>

Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex>

в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д.

<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex>

<tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex>
}}
* Замечание

<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex>

=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex>

<tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>

<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>

<tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex>

<tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex>

<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей
}}

=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
|proof=
<tex> \Gamma </tex> — гомотопна. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>

<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная

<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)

<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна.

<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
}}

=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
|proof=
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>

По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
}}

Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.

=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{1/\pi^{4/3}} \cos^n x dx </tex>
}}

=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
|proof=
<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>

<tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем
}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.
}}

=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
|proof=
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>

<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>

Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>

<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>

<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>

<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>

<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>

<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
}}
* Замечание

<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>

=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>

// <tex> \varphi(u) = -(n \ln u) </tex>

// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{n}); n = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>

// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{n^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>

<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
}}

== Определения и факты ==
=== Равномерно сходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}

=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:

1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.

=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}

=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}

=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>

<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>

<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
}}

=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}

=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}

=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}

=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}

=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}

=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}

=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}

=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.

Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона''' или '''оператором Набла'''.
}}

=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}

=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}

=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.

=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:

<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>

С остатком в интегральной форме:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>

Формула в дифференциалах:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>

Формула в координатах:

<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>

=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:

<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>

<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>

<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>

<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}

=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| </tex>.
}}

=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:

<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;

<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.

Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}

=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. 

1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. 

2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. 

3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. 

4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}

=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}

=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.

<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>

<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>

Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}

=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}

=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}

Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}

=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:

1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;

2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;

3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;

4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}

=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное

<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)

<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}

=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля

<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>

Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}

=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}

=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}

=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}

=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}

=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}

=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}

=== Односвязная область ===
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}

== Примеры ==
=== Производная линейного отображения ===
<tex>L'(x) = L</tex>

По определению:

<tex>L(x + h) - L(x) = L(h)</tex>
=== Правило цепочки: запись в координатах ===
=== n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность ===
Равносторонний <tex>n</tex>-угольник.

[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].

Нормальное доказательство:

Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))</tex>. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна <tex>2\pi</tex>) и будем максимизировать следующую функцию от <tex>n-1</tex> переменной: <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))</tex>.

Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:

<tex>
\begin{cases}
cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\
... \\
cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
\end{cases}
</tex>

Откуда получаем <tex>a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}</tex>. Поскольку все углы лежат в приделах <tex>(0..\pi)</tex>, то из первого уравнения <tex>a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}</tex> находим <tex>a_1 = 2\pi / n</tex>. То, что это решение и есть максимум очевидно.

=== Непотенциальное векторное поле ===
Любое отображение, для которого <tex>\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_j}} \neq \frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}</tex> для каких-нибудь i и j.
Например, <tex>F(x, y, z) = (xy, xz, yz)</tex>: <tex>\frac{\partial{F_1}}{\partial{y}} = x; \frac{\partial{F_2}}{\partial{x}} = z</tex>

=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.

Участник:Yulya3102/Матан3сем

2013-01-14T21:47:27Z

Bobrov: /* Лемма о гусенице */

== Основные вопросы ==
=== Список теорем ===
==== Теоремы без доказательств ====
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда|Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда]]

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)|Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)]] — уже есть все идеи доказательства, осталось его выписать, если кому-то не лень.

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о неявном отображении|Теорема о неявном отображении]] Доказательство появилось

Асимптотика интеграла <tex>\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx, n\to+\infty</tex> — много писать =(

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов|Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов]] — много писать =(

=== Признак Вейерштрасса ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.

Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.
|proof=
<tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le
sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0
</tex>
}}

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.
|proof=
1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex>

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
}}

=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.

Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>

<tex> * </tex>
1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.
2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.
|proof=
<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>

Сделаем предельный переход по <tex>N</tex>

<tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>
}}

=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>

2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex>

Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
|proof=
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>

* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>

* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.

<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
}}

=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
{{
Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>.

1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex>

2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex>

Тогда

1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится

2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел

* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>

<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>

Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти

<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>

<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>

Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>

<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>

Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]

<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
}}

=== Теорема о перестановке пределов ===
(<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>)

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>]

1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>

2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex>

Тогда

1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex>

2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>

Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>

Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>

<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>

Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)

<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>

2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>

<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex>

<tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex>

при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный

<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex>

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>

<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>

<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
}}

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>

Возможны три случая:

1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится

2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>

3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при

<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится

<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость

<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>

* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>

1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится

при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)

3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>

<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}

=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:

1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>

2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]

<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>

<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>

<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.

<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>

(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>

В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}

=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>

(уравнения Коши-Римана)

|proof=
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}

=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>

Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>

Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>

<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

<tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}

=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>

1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>

1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>

1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>

{{Теорема
|statement=
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
|proof=
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>

<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>

<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
}}

* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>

2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>

2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>

2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>

2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>

2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>

<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>

<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>

<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>

2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>

<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>

2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>

<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>

-----
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>

<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>

<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>

=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>

Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].

<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}

=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>

<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа

// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка

<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>

<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>

<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}

=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально

<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>

<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>

<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>

<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>

<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}

=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>

<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>

<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;

<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>

Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
|proof=
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>

<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>

<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>

<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>

1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>

<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>

<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>

<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>

<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>

<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
}}

=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:

1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>

2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>

(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>

<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>

<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.

<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>

Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>

<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>

Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>

<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>

<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>

// Если ехать быстро и криво

<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>

<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>

// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
}}

=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>

<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление

Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.

Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>

// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
}}

=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>

<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

Тогда эти две частные производные равны.
|proof=
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>

фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>

<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки

<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>

<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
}}
* Замечание 1:

Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

* Замечание 2:

Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>

Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>

и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка

Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>

=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>

<tex> r = 1 </tex>

<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>

<tex> r = r + 1 </tex>

<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>

<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m + 1}} = </tex>

<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;

<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс

<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1

<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>

* Замечание 2

<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>

<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>

=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}

=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=

<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>

<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>

Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

}}

Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.

Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}

=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть

<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>

<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>

<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>

<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>

1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>

2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]

3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>

<tex>(2)</tex>

<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>

<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>

Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
}}

=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:

1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;

2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;

3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=

Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>

Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>

Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)

Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>

Само доказательство:

<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).

<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}

=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:

<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>

<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>

<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>

? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>

<tex> II \Rightarrow I </tex>

<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>

<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>

<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>

Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}

=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>.

Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)

|proof=
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>.

Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
|proof=
Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно.
Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}

=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
{{Утверждение
|statement=
1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> 
2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
|proof=
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>

(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>)

<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>

<tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex>

<tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex>

2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.)

<tex> x = 0 : \text{triv} </tex>

<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
}}

=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).

2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).

3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.

4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>

Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>

<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>

Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума

<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>

<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>

<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>

<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}

=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>

<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>

<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>

<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>

2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>

<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>

// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}

=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.

* Замечание

1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное

2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?

<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>

при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>

<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>

Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>

Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>

<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>

<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>

В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.

На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>

<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]

<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>

<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}

=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.

Тогда:

1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
|proof=

1) <tex> r = 1 </tex>

<tex>F(O) = O' </tex> — открытое

Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>

Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.

* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>

<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>

* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.

Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>

<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>

Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>

<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>

<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>

<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>

2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}

=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>

Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
|proof=
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима

[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.

<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>

<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>

<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>

<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>

<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>

<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание

<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.

<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле

=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

'''Раньше тут был забыт минус!'''
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>

|proof=

Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.

<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>

<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.

<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>

По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.

Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.

Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}

=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.

Эквивалентные утверждения:

1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие

2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия:

2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>

2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>

<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>

<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях

<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.

<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>

<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>

<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>

<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>

<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>

<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>

<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>

<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}

=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.

По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>

<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация

<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.

<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.

<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>

При таком <tex> \lambda : </tex>

<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
}}

=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}

=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex>

<tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex>

<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex>

3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex>

Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]
\end{cases} </tex>

то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)

<tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex>

<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>

<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>

5) Оценка интеграла:
{{
Теорема
|statement=
<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}

=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий.

Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
|proof=
1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути

\\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex>

\\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex>

2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий

<tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>
}}

=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
Теорема
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в <tex> O </tex>

2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)

3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]

<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно

<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>

<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>

<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно

<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>

Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?

Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)

Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>

<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>

<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>

<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>

<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
}}

=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
|proof=
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>

<tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>

<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>

<tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex>

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела.
}}

=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>
|proof=
<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>

<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
}}

=== Лемма о гусенице ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
|proof=
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>

<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>

<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие

Можно считать <tex> \forall i \ \exists S_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>

<tex> S_1 \subset S_2 ... \subset S_n </tex>
}}

=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>

<tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>

Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex>

в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д.

<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex>

<tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex>
}}
* Замечание

<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex>

=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex>

<tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>

<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>

<tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex>

<tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex>

<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей
}}

=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
|proof=
<tex> \Gamma </tex> — гомотопна. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>

<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная

<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)

<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна.

<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
}}

=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
|proof=
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>

По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
}}

Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.

=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{1/\pi^{4/3}} \cos^n x dx </tex>
}}

=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
|proof=
<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>

<tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем
}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.
}}

=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
|proof=
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>

<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>

Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>

<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>

<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>

<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>

<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>

<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
}}
* Замечание

<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>

=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>

// <tex> \varphi(u) = -(n \ln u) </tex>

// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{n}); n = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>

// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{n^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>

<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
}}

== Определения и факты ==
=== Равномерно сходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}

=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:

1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.

=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}

=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}

=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>

<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>

<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
}}

=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}

=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}

=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}

=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}

=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}

=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}

=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}

=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.

Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона''' или '''оператором Набла'''.
}}

=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}

=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}

=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.

=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:

<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>

С остатком в интегральной форме:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>

Формула в дифференциалах:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>

Формула в координатах:

<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>

=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:

<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>

<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>

<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>

<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}

=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| </tex>.
}}

=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:

<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;

<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.

Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}

=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. 

1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. 

2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. 

3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. 

4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}

=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}

=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.

<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>

<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>

Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}

=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}

=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}

Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}

=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:

1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;

2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;

3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;

4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}

=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное

<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)

<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}

=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля

<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>

Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}

=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}

=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}

=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}

=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}

=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}

=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}

=== Односвязная область ===
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}

== Примеры ==
=== Производная линейного отображения ===
<tex>L'(x) = L</tex>

По определению:

<tex>L(x + h) - L(x) = L(h)</tex>
=== Правило цепочки: запись в координатах ===
=== n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность ===
Равносторонний <tex>n</tex>-угольник.

[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].

=== Непотенциальное векторное поле ===
=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.

Участник:Yulya3102/Матан3сем

2013-01-14T21:21:10Z

Bobrov: /* Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре */

== Основные вопросы ==
=== Список теорем ===
==== Теоремы без доказательств ====
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда|Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда]]

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)|Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)]] — уже есть все идеи доказательства, осталось его выписать, если кому-то не лень.

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о неявном отображении|Теорема о неявном отображении]] Доказательство появилось

Асимптотика интеграла <tex>\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx, n\to+\infty</tex> — много писать =(

[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов|Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов]] — много писать =(

=== Признак Вейерштрасса ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.

Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.
|proof=
<tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le
sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0
</tex>
}}

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.
|proof=
1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex>

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
}}

=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.

Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>

<tex> * </tex>
1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.
2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.
|proof=
<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>

Сделаем предельный переход по <tex>N</tex>

<tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>
}}

=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>

2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex>

Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
|proof=
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>

* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>

* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.

<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
}}

=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
{{
Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>.

1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex>

2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex>

Тогда

1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится

2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел

* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>

<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>

Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти

<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>

<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>

Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>

<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>

Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]

<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
}}

=== Теорема о перестановке пределов ===
(<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>)

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>]

1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>

2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex>

Тогда

1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex>

2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>

Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>

Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>

<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>

Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)

<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>

2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>

<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex>

<tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex>

при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный

<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex>

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>

<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>

<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
}}

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>

Возможны три случая:

1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится

2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>

3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при

<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится

<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость

<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>

* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>

1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится

при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)

3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>

<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}

=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:

1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>

2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]

<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>

<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>

<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.

<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>

(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>

В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}

=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>

(уравнения Коши-Римана)

|proof=
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}

=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>

Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>

Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>

<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

<tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}

=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>

1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>

1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>

1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>

{{Теорема
|statement=
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
|proof=
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>

<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>

<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
}}

* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>

2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>

2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>

2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>

2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>

2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>

<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>

<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>

<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>

2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>

<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>

2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>

<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>

-----
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>

<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>

<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>

=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>

Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].

<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}

=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>

<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа

// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка

<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>

<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>

<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}

=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально

<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>

<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>

<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>

<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>

<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}

=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>

<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>

<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;

<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>

Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
|proof=
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>

<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>

<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>

<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>

1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>

<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>

<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>

<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>

<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>

<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
}}

=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:

1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>

2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>

(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>

<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>

<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.

<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>

Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>

<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>

Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>

<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>

<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>

// Если ехать быстро и криво

<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>

<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>

// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
}}

=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>

<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление

Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.

Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>

// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
}}

=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>

<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

Тогда эти две частные производные равны.
|proof=
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>

фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>

<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки

<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>

<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
}}
* Замечание 1:

Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

* Замечание 2:

Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>

Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>

и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка

Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>

=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>

<tex> r = 1 </tex>

<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>

<tex> r = r + 1 </tex>

<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>

<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m + 1}} = </tex>

<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;

<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс

<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1

<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>

* Замечание 2

<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>

<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>

=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}

=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=

<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>

<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>

Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

}}

Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.

Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}

=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть

<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>

<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>

<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>

<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>

1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>

2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]

3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>

<tex>(2)</tex>

<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>

<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>

Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
}}

=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:

1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;

2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;

3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=

Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>

Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>

Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)

Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>

Само доказательство:

<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).

<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}

=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:

<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>

<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>

<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>

? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>

<tex> II \Rightarrow I </tex>

<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>

<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>

<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>

Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}

=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>.

Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)

|proof=
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>.

Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
|proof=
Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно.
Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}

=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
{{Утверждение
|statement=
1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> 
2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
|proof=
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>

(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>)

<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>

<tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex>

<tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex>

2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.)

<tex> x = 0 : \text{triv} </tex>

<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
}}

=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).

2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).

3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.

4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>

Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>

<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>

Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума

<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>

<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>

<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>

<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}

=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>

<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>

<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>

<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>

2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>

<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>

// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}

=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.

* Замечание

1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное

2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?

<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>

при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>

<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>

Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>

Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>

<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>

<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>

В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.

На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>

<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]

<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>

<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}

=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.

Тогда:

1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
|proof=

1) <tex> r = 1 </tex>

<tex>F(O) = O' </tex> — открытое

Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>

Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.

* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>

<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>

* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.

Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>

<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>

Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>

<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>

<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>

<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>

2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}

=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>

Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
|proof=
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима

[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.

<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>

<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>

<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>

<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>

<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>

<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание

<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.

<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле

=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

'''Раньше тут был забыт минус!'''
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>

|proof=

Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.

<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>

<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.

<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>

По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.

Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.

Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}

=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.

Эквивалентные утверждения:

1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие

2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия:

2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>

2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>

<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>

<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях

<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.

<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>

<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>

<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>

<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>

<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>

<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>

<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>

<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}

=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.

По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>

<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация

<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.

<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.

<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>

При таком <tex> \lambda : </tex>

<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
}}

=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}

=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex>

<tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex>

<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex>

3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex>

Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]
\end{cases} </tex>

то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)

<tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex>

<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>

<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>

5) Оценка интеграла:
{{
Теорема
|statement=
<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}

=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий.

Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
|proof=
1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути

\\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex>

\\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex>

2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий

<tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>
}}

=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
Теорема
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в <tex> O </tex>

2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)

3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]

<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно

<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>

<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>

<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно

<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>

Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?

Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)

Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>

<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>

<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>

<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>

<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
}}

=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
|proof=
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>

<tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>

<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>

<tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex>

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела.
}}

=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>
|proof=
<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>

<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
}}

=== Лемма о гусенице ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
|proof=
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>

<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B; \ (\gamma(c), V_c) \} </tex>

<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B; \ (\gamma(c), V_c) \} </tex>

Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>

<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие

Можно считать <tex> \forall i \ \exists S_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>

<tex> S_1 \subset S_2 ... \subset S_n </tex>
}}

=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>

<tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>

Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex>

в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д.

<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex>

<tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex>
}}
* Замечание

<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex>

=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex>

<tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>

<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>

<tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex>

<tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex>

<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей
}}

=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
|proof=
<tex> \Gamma </tex> — гомотопна. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>

<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная

<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)

<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна.

<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
}}

=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
|proof=
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>

По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
}}

Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.

=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{1/\pi^{4/3}} \cos^n x dx </tex>
}}

=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
|proof=
<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>

<tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем
}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.
}}

=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
|proof=
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>

<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>

Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>

<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>

<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>

<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>

<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>

<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
}}
* Замечание

<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>

=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>

// <tex> \varphi(u) = -(n \ln u) </tex>

// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{n}); n = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>

// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{n^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>

<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
}}

== Определения и факты ==
=== Равномерно сходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}

=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:

1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.

=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}

=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}

=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>

<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>

<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
}}

=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}

=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}

=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}

=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}

=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}

=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}

=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}

=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.

Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона''' или '''оператором Набла'''.
}}

=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}

=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}

=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.

=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:

<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>

С остатком в интегральной форме:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>

Формула в дифференциалах:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>

Формула в координатах:

<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>

=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:

<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>

<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>

<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>

<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}

=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| </tex>.
}}

=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:

<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;

<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.

Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}

=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. 

1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. 

2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. 

3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. 

4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}

=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}

=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.

<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>

<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>

Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}

=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}

=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}

Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}

=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:

1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;

2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;

3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;

4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}

=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное

<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)

<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}

=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля

<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>

Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}

=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}

=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}

=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}

=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}

=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}

=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}

=== Односвязная область ===
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}

== Примеры ==
=== Производная линейного отображения ===
<tex>L'(x) = L</tex>

По определению:

<tex>L(x + h) - L(x) = L(h)</tex>
=== Правило цепочки: запись в координатах ===
=== n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность ===
Равносторонний <tex>n</tex>-угольник.

[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].

=== Непотенциальное векторное поле ===
=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов - в ней всякая петля стягиваема