Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Задача о расстановке знаков в выражении

2014-01-08T00:56:28Z

89.112.48.122: /* Источники */

'''Задача о расстановке знаков в выражении''' — задача о нахождении максимального значения выражения, полученного расстановкой знаков <tex dpi = "120">+, \times</tex> и скобок в последовательности <tex dpi = "130">a_1, a_2, \dots, a_n \ (a_i \ge 0)</tex>.

== Решение ==
Данная задача решается с использованием принципа оптимальности на подотрезке[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BF_.D0.BE.D0.BF.D1.82.D0.B8.D0.BC.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.D0.BD.D0.B0_.D0.BF.D0.BE.D0.B4.D0.BE.D1.82.D1.80.D0.B5.D0.B7.D0.BA.D0.B0.D1.85]. Введём матрицу <tex>d</tex> размером <tex>n \times n</tex>, где <tex>d[i][j]</tex> будет равен максимальному значению, достигаемому на подотрезке <tex dpi = "130">a_i, a_{i+1}, \dots, a_j</tex>.
Получаем следующие соотношения: 
* <tex>d[i][i] = a_i </tex> 
* <tex>d[i][j] = \max\limits_{\mathop{k = i..j-1}}[\max(d[i][k]+d[k+1][j], d[i][k] \times d[k+1][j])] \ (i < j)</tex> 
Вычислим элементы таблицы <tex>d</tex>, тогда ответом на задачу будет значение <tex>d[1][n]</tex>.
== Доказательство ==
Рассмотрим ее, например, в такой формулировке. В арифметическом выражении, операндами которого являются целые числа, а операциями — бинарные арифметические операции “+” и “*”, расставить скобки так, чтобы результат оказался максимальным.
Подзадачами, через которые мы будем выражать оптимальное решение, будут задачи об оптимальной расстановке скобок в произведениях наших операндов, начиная с i-го и заканчивая j-м. Запоминать результат оптимального решения соответствующей подзадачи мы будем в элементе d[i, j] матрицы, размером n*n, диагональные элементы которой (d[i, i]) равны операндам, а для i > j все элементы равны 0. Пусть мы хотим подсчитать значение арифметического выражения для операндов, начиная с i-го и заканчивая j-м для i < j. Если мы предположим, что последней будет выполняться арифметическая операция, расположенная после операнда с номером k (k < j) и эта операция — сложение, то результат подсчета будет равен сумме элементов d[i, k] и d[k+1, j] нашей матрицы. С умножением ситуация несколько более сложная. Так как операндами могут быть и отрицательные числа, то для нахождения максимума из произведений нужно знать не только максимальные, но и минимальные значения для арифметических операций над операндами с i-го по k-й и с k+1-го по j-й соответственно. Значит для любой последовательности операндов нужно хранить значение как максимально, так и минимально возможного результата выполнения арифметических операций над ними. Однако, дополнительная матрица для хранения минимальных значений не нужна. Так как для i > j матрица d не заполнена, мы можем отвести эти элементы для хранения минимумов, только запоминать результат решения этой подзадачи для операндов, начиная с i-го и заканчивая j-м, мы будем в элементе d[j, i]. Тогда в общем случае, если после k-го операнда стоит операция умножения, то максимальный результат будет равен max(d[i][j], max(d[i][k] + d[k+1][j], d[i][k] * d[k+1][j]));

== Реализация ==
// d - матрица как в описании; a - последовательность из n элементов; i, j, k - счётчики

for i := 1 to n do
d[i][i] := a[i];

for i := n - 1 downto 1 do
for j := i + 1 to n do
for k := i to j - 1 do
d[i][j] := max(d[i][j], max(d[i][k] + d[k+1][j], d[i][k] * d[k+1][j]));

write(d[1][n]); // вывод ответа
== Пример ==
Пусть дана последовательность 2, 1, 1, 2. Таблица <tex>d</tex> для неё будет выглядеть так:
{| class="wikitable" cellpadding="4" border="1" style="border-collapse: collapse;"
|-
| || j = 1 || j = 2 || j = 3 || j = 4
|-
| i = 1 || 2 || 3 || 4 || 9
|-
| i = 2 || 0 || 1 || 2 || 4
|-
| i = 3 || 0 || 0 || 1 || 3
|-
| i = 4 || 0 || 0 || 0 || 2
|}

== Источники ==
* Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Глава 15. Динамическое программирование // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. - 300стр. — М.: Вильямс, 2005. — 1296 с. — ISBN 5-8459-0857-4
http://fvn2009.narod.ru/Olympiads/Rules_Olympiads/Rules22.htm
*

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Динамическое программирование]]

Задача о расстановке знаков в выражении

2014-01-08T00:56:04Z

89.112.48.122: /* Доказательство */

'''Задача о расстановке знаков в выражении''' — задача о нахождении максимального значения выражения, полученного расстановкой знаков <tex dpi = "120">+, \times</tex> и скобок в последовательности <tex dpi = "130">a_1, a_2, \dots, a_n \ (a_i \ge 0)</tex>.

== Решение ==
Данная задача решается с использованием принципа оптимальности на подотрезке[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BF_.D0.BE.D0.BF.D1.82.D0.B8.D0.BC.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.D0.BD.D0.B0_.D0.BF.D0.BE.D0.B4.D0.BE.D1.82.D1.80.D0.B5.D0.B7.D0.BA.D0.B0.D1.85]. Введём матрицу <tex>d</tex> размером <tex>n \times n</tex>, где <tex>d[i][j]</tex> будет равен максимальному значению, достигаемому на подотрезке <tex dpi = "130">a_i, a_{i+1}, \dots, a_j</tex>.
Получаем следующие соотношения: 
* <tex>d[i][i] = a_i </tex> 
* <tex>d[i][j] = \max\limits_{\mathop{k = i..j-1}}[\max(d[i][k]+d[k+1][j], d[i][k] \times d[k+1][j])] \ (i < j)</tex> 
Вычислим элементы таблицы <tex>d</tex>, тогда ответом на задачу будет значение <tex>d[1][n]</tex>.
== Доказательство ==
Рассмотрим ее, например, в такой формулировке. В арифметическом выражении, операндами которого являются целые числа, а операциями — бинарные арифметические операции “+” и “*”, расставить скобки так, чтобы результат оказался максимальным.
Подзадачами, через которые мы будем выражать оптимальное решение, будут задачи об оптимальной расстановке скобок в произведениях наших операндов, начиная с i-го и заканчивая j-м. Запоминать результат оптимального решения соответствующей подзадачи мы будем в элементе d[i, j] матрицы, размером n*n, диагональные элементы которой (d[i, i]) равны операндам, а для i > j все элементы равны 0. Пусть мы хотим подсчитать значение арифметического выражения для операндов, начиная с i-го и заканчивая j-м для i < j. Если мы предположим, что последней будет выполняться арифметическая операция, расположенная после операнда с номером k (k < j) и эта операция — сложение, то результат подсчета будет равен сумме элементов d[i, k] и d[k+1, j] нашей матрицы. С умножением ситуация несколько более сложная. Так как операндами могут быть и отрицательные числа, то для нахождения максимума из произведений нужно знать не только максимальные, но и минимальные значения для арифметических операций над операндами с i-го по k-й и с k+1-го по j-й соответственно. Значит для любой последовательности операндов нужно хранить значение как максимально, так и минимально возможного результата выполнения арифметических операций над ними. Однако, дополнительная матрица для хранения минимальных значений не нужна. Так как для i > j матрица d не заполнена, мы можем отвести эти элементы для хранения минимумов, только запоминать результат решения этой подзадачи для операндов, начиная с i-го и заканчивая j-м, мы будем в элементе d[j, i]. Тогда в общем случае, если после k-го операнда стоит операция умножения, то максимальный результат будет равен max(d[i][j], max(d[i][k] + d[k+1][j], d[i][k] * d[k+1][j]));

== Реализация ==
// d - матрица как в описании; a - последовательность из n элементов; i, j, k - счётчики

for i := 1 to n do
d[i][i] := a[i];

for i := n - 1 downto 1 do
for j := i + 1 to n do
for k := i to j - 1 do
d[i][j] := max(d[i][j], max(d[i][k] + d[k+1][j], d[i][k] * d[k+1][j]));

write(d[1][n]); // вывод ответа
== Пример ==
Пусть дана последовательность 2, 1, 1, 2. Таблица <tex>d</tex> для неё будет выглядеть так:
{| class="wikitable" cellpadding="4" border="1" style="border-collapse: collapse;"
|-
| || j = 1 || j = 2 || j = 3 || j = 4
|-
| i = 1 || 2 || 3 || 4 || 9
|-
| i = 2 || 0 || 1 || 2 || 4
|-
| i = 3 || 0 || 0 || 1 || 3
|-
| i = 4 || 0 || 0 || 0 || 2
|}

== Источники ==
* Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Глава 15. Динамическое программирование // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. - 300стр. — М.: Вильямс, 2005. — 1296 с. — ISBN 5-8459-0857-4
*

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Динамическое программирование]]