Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Дисперсия случайной величины

2011-12-06T00:54:08Z

Barabanov: Отформатировал, добавил пример, переписал определение

== Определение ==
{{Определение
|id = def1
|definition =
'''Дисперсией''' [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] <tex>\xi</tex>, определенной на некотором [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]], называется число: <tex>D \xi = E(\xi -E\xi)^2 </tex>, где символ <tex>E</tex> обозначает [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]].}}
Дисперсия характеризует разброс [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] вокруг ее [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]].

Корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением. Оно используется для оценки масштаба возможного
отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
== Замечания ==
* В силу [[ Линейность математического ожидания|линейности математического ожидания]] справедлива формула:
*: <tex>D \xi = E\xi^2 - (E\xi)^2</tex>
== Свойства ==
* Дисперсия любой [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D\xi \geqslant 0;</tex>
* Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]];
* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>Da = 0.</tex> Верно и обратное: если <tex>D\xi=0,</tex> то <tex>\xi =E\xi</tex> почти всюду;
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
*: <tex>\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(\xi, \psi)</tex> {{---}} их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];
* <tex>D (a\xi) = a^2D\xi</tex>, где <tex>a</tex> - константа. В частности, <tex>D(-\xi) = D\xi;</tex>
* <tex>D(\xi+b) = D\xi</tex>, где <tex>b</tex> - константа.
== Пример ==
Рассмотрим простой пример вычисления [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] и дисперсии.

Найдем математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпавших на кубике с первого броска.

<tex> \xi(i) = i </tex>

Вычислим математическое ожидание: <tex>E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega) = 1\cdot 1/6+2\cdot 1/6 \dots +6\cdot 1/6 = 3.5</tex>

Вычислим дисперсию: <tex>D\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 = 1\cdot 1/6+4\cdot 1/6 \dots +36\cdot 1/6 - (3.5)^2 \approx 2.9</tex>
== Источники ==
*Дискретный анализ, Романовский И. В.

Симметричное отношение

2011-10-15T21:40:10Z

Barabanov:

В математике [[бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''симметричным''', если для каждой пары элементов множества <tex>(a, b)</tex> выполнение отношения <tex>a\,R\,b</tex> влечёт выполнение отношения <tex>b\,R\,a</tex>.
{{Определение
|definition =
Отношение <tex>R</tex> симметрично, если <tex>\forall a, b \in X:\ a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a</tex>.
}}
Отношение связи вершин неориентированного [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа]] симметрично.
Матрица симметричного отношения (т.е. симметричная матрица) является квадратной и симметричной относительно главной диагонали, т.е., формально, симметричной называют такую матрицу <tex>A</tex>, что <tex> \forall i,j: i \neq j \Rightarrow a_{ij}=a_{ji}</tex>.

Примером [[Антисимметричное отношение|антисимметричного отношения]] является отношение связи вершин направленного ациклического графа.

Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным).
Также любое отношение толерантности является симметричным (а также рефлексивным, но при этом не транзитивным).

Не являются симметричными (за исключением случая тождественной ложности отношения) отношения порядка (как полного, так и частичного).

== Примеры симметричных отношений ==
* Отношения '''эквивалентности''':
** отношение ''равенства'' <tex>=\;</tex>
** отношение ''сравнимости по модулю''
** отношение ''равномощности'' множеств
** отношение ''параллельности'' прямых и плоскостей
** отношение ''подобия'' геометрических фигур
* Отношения '''толерантности''':
** отношение "знакомства"
** отношение "наличие общего свойства"

==Источники==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Wikipedia | Симметричное отношение]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%8D%D0%BA%D0%B2%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Wikipedia | Отношение эквивалентности]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Wikipedia | Отношение толерантности]

Симметричное отношение

2011-10-15T00:32:07Z

Barabanov: Добавил больше примеров, указал источники и немного изменил порядок изложения материала.

В математике [[бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''симметричным''', если для каждой пары элементов множества <tex>(a, b)</tex> выполнение отношения <tex>a\,R\,b</tex> влечёт выполнение отношения <tex>b\,R\,a</tex>.
{{Определение
|definition =
Отношение <tex>R</tex> симметрично, если <tex>\forall a, b \in X:\ a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a</tex>.
}}
Отношение связи вершин неориентированного [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа]] симметрично.
В то время как отношение связи вершин ориентированного графа [[Антисимметричное отношение|антисимметрично]].

Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным).
Также любое отношение толерантности является симметричным (а также рефлексивным, но при этом не транзитивным).

Не являются симметричными (за исключением случая тождественной ложности отношения) отношения порядка (как полного, так и частичного).

== Примеры симметричных отношений ==
* Отношения '''эквивалентности''':
** отношение ''равенства'' <tex>=\;</tex>
** отношение ''сравнимости по модулю''
** отношение ''равномощности'' множеств
** отношение ''параллельности'' прямых и плоскостей
** отношение ''подобия'' геометрических фигур
* Отношения '''толерантности''':
** отношение "знакомства"
** отношение "наличие общего свойства"

==Источники==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Wikipedia | Симметричное отношение]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%8D%D0%BA%D0%B2%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Wikipedia | Отношение эквивалентности]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Wikipedia | Отношение толерантности]