Алгоритм Прима

2012-02-27T19:17:46Z

94.25.196.19: /* Оценка производительности */

'''Алгоритм Прима''' — алгоритм поиска [[Лемма о безопасном ребре#Минимальное остовное дерево|минимального остовного дерева]] (minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе.

== Идея ==
Данный алгоритм очень похож на [[алгоритм Дейкстры]]. Будем последовательно строить поддерево <tex>F</tex> ответа в графе <tex>G</tex>, поддерживая приоритетную очередь <tex>Q</tex> из вершин <tex>G \setminus F</tex>, имеющую ключом для вершины <tex>v</tex> величину <tex>\min\limits_{u \in VF, uv \in EG}w(uv)</tex> (вес минимального ребра из вершин <tex>F</tex> в вершину <tex>v</tex>). Также для каждой вершины очереди будем хранить <tex>p(v)</tex> — вершину <tex>u</tex>, на которой достигается минимум в определении ключа. Дерево <tex>F</tex> поддерживается неявно, и его ребра — это пары <tex>\left(v,p(v)\right)</tex>, где <tex>v \in G \setminus \{r\} \setminus Q</tex>, а <tex>r</tex> — корень <tex>F</tex>. Изначально <tex>F</tex> пусто, в очереди все вершины с ключами <tex>+\infty</tex>. Выберём произвольную вершину <tex>r</tex> и присвоим её ключу <tex>0</tex>. На каждом шаге будем извлекать минимальную вершину <tex>v</tex> из приоритетной очереди и релаксировать все ребра <tex>vu</tex>, такие что <tex>u \in Q</tex>, выполняя при этом операцию <tex>\text{decrease-key}</tex> над очередью и обновление <tex>p(v)</tex>. Ребро <tex>\left(v,p(v)\right)</tex> при этом добавляется к ответу.

== Реализация ==
'''<tex>\text{Prim}(G, w)</tex>'''
<tex>for</tex> <tex>v \in V[G]</tex>
<tex> key[v] \leftarrow \infty </tex>
<tex>p[v] \leftarrow \text{NIL}</tex>
<tex>r \leftarrow </tex> произвольная вершина в <tex>V[G]</tex>
<tex>key[r] \leftarrow 0 </tex>
<tex>Q \leftarrow V[G] </tex>
<tex>while</tex> <tex> Q \neq \emptyset </tex>
<tex>v \leftarrow \text{extract-min}(Q) </tex>
<tex>for</tex> <tex> u \in Adj[v] </tex>
<tex>if</tex> <tex>u \in Q</tex> и <tex>key[u] > w(v, u) </tex>
<tex> p[u] \leftarrow v </tex>
<tex>key[u] \leftarrow w(v, u)</tex>
<tex>\text{decrease-key}(Q, u, key[u]) </tex>
Ребра дерева восстанавливаются из его неявного вида после выполнения алгоритма.

== Корректность ==
По поддерживаемым инвариантам после извлечения вершины <tex>v</tex> (<tex>v \neq r</tex>) из <tex>Q</tex> ребро <tex>\left(v,p(v)\right)</tex> является ребром минимального веса, пересекающим разрез <tex>\left(F,Q\right)</tex>. Значит, по [[Лемма о безопасном ребре|лемме о безопасном ребре]], оно безопасно. Алгоритм построения MST, добавляющий безопасные ребра, причём делающий это ровно <tex>|V|-1</tex> раз, корректен.

== Оценка производительности ==
Производительность алгоритма Прима зависит от выбранной реализации приоритетной очереди, как и в [[алгоритм Дейкстры|алгоритме Дейкстры]]. Извлечение минимума выполняется <tex>V</tex> раз, релаксация — <tex>O(E)</tex> раз.

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align:center" width=30%
!style="background:#f2f2f2"|Структура данных для приоритетной очереди
!style="background:#f2f2f2"|Асимптотика времени работы
|-
|style="background:#f9f9f9"|Наивная реализация
|style="background:#f9f9f9"|<tex>O(V^2+E)</tex>
|-
|style="background:#f9f9f9"|[[Двоичная куча]]
|style="background:#f9f9f9"|<tex>O(E\log{V})</tex>
|-
|style="background:#f9f9f9"|[[Фибоначчиевы кучи]]
|style="background:#f9f9f9"|<tex>O(V\log{V}+E)</tex>
|}

== См. также ==
* [[Алгоритм Краскала]]
* [http://www.mincel.com/java/prim.html Визуализатор алгоритма]

== Литература ==
* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — с.653 — 656.— ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Остовные деревья ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Алгоритм Прима