Постройка дороги

Если $$$s = 1$$$, то количество ходов, которое сделают игроки фиксировано и равно $$$n \cdot m$$$. Тогда Сэм выиграет только если это число нечётное.

Теперь считаем, что $$$s > 1$$$. Если одна из сторон нечётная или $$$s \ge 4$$$, то Сэм может первым ходом построить прямоугольник, симметричный относительно центра поля. После этого он может ходить центрально-симметрично ходам второго игрока. Значит, если второй игрок сделал ход, его сможет сделать и Сэм. Значит, Сэм выиграет.

Если же ни одно из этих условий не выполняется, то есть обе стороны чётны и $$$2 \le s \le 3$$$, то никакой игрок своим ходом не может построить прямоугольник, содержащий две центрально-симметричные клетки. Поэтому второй игрок может делать ходы центрально-симметричные ходам Сэма. Значит, Сэм проиграет.