Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Факты из математического анализа

2010-06-28T18:37:59Z

Николай:

{{В разработке}}

== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

{{Утверждение
|id = th1.
|statement =
Пусть есть ряд состоящий из значений функций:
<math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math>, притом <math> f_n </math> либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с какой скоростью?
|proof =
Рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно возрастает.
Оценим ряд сверху: <math> {f(1) + \int \limits_{1}^{n} f(x) dx} \leq {f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)} \leq {\int \limits_{1}^{n + 1} f(x) dx} </math>
Аналогично оценим ряд снизу.

Теперь рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно убывает.
Оценим ряд снизу: <math> {\int \limits_{1}^{n} f(x) dx + f(n) \leq f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) } </math>.
Аналогично оценим ряд сверху: <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) \leq f(1) + \int \limits_{2}^{n} f(x) dx </math>.
Таким образом <math> \sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + O(1) </math>, где <math> O(1) = c + o(1) </math>.
В итоге <math> \sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + c + o(1) </math>.
}}

== Теорема о <math> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </math> ==

Рассмотрим пример, когда <tex> f(x) = \ln x </tex>

{{Теорема
|id = th2.
|statement = <math> {\sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x)} </math>
|proof= Воспользуемся ранее полученным результатом ([[#th1|оценка ряда из монотонно возрастающих <tex> f_n </tex>]]).
<math> \sum \limits_{n \leq x} \ln (n) \leq \int \limits_{1}^{x + 1} \ln (t) dt = (x + 1) \ln (x + 1) - (x + 1) + 1 = x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x = x \ln (x) - x + O(\ln (x)) </math> - оценка сверху.
Также оценим снизу: <math> f(1) + \int \limits_{1}^{n} \ln (x) dx = x \ln(x) - x </math> - оценка снизу.
В итоге получаем то, что требовалось получить: <math> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </math>
}}

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln n} = \ln \ln x + c + o(1) </tex> ==

== Формула Тейлора ==

== Теорема о <tex> \frac{1}{\ln (n+1)} = \frac{1}{\ln n} - \frac{1}{n \ln^2 n} + O(\frac{1}{n^2}) </tex> ==

Факты из математического анализа

2010-06-28T18:03:09Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) */

{{В разработке}}

== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

{{Утверждение
|id = th1.
|statement =
Пусть есть ряд состоящий из значений функций:
<math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math>, притом <math> f_n </math> либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с какой скоростью?
|proof =
Рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно возрастает.
Оценим ряд сверху: <math> {f(1) + \int \limits_{1}^{n} f(x) dx} \leq {f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)} \leq {\int \limits_{1}^{n + 1} f(x) dx} </math>

Аналогично оценим ряд снизу.
}}

== Теорема о <math> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </math> ==

Рассмотрим пример, когда <tex> f(x) = \ln x </tex>

{{Теорема
|id = th2.
|statement = <math> {\sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x)} </math>
|proof= Воспользуемся ранее полученным результатом [[#th1|(оценка ряда из монотонно возрастающих <tex> f_n </tex>)]]
<math> \sum \limits_{n \leq x} \ln (n) \leq \int \limits_{1}^{x + 1} \ln (t) dt = (x + 1) \ln (x + 1) - (x + 1) + 1 = x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x = x \ln (x) - x + O(\ln (x)) </math> - оценка сверху.
Также оценим снизу: <math> f(1) + \int \limits_{1}^{n} \ln (x) dx = x \ln(x) - x </math> - оценка снизу.
В итоге получаем то, что требовалось получить: <math> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </math>
}}

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln n} = \ln \ln x + c + o(1) </tex> ==

== Формула Тейлора ==

== Теорема о <tex> \frac{1}{\ln (n+1)} = \frac{1}{\ln n} - \frac{1}{n \ln^2 n} + O(\frac{1}{n^2}) </tex> ==

Факты из математического анализа

2010-06-28T17:43:37Z

Николай: /* Оценка ряда f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) с помощью \int \limits_{1}^{n} f(x) dx для монотонных функций. */

Факты из математического анализа

2010-06-28T17:18:25Z

Николай: /* Оценка ряда f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) с помощью \int \limits_{1}^{n} f(x) dx для монотонных функций. */

{{В разработке}}

== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

Пусть есть ряд состоящий из значений функций:
<math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math>, притом <math> f_n </math> либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с какой скоростью?

Рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно возрастает.
Оценим ряд сверху: <math> {f(1) + \int \limits_{1}^{n} f(x) dx} \leq {f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)} \leq {\int \limits_{1}^{n + 1} f(x) dx} </math>

Аналогично оценим ряд снизу.

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </tex> ==

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln n} = \ln \ln x + c + o(1) </tex> ==

== Формула Тейлора ==

== Теорема о <tex> \frac{1}{\ln (n+1)} = \frac{1}{\ln n} - \frac{1}{n \ln^2 n} + O(\frac{1}{n^2}) </tex> ==

Асимптотический закон распределения простых чисел

2010-06-28T14:12:10Z

Николай: Новая страница: «{{В разработке}} == Теорема о <tex> \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x} </tex> (без док-ва) == == * Теорема о <tex> p_n \sim n \ln n </t…»

{{В разработке}}

== Теорема о <tex> \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x} </tex> (без док-ва) ==

== * Теорема о <tex> p_n \sim n \ln n </tex> ==

== * Теорема о <tex> n \ln n < p_n < n [\ln n + (1 + o(1)) \ln \ln n] </tex> (без док-ва) ==

Сумма обратных к простым

2010-06-28T12:17:00Z

Николай: Новая страница: «{{В разработке}} == Преобразование Абеля для <tex> \sum \limits_{i = 1}^{n} a_i b_i </tex> == == Теорема о <tex> \sum \fra…»

{{В разработке}}

== Преобразование Абеля для <tex> \sum \limits_{i = 1}^{n} a_i b_i </tex> ==

== Теорема о <tex> \sum \frac {1}{p} = \log \log p + c + o(1) </tex> ==

Уточнение констант в теореме Чебышёва

2010-06-28T12:10:39Z

Николай: Новая страница: «{{В разработке}} == * Теорема о <tex> \pi(x) > \frac {2}{3} \frac {x}{\log x} </tex> при <tex> x > 3 </tex> == == * Теорема о <tex> \…»

{{В разработке}}

== * Теорема о <tex> \pi(x) > \frac {2}{3} \frac {x}{\log x} </tex> при <tex> x > 3 </tex> ==

== * Теорема о <tex> \pi(x) < \frac {8}{5} \frac {x}{\log x} </tex> при <tex> x > 3 </tex> ==

Постулат Бертрана

2010-06-28T12:03:49Z

Николай: Новая страница: «{{В разработке}} == Теорема о <tex> C_{n}^{2n} > \frac {4^n}{2 \sqrt{n}} </tex> == == Теорема о <tex> \Pi_{p \leq n} < 4^n </tex> == ==…»

{{В разработке}}

== Теорема о <tex> C_{n}^{2n} > \frac {4^n}{2 \sqrt{n}} </tex> ==

== Теорема о <tex> \Pi_{p \leq n} < 4^n </tex> ==

== Теорема о <tex> \pi(2n) - \pi(n) \geq 1 </tex> ==

== Теорема Финслера о <tex> \frac {n}{3 \log {2n}} < \pi(2n) - \pi(n) < \frac {7n}{5 \log {n}} </tex> при <tex> n > 1 </tex> ==

Теорема Чебышёва

2010-06-28T11:32:37Z

Николай: Новая страница: «{{В разработке}} == Функция <tex> \Theta (n) = \sum \limits_{p \leq x} \log p </tex>, теорема о <tex> \Theta (n) = O(n) </tex> == == Те…»

{{В разработке}}

== Функция <tex> \Theta (n) = \sum \limits_{p \leq x} \log p </tex>, теорема о <tex> \Theta (n) = O(n) </tex> ==

== Теорема о <tex> \sum \limits_{p \leq x} \frac{\log p}{p} = \log n + O(1) </tex> ==

== Существование констант <tex> c_1 </tex> и <tex> c_2 </tex>, таких что <tex> c_1 n < \Theta (x) < c_2 n </tex> ==

== Существование констант <tex> c_1 </tex> и <tex> c_2 </tex>, таких что <tex> c_1 \frac{x}{\log x} < \pi (x) < c_2 \frac{x}{\log x} </tex> ==

Факты из математического анализа

2010-06-28T11:10:19Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = 1 */

{{В разработке}}

== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

{{Утверждение
|statement= ___
|proof= ___
}}

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </tex> ==

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln n} = \ln \ln x + c + o(1) </tex> ==

== Формула Тейлора ==

== Теорема о <tex> \frac{1}{\ln (n+1)} = \frac{1}{\ln n} - \frac{1}{n \ln^2 n} + O(\frac{1}{n^2}) </tex> ==

Факты из математического анализа

2010-06-28T11:08:36Z

Николай: /* Теорема о \frac{1}{\ln n+1} = \frac{1}{\ln n} - \frac{1}{n \ln^2 n} + O(\frac{1}{n^2}) */

{{В разработке}}

== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

{{Утверждение
|statement= ___
|proof= ___
}}

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </tex> ==

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = 1 </tex> ==

== Формула Тейлора ==

== Теорема о <tex> \frac{1}{\ln (n+1)} = \frac{1}{\ln n} - \frac{1}{n \ln^2 n} + O(\frac{1}{n^2}) </tex> ==

Факты из математического анализа

2010-06-28T11:08:15Z

Николай: /* Теорема о */

{{В разработке}}

== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

{{Утверждение
|statement= ___
|proof= ___
}}

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </tex> ==

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = 1 </tex> ==

== Формула Тейлора ==

== Теорема о <tex> \frac{1}{\ln n+1} = \frac{1}{\ln n} - \frac{1}{n \ln^2 n} + O(\frac{1}{n^2}) </tex> ==

Факты из математического анализа

2010-06-28T11:06:51Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{n \ln^2 x} */

{{В разработке}}

== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

{{Утверждение
|statement= ___
|proof= ___
}}

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </tex> ==

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = 1 </tex> ==

== Формула Тейлора ==

== Теорема о <tex> </tex> ==

Факты из математического анализа

2010-06-28T11:06:14Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{n \ln^2 x} */

{{В разработке}}

== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

{{Утверждение
|statement= ___
|proof= ___
}}

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </tex> ==

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{n \ln^2 x} </tex> ==

== Формула Тейлора ==

== Теорема о <tex> </tex> ==

Факты из математического анализа

2010-06-28T11:03:55Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{n \ln^2 x */

{{В разработке}}

== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

{{Утверждение
|statement= ___
|proof= ___
}}

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </tex> ==

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{n \ln^2 x} </tex> ==

Факты из математического анализа

2010-06-28T11:03:32Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = \frac{1}{\ln x} - frac{1}{n {\ln x}^2} */

{{В разработке}}

== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

{{Утверждение
|statement= ___
|proof= ___
}}

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </tex> ==

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{n \ln^2 x </tex> ==

Факты из математического анализа

2010-06-28T11:02:42Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = \frac{1}{\ln x} - frac{1}{n \ln x \ln x} */

{{В разработке}}

== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

{{Утверждение
|statement= ___
|proof= ___
}}

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </tex> ==

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = \frac{1}{\ln x} - frac{1}{n {\ln x}^2}</tex> ==

Факты из математического анализа

2010-06-28T11:01:19Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = \frac{1}{\ln x} - frac{1}{n sqr{\ln x}} */

{{В разработке}}

== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

{{Утверждение
|statement= ___
|proof= ___
}}

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </tex> ==

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = \frac{1}{\ln x} - frac{1}{n \ln x \ln x}</tex> ==

Факты из математического анализа

2010-06-28T10:58:59Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} */

{{В разработке}}

== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

{{Утверждение
|statement= ___
|proof= ___
}}

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </tex> ==

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = \frac{1}{\ln x} - frac{1}{n sqr{\ln x}} </tex> ==

Факты из математического анализа

2010-06-28T10:57:56Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n \leq x} \frac_{1}_{n \ln x} = \frac_{1}_{\ln x} - *** */

Факты из математического анализа

2010-06-28T10:56:37Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) */

Факты из математического анализа

2010-06-28T10:54:16Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n \leq x} \ln x */

Факты из математического анализа

2010-06-28T10:46:51Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n */

Факты из математического анализа

2010-06-28T10:26:43Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n */

Факты из математического анализа

2010-06-28T10:26:22Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n */

Факты из математического анализа

2010-06-28T10:24:10Z

Николай: /* Теорема о \sum \limits_{n=1}^{\infty} */

Факты из математического анализа

2010-06-28T10:21:22Z

Николай: /* Оценка ряда f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) с помощью \int_{1}^{n} f(x) dx для монотонных функций. */

Факты из математического анализа

2010-06-28T10:20:03Z

Николай: /* Теорема о \sum_{n=1}^{\infty} */

{{В разработке}}

== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

{{Утверждение
|statement= ___
|proof= ___
}}

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n=1}^{\infty} </tex> ==

Факты из математического анализа

2010-06-28T10:18:59Z

Николай: /* Теорема о \sum_{n=1}^{\infty} */