Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона

2012-09-30T15:53:49Z

95.25.13.249: /* Алгоритм */

== Построение эквивалентного ДКА по НКА ==

Пусть нам дан произвольный [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]]: <tex>\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to 2^Q \rangle</tex>.

Построим по нему следующий [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]]: <tex>\langle \Sigma , Q_d, s_d \in Q_d, T_d \subset Q_d, \delta_d : Q_d \times \Sigma \to Q_d \rangle</tex>, где:
# <tex>Q_d = 2^Q</tex>,
# <tex>s_d = \{s\}</tex>,
# <tex>T_d = \{q \in Q_d \mid \exists p \in T : p \in q\}</tex>,
# <tex>\delta_d(q, c) = \{ \delta(a, c) \mid a \in q \}</tex>.

===Доказательство эквивалентности===
{{Теорема
|statement=
Построенный ДКА эквивалентен данному НКА.
|proof=
#Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА. Заметим, что <tex>\forall q \in q_d, \forall c \in \Sigma, \forall p \in \delta(q, c): p \in \delta_d(q_d, c)</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1...w_m</tex>, которое принимает автомат НКА: <tex>\langle s, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle u_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle u_m, \varepsilon \rangle, u_m \in T</tex>. Проверим, что построенный ДКА тоже принимает это слово. Заметим, что <tex>s \in s_d</tex>, а, значит, исходя из нашего наблюдения, мы получаем, что <tex>u_1 \in {u_d}_1</tex>, где <tex>{u_d}_1 = \delta_d(s, w_1)</tex>. Далее, несложно заметить, что <tex>\forall i \leq m : u_i \in {u_d}_i</tex>, где <tex>\langle s_d, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_i, w_{i + 1}...w_m\rangle</tex>. Таким образом, <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>, а из определения терминальных состояний в построенном ДКА мы получаем, что <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, то есть наш ДКА тоже принимает cлово <tex>w</tex>.
#Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА. Сначала сделаем наблюдение, что если <tex>q_d=\{q\}</tex>, и мы из него достигли по строке <tex>S</tex> какого-то состояния <tex>p_d</tex>, то <tex>\forall p \in p_d</tex> существует путь из <tex>q</tex> в <tex>p</tex> в НКА по строке <tex>S</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1...w_m</tex>, которое принимает автомат ДКА: <tex>\langle s_d, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_m, \varepsilon \rangle, {u_d}_m \in T_d</tex>. Проверим, что НКА тоже принимает это слово. Так как <tex>s_d = \{s\}</tex>, и мы из <tex>s_d</tex> достигли <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, возьмём любое терминальное состояние <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>. По нашему наблюдению в НКА есть путь из <tex>s</tex> в <tex>u_m</tex> по строке <tex>w</tex>, а, значит, НКА принимает это слово.
Таким образом, множества слов, допускаемых ДКА и НКА, совпадают, то есть они эквивалентны.
}}

== Алгоритм Томпсона ==
Данный алгоритм преобразовывает НКА в эквивалентный ДКА. Будем использовать вышеуказанный способ построения с одним дополнением {{---}} не будем учитывать состояния недостижимые из стартового.
Поэтому в алгоритме используется обход в ширину.

===Алгоритм===
<tex>Q</tex> {{---}} очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА.
<tex>s</tex> {{---}} стартовое состояние НКА.
<tex>Q</tex>.push({<tex>s</tex>})
while not isEmpty(<tex>Q</tex>)
<tex>Q</tex>.pop(<tex>q_d</tex>)
for <tex>c \in \Sigma</tex>
<tex>p_d</tex> = <tex>\varnothing</tex>
for <tex>q \in q_d</tex>
<tex>p_d</tex> = <tex>p_d \cup \{ \delta(q, c) \}</tex>
if not visited[<tex>p_d</tex>]
<tex>Q</tex>.push(<tex>p_d</tex>)

===Асимптотика===
Так как количество подмножеств множества состояний НКА не более, чем <tex>2^n</tex>, а каждое подмножество мы обрабатываем ровно один раз за время <tex>O(n)</tex>, получаем верхнюю оценку времени работы алгоритма {{---}} <tex>O(n \cdot 2^n)</tex>.

===Пример===
Пусть нам дан [[Недетерминированные конечные автоматы|недетерминированный конечный автомат]]: [[Файл:DKA.png|400px]]

По нашему заданию эквивалентного ДКА мы получаем: [[Файл:NKA_definition.png|400px]]

#Помещаем в очередь множество из одной стартовой вершины — <tex>\{1\}</tex>: <tex>Q = \{\{1\}\}</tex>.
#Достаём из очереди множество <tex>\{1\}</tex>: <tex>Q = \{\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1\}, a) = \{1, 2\}</tex>, кладём множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь: <tex>Q = \{\{1, 2\}\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1\}, b) = \{1\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#Достаём из очереди множество <tex>\{1, 2\}</tex>: <tex>Q = \{\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1, 2\}, a) = \{1, 2\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#<tex>q_d(\{1, 2\}, b) = \{1, 2\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#Помечаем все терминальные вершины, в данном случае — <tex>\{1, 2\}</tex>.

В итоге получаем ДКА, эквивалентный исходному: [[Файл:NKA_algorithm.png|400px]].

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]

Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона

2012-09-29T21:54:06Z

95.25.13.249: /* Пример */ какой ужас

== Построение эквивалентного ДКА по НКА ==

Пусть нам дан произвольный [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]]: <tex>\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to 2^Q \rangle</tex>.

Построим по нему следующий [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]]: <tex>\langle \Sigma , Q_d, s_d \in Q_d, T_d \subset Q_d, \delta_d : Q_d \times \Sigma \to Q_d \rangle</tex>, где:
# <tex>Q_d = 2^Q</tex>,
# <tex>s_d = \{s\}</tex>,
# <tex>T_d = \{q \in Q_d \mid \exists p \in T : p \in q\}</tex>,
# <tex>\delta_d(q, c) = \{ \delta(a, c) \mid a \in q \}</tex>.

===Доказательство эквивалентности===
{{Теорема
|statement=
Построенный ДКА эквивалентен данному НКА.
|proof=
#Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА. Заметим, что <tex>\forall q \in q_d, \forall c \in \Sigma, \forall p \in \delta(q, c): p \in \delta_d(q_d, c)</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1...w_m</tex>, которое принимает автомат НКА: <tex>\langle s, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle u_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle u_m, \varepsilon \rangle, u_m \in T</tex>. Проверим, что построенный ДКА тоже принимает это слово. Заметим, что <tex>s \in s_d</tex>, а, значит, исходя из нашего наблюдения, мы получаем, что <tex>u_1 \in {u_d}_1</tex>, где <tex>{u_d}_1 = \delta_d(s, w_1)</tex>. Далее, несложно заметить, что <tex>\forall i \leq m : u_i \in {u_d}_i</tex>, где <tex>\langle s_d, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_i, w_{i + 1}...w_m\rangle</tex>. Таким образом, <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>, а из определения терминальных состояний в построенном ДКА мы получаем, что <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, то есть наш ДКА тоже принимает cлово <tex>w</tex>.
#Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА. Сначала сделаем наблюдение, что если <tex>q_d=\{q\}</tex>, и мы из него достигли по строке <tex>S</tex> какого-то состояния <tex>p_d</tex>, то <tex>\forall p \in p_d</tex> существует путь из <tex>q</tex> в <tex>p</tex> в НКА по строке <tex>S</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1...w_m</tex>, которое принимает автомат ДКА: <tex>\langle s_d, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_m, \varepsilon \rangle, {u_d}_m \in T_d</tex>. Проверим, что НКА тоже принимает это слово. Так как <tex>s_d = \{s\}</tex>, и мы из <tex>s_d</tex> достигли <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, возьмём любое терминальное состояние <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>. По нашему наблюдению в НКА есть путь из <tex>s</tex> в <tex>u_m</tex> по строке <tex>w</tex>, а, значит, НКА принимает это слово.
Таким образом, множества слов, допускаемых ДКА и НКА, совпадают, то есть они эквивалентны.
}}

== Алгоритм Томпсона ==
Данный алгоритм преобразовывает НКА в эквивалентный ДКА. Будем использовать вышеуказанный способ построения с одним дополнением {{---}} не будем учитывать состояния недостижимые из стартового.
Поэтому в алгоритме используется обход в ширину.

===Алгоритм===
<tex>Q</tex> {{---}} очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА.
<tex>s</tex> {{---}} стартовое состояние НКА.
<tex>Q</tex>.push({<tex>s</tex>})
while not isEmpty(<tex>Q</tex>)
<tex>Q</tex>.pop(<tex>q_d</tex>)
for <tex>c \in \Sigma</tex>
<tex>p_d</tex> = <tex>\varnothing</tex>
for <tex>q \in q_d</tex>
<tex>p_d</tex> = <tex>p_d \cup \{ \delta(q, c) \}</tex>
if not <tex>Q</tex>.contains(<tex>p_d</tex>)
<tex>Q</tex>.push(<tex>p_d</tex>)

===Асимптотика===
Так как количество подмножеств множества состояний НКА не более, чем <tex>2^n</tex>, а каждое подмножество мы обрабатываем ровно один раз за время <tex>O(n)</tex>, получаем верхнюю оценку времени работы алгоритма {{---}} <tex>O(n \cdot 2^n)</tex>.

===Пример===
Пусть нам дан [[Недетерминированные конечные автоматы|недетерминированный конечный автомат]]: [[Файл:DKA.png|400px]]

По нашему заданию эквивалентного ДКА мы получаем: [[Файл:NKA_definition.png|400px]]

#Помещаем в очередь множество из одной стартовой вершины — <tex>\{1\}</tex>: <tex>Q = \{\{1\}\}</tex>.
#Достаём из очереди множество <tex>\{1\}</tex>: <tex>Q = \{\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1\}, a) = \{1, 2\}</tex>, кладём множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь: <tex>Q = \{\{1, 2\}\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1\}, b) = \{1\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#Достаём из очереди множество <tex>\{1, 2\}</tex>: <tex>Q = \{\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1, 2\}, a) = \{1, 2\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#<tex>q_d(\{1, 2\}, b) = \{1, 2\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#Помечаем все терминальные вершины, в данном случае — <tex>\{1, 2\}</tex>.

В итоге получаем ДКА, эквивалентный исходному: [[Файл:NKA_algorithm.png|400px]].

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]